книги / Тензорные алгебра и анализ

				(5.14)
С = еЛ е'= e.£ fe V ,
чШ	*	* J
а общий	uinmnnunrn -гриппа о £* ^ответственно
				(5.15)
Приведем здесь же свойства тензоров				С , С , С :
*			г	. / . I/
C :T =J,(T)1,
С :Т =Т: С		= Г г
				(5.16)
• /
С -Т = г • с			,
* ///	• ///

где Т — любой тензор второго ранга. Операции симметрирования и

альтернирования тензора второго ранга с помощью				С' ,	можно
записать в виде
					(5.17)
В случае произвольного четного р количество “базисных"
изотропных тензоров равнор!!= 1-3-5\..‘( р - 1).
Следует	заметить, что тензоры	С , С , С	являются		базисными
		«# * // *///	II и		Для р=6
элементами,	по которым разлагаются	тензоры		€ •€ .

имеющиеся 15 изотропных тензоров являются базисными элементами

тензоров С -	С {M,N = 1,11,III) и € £ .
п М	*N	- =
	5.5.	Положительно определенные тензоры
Положительно определенным называется симметричный тензор Г,
если VJC eSJrx * 0		х - Т х > 0 (то есть для всех ненулевых аргументов

значение построенной на этом тензоре квадратичной формы

положительно).	Эквивалентно,	если	существует	с>0, с е Д , что
У хе £ 3 х -Т	х > сх х , то	тензор	Т называется	положительно
определенным.

Докажем, что симметричный тензор Т положительно определен тогда и только тогда, когда его собственные значения положительны. Необходимость

х	Т х>0, Удее£3,х ± 0 ,
		з
возьмем	= Г =	, тогда

/=/

з

О <tk • (X v ,./, > • *k = => b k > 0,k = 1,2,3.

ы

Достаточность

J
T = 1*1	\	>0>i =
	3	3
X ■т ■X =X ■( £ X,( t,) ■х = Y ,X,.х,х, >X„.х,х, = X „X X,
	!•!	(=/

х ь£3 — любой, Хм = mmfXJtX3,X3} . Теорема доказана.

На практике удобно применять критерий Сильвестра: симметричный тензор положительно определен тогда и только тогда, когда положительны все глазные миноры тензора. По предыдущей

теореме	из	Хк >0,Хк &R, к = 1,2,3	следует,	что
cJ(T ) - X I >0,	c2(T) =XlX2>0, c3(T) =delT =X,X2X3>0. С			другой
стороны, если		Х,>0, Xt\ 2>0, Х,Х2Х3>0,	то обязательно и
Хк >0, к = 1,2,3.
Для положительно определенного тензора можно определить его
дробную степень (ниже и — натуральное число)
Т '"= Р :		Р "= Т		(5.18)

Ранее было показано (4.27), что

f ’ = E p : ,-,. = T

i~J

3

и что Т = ^ JXltltl (главные векторы тензоров Р и Т совпадают). Отсюда i=

Я., = р" и р( = X1: Если бы одно из собственных чисел Т было

отрицательным, то соответствующее собственное число Р было бы мнимым, что здесь не рассматривается. Таким образом, для любого положительного тензора

Г " " = 2 Х Л'Л>	(5.19)
|=/

что дает способ вычисления его обратных степеней. Кроме того, пользуясь определениями (2.13)-(2.14), можно убедиться, что тензор Т 1п также симметричный. Очевидно, что он и положительный.

Ранее говорилось, что для любого тензора второго ранга определена любая целая неотрицательная степень, а для любою неособенного тензора определена и любая целая отрицательная степень. Для положительного тензора второго ранга (очевидно, являющегося неособенным) определена любая рациональная его степень.

5.6. Полярное разложение тензора

Имеет место важная теорема.

Т ео р ем а 5 .1 .

