книги / Сфероволокнистые композиты с пространственной структурой

(‘ - Я '

Э ,. д ( - © , / - г ) = ( » - г ) д-1

Г[А(п+1)]

Параметры Л сьо. устанавливаются по данным экспериментальных исследований. Для некоторых полимеров с жесткой молекулярной структурой ранее установлено [29]:

X = 0.5; й>0 =0.052г \ ®яо = 0Л 2 гк (15.3)

Для построения операторов ползучести сферопластиков используем приближенные формулы для интегральных модулей и принцип Вольтерра, в соответствии с которым операторный модуль сдвига будет:

	А*
	С			(15.4)
	— =
	О
(7- 5ус )(1 - в	)[8 + Ц с - 5(2 + $с)у	] + в(1 - ^	)| 7— - 5у	—
			Сп	О,
(7 - 5^с)(1 - в		С	- 5(1+ 2{с)у	* с
	Х1-^)(8-Ю^ ) +« (7 - 8^с)			—
				Ос
а - 7 - 5 у с + (8 -1 (Ь 'с)*3,		а>3 = - а

Индексом “с" отмечаем величины, относящиеся к сферическим включениям. Используя известные формулы для преобразований операторов, получим

у'С = у0С0 3<в' •^1-д(-й)з)

у0(2 +2у0)

(15.5)

с помощью найденных и известных операторных соотношений преобразуем числитель и знаменатель

(15.4)

С - _ С - а * 1 + а 'Э'-л	+ а2Э'~х(й>3)	(15 6)
А>		‘

Здесь используются обозначения

3

= (7 - 5исХ1 - * )[8 + 7^с - 5^0(2 + Сс)] + а(1 - <ГСХ7 - 5у0)—

О 5^0(2 + С )(7-5* X I ) ( 1 - 2 у0)

= 5аа,0(1-С Х ^ 0)-^«--

__с_______ с_________________

а

А) = <7 ~ 5*СX1 - XI- СсХ810у0 ) + а[7 - 5у„ - (8 + Юу0 )$с]—

АА> = <“ >0<7 “ XI + ) ~ + 5<и0 (7 - 5^ XI - 2у0XI - е*XI - $с)

Сс

АА,=Зш,а(6+С,Х1 + ^ ) - , § -

Ос

Знаменатель оператора (15.6) преобразуем согласно соотношения

[1- ДЭ,_А(-<») А^-лС^з)] 1 -1 + я,Э*_я(й),)+ а2Э,*_А(а>2)

2®и=А +А -й>+©з ±>/(А-А-©-1»з)г+4ДД

а» = ( - 1)**'(® +® «Ж -®,Х®,

Опуская громоздкие преобразования, приводим окончательный результат для операторного модуля сдвига сферопластика, применяемого для исследования процесса релаксации напряжений:

	о '= о °		н - Е а,э ;.лю		]	(15.7)
		I	*=1		^
л* =в|	1 - 2+2у0		йК+й>,			к = 1,2
	1 - 2 к , 1Н-й)л
,	й>0ш*2	(1 - 2 у0)		а = а ,		0 0 ?!
и -----------	2— 2	ч-------	о/-------
Ь	(2 + 2V,))(бУ, - й)3 ){со2 - й)3)			4		а-©о

Обратный оператор (О*)-1, применяемый для описания процессов ползучести сферопластиков, можно получить обращением оператора (15.7). Однако, несколько проще искомый результат получается преобразованием формулы (15.4)

Рк =Ък	_ а —	Ч "о л )
	I
	йН-Й>*	«В,®+а)*

Рз =	<ув +л1 й)в +а2>	(15.8)
а2±^(а2	- 0)-<и3)2 +4а,а	2

** =(-0Ы (®+<»»Х<»*-®з)(®1 -®2)-1

Для приближенного исследования простой ползучести или релаксации напряжений будем использовать упрощенные аппроксимации

^1*-л(_<» )1*-—^-ехр(-е>ДА/А^ (15.9)

В случае сдвиговой ползучести при действии постоянных напряжений общая сдвиговая деформация композита будет

