книги / Статистическая механика композитных материалов
..pdfРис. 4. Гистограмма распределения длин проме жутков между волокнами в стеклопластике
Следует отметить, что по своему смыслу рассмотрен ные величины могут иметь только усеченное нормальное распределение. Возможность аппроксимации их распре делений нормальным позволяет упростить ^вычисления моментных функций (см. и. 4).
Близость распределения диаметров стеклянных воло кон в нити к нормальному видна из кривых распреде ления, полученных в работе [30]. Коэффициент вариа ции диаметров находится в пределах 10—15%.
В работе [30] показано также распределение углов между прямыми, соединяющими центры соседних воло кон; это распределение близко к нормальному с пара метрами 50° и 15°, 1.
2. МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
Принципы построения моделей в механике известны из литературы [31—34]. Здесь отметим лишь принципы, полезные для оценки качества различных конкретных моделей: 1) адекватность оригиналу; 2) обсчитываемость; 3) соответствие.
По принципу адекватности оригиналу модель тем более совершенна, чем большим количеством свойств оригинала она наделена. Однако степень близости мо дели к оригиналу не может быть'неограниченной, по скольку всякая полезная для задач механики модель
11
должна быть обсчитываемой (принцип обсчитываемости). В частности, для решения задач типа 0.1—0.3 (см. предисловие) должен существовать математический ап парат, соответствующий свойствам данной модели.
Чем более близка к оригиналу модель по принципу адекватности, тем сложнее построить необходимый для описания ее свойств математический аппарат. Модель необсчитываема, если для описания ее свойств нет под ходящего математического аппарата.
Взаимосвязь между некоторой общепринятой (услов но называемой «старой») моделью и «новой» моделью, более совершенной по принципу адекватности и удов летворяющей принципу обсчитываемости, устанавлива ет принцип соответствия. Суть era состоит в том, что математический аппарат, описывающий свойства новой модели, должен быть более общим по сравнению с тем,
что применяется |
для |
старой |
модели. |
Из уравнений, |
|||||
описывающих |
свойства |
новой |
модели, |
должны |
следо |
||||
вать в некотором |
предельном |
случае уравнения, |
соот |
||||||
ветствующие свойствам старой модели. |
|
модель |
|||||||
Однородная |
сплошная среда. Простейшая |
||||||||
реального |
технического |
материала, |
применяемая |
в ме |
|||||
ханике,— недеформируемая сплошная |
среда |
(абсолют |
|||||||
но твердое |
тело, |
или |
модель |
1.1). |
Для большинства |
задач сопротивления материалов и строительной меха ники нужна более сложная модель — сплошная дефор мируемая среда (модель 1.2).
Понятие однородности* модели 1.2 означает, что лю бые два бесконечно малых элемента объема dV в ис ходном (до приложения внешней нагрузки) состоянии имеют одинаковые физические свойства. В расчетах элементов конструкций эти свойства принято считать из вестными из эксперимента. По классификации Н. Н. Давиденкова и Я. Б. Фридмана [35] они относятся к числу макроскопических. Для решения задач типа 0.2 и 0.3 модель 1.2 непригодна, так как она не имеет харак терных свойств внутренней структуры реальных компо зитов.
Чтобы учесть в расчетах элементов конструкций ха рактерные свойства композитов типа стеклопластиков — низкое сопротивление сдвигу связующего между слоями арматуры и деформированию в направлении, перпен дикулярном этим слоям, можно ввести в модель 1.2
12
дополнительные параметры [36—38] (модель 1.3 в виде анизотропной слоистой среды).
На основе принципа «размазывания» предложена модель 1.4, отличающаяся от модели 1.3 учетом объем ного содержания арматуры [15, 39].