Любой неособенный тензор можно представить произведением тензоров положительно определенного на ортогональный или

ортогонального на положительно определенный,
T = L 0 , = 0 2 R,	(5.20)
где 0 ,,0 2 е 0(£3) ,L ,R — положительно определенные тензоры.
Доказательство теоремы существования проведем конструктивно:
построим для произвольного Т компоненты разложения (5.20).
Из (5.20) имеем
L2= T T t *>L = (T -Т т),/2,	(5.21)

но для записи последнего равенства необходима положительная

определенность	Т Т т Покажем: (Т -Т т) т= Т -Т т, что доказывает
симметрию	Т - Т т,	VJCe £ j f jc* 0 0< (х-Т)-(х-Т) =х	Т -Т т-х
(использована	неособенность 7), откуда по определению		Т Т Г —
положительно определенный. Из (5.20) и (5.21) имеем
0, = Г ,	Т = (Т	Т тУ"2 . Г .	(5.22)

Покажем ортогональность (5.22)

О, • Of = (Т • Т ту ш -Т~Тт-((Т -Т ту !'2)т= ( Т • Т т) и2 -(Т . Т ту " 2 = /

(использована симметричность (Т Т т)~,/2, положительность Т -Т т).

Теорема доказана.

Можно доказать и теорему единственности полярного разложения. Сформулированную ниже теорему предлагается доказать читателю.

Т ео р ем а 5 .2 .		тензоров L и R совпадают, О, - 0 2= О,
Собственные	значения
причем О = /,/;, где	/,, i - 1,2,3	и r.t, i = 1,2,3 — собственные векторы L и J?
соответственно.

Таким образом, полярное разложение неособенного тензора

записывается в виде
T = L	0 =0	R,	(5.23)
L = 0	R O T.	R =OT L О.	(5.24)

Выясним геометрический смысл полярного разложения (то есть смысл компонент разложения Т как линейного оператора). НеособенньГ тензор Г задает автоморфизм линейного пространства £3; симметричный положительный тензор (L или R) всегда имеет тройку ортогональных главных направлений и задает деформации (растяжения или сжатия) пространства $3 вдоль данных направлений; ортогональный тензор О

осуществляет вращение пространства ё 3 как жесткого целого, то есть

автоморфизм €3 как евклидова пространства. Различие разложений (5.23) для заданного неособенного Г можно пояснить приведенной здесь иллюстрацией (рис. 5.2), соответствующей двумерному случаю.

L о

о R

Рис. 5.2. Геометрический смысл компонент полярного разложен

Заметим, что последовательные автоморфизмы пространства €3

представляются умножением соответствующих тензоров, которое в общем случае не коммутативно.

6. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ

Можно представить себе тензорную функцию как произвольную функцию компонент тензора. Однако данная функция будет зависеть от базиса, в котором тензор-аргумент задан компонентами, и поэтому в общем случае не будет являться тензорной величиной. Интерес же для тензорного исчисления представляют объекты, нечувствительные к их представлению компонентами в базисе.

Приведем примеры тензорных функций: а) любая степень тензора, б) любой элемент спектра тензора. В обоих примерах значение такой тензорной функции зависит только от самого тензора-аргумента функции. В приведенных примерах речь, конечно, шла о функциях одного тензорного аргумента.

6Л. Группа симметрии тензора

Пусть Т — какой-либо фиксированный тензор второго ранга, §т^ 0

— такое подмножество, что
0*=§т <^> От Т О = Т .	(6.1)

Другими словами, это подмножество состоит из таких О еО , что данный

тензор Т не изменяется. Покажем,							что § т есть		подгруппа Q.		Пусть
0 it0 2 e § T>		то		есть		Of -T O, =Т, Ol			T	0 2~ T .	Тогда
(О, 0 2f	Т	(О,	0 2) = Oj Of			Т О,	0 2=Ol	Т 0 2 =Т			Теперь
рассмотрим		О,	Т	О].	Из O j -Т		О, = Г	следует		Т • О, = О, • Т <=>
T =O j'T ‘O j, то				есть	обратный тензор к			О, е § т,		OJ1= O j,	также
принадлежит§ г, следовательно						§тесть группа симметрии тензора Т.
Заметим, что (6.1) не предполагает,
что условие		От-Т 0 =Т выполняется для
любого	О € 0 ; если же для данного						Г это
имеет место, то есть §т- 0 , то такой
тензор, очевидно, является изотропным.
Геометрический					смысл	группы
симметрии тензора может иллюстрировать
частный пример, изображенный на рис. 6.1
и соответствующий симметричному тензору								г
		J		„	r	J	у	Рис. 6.1. Конструкция, имеющая
с простым спектром. Группу симметрии %т									симметрии симметричного
данного	тензора			составляют		повороты		тензора с простым спектром

