книги / Теория механизмов и машин
..pdf2.Закон изменения действующих движущих сил (моментов) или сил сопротивления для одного периода установившегося движения.
3.Средняя угловая скорость главного (ведущего) вала машины и тре
буемый коэффициент неравномерности хода Ô.
При расчете предполагается, что кинематический анализ машины произведен, т. е. скорости и ускорения характерных точек механизма и уг ловые скорости и ускорения его звеньев известны.
Для определения момента инерции маховика по способу Мерцалова необходимо построить графики зависимости приращений кинетической энергии АТ и кинетической энергии звеньев Гзв или приведенного момента инерции механизма Jn от угла поворота ведущего звена ср.
Полную кинетическую энергию машины можно представить в виде:
T = TQ + А Т , |
(3.4) |
где То - постоянная кинетическая энергия, приобретенная в период разго на; АТ - приращение кинетической энергии, которое периодически изме няется из-за неравенства работ движущих сил и сил сопротивления внутри периода установившегося движения.
Полную кинетическую энергию можно представить и как сумму кине тической энергии звеньев и маховика:
Т = ТЫ+ Гзв. |
(3.5) |
Приравнивая правые части выражений (3.4) и (3.5), получим |
|
Тк =Т0 + А Т -Т №. |
(3.6) |
Значение TQнам известно, значения же/(Ги Гзв можно определить.
3.2.Связь между коэффициентом неравномерности
имоментом инерции маховика
Уравнение движения машины в форме кинетической энергии имеет
вид
Л , з б = ^ - |
5 |
(3.7) |
|
2 |
|
где J n, 7П() - приведенный к ведущему звену момент инерции механизма
в конце и в начале рассматриваемого периода соответственно; со, ©о ~ уг ловая скорость ведущего звена в конце и в начале рассматриваемого пе риода соответственно.
Аизб = Ag ~ AC =&А = АТ, |
(3.8) |
где AQ - работа движущих сил; AQ - работа сил сопротивления.
Приведенный момент инерции Jn механизма состоит из трех слагае мых: момента инерции JMмаховика, момента инерции звена приведения JQ и связанных с ним постоянным передаточным отношением механизмов и приведенного момента инерции всех остальных звеньев механизма J3B.
Л* + ^0 + *Лв Ju *^п.зв> |
(3.9) |
где Л.зв = J Q +J3Bприведенный момент инерции звеньев механизма. Первые два слагаемых выражения (3.9) всегда постоянны, а последнее
слагаемое в общем случае зависит от угла поворота ф ведущего звена, т.е. J3B = J3в(ф). Момент инерции маховика JMнеизвестен, и его необходимо определить. Если в уравнении (3.7) со принимает максимальное значение, а соо _ минимальное, то связь между кинетической энергией Г, приведенным моментом инерции Jn и угловыми скоростями сотак и comim будет иметь вид
|
-^изб —•Ai.max ®max |
•Ai.min °>min |
(3.10) |
|
|
||
2 |
2 |
|
|
Выразим сотах |
и comjn через среднюю угловую скорость соср и коэф |
фициент неравномерности хода 5. На основании равенств (3.1) и (3.2) мож но записать:
®шах—®min—6û)Cp, ®max—®min— 2(0Ср. (3 .11)
Сложим эти равенства и решим получившиеся |
относительно сотах и |
|||||||
®min- |
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®тах—®ср0^7^ |
|
|
|
(3-12) |
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
^min- ®cp0— )• |
|
|
(3-13) |
||
Возведем последние два уравнения в квадрат: |
|
|
||||||
2 |
2 |
( |
|
2 _ |
2 |
( |
в2^ |
|
1 S0 |
1- 8 — |
|
||||||
^шах |
^ср |
1 + 8— |
’ ^min |
^ср |
|
|||
|
|
V |
4 |
) |
|
V |
4 |
J |
|
|
|
|
|
Членом |
ввиду малости 6 можно пренебречь, тогда |
Подставляя значения (3.14) в уравнение (ЗЛО) и учитывая выражение (3.9), получим
л |
|
2 |
(Л* + *А) + ^зв min) |
. _ч |
(*^м + *^0 + *Лпах) ’ ®срО + |
||||
Аиз6= |
----------------- 2-------- |
"----------------------- |
2----------- |
‘ ЗЛ5) |
Решая уравнение (3.15) относительно JM, получим
^звтахО |
*^зв min(1-8) |
4 п б = # М > |
(3.16) |
®Cpô |
25 |
|
Если приведенный момент инерции |
звеньев |
является |
|
J n зв = const, то уравнение (3.16) запишется в виде |
|
||
У ц=^Нзб.-(у0 + Узв) = ^ р 6 - / |
|||
м |
2 с |
9 |
"П.ЗВ’ |
|
юСр8 |
®cpÔ |
|
постоянным:
(3.17)
При некоторых практических расчетах, когда величина Уп.зв мала по сравнению с первым членом уравнения (3.17), для определения момента маховика пользуются приближенной формулой:
(3.18)
юср8
В общем случае для всякой машины действующие в ней силы (момен ты) являются функциями трех независимых параметров: положения, ско рости и времени: М =/(ф, со, t).