912	=
+РэЭ,_Л(-а»,/-т)Ц
Используя аппроксимации (15.9) при		найдем
длительный модуль сдвига сферопластика

2. Трехосное растяжение тел на практике, как правило, не реализуется, но, согласно опытным данным, при всестороннем гидростатическом давлении объемное расширение изотропных сред чисто упругое. Для сферопластиков ниже принимается аналог гипотезы для однородных сред, а именно, объемное расширение сферопластика с гексагональной структурой является упругим. Последнее эквивалентно условию

	К ' =	Е*	= *о	(15.10)
		3 ( 1 - 2 0

Откуда следуют искомые операторы

(15.11)

2^ 3К„+в')

ЗАГ.+С*

Значения мгновенно-упругих параметров для сферопластиков рассматривались ранее [58]. Операторы (15.11) выражаются через один

Р а

х________________1+Д1Э1_^(-а>)н.д2Э;-д(а>3)

3*0(С*)"1П- Р\э\-Х(-«) “Р2Э\~К(®3)]+ — [I +	(-») +а2Э*_д (<и3)]
А>

Последний путем преобразований с учетом (15.1), (15.5) и (15.6) приводим к виду

—;----— = —-—!г-г—X

	з к 0 + о '	зК 0 +Ст0
	х_____ 1+дД .д (-й>)+а2э,_д (й?з)______
	1"	Н О " ^аЭ;_д (-0 .) - азЭ1, (о>з)
^	аД-ьз^дд-гУоХг+гио)-1
1		3*0 +С 0
4	3^оа	Р\__А Л	4 -	« А
г	з4 + О01. ®0 " /		3	3 ^ „ + с 0

Путем численных расчетов для интересуемых значении структурных параметров установлено, что коэффициент </? более, чем на два порядка превосходит ^ и й3. Учитывая, что реономные параметры операторов он, он*, и (о3 соизмеримы между собой, дальнейшие преобразования

оператора (15.12) ведем в приближении	=0 , с!3 =0, ё2 =с1:
6'(ЗК0+ С V = -. а ° . х	(15.13)
ЗК0+С0

х[1+^ э‘-(-в)+^ э«(шз)+'й-(‘,-ш-)]

Приводим окончательные выражения для основных операторов

х[1+^ э'-з("й,)+^ э“(й’)+^ (‘,_а>*)}

а = 1	+ _ 2 ! _ + ^ _ ‘
|_	©о +4 а+ 4

Обратный операторный модуль Юнга сферопластика строим с использованием указанных упрощений

			э 1 х Ш -
			*+0>к]
1	»*»	Ьг	ЭГ_д(-0«)
		»
^	а»! +а)в	й>\ +©«,,

Длительный модуль сферопластика определяем помощью аппроксимации (15.9)

1 = 1 _1_

(15.15)

4 Е*ЁФ

^0	'	' I в). ) Ют
	V*»!	)

Построение других операторов следует вести с использованием промежуточных соотношений типа (15.6), (15.12) и других. Определим операторный параметр Ляме на основе (15.11) и (15.7)

>г=л1 - Т1С1г Е3 а»э « Ю 3Я0 *•!

Следует иметь в виду, что для расчета конструкций из композитов могут быть использованы подходы нелинейной вязкоупругости ( Например, метод аппроксимации А.А.Ильюшина [58]).

3. Введение жестких включений в полимерную матрицу приводит к снижению интегральных неупругих деформаций композитов. Для сравнения на рис.24 приведены данные расчетов развития во времени деформации при простой ползучести при сдвиге одинаковыми напряжениями однородного полимера (кривая 1) и сферопластика (кривая 2).

Рис.24

х[	1+Х!а | 5 1_д (<у*,Г- т)с1д +р3} Э,_д(-а„,I- т)4д
I	к=1 0

=[<1а(т) - Яь(т)]с1т

Вслучае простой ползучести да и дъ не зависят от времени, и приближенные формулы для смещений легко выписываются на основе вышеприведенных аппроксимаций.

Рис.25