книги / Сфероволокнистые композиты с пространственной структурой

находим формулу для усредненных компонентов тензора напряжения

=	+*><&№ йпШШ<р
	"О 5
	П, = агсозв - <тгвзт в	(6.10)

П2 = <ТГ5Ю0СО5^Р + &г0СОЗ9 СОЗ(р- СГ'ф5Ш <р

П3 = а т5Ш031П <р+ СГгдСОЗ08Ш (р+ <7^ со$д>

Формулы для усредненных деформаций вытекают непосредственно из соотношения (6.8) при использовании результатов усреднения (6.10). Для состояний с симметричной структурой усредненные деформации системы определяем согласно (6.8) при замене под интегралом напряжений по формулам вида (5.5), где однородные напряжения сг°л заменяем на усредненные

, = — ^(мг соз2 9 - идсозЯзтб?)/^$тШШ<р (6.11)

К$

ё2 = — з т 29 соз2 <р+идсоз<9з т ^ соз2 ф)й$ з\х\9ЛШ<р

К&

ё3 = — §(иг з т 2 9зт 2 р+ ид соз0$т0зш 2	з т ШШ<р
К з

Здесь учтено, что рассматривается осесимметричное состояние системы при растяжении, когда ир = 0. В случае сдвигов вследствие симметрии структуры системы достаточно ограничиться рассмотрением сдвига

в одной плоскости. Используя соотношения усреднения (6.4) при сдвиге в плоскости х/Ох^ а также в других плоскостях, получим формулы для усредненных углов сдвига в виде

у12 = — ^(иг5т20СО59> + Ыв СО$20СО30>-М?>СО$051П<р)х

К$

хД02 зт ШШ(р

/ 13 = — $(мгзт205т0> + ив соз20зтФ+ирсо80соз$>)х

'О	5
хД ^зт ШШ<р
Г23 = —	5V	иг з т 2*39 з т 2<р+ ив 8*П ^	з т 2(р+ м, соз 0 соз ф ]х
^0		2	У

х Д ^зт ШШф

(6.12)

3. В сфероволокнистых композитах условия усреднения сводятся к вышеприведенным соотношениям для каждой составляющей компоненты материала. В случае системы волокно-матрица - это круговой цилиндр с осью, совмещенной с осью волокна, а для системы сферическое включение-матрица это равновеликая сфера, центр которой совпадает с центром включения.

Так как в рассматриваемом приближении не учитывается взаимное влияние рассеянных включениями полей, то усреднение всего состояния путем суммирования результатов усреднения по раздельным поверхностям не может привести к недоразумениям, так как конечный результат зависит только от относительного объемного содержания каждой фазы.

§ 7. Упругость сферопластиков

Задача об определении эффективных постоянных и внутреннего поля в системе сферические включенияматрица рассматривалась в ряде работ [12, 72, 82]. Их результаты использовались многими авторами для изучения среды со сферическими включениями. В 1974 г. Головчаном В. и Кущом В. рассмотрена задача об определении упругих постоянных и внутреннего поля упругой среды с одинаковыми сферическими включениями, образующими кубическую решетку. Решение построено с помощью вектор-функций, удовлетворяющих уравнению Ляме. В 1985 году Г.А.Ваниным, используя метод последовательной регуляризации в приближении однородного взаимодействия включений, найден полный комплект упругих постоянных сред со сплошными, полыми сферическими и эллипсоидальными включениями [12]. В 1995 году вышла работа [173], в которой представлена модель пространственной ячейки для описания деформированного состояния в произвольной точке композиционного материала. В модели использовалось разбиение на конечные элементы куба единичных размеров. Считалось, что граничные условия в перемещениях периодические, и ячейка может рассматриваться как представительный объем материала. С помощью модели определены границы изменения характеристик упругих анизотропных композитов, содержащих жесткие сферические включения или сферические поры. Но все эти известные результаты пригодны только для малого объема содержаний сфер, и при этом не учитываются взаимодействие включений с матрицей.

А = (1+2а - р)(\ - 30У' (1+ За)'1

В = (а +р )(\-З р Г (\+ З а Г

(7.3)

Из вида системы (7.1) и (7.3) следует, что рассеянные поля возникают на взаимно-перпендикулярных площадках, на которых отсутствуют средние напряжения, и дают вклад в усредненные напряжения на этих площадках. Например, если усредненные напряжения аг - аг = 0, то однородные напряжения

° 2 = обеспечивают это условие. Учитывая решения

(5.7) и (5,11), после операции усреднения (6.11), приходим к системе алгебраических уравнений

(7.4)

Е + Е

Е

Суммируя правые и левые части уравнений (7.4), получим

+ е 2 + е г = (ст,° +сг2° +<т3°)			3 К	(7.5)
откуда из (7.2) и условия
5, +		<т. +<х, +<т.
		+ $3 = “
		3*	3 ^ ( 1 + З а )
здесь ^	эффективный модуль		среды с полы
сферическими включениями
- „1 + « И ( 3 * Г ‘ „ 1 + С Л				(7.6)
Г " ЛГ		1 - ^

