книги / Статистическая механика композитных материалов
..pdfРис. 10. Зависимость коэффициента корреляции значении Р от рас стояния между точками
Рис. 11. Корреляционные функции |
(*(2)) для однонаправленно |
||
го (/, 2, 4) и хаотически |
армированного |
(3, 5) стеклопластиков: |
|
1, 4—в двух направлениях, |
перпендикулярных |
волокнам; 2—под углом 45° |
|
к направлению волокон; 3, |
5—в двух |
взаимно |
перпендикулярных направ |
|
|
|
лениях |
дий произвольного порядка при выбранном расположе нии системы точек© виде
Kln)(xu |
xn) = Kin)(ru |
rs) = D[n)f ( t w )y (1.11) |
||
где |
— нормированная |
моментная функция, |
спра |
|
ведливом, однако, лишь |
для |
«невырожденных» случаев. |
||
На рис. 11 —13 для |
аппроксимации эксперименталь |
|||
ных данных используется нормированная функция |
|
|||
f ( t ' n>) = (cosbl{n) + - j - s i n b t ^ Jexp( —at'n)), |
(1.12) |
где а и b — постоянные, не зависящие от содержания и расположения волокон. По данным эксперимента, для стеклопластиков а = 3,4; 6 = 5,3. По оси абсцисс (см. рис. И —13) отложено приведенное расстояние между точ ками:
t {n) =-
31
f ( t fn))
Рис. 12. Моментные функции третьего порядка распределения эле ментов структуры в однонаправленном (/) п в хаотически арми рованном (2, 3) стеклопластиках (2, 3 — в двух взаимно перпен дикулярных плоскостях)
Рис. 13. Нормированные моментные функции порядка п распре деления элементов структуры в однонаправленном стеклопластике (в плоскости, перпендикулярной волокнам):
/ — /г = 2; 2 — /1=3; «3— /2=4; 4 — /2 = 5; 5— /2 = 6; б— /2=7
где rt = |хр — xq \ ; хр, xq — радиусы-векторы точек; dt —
средний размер волокна в направлении rf; s = C2n число со четаний из п по 2 (число всевозможных расстояний между точками).
Так как размеры волокон и их расположение случайны, то dt = < At ) , где Дг = Д | sirup. |-1; Д — диаметр волокна; ср;—угол межту радиусом-вектором г,- и направлением во локна. Значение параметра dx легко вычисляется, если из вестно распределение диаметров армирующих волокон и
углов между направлением волокна и |
координатными ося |
ми. В качестве примера покажем, как |
вычисляются пара |
метры dt для исследованных стеклопластиков. |
|
Пусть у = | sin ср. I"1, тогда, по определению , |
|
di = №xyfA(x)f{y\x)dxdy, |
|
где /д (%) — плотность распределения |
диаметров волокон ; |
32
f(y \x) — условная плотность распределения углов относи
тельно диаметров волокон. Полагая, что диаметры |
волокон |
||||
и углы |
распределены |
независимо, |
находим |
dt = |
|
= d < Isincpi Г1) , где d = |
< Д > |
— средний диаметр воло |
|||
кна. |
— детерминированный |
угол, |
то искомый пара |
||
Если |
метр di находится сразу. Например, для однонаправленно го стеклопластика, пренебрегая искривлением волокон, при
ср =. 45° имеем dt = d ] / " 2 .
Для стеклопластика с хаотически расположенными в пространстве волокнами угол ср является равномерно рас пределенной случайной величиной. Вероятность события Ф<Ф* пропорциональна площади поверхности сферическо го сегмента единичного радиуса, ограниченной конусом с уг лом ф*:Р (ф < ф*) = 2пс (1 — соэф*). Коэффициент пропор циональности с находится из условия, что вероятность
равна единице. Тогда функция распределения Рф (у) = 1 _ cos у, следовательно, < | sin ф | - 1 > = - у ; dt=
Tiid
“ ~2~ ’
Нетрудно видеть, что для однонаправленного стекло пластика с идеально прямыми волокнами в случае, когда вектор гi направлен вдоль волокон, dt = <х>, т. е. /(2) = 0 .
Отсюда |
(xlf х2) = const относительно |
координаты, от |
считываемой по оси, направленной вдоль |
волокон. Кроме |
того, для стеклопластика с идеально прямыми волокнами отношение rjdi равно отношению проекции rt на‘ плоскость, перпендикулярную направлению волокон, к среднему диаметру волокна. Следовательно, моментные функции зависят лишь от проекции векторов г,- на эту плоскость.
Таким образом, приведенные экспериментальные данные позволяют считать случайную функцию Х(х), описывающую распределение элементов микрострукту ры стеклопластиков рассмотренных типов, статистиче ски однородной.
