книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

6.2. Параметрическая аппроксимация

161

совпадающие с равенствами (6.10) для ДА,-. Таким образом, наилучший параметр должен отсчитываться вдоль ломаной, соединяющей заданные точки (xi,yi). Обозначим его, как и ранее, через Л.

Заметим, что при вычислении aj, fij в правых частях равенств (6.22) был взят знак плюс, соответствующий минимуму функции Лагран­ жа. В этом легко убедиться, вычисляя второй дифференциал функции Лагранжа d2L и пренебрегая членами с квадратами и произведения­ ми Ах, Ау. Тогда соответствующая квадратичная форма примет вид

П—1

(6.24)

i=l

Возводя равенства (6.20), последние слагаемые которых перенесем в правую часть, в квадрат, и складывая их с учетом соотношений (6.17), получим

Здесь при вычислении корня мы выбираем знак плюс, соответ­ ствующий положительному приращению Apj и aj, /3,-, вычисляемым по формулам (6.23), (6.22). Поэтому квадратичная форма (6.24) бу­ дет положительно определенной, что соответствует минимуму функции Лагранжа (6.18). Заметим, что при этом значения параметра pi, вычи­ сляемые по формулам (6.15), будут положительными.

Очевидно, что доказанное условие минимума функции Лагранжа является так же и достаточным. В самом деле, если параметр Л является длиной вышеописанной ломаной, то направление каждого звена этой ломаной будет задаваться вектором, компоненты которого вычисляются по формулам (6.22), которые доставляют минимум функции Лагранжа (6.18). Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 6.1. Для того, чтобы многочлены (6.13), определяющие па­ раметрическую аппроксимацию, наилучшим образом приближали ап­ проксимируемые точки (xi, yi), г = 1,п, необходимо и достаточно в качестве параметра р принять длину ломаной, соединяющей эти точки.

В качестве примера рассмотрим аппроксимацию точек, равномерно расположенных по дуге полуокружности единичного радиуса. Ошибку

162 Глава 6. Параметрическое приближение

обычной аппроксимации Л) и ошибку параметрической аппроксима­ ции Дг будем вычислять по формулам

( П

	Al = |Е [ » |- ^ ( * < ) ] 2|	.
д2 =	{ £ [ * . • - В Д ]2}1/2+ {е [ v i - Y ( \ ) ]			24 */2
				2)j
		На рис. б.б представ­
	лены результаты аппрок­
	симации			девяти			точек,
	равномерно расположен­
	ных по полуокружности,
	параметрическими						мно­
	гочленами (6.13) шестой
	степени. Ошибка						обыч­
	ной аппроксимации Д(
	равна 0,072. Ошибка па­
	раметрической					аппрок­
	симации с использовани­
	ем	наилучшего				параме­
	тра Л — длины ломаной,
	соединяющей эти точки,
	равна		т т Д г		=		0,0072.
	Кривая		1	демонстрирует
	изменение ошибки при
	отклонении значения па­
	раметра ВТОРОЙ ТОЧКИ Ц2
	от	наилучшего значения
	Л2. При			этом	значения
	параметра & для осталь­
ных точек (i =	1,3,4........9) оставались равными наилучшим значени­

ям А;. Кривые 2, 3, 4 показывают, как меняется ошибка Дг в ана­ логичной ситуации при отклонении от наилучшего значения параметра в точках 4, б, 8, соответственно.

На рис. 6.7 показано, как ведут себя ошибки Ai (пунктирная линия) и Дг (сплошная) в зависимости от степени т аппроксими­ рующих многочленов и числа п аппроксимируемых точек. Кривые 1, 2, 3 соответствуют значениям п = 9, 15, 33 соответственно. В свя­ зи с рекомендациями, высказанными в [64], здесь мы ограничились аппроксимирующими многочленами до шестой степени включительно. Преимущество параметрической аппроксимации очевидно.

6.3. Непрерывное приближение

163

6.3. Непрерывное приближение

Пусть приближаемая кривая АВ задана неявно посредством вы­ ражения (6.4), а аппроксимирующие функции — параметрическими соотношениями

	x = X(fi), y = Y(fi).	(6.25)
Задача заключается в том, чтобы найти такой параметр ц, при ко­
тором интеграл	JF2(X(fi), Y{n))dp
		(6.26)

АВ

достигал бы наименьшего значения.