3.3. Построение графика избыточных работ
Величину (Лизб)шах легко определить, если заданы законы изменения приведенных моментов движущих сил Мд и сил сопротивления Мс. Работа ЛИЗб для различных участков определяется площадями, заключенными ме жду кривыми Мд и Мс, т.к.
|
^2 |
|
Л зб = |
—^с)^Ф > |
(3.19) |
ч>1
где ср, и ср J- углы, соответствующие максимальному сотах и минимально му comin значениям угловой скорости звена приведения.
Приведенным моментом сил называется момент, условно приложен ный к ведущему звену и развивающий мгновенную мощность в данном положении, равную сумме мгновенных мощностей всех сил и моментов, приложенных к звеньям механизма в том же положении машин.
Напишем уравнение для определения приведенного момента, пренеб регая силами трения:
Мпсоп = 2 Ж , - cos (PiVsi)+ t |
МгЩ > |
(3.20) |
|
/=1 |
i=l |
|
|
где Мп - приведенный момент; |
ооп - угловая скорость звена приведения; |
||
Pi - силы, действующие на звенья механизма; Vsl- - |
скорости точек прило |
жения сил; Mi - моменты, действующие на звенья механизма; со,- - угловые скорости звеньев, к которым прилагаются моменты.
Тогда |
|
|
|
|
f .P lVsicos(PiVsi) |
Y M V i |
|
|
Л/п = —-------------------- + —-------- , |
(3.21) |
|
|
03п |
®П |
|
Вычислив по формуле (3.21) значения Мп для 12 положений ведущего |
|||
звена за один |
цикл движения машины, |
строим график |
зависимости |
М с =Хф) и л и |
Мд = Л ф) (рис. 3.1), где М " - приведенный момент сил |
сопротивления, Мд - приведенный момент движущихся сил.
График работ сил сопротивления Ас = J{p) получаем путем графиче ского интегрирования зависимости М ” =Дф), график работ движущих сил
Ад = Л(ф) - путем графического интегрирования зависимости Мд = Дф).
Заметим, что в этом случае при интегрировании значений М " и Мд за
один цикл установившегося движения работа движущих сил равна работе сил сопротивления:
|
Ад = Ас, |
(3.22) |
фп |
Фп |
(3.23) |
J |
M £dф= |М сМф, |
оо
где ф - угол поворота ведущего звена, соответствующий одному циклу движения.
б
в
г
д
Рис. 3.1
Графическое интегрирование выполним в следующем порядке:
1) проведем (см. рис. 3.1, а) вертикальные линии у\, |
> * з , соответ |
|
ствующие серединам интервалов 0-1, 1-2, 2-3, |
, а затем отложим на оси |
|
ординат отрезки Оа = у\, ОЬ =у2, Ос =уз, ... и |
т.д.; |
|
2) на продолжении оси Оф выбирем точку р, причем отрезок Ор = Н назовем полюсным расстоянием;
3) точку р соединим прямыми с точками о.,Ь,с, и т.д.