Далее, из данных эксперимента следует, что для од нойаиравленного стеклопластика с хаотическим распо ложением волокон в пространстве моментные функции не зависят от направления векторов г,-, т. е. распределе-
3. Зак. 674 |
33 |
'Ние элементов |
микроструктуры изотропно в пространст |
||||||||
ве— в |
-случае |
хаотически |
армированного пластика — и |
||||||
в плоскости — в случае одноосно |
армированного. |
На |
|||||||
основании |
|
этого можно |
зависать |
tW = fW[4u |
где |
||||
- |
1 |
|
s |
rt |
—среднее расстояние между точками; |
dx = |
|||
г{п) = |
----2 |
|
|||||||
|
s |
i=\ |
|
|
|
|
|
||
= |
; г* = г ь—для хаотически |
армированного стекло |
|||||||
пластика; |
dt = d\ г* = rt | sin cpv | — для |
однонаправленного |
стеклопластика.
По аналогии с временем корреляции в статистической гидромеханике [63] определим приведенный радиус локаль
ности моментных функций К[п)
Лп) = [М")г 1 f Kln) (7(л>) d7in)
о
или с учетом ( 1 .1 1 )
= |/ ( 7 (л))Жг<п).
О
Подставляя f (t{n)) из формулы (1.12), находим г*л) = = 2adi (a2+ Ь2)-1. После подстановки полученных в резуль
тате эксперимента значений а и b [имеем г*л) = 0,235 d4. Таким образом, «невырожденные» моментные функции, опи сывающие распределение элементов микроструктуры в иссле дуемых стеклопластиках, локальны в области радиусом меньше среднего диаметра волокон.
В силу соотношений, вытекающих из (1.6) — (1.8), радиус статистической зависимости значений i(x) ана логичен радиусу локальности моментных функций соот ветствующих порядков [71].
О моделировании структуры композитов на ЭВМ.
Построение моментных функций и многомерных законов
распределения аналитическими |
и экспериментальными |
||||
методами сопряжено с определенными |
трудностями. |
||||
При аналитическом построении |
возникают |
трудности |
|||
вычислительного |
характера. |
Кроме того, |
необходимо |
||
вводить гипотезы |
о характере |
распределения |
элемен |
||
тов структуры, нуждающиеся |
в достаточном |
обоснова |
|||
нии. Снижение точности оценок |
с увеличением порядка |
34
моментных функций обусловливает необходимость в большом объеме исходной информации при построении моментных функций и многомерных законов распреде ления на основе экспериментальных данных (при этом, естественно, нужно иметь и сам материал). В результа те оба метода оказываются неэффективными для полу чения многомерных законов распределения и моментных функций высоких порядков. Информация, доставляемая лишь моментными функциями первых порядков, 'недо статочна для детального описания структуры компози тов. Наконец, для решения задач оптимизации жела тельно располагать реализациями случайного поля структуры при различном характере расположения элементов. Таким образом, возникает задача моделиро вания структуры, которая может быть эффективно ре шена лишь с помощью ЭВМ.
Ниже анализируются различные алгоритмы моде лирования структуры некоторых типичных композитов с применением ЭВМ «Минск-32».
Задача построения случайного поля структуры одно направленного композита, армирующие элементы кото рого — цилиндрические волокна, сводится к размеще нию случайным образом на плоскости непересекающихся .кругов с заданным распределением диаметров.
Экспериментальные исследования микрошлифов од нонаправленных стеклопластиков на основе жгута ЖСР и эпоксидного связующего (см. п. 1 гл. 1 ) позволяют считать распределение диаметров волокон нормальным. Реализации диаметров — нормально распределенные числа — получали преобразованием равномерно распре деленной на отрезке [0 , 1 ] случайной величины с по мощью розыгрыша Неймана. Для получения равно мерно распределенных чисел использовали стандартную программу («Случ» СМО ЭВМ «Минск-32»). Соответ ствие каждой извлеченной выборки диаметров заданно му нормальному распределению проверяли по критерию Пирсона.
Для удобства анализа круги размещали на единич ном квадрате. Параметры распределения диаметров принимали равными 0,096 и 0,0126. При этом доле пло щади, заполненной кругами (объемной концентрации волокон в композите), Р ж 0 , 6 соответствует около 1 0 0 кругов на квадрате.