П = 4СЦЖ) ' 1

Для определения других эффективных постоянных рассмотрим состояние простого сдвига в плоскости Х ]0 х 2. Опуская громоздкие выкладки, связанные с решением алгебраических уравнений, получаем

&и =ст“ [1 -С (7 -5 и )Я ]			(7.7)
Г п - ф Ь +С.<*-1СИ»]
	О
Соотношения для	напряжений	<7;*	и деформаций
сдвига уц, у23,	подобные	вышеприведенным,

устанавливаются по аналогии. Эффективный модуль сдвига С среды на основании формул (7.7) будет

А _ а

1-ЗД

с 1 -С (7 - 5 у)Я

(7.8)

1+2О(щ +х0) 1+С(»-10,/)я

Другие эффективные характеристики стеклопластиков устанавливаются с помощью формул (7.6) и (7.8) и известных соотношений между упругими постоянными для изотропного тела

Л ЪК- 2 0	1
V ------- з---- — = —X
2(ЪК+С)	2

.. 3(1+За)[1+2в(о)0 + Хо)\- 2(1- Ър){К~{ +За)0-6 Хй)О

3(1+3«)[1+20К + Х0)]+ (\-Ш К ~' +3<э0- 6 Х0)О

р _ 9КО _

(7.9)

3К + 6

% \+ Ъ аХ\-Зр) 6

3(1+Заг)П+20(ль +дгоМ +а-З^ЛГ* +3а>0- 6 Хо)С

Отметим, что погрешности при использовании формул связи между упругими постоянными, растут по сравнению с соотношениями, полученными непосредственно при определении модулей методами усреднения. Как видно, при гексагональной упаковке одинаковых сферических включений, число существенно независимых упругих постоянных равно двум, как для изотропного тела. Влияние разброса геометрических параметров дисперсных частиц при известных функциях их распределения находим с помощью формул усреднения, в которых сумму поверхностных интегралов по ячейкам, на который разбит представительный объем У0, заменяем суммой по состояниям [13]. Символически эту операцию запишем так

У0 = Ио0; ( /) = / ; 8 о- условная поверхность. При учете

разброса параметров матрица с частицами становится стохастически неоднородной средой, механические характеристики которой определяются средними значениями, их дисперсией и т.д. Построение решения этой задачи требует новых методов. В дальнейшем определяем только первый момент, чтобы в какой-то мере оценить влияние дисперсных параметров включений на эффективные характеристики. ‘В случае, когда полые частицы одинакового внешнего диаметра имеют разброс по толщине согласно распределениям (2.3) и (2.4), влияние разброса оцениваем на основе параметров

ж- \ +ЗК(40е)~1- (3 ^ + 4 0 ) ^ - ^ ( ( 1- ^ 3) '1)

(7.11)

7-5ис +(8-10ус)—

6 *

(8 - 10и)(7 - 5ус ) + (7 - 5усХ« - Юус ) -

(7 - 5усХ1515ус) + (8- 10ус)(1- 5у) +(14-10*0(8 - Юу ) —

к_^__________________________________________ Ос_

° С |^8- 10у+ ( 7 - 5у) ~ |^ ( 8 - 10уХ7- 5 ус ) + ( 7 - 5у)(8- 10ис) ^

(8 -10у)(7 - 5ус) +(7 - 5у)(8- 10ус) -

Рг~-

(7—5ус) 8 -10у + (7 -5 у)—-

О,

Для распределения (2.4) прирк < 1, к = 1,2 следует

р{е)<1е	и (5+^+2),/
о 1 -А ^ 3
((1 -А *3)Ч) = /	У р ’ - У Ь . .

Здесь обозначим: (а)зк = а(а + 1)... (а + З к - 1)

Используя функцию распределения (2.2), аналогично вычисляется влияние разброса внешних диаметров включений на механические характеристики композита в приближении статистической независимости случайных величин. Формально многомерные функции распределения могут быть построены на основе обобщения четырехпараметрических функций типа (2.1), однако пока отсутствуют данные, на основе которых исследуется влияние одной величины на изменение другой.

В работах [72,149] предложена формула, пригодная для усреднения компонентов состояния в композиционных средах. В ряде работ эти соотношения даже вводятся в категорию принципа Эшелби. Формулы, найденные Эшелби, преобразуют интегрирование по объему элемента матрицы с включением в интегралы по поверхности некоторого вида. Указанная формула имеет вид

( 8. 1)

х.

Рис. 9

8 0 - поверхность включения, Щ - энергия однородного (без включения) выделенного объема (рис.9). При этом выводе предполагалось, что напряжения сг,° на

поверхности тела известны и постоянны. Однако, применяемая нами формула усреднения для сферы (6.8) построена на том, что напряжения <х° неизвестны, хотя и