Реальный |
композитный |
материал |
моделируется |
||
сплошной кусочно-однородной |
средой |
(модель 1.5). |
|||
Физические |
свойства арматуры |
и связующего, а также |
|||
геометрические параметры |
«Ьключений» — элементов |
||||
арматуры — задаются вполне |
|
определенными |
(неслу |
||
чайными) величинами и функциями. |
|
пластика |
|||
В^случае |
однонаправленно |
|
армированного |
модель 1.5 представляет неограниченное тело с вклю чениями в виде одинаковых по размерам круговых ци линдров или призм, сплошных или полых, точки пере сечения осей которых с плоскостью, перпендикулярной
оси армирования, |
расположены в |
узлах |
правильной |
|||||||
плоской |
решетки |
(квадратной, |
шестиугольной, |
двояко- |
||||||
периодической и т. д.) |
[7, 14, 40—47]. |
моделируются |
||||||||
Хаотически армированные |
материалы |
|||||||||
упругими сплошными |
средами |
с включениями |
в виде |
|||||||
шаров одинакового |
радиуса |
|
или |
эллипсоидов |
[7, 14, |
|||||
48—50]; |
материалы |
слоистой |
структуры — сплошной |
|||||||
средой, |
составленной |
из |
плоских |
слоев |
арматуры и |
|||||
связующего. |
|
|
для |
изучения |
взаимодействия |
|||||
Модели 1.5 удобны |
между элементами арматуры и связующего, определения концентрации напряжений вблизи границ элементов ар матуры. Они более адекватны оригиналу по сравнению с моделью 1.2, обсчитываемы в рамках классической теории упругости кусочно-неоднородных тел и удовлет воряют требованиям принципа соответствия. Вместе с тем модели 1.5 не универсальны: они применяются для решения задач типа 0,2, но непригодны для задач типа 0.1, поскольку реальные конструкции имеют конечные размеры.
Статистические модели. Модели технических мате риалов, применяемые в механике и физике твердого тела, принято называть статистическими, если для опи сания их свойств применяются методы теории вероят ностей. Статистические модели можно разделить на две рруппы: дискретные и сплошные.
Вдискретных моделях элементы структуры лишь ча
-13
стично связаны между собой по схеме «параллельного» или «последовательного» включения [51, 52]. Модели этой группы полезны для решения многих задач теории прочности, в том числе для описания процедуры разру
шения волокнистых систем “ [И, |
26—28] |
(см. |
также п. |
1 гл. 5). По отношению к модели |
1.2 они лишь |
отчасти |
|
удовлетворяют принципу адекватности |
оригиналу, так |
как не имеют связей между элементами в некоторых на правлениях. Дискретные статистические модели обсчи тываемы в рамках теории вероятностей. По отношению к модели 1.2 они не удовлетворяют требованиям прин ципа соответствия.
Сплошные статистические модели не имеют указан ных недостатков. В дальнейшем, если нет специальных оговорок, имеются в виду только сплошные статистиче ские модели реальных композитных материалов. Такие модели можно классифицировать по относительным характерным линейным размерам компонентов. К клас су Ап отнесем неограниченно большие тела с конечны
ми характерными размерами компонентов, |
к классу |
Вп — конечные тела с бесконечно малыми |
размерами |
армирующих элементов и к классу Сп — тела |
конечных |
размеров с конечными характерными размерами ком-* понентов (армирующих элементов). Индекс п означает число областей, отличающихся порядком линейных раз меров, на которые разбивается данное тело при реше нии статистических краевых задач.
В работе [53], например, изложен метод вычисле ния постоянных упругости поликристалла по известным модулям упругости монокристаллов на модели У* клас са А2. Поликристалл представлен как тело бесконечно
больших размеров, разделенное на |
два типа областей: |
1) с линейными размерами зерен |
поликристалла; 2) с |
линейными размерами, на порядок превышающими раз меры зерен поликристалла. Модель У*6Л2 применялась в дальнейшем во многих работах [1—4].
Модель У*бЛп удобна для исследования физических свойств композитных материалов, но непригодна для анализа прочности элементов конструкций, поскольку ре альные конструкции имеют конечные линейные размеры.
Для этой |
цели предназначены |
модели У* классов Вп |
|
и Сп. В модели У*£ВП величина п — число |
элементов с |
||
размерами |
различных порядков |
малости. |
При /1 = 2 мо |
дель имеет элементы с линейными размерами только первого и второго порядков малости [54, 55]. В модели У* класса Сп обычно* п= 1.