35
Однородность получаемых реализаций поля структу
ры проверяли по фактической |
величине Р для |
единич |
|||||
ного квадрата и его частей |
(в том числе по относитель |
||||||
ной длине отрезков |
прямой, |
пересекающей |
круги). |
||||
Кроме того, строили |
корреляционные функции случай |
||||||
ной индикаторной функции |
Х(х) |
подмножества точек, |
|||||
принадлежащих кругам. |
плотность |
кругов |
мала, |
то число |
|||
А л г о р и т м I. Если |
|||||||
их в заданной области |
S |
можно |
считать |
распределенным |
по закону Пуассона с плотностью а и средним aS. Тогда, как показано в работе [65], расстояние от центра данного круга до центра k-то (по расстоянию) круга рк распреде лено по закону, соответствующему распределению %2 с 2k
степенями свободы величины 2пар\. Вероятность |
пересече |
|
ния кругов мала, |
если Р < 0 ,3 . Алгоритм, вытекающий |
|
из данной модели |
размещения, был реализован |
в работе |
[6 8 ]. Его недостаток —ограниченность малыми концентра циями арматуры. Для устранения этого недостатка алго ритм размещения случайных кругов на плоскости допол няется операцией смещения пересекающихся кругов.
Пусть на единичном квадрате расположены п непере-
секающихся |
кругов. |
На |
квадрат помещается |
(/г+1 )-й |
|||
круг. Если он не пересекается «и с одним |
из п кругов, |
||||||
то координаты его |
центра |
фиксируются. |
В противном |
||||
случае от (/г+1 )-го |
круга |
пересекающие его круги ото |
|||||
двигаются. |
При этом |
становится возможным |
пересе |
||||
чение с другими кругами. Если |
передвинутый |
круг k |
|||||
пересекается с кругом. /, то круг |
I отодвигается от круга |
k до устранения пересечения. Этот процесс продолжает ся до тех пор, пока не будут полностью ликвидированы
пересечения. Если заданное |
значение Р не достигнуто, |
||
то |
на квадрат |
помещается |
следующий (л-j-2 )-й круг. |
По |
программе*, |
реализующей этот алгоритм, заполне |
ние единичного квадрата кругами до Р = 0 , 3 достигается менее чем за 15 мин. Поле структуры получается од нородным. При Р>0,3 время счета резко возрастает и определить его не удается, поскольку в любой момент времени t > t { нельзя утверждать, что количество кругов
п > п х. Другим недостатком этого |
алгоритма является |
* В разработке и реализации на ЭВМ «Минск-32» алгоритмов, |
|
описанных ниже, принимали участие А. Г |
Воробьев и О. А- Соловь |
ева. |
* .... . |
36
Рис. 14. Структура волокнистого композита, полученная с по мощью ЭВМ
Рис. 15. Нормированная корреляционная функция модельного поля структуры (t — расстояние между точками, отнесенное к среднему диаметру волокна)
возможность нарушения заданного распределения диа
метров, так как круги могут оказаться |
сдвинутыми за |
||
границы единичного квадрата. |
|
п и |
|
А л г о р и т м |
II. Сначала определяются число |
||
диаметры кругов, |
которые необходимо |
разместить |
на |
единичном квадрате,, чтобы получить заданное значение Р. Далее эти круги последовательно размещаются на квадрате, причем возможные значения координат оче редного круга выбираются до тех пор, пока не будет определено положение, в котором круг не пересекается с уже имеющимися кругами. Продолжительность поиска возрастает с увеличением Р Ее можно уменьшить, если круги размещать, начиная с больших. Заполнение еди ничного квадрата осуществляется быстрее, чем по алго ритму I. Так, при Р ж 0,6 реализация структуры строится за 30 мин. По своим статистическим характеристикам (включая однородность Р и корреляционные функции) полученные реализации структуры вполне соответствуют экспериментальным (рис. 14 и 15).
А л г о р и т м III. На части плоскости, площадь ко торой SS> 1 , размещается необходимое для заполнения единичного квадрата с заданным Р число кругов. Затем
37
круги последовательно (начиная от лежащих в центре) смещаются к центру до касания с ближайшим к пери ферии кругом. По своему физическому смыслу данный алгоритм напоминает операцию образования жгута из. элементарных волокон. Формирование реализаций поля структуры осуществляется значительно быстрее, чем по алгоритму II. Например, заполнение единичного квадра та до Я = 0,6 осуществляется всего за 5 мин. При боль ших Р поле структуры получается однородным, однако при малых Р плотность заполнения периферии значи тельно меньше, чем центральной части области.
А л г о р и т м IV Заполнение единичного квадрата кругами осуществляется «послойно». Для каждого оче редного круга /г, помещаемого в слой /, задаются (как реализации случайных величин) расстоянияот круга с номером п—1 , находящегося в слое /, и от круга /г, на ходящегося в слое /—I. Алгоритм позволяет быстро по лучить реализации структуры для Р > 0 ,6 , причем время счета и однородность поля структуры практически не зависят от Р. Статистические характеристики модель ного поля структуры, построенного по данному алгорит му, соответствуют найденным экспериментально.
А л г о р и т м V |
Непересекающиеся |
круги размеща |
ются на плоскости |
последовательно, |
один за другим |
так, что все возможные положения равновероятны. При этом положение круга зависит от его номера, а распре деление диаметров размещенных кругов может значи тельно отличаться от исходного, так как из-за пересече ний наиболее часто отбрасываются круги большого диаметра [65].