вокруг любой	из осей 1,2,3 на углы ±тг (пользуясь обозначением п. 5.3,
R r ,i = 1,2,3),	отражения относительно любой из плоскостей 12,23,31

( - R - , i = 1.2,3), центральная симметрия -/, тождественное преобразование / (всего 8 различных элементов). Для симметричного тензора с двумя и только двумя совпадающими собственными числами (пусть А./ и А.?) группа симметрии включает в качестве подгруппы бесконечную (непрерывную) группу всех вращений вокруг главного направления, соответствующего Xj.

Наконец, случай Я/=А.г=А.5, то есть изотропного тензора, соответствует

Sr «О-

Группы симметрии тензоров с простым спектром, не обязательно симметричных, представляют группы симметрии кристаллических сингоний [8], а группы симметрии тензоров с действительным спектром, но кратными корнями характеристического уравнения, представляют группы симметрии некоторых некристаллических (возможно, биологических или искусственных) сред.

Имеет место теорема, которую предлагаем доказать читателю.

Т еорем а 6.1.

Два тензора с действительным спектром соосны тогда и только тогда, когда их группы симметрии совпадают.

Заметим, что определение группы симметрии тензора можно дать для тензоров любого ранга р над евклидовым пространством £3 по образцу определения, данного выше.

			6.2. Тензорные функции
Рассмотрим какую-либо функцию F(-) на				отображающую это
пространство в себя, то есть
	F: T -> F (T),		ТеЕ23,			(6.2)
и для каждого Т е £] значение F (T )e £ j.
Любой		ОеО порождает автоморфизм пространства			£}. Пара Т,
F (T ),	так называемый элемент графика функции			F(),	преобразуется
при	этом	в пару	От-Т-О, OT F (T )'0 . Но	по	закону	(6.2)
От T O ->F(O T -Т-О ), и поэтому пара От Т О, От F (T )- 0						также
будет элементом графика функции F(-) лишь при условии, что
	F (0 T	Т -0 )= 0 т F(T) О				(6.3)

(иначе окажется, что		аргументу	От Т О соответствуют	два значения
функции, F(O T 'Т 'О )		и От F (T ) 0 , что противоречит однозначности
функции). Для того, чтобы функция F() '‘совсем не чувствовала”
автоморфизма О пространства			необходимо, чтобы (6.3) выполнялось
при любом Г е £ :,
F (0 T Т О)=O T		F(T) О	V 7 e £ j.	(6.4)
Произвольности	О 60	для произвольной функции в (6.4) не требуется.
Подмножество	§Fc 0 9 состоящее из всех таких О 60 ,			для которых

выполняется (6.4), снова представляет собой подгруппу группы 0 , которая называется группой симметрии функции F (j. Доказательство того, что §у есть группа, предоставляется сделать читателю. По определению §F

зависит только от самой F (j и не зависит от аргумента. Если §F- О, то

F(-) называется изотропной тензорной функцией.