4)на рис. 3,1, б из точки О в интервале 0-1 проводим прямую Оа' па
раллельно лучу ра, прямую a ' b в интервале 1-2 параллельно лучу рЪ и
5) |
точки а\Ь',с' |
соединяем плавной кривой |
и получаем график |
зависимости работы сил сопротивления от угла поворота ведущего звена: |
|||
|
|
Фп |
|
|
|
А = J Mc"d<P- |
(3.24) |
О
Масштаб работ находится по формуле:
где рм - масштаб моментов, Нм/мм; рф - масштаб угла поворота, рад/мм; Н - полюсное расстояние, мм.
Так как принято, что Мд = const, то диаграмма этих моментов будет
изображаться прямой, параллельной оси абсцисс.
После интегрирования такой диаграммы получим прямую линию, на клоненную к оси абсцисс под некоторым углом а. Поскольку за один цикл установившегося движения работы движущих сил и сил сопротивления равны, то наклон прямой определяется соединением начала (точка О) и конца (точка к) цикла прямой линией. Это построение выполнено на рис. 3.1, б.
Для построения графика избыточных работ Ат Q следует вычесть из ординат графика работ моментов движущих сил ординаты графика работ моментов сил сопротивления. Это построение дано на рис. 3.1, в.
Масштаб графика зависимости Ат^(АТ) от оси çp равен масштабу графика работ, т. е.р^ = (Дж/мм).
Масштаб для поворота ведущего звена рф общий для всех графиков.
3.4.Построение графиков кинетической энергии звеньев
иприведенного момента инерции механизма
Приведенный к ведущему звену момент инерции звеньев
_ Z i 3 B |
_ 1 = 1 |
|
, 1 = 1 |
(3.25) |
||
п ~ |
2 |
~ |
2 |
+ |
||
|
С0П
где Гзв - кинетическая энергия звеньев механизма; соп - угловая скорость звена приведения, (0П= соср; т,- - масса /-го звена; Vsl-- абсолютная скорость центра тяжести /-го звена; Jsi - момент инерции /-го звена относительно оси, проходящей через центр тяжести; со, - угловая скорость /-го звена.
Кинетическая энергия механизма подсчитывается как сумма кинети ческих энергий его отдельных звеньев, а последние, в зависимости от ха рактера движения звеньев, вычисляются по известным из механики фор мулам:
1) для поступательно движущихся звеньев
Г _ |
Щ У* . |
(3.26) |
п ~ |
2 ’ |
|
2) для звеньев, вращающихся вокруг осей, проходящих через центр тяжести,
Т^
•Лу/®/
(3.27)
3) для звеньев, вращающихся вокруг осей, не проходящих через центр тяжести, или совершающих произвольное плоское движение,
|
т/2 |
т 2 |
|
|
Тпл ~ |
si |
J№i |
(3.28) |
|
2 |
2 |
|||
|
|
Взяв с планов скоростей длины соответствующих отрезков для данно го положения механизма, подсчитываем значения кинетической энергии звеньев для 12 положений механизма и строим по ним график зависимости
Т’зв =/<р).
Приведенный к ведущему звену момент инерции звеньев может быть определен через кинетическую энергию звеньев:
J n = % - . |
(3.29) |
со; |
|
Если подставить в (3.29) значение Тзв и соп, то получится расчетная формула для определения Jn в данном положении механизма.
Из соотношения (3.29) подсчитывается значение Jn для 12 положений и строится график Jn=Дср). Вид графика для Jn будет такой же, как и для ГзВ, только в другом масштабе. Построение графика Jn = Дер) аналогично построению графика Гзв =Дер).
3.5. Порядок расчета момента инерции маховика по методу Н.И. Мерцалова
1. По формуле (3.21) для 12 положений машины определить приве денный момент сил сопротивления М " и построить график зависимости
Mç =Дср) при выбранных масштабах р^и рф (см. рис. 3.1, а).
2. Путем графического интегрирования зависимости построить гра фик зависимости работы сил сопротивления Ас от положения ведущего звена, т. е. Ас в масштабе = рмрф// (см. рис. 3.1, б).