Проблемы, возникающие при решении трехмерной задачи (например, задачи о размещении непересекающихся шаров в пространстве), принципиально не отли чаются от проблем, с которыми приходится сталкивать ся при размещении кругов на плоскости. На ЭВМ «Минск-32» был реализован алгоритм моделирования структуры композита, наполненного сферическими эле ментами, аналогичный алгоритму II. Продолжитель ность получения реализаций структуры по сравнению с продолжительностью размещения кругов на плоскости возрастает, особенно при Р>0,3. Так, реализация структуры в виде единичного куба, заполненного на 0 , 3 объема шарами, диаметр которых имеет нормальное
38
распределение с параметрами 0,096 и 0,0126, была по лучена зз 40 мин. Структура модельного композита, как и в плоском случае, однородна.
5. с л у ч а й н о е п о л е с в о й с т в
Функции распределения и моментные функции. Пусть элементы структуры композитного материала таковы, что в пределах данного элемента свойства постоянны относитель но координат, но не обязательно постоянны относительно направлений и могут быть различными для различных эле ментов структуры. Тогда свойства произвольного компонента
k в заданной точке М (х)—случайные величины 0 (*° |
Свой |
ства материала 0 (х) в данной точке равны0 (/1) при |
условии, |
что в этой точке находится компонент k, т. е. Xk (х) = 1. Иначе,
0 (х) = 0 |
(А) с вероятностью Ph. С учетом этого случайную |
||||||
величину |
0 |
(при фиксированном х) можно |
выразить через |
||||
индикаторные функции Xh(х) |
в виде |
|
|
|
|||
|
|
е (х ) |
= 2 |
©(й)м * ) - |
|
(1.13) |
|
|
|
|
н=\ |
|
|
|
|
Если |
х — переменная величина, |
то формула |
(1.13) |
||||
задает случайное поле |
свойств, причем |
координатная |
|||||
зависимость |
этого поля |
полностью |
определена |
коорди |
натной зависимостью случайного поля структуры, т. е. функций X/t(x). С другой стороны, .чтобы задать распре
деление случайной |
величины 0 в точке М(х), надо за |
|||
дать условные распределения величин 0 <Ч |
|
|
||
|
Пусть |
|
|
|
|
P [ B ( x ) < t \ К (х) = 1] = Р (0 (А) < 0 |
= Fh (t), |
|
|
где |
Fh(t) — функция |
распределения случайной величины |
||
0 <А), заданной на множестве Lh. Тогда по |
формуле |
пол |
||
ной |
вероятности |
|
|
|
|
Fe (/) = P [0 (x )< f] = ' % P hFh(t). |
(1.14) |
||
|
|
k = l |
|
|
Здесь F&(t) — одномерная ф ункция распределения свойств
В точке М (х); Ph = Р (Kh = 1).
39
Дифференцируя выражение |
(1.14) по t, для |
плотности |
||
распределения получаем |
|
|
|
|
|
ы о |
= 2 |
л л (о . |
о - 15) |
|
|
л=1 |
|
|
где fh(t) — условная плотность |
распределения |
случайной |
||
величины 0 при условии Xk = 1 , т. е. плотность |
распреде |
|||
ления |
величины 0 (ft) |
|
|
|
В |
случае детерминированных тензоров свойств от |
|||
дельных компонентов |
в лабораторной системе коор |
|||
динат (Xi) выражение (1.13) принимает вид |
|
|||
|
0 ( X) = |
2 c(ft)M x )- |
( 1Л 6) |
|
|
|
h=1 |
|
|
В заданной точке М(х) случайные величины Яь(х) имеют функцию распределения (1 .1 ) и плотность рас пределения (1.2). Тогда по формулам (1.15) и (1.16) получаем следующие функцию и плотность распределе ния свойств 0 в точке М (х):
Fe (t) = % P hh ( t - C w y, |
(1.17) |
|||||
|
h=1 |
|
|
|
|
|
/е (0 = |
2 |
Р'‘б (/ - |
С(А’)- |
(1Л8) |
||
|
|
k=\ |
|
|
|
|
Математическое |
ожидание |
случайного поля |
свойств |
|||
0 (х) при условии |
статистической |
однородности |
посто |
|||
янно относительно координат: |
|
|
|
|||
с = < 0 > |
= |
2 |
Р *С(А) |
( 1Л 9) |
||
|
|
|
k=\ |
|
|
где C(ft) = < ©(ft) > .
Моментные функции случайного поля 0 (х) находятся по известному правилу:
Kem) (xt, |
хт ) = < [ 2 e i fc)Xft( x , ) - C 1 l . . . |
|
1 |
40