Данные здесь определения очевидным образом переносятся на случай когда F(-) — функция, аргумент и значения которой суть тензоры рангов соответственно г и s над пространством 8} при любых

натуральных		г	и s. Кроме рассмотренного частного		случая	функции
F:	-> 8}	в механике сплоишой среды используются скалярозначные
функции тензорного аргумента, /:				8 ] -+R (то есть r = 2t s= 0). Для таких
функций условие (6.4) примет вид
	f ( 0 T	T	O )= f(T ) v r e g j .			(6.5)
	Заметим,		что понятие	группы симметрии	имеет	чисто

алгебраический характер и условия его применимости не содержат

никаких требований о непрерывности или гладкости функции.
Докажем теорему о взаимном отношении								группы		симметрии §т
тензора-аргумента функции, группы симметрии								§ F(T) тензора-значения
функции и группы симметрии				§ F функции.
Т еорем а	6 .2 .
Для любой тензорной функции F: Sj						8}
§F(T) 3 § F П §Т'											№*6)
Действительно,		когда		О	справедливо				соотношение		(6.4),
От-F (T )’0 = F (0 T		Т 'О ),		когда	О e g r ,		—		соотношение		(6.1),
0 Г • Г - 0 = 7 \	так	что,	когда справедливы					оба	эти	соотношения,
От F (T )-0 =F (T ),		то	есть,	О e§ F(rjt		что	и	влечет		вложение	(6.6).

Доказательство завершено.

Если функция изотропна, то из (6.6)

% F ( T t ' ^ 0 ( ё з ) Г ' § Г = § Т у

( 6 - 7 )

то есть главные направления тензора-аргумента являются главными направлениями тензора-значения функции. Этот факт предлагается доказать самостоятельно. Если функция обратима, то нетрудно показать, что в (б.б) достигается равенство. Если она еще и изотропна, то

§ F ( Г) = § Т ,

то есть группы симметрии аргумента такой функции и ее значения совпадают и, согласно сказанному выше, для любого аргумента последний и значение функции суть соосные тензоры. Все сказанное можно обобщить на функции нескольких аргументов.

Пусть далее Г, F (T ) — симметричные тензоры, a F(-) — изотропная функция. Представим/, Т и Т 2 спектральным разложением:

I = ijtf + t2t2 + f A »

r - V A + X A o + V A .	(6.8)
T2= A“ i,r#+ X22t2t2+ X23tjtj.

В случае, если спектр Т прост, данную систему тензорных уравнений можно разрешить относительно базисных диад tktk%/ = /,2,3,

(X, - х2)(х, -	= r, -(a,+xj7-+ x ^ i ,
(X, - Х,)(Х2- Х ,) у г =T ! - ( l , + \ 3)T + Х,Х}1.		(6.9)
(X ,~Х ,)(Х , - X ,) tJt1 =T ! -(X , +X:)T + X,XJ.
Так как главные векторы	тензора F (T) в данном	случае являются
главными векторами тензора Г,
+ Ф А * а+ < PJ V J .
и подставляя сюда tktk, i - 1,2,3 из (6.9), получим
Г(т)=ф01 +ф,т +ф2т2,		(б.Ю)

где ф„ i = 0,1,2 есть скалярозначные функции собственных чисел X,, i *=1.2.3 тензора-аргумента. Таким образом, произвольная (гладкая или нет) изотропная тензорная функция, аргумент которой есть симметричный тензор, а значение — симметричный тензор с простым спектром, представляется квадратичным тензорным полиномом (6.10), коэффициенты которого в общем случае суть изотропные скалярозначные функции тензора-аргумента.

Если среди собственных чисел тензора-аргумента два (например, X? и Xj) совпадают, то у F(T) одноименные собственные числа также

совпадают и из (6.8)и и (6.10) получаем систему тензорных уравнений Т = (X, - X ,М + X ,/, F(T) = (ф, - <р3)t,tt + ф, / ,

исключая из которых диаду получаем соотношение (6.10), в котором

ф>=0 (и фд, фгв общем случае -другие функции, чем в (6.10)). Если же все

собственные числа тензора-аргумента совпадают, то получаем, что F (T )

— шаровой тензор и в (6.10) ф/= §2=0. Детально данный вопрос рассмотрен в работе [2].