Композитные материалы состоят из армирующих компонентов с конечными характерными линейными размерами и связующего. Поэтому модель У*£СП имеет наиболее близкую к реальным композитам структуру по сравнению с другими моделями. Модель этого типа при менялась для вычисления "постоянных упругости в рабо
те [56]. |
|
|
модель |
Наряду с указанными преимуществами |
|||
V*GC'n имеет следующие недостатки: 1) |
уступает моде |
||
ли |
в отношении обсчитываемости |
(по Ю. Н. Ра- |
|
ботнов'у |
[57]): для описания свойств |
требует |
более |
сложного математического аппарата; 2) применение ее
практически оправдано |
в основном |
для материалов, |
|||
структура которых существенно неоднородна |
(размеры |
||||
элементов структуры сравнимы с размерами тела). |
тем, |
||||
Высококачественные |
материалы |
отличаются |
|||
что имеют сравнительно |
малые |
размеры |
элементов |
||
структуры. Модель Вп соответствует |
композитным |
ма |
|||
териалам, в которых характерные |
размеры |
элементов |
структуры предельно малы, а число элементов структу ры бесконечно велико. По технологическим критериям реальные композитные материалы, близкие по структу ре к модели Вп> имеют наиболее высокие показатели прочности и пластичности.
3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА КЛАССА В2
Элементы структуры. В поликристаллических телах и зернистых композитах размеры кристаллитов или зерен одного порядка. В атом случае под характерным размером элемента структуры (зерна) будем подразу мевать его средний размер.
Наполнители композитных материалов имеют не только зернистую, но также волокнистую или пластин чатую фо-рму. Обычно из волокнистых и листовых ком позитов изготовляют пластины и оболочки.* Минималь ные и максимальные размеры элементов структуры в таких материалах существенно различные. Под харак терным размером изделия здесь будем понимать его
i5
минимальный |
размер — толщину, а |
под характерным |
|
размером элемента структуры — диаметр волокна |
или |
||
толщину армирующего слоя. |
пленок и слоев, |
||
Диаметры |
волокон, усов, толщины |
||
прослоек связующего в композитных |
материалах |
со |
ставляют обычно от 5—10 мкм до 0,1 мм. Это в среднем на 2 порядка меньше толщины изделия. По аналогии с терминами, принятыми для поликристаллических и зер нистых структур, будем называть элементы среды, ли нейные размеры которых равны характерным размерам элементов структуры (компонентов) композитного мате риала, микроскопическими.
Волокнистые наполнители применяются иногда в виде пучков волокон (нитей), жгутов, тканей и т. п., пропитанных связующим. Толщина таких элементов в среднем лишь на порядок меньше толщины изделия.
Структура статистической модели класса В2. Физи ческие свойства в точке тела, напряжения, деформации,
перемещения |
и другие параметры |
состояния сплошной |
|
однородной |
среды классической |
(детерминистической) |
|
механики деформируемых твердых |
тел, как известно, |
||
относятся |
к |
элементарному параллелепипеду dV= |
= dxxdx2dxз. Например, напряжения в точке тела имеют смысл средних напряжений на гранях элементарного параллелепипеда dV Это непосредственно видно из процедуры вывода дифференциальных уравнений рав новесия в теории упругости.
Если все тела VZ£L (реализации статистической мо дели) идеально однородны (не имеют внутренней структуры), для постановки задач механики твердых деформируемых тел достаточно ввести элементы dV од ного какого-либо (например, первого) порядка малости. В этом случае статистическую модель У* будем назы вать моделью класса Вх. Если, кроме того, все тела VzGL имеют одинаковые физические свойства и одина ково нагружены, то модель У* тождественна классиче ской (детерминированной) модели 1.2.
Конструкция статистической модели У* класса В2 в случае зернистого композита аналогична той, которая применяется* для описания свойств поликристаллических металлов [5, 54—59]. Статистическая модель У* при надлежит, по определению, к классу В2) если она состо ит из элементов dlV и dllV с линейными размерами со
16
ответственно первого и второго порядков малости, име
ющих следующие свойства. |
|
|
|
|
Пусть е* (0 < е* |
1)— малая положительная величина; |
|||
I f —.характерные |
размеры |
зерен; |
Д1V = A1л^Д1x2A! х3; |
|
A\ =/.fe*; AliV = A '^ A '^ A 11^ ; |
Аи х; = |
If el |
||
Тогда |
|
dllxt = lim Дпхг; |
||
d1*; = |
lim A1*,-; |
|||
£,-►0 |
|
f,-0 |
|
|
dlV = d'xid'xzd'xz, |
dllV = du xidllx2dux3. |
|||
Далее, элементы dlV имеют свойства |
композитного |
|||
материала. Элементы du V имеют свойства |
компонентов |
|||
-и их характерные |
размеры. Например, в случае волок |
|||
нистой структуры |
наполнителя |
минимальный размер |
||
элемента AUV равен диаметру волокна. |
|
Вследствие того, что элементы dlV и dllV отличают ся порядком малости, нетрудно заметить, что при е*->0 число элементов арматуры в данном элементе А1 V не ограниченно увеличивается.