Поскольку Мд = const, то, соединив прямой линией начальную и ко нечную точки графика Ас =Дср), найдем график зависимости работ движу щих сил Аа от угла поворота ведущего звена ф, т.е. Ад =У(ф).
3.Построить график зависимости приращения кинетической энергии машины (избыточных работ) от угла поворота кривошипа АТ - Дф) (см. рис. 3.1, в).
4.Составить выражение для подсчета кинетической энергии звеньев механизма и построить график изменения кинетической энергии звеньев
по углу поворота кривошипа Zjg = Дф) в том же масштабе, что и график АТ =Дф) (см. рис. 3.1, г).
5. Вычитая из ординат графика АТ =Хф) соответствующие ординаты графика кривошипа 3^=Хф), построить кривую изменения кинетической энергии маховика (см. рис. 3.1,6).
6. По построенной кривой определить момент инерции маховика:
J м |
(3.30) |
|
<ù?pS |
Таким образом, момент инерции маховика по методу Н.И. Мерцалова определяется по графику кривошипа Гм =Дф).
3.6. Расчет момента инерции по методу Ф. Виттенбауэра (с помощью диаграммы энергомоментов)
Этот метод в отличие от метода Н.И. Мерцалова является принципи ально точным, так как в нем не допускается никаких приближений, могу щих вызвать ошибки при определении момента инерции маховика.
3.6.1. Диаграмма моментов (T —J{Jn))
Исследования многих вопросов движения машины удобно вести по так называемой диаграмме энергомоментов - диаграмме зависимости при ращения кинетической энергии машины Т от ее приведенного момента инерции Jn. Эта зависимость для периодически неравномерно установив шегося движения имеет вид замкнутой кривой, так как значения Т и Уп пе риодически повторяются (рис. 3.2)
Диаграмму T= j{Jn) можно построить для каждой машины, если зада ны силы, действующие на машину, массы и моменты инерции звеньев и начальная кинетическая энергия машины 7Q.
Зависимость между кинетической энергией машины Т, ее приведен ным моментом инерции Jn и угловой скоростью со определяется выраже нием (3.3):
Т = J пв*
2
п |
2 |
2Т |
Откуда со |
|
= — . |
Используя данное выражение, по диаграмме T=J{Jn) легко определить скорость ведущего звена для любого положения механизма. Пусть задан ному положению механизма соответствует точка В на кривой T = f{Jn) с
координатами х,у. Тогда для этого положения T = \xfy, J u =\xJnx - Под
ставляя значения Т и Jn в выражение (3.3), получим
(3.31)
т.е. квадрат угловой скорости ведущего звена прямо пропорционален тан генсу угла наклона луча, проведенного из начала координат в соответст вующую точку диаграммы, к оси Jn. Проведем из начала координат к кри вой Т =J[Jn) Две касательные, охватывающие кривую (см. рис 3.2). Оче видно, что нижняя касательная, составляющая с осью Jn минимальный угол vj/jnin, соответствует comin, а верхняя касательная, составляющееся с осью Jnугол \|/тах >соответствует сотах:
= 2 |
\Хт |
(3.32) |
tgV|/тах » |
||
|
*4, |
|
Таким образом, построив диаграмму Г= ДУП) и проведя через начало координат к кривой касательные, легко измерить углы vj/max и \|/mjn, вычис лить ©max и ©min» а следовательно, и 6. При определении момента инерции маховика Jn необходимо решить обратную задачу - по заданным 5. и ©ср определить Jn.
3.6.2.Порядок расчета момента инерции маховика по методу
Ф.Виттенбауэра
1.Для определения момента инерции маховика необходимо предвари тельно выполнить вычисления и построения, приведенные в пунктах 1-4 подраздела 3.5.
2.По данным графика АТ = Дф) и Jn = /(ф ) путем графического ис
ключения угла ф строится неполная диаграмма A T Она отличается от полной диаграммы энергомоментов Г = / (7П), сами кривые одинаковы. Построение диаграммы АТ =f(J n) показано на рис. 3.3.
3. К кривой АТ =f(Jn) проводим две касательные под углами фтах и Фтт> которые соответствуют ©тах и ©minСогласно уравнению (3.32)
(3.33)