Опишем в общих чертах проблему построения тензорзначной функции нескольких тензорных аргументов, полагая в общем случае, что группа симметрии функции есть подгруппа полной ортогональной группы. На интуитивном уровне понятно, что соображения симметрии функции, строение (принадлежность определенному подпространству, строение спектра) и симметрия тензоров-аргументов и тензора-значения функции, накладывают определенные ограничения на возможный вид записи функции (см., например, разобранный выше пример) и позволяют установить “скелет” функции, для полного определения которой остается записать соотношения между фигурирующими в представлении скалярами. При этом любая функция имеет не одно представление, и исследователь может исходить в своем предпочтении из удобства (с теоретической или практической точек зрения) применения к решаемой задаче механики или физики.

Скалярозначная функция тензорных аргументов выражается через скаляры, зависящие от этих тензоров-аргументов, не чувствующих преобразований из группы симметрии исходной функции. Полный набор таких скаляров при заданной группе симметрии функции называется целым рациональным базисом [9]. Тензорзначная функция тензорных аргументов конструируется с помощью тензоров, зависящих от степеней тензоров-аргументов и не чувствующих преобразования из группы симметрии функции. Множество таких вспомогательных тензоров называется форм-ннвариантом [9] и фактически содержит базис подпространства тензоров, которому в силу наложенных ограничений симметрии принадлежит тензор-значение исходной функции. Последний поэтому представляется линейной комбинацией элементов форминварианта с коэффициентами, зависящими от элементов целого рационального базиса.

Систематически теория представлений тензорной функции в общем случае нескольких аргументов изложена в монографии [9], статьях, ссылки на которые имеются в книге [8]. Представлению тензорзначных функций нескольких аргументов с коэффициентами полинома, представленными через тригонометрические инварианты, отведено место в работе [8]. Ряд работ посвящен вопросу представления тензорных функционалов ([9], ссылки [8]). Объем и специализация нашего пособия не позволяет дать хотя бы первоначальные сведения симметрии конечных тел. Читатель может изучить данный вопрос по монографиям [8,10].

В вопросах дифференцирования (главы 6 и 7) нам потребуется обратный тензорный признак, дающий условия, при которых можно сделать вывод о тензорном характере линейной функции, действующей из

£] в ё]. Сформулируем эту теорему.

Теорем а 6.3 (обратн ы й тензорны й п р и зн ак ).

Пусть F — набор компонент, содержащий r-s индексов, каждый из которых пробегает значения 7.2,5, и пусть полная свертка этого дистрибутива компонент с компонентами тензора Ри л ранга $ также есть

компоненты тензора Тр~' ранга г :
Тг-у = р г-ч -»р^	(6.11)

Тогда F,f~" суть компоненты тензора ранга r+s.

Эта теорема под наименованием “правило частного” доказана в [6].

В частном случае в левой части (6.11) может стоять скаляр, тогда
т = F,JJ”PtJn.	(6.12)

Соотношения (6.11)-(6.12) могут быть записаны и в безындексном (символическом) виде, например, последнее —

т =F *P

(знак “°” здесь подразумевает полную свертку согласно (6.12)), однако сама такая запись вовсе не гарантирует тензорность F. Объекты, не являющиеся тензорами, но записанные в безындексной форме, легко построить, натягивая компоненты объекта, не удовлетворяющего компонентному определению тензора (п.2.3), на какой-либо базис. Например, в главе 7 будут введены символы Кристоффеля, не являющиеся компонентами какого-либо тензора.

6.3. Производная тензорной функции

Будем рассматривать тензорные функции, действующие из

нормированного	пространства	в	нормированное,	например,
F: (ё23,\\]\)~*	или f:		где норма \\\\ — любая, в том
числе индуцированная скалярным		произведением в £ ]\		\\Т% = (Т ° Т ) h2

(очевидно, Р — нормированное пространство). Понятие нормы тензора позволяет ввести понятия расстояния и предела, а следовательно, и производной тензорной функции.

Приведем определение производной функции, действующей из X в У 9 где X и У — произвольные нормированные пространства. Пусть JC е Х . Говорят, что/ : Х -* ¥ имеет в х еХ вариацию по Лагранжу, если для любого h еХ существует предел