Статистическое описание модели. Рассмотрим ком позитный материал, моделируемый средой класса В2. Введем следующие предположения.
1.Данный тип структуры может быть воспроизведен
нсколь угодно большом количестве однотипных (оди наковых по форме и размерам) тел Vz, составляющих множество L.
2.Наличие в некоторой точке Л4(х) тела VZ£L, за данной детерминированным радиусом-'вектором х, впол не определенного компонента k не обязательно, однако
событие М (х) 6Lh (здесь Lk— множество точек компо нента ky обладает статистической устойчивостью: для достаточно больших совокупностей тел VZQL частота события M(x)6L/t незначительно колеблется около не которого постоянного числа Ри.
Указанные предположения позволяют считать собы тие M(x)6Lh случайным и применить к его исследова нию аппарат теории вероятностей. Тогда величина Ри есть вероятность данного события, удовлетворяющая основным аксиомам теории вероятностей.
В ряде случаев |
(если, например, имеется один или |
|
Несколько образцов |
нового |
композитного Материала) |
Первое предположение может |
показаться весьма ограни- |
2. Зак. 674 |
17 |
чительным. Однако для |
применения |
методов |
теории |
вероятностей достаточно, |
чтобы имелась лишь |
принци |
|
пиальная возможность |
изготовления |
неограниченного |
числа однотипных образцов со структурой Vz.
3. Пусть М (х) £Lk—случайное событие, тогда свойство 0
в окрестности точки М (х) |
(отнесенное к элементам |
струк |
|||
туры dllV) есть функция |
данного события, |
причем |
такая, |
||
что определено распределение вероятностей |
P(Q<.t) = |
||||
= F(t). Таким образом, |
предполагается, |
что при фиксиро |
|||
ванном х свойство 0(х) |
есть случайная |
величина, |
F (t) — |
ее функция распределения. Величина 0 не обязательно ска лярная, ее можно считать тензором ранга m, a F (t) — функцией совместного распределения 3т составляющих тензора 0.
4. Если х — параметр, изменяющийся на |
множестве Х\ |
|||||
0 (х|), |
0 (х2), |
., 0(х„) — семейство случайных |
величин, |
|||
соответствующих |
произвольным |
значениям |
хи х2, |
., хл |
||
параметра х, то при любом п = |
1, 2, |
существуют функ |
||||
ции совместного распределения |
|
|
|
|
||
F(tu к, |
tn) = P [0 (x 1) < * 1; |
0 (х 2)< < 2; |
|
|||
|
|
0 (x „ )< U . |
|
|
|
|
удовлетворяющие следующим двум условиям: |
|
|||||
а) |
F(tu i2, |
со, |
оо) = F(tlt к, |
tn); |
||
б) |
FXltXt.....х.......Xn (/t, к . |
,tu . |
tn) — функция |
совместного распределения семейства ©(xj, 0 (х 2), ..., 0(х,),
, 0 ( x j, где |
1 |
не меняется при одновременной |
|||
перестановке индексов i у xf и tt. |
|
при |
|||
Сформулированная |
гипотеза определяет 0(х) |
||||
переменном х как случайную функцию. Условия а) |
и б) |
||||
называются соответственно |
условиями |
согласованности |
|||
и симметрии. |
Согласно |
теореме А. |
Н. Колмогорова |
[60], выполнение этих условий необходимо и достаточ но для того, чтобы совокупность функций распределения F(t 1, /2, ..., tn) задавала случайную функцию.
Индикаторная функция множества Lk. |
Случайному |
со |
|||
бытию M(x) £ Lk поставим в соответствие |
число Кк (х) |
та |
|||
ким образом, что Kh(х) = 1, если |
М (х) 6 Lh\ |
Хк (х) = 0, |
|||
если |
М (x)£L/{. |
|
|
|
|
В |
терминах теории множеств Хц{х) |
есть индикатор |
|||
множества Lk. Так как х здесь |
переменная |
величина, |
18
М х) будем называть |
индикаторной функцией. Соглас |
но изложенным выше |
предположениям, это есть слу |
чайное поле. По своему физическому смыслу слу чайное поле Хи(х) задает распределение компонента k в композитном материале.
Из условия, что |
множества L/t не |
пересекаются, по |
||||||
лучаем |
следующие |
очевидные |
свойства |
индикаторов |
||||
|
|
|
п |
|
1, где п — число компо |
|||
(при фиксированном |
х): |
|
||||||
|
|
|
h=l |
|
|
|
|
|
нентов материала; |
[ ] |
Кк = 0; |
Xg = |
Хк, в частности, ХкКт = |
||||
|
|
к=1 |
|
|
|
|
|
|
= |
5;im = |
если к ф т \ |
8кт = 1, |
если'6 = т. |
||||
Распределение дискретной случайной величины Кк зада |
||||||||
ется рядом распределения: Р(Хк =1) = Рк, |
Р(Хк = 0) = |
|||||||
= 1 — Рк, или функцией распределения, |
имеющей ступенча |
|||||||
тый вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F%h (У) = Р , М у - 1) + |
(1 - |
Ph) h(y), |
(1.1) |
||||
где h (у — у') = 0 при «/<«/'; |
h ( y - y ' ) при у > у ' |
|||||||
Производная |
от единичной |
ступенчатой |
функции |
|||||
h(y—у') |
(функции Хевисайда) |
есть функция |
Дирака: |
dy
Плотность распределения fK'(y) случайной индикатор
ной функции Хк (х) в данной точке М (х) тела У* опреде ляется как производная от функции распределения:
К, <»> - |
dFkk (y) |
Phb ( y - l ) |
+ ( l - P h)5(y). |
(1.2) |
||
dy |
||||||
|
|
|
|
|||
Законы |
распределения типа |
(1.1) |
с плотностями |
|||
(1.2) будем в дальнейшем обозначать |
{В} и для |
крат |
кости называть биномиальными.
Случайная индикаторная функция Хк (х) задана в точке М (х) тела У* (статистической модели), если задана функ ция-распределения (1.1) или плотность распределения (1..2). Если рассматривать Хк (х) как функцию радиуса-вектора х,
2* |
19 |
то мерой множества ее реализаций будет многоточечный за
кон совместного распределения FK (уи |
уп) случайных |
величин Хк (х) (при фиксированном х) |
во всех точках дан |
ного тела V*. |
|
В качестве примера рассмотрим статистическую модель |
1/* класса Въ в которой одноточечный закон распределения
Fx (у) случайной функции Хк (х) |
при любом k не зависит |
|||
от х и значения Хк(к) |
и |
Хк (х') |
этой функции в любых |
|
двух точках М (х) и М (х") |
тела |
V* статистически |
незави |
|
симы. Модель этого типа |
применялась в работах |
[61, 62] |
для вычисления модулей упругости композитного материала типа стеклопластика по модулям упругости компонентов и их взаимному расположению. Многоточечная функция сов местного’ распределения значений случайной функции Хк (х)
в точках данного тела в этом случае |
полностью определя |
|||||||
ется, если известна функция распределения (1.1). |
|
|||||||
Величину |
|
|
|
|
|
|
|
|
>%(x) = |
< М Х)> |
= Рк(*) |
|
(1-3) |
||||
при фиксированном |
значении |
х называют математиче |
||||||
ским ожиданием случайной величины Хи(х) |
или ее |
|||||||
средним значением; |
<. |
.> — знак |
оператора |
|
матема |
|||
тического ожидания. |
|
порядка п(п = 2, |
3, |
.) |
случай |
|||
Центральный момент |
||||||||
ной величины %к (х) в точке М (х) |
определяется |
формулой |
||||||
- (1 - |
Pk)nPh + |
( - |
Ph)n(1 - |
Ph)• |
|
(1.4) |
||
Коэффициент вариации равен |
|
|
|
|
|
% = Рь' у Ph( l —Ph) = V p k l { \ - P h).
Характер |
изменения |
и v% |
показан на |
рис. 5 и 6. |
||
Реализации случайной |
функции |
Хк (х) |
являются кусочно |
|||
постоянными функциями. Например, |
в |
точках |
компонента |
|||
с номером |
к имеем Хк (х) = 1, |
а |
в |
точках |
связующего |
или компонента с номером т соответственно Хк (х) =*=0. На границе между связующим и наполнителем функция Хк (х) ^меняется скачкообразно. В сплошной среде эти скачки эквивалентны разрывам первого рода.
В точках разрыва реализации случайной функции Хк{х) вс имеют производных в смысле классического
20