164	Глава 6. Параметрическое приближение
	Пусть интеграл (6.26) является пределом при п	оо интегральной
суммы
	и—1

1=1

где /и,- и Д/1, вычисляются по формулам (6.15), (6.16), а коэффици­ енты or,-, Pi удовлетворяют равенствам (6.17), причем выполняются соотношения (6.S).

Тогда проблема сводится к исследованию на экстремум функции

Лагранжа

п-1

1> = (Тп + У ] 'У»( — 1 + <*? + P i ) - 1=1

Экстремум этой функции возможен в точках, удовлетворяющих условиям

8 L	d f ( t i i )

—= Y: - T — LAfiiAxj + f(fij)Axj + 2'rjaj = 0,

	OOtj	i=j+l	Ofij	(6.27)
	d L		8 f l u 1
		£		+ 27^- = 0.
	5ЙГ=		-д -^ Д Д ,Д ^ +
	OPj	,= j+ l	Oflj

Здесь введено обозначение /(/*<) = F2[X(/*<), Y(m)\, * = 1, n - 1.

Если в равенствах (6.27) последние слагаемые перенести в правую часть и разделить полученные выражения одно на другое, то приходим к соотношениям (6.21). Если теперь почти дословно повторить те рас­ суждения, которые приведены в предыдущем разделе при доказательстве теоремы 6.1 и перейти к пределу в интегральной сумме при п —» оо, то будет доказана следующая теорема.

Теорема 6.2. Для того, чтобы интеграл (6.26) достигал наименьшего значения, необходимо и достаточно в аппроксимирующих выражениях (6.25) в качестве параметра р принять длину А кривой (6.4).

В качестве примера рассмотрим аппроксимацию параболы, заданной на отрезке [0, 1] неявно в виде

F(x, у) =	у - х2 =	0.	(6.28)
Представляя функцию х 2 на	отрезке	[0, 1] в виде	ряда Фурье

по косинусам, получаем решение задачи обычной аппроксимации в виде

ОО
У = £ « „ cos(nx*),	(6.29)
П=0

6.3. Непрерывное приближение

165

где

Понятно, что при численных исследованиях приходится в (6.29) ограничиться суммированием до некоторого конечного значения п, равного т. Ошибку обычной аппроксимации А( будем определять по формуле типа (6.26)

(6.30)

Функции (6.25), задающие параметрическую аппроксимацию, най­ дем в результате интегрирования задачи Коши (6.8) с функцией F(x, у), заданной в виде (6.28), и нулевыми начальными условиями ж(0) = у(0) = 0. Ошибку параметрической аппроксимации Дг будем вычислять по формуле типа (6.26)

АВ

Интегралы (6.30), (6.31) вычислялись методом прямоугольников чи­ сленно, причем интеграл (6.31) вычислялся совместно с интегрированием

задачи Коши (6.8). Значение интеграла (6.30) Д] = 0,167 • 10-3, соот­ ветствующее значению т = 5, стабилизировалось при шаге вычисления, равном 0,002. При т = 10 Д 1= 0,24* 10-4, а при т = 20 Д] = 0,36* 10-5.

Как и следовало ожидать, интеграл (6.31), вычисленный при том же

шаге 0,002, оказался равным Дг = 0,341 • 10-12, что существенно меньше значений Д{, полученных выше.

Таким образом, проведенные исследования показывают, что параме­ трическое приближение с выбором наилучшего параметра обладает рядом достоинств по сравнению с традиционным способом приближения.

Глава 7

Нелинейные краевые залачи лля обыкновенных дифференциальных уравнений

В предыдущих главах были рассмотрены примеры наилучшей пара­ метризации в задачах, решением которых являлись простейшие однопа­ раметрические множества — кривые в евклидовом пространстве. Здесь мы рассмотрим более сложный случай — нелинейную краевую задачу для ОДУ с параметром, решением которой является однопараметричес­ кое семейство кривых.

Возможны различные подходы к решению нелинейных краевых задач. Широкое распространение получили проекционные и вариацион­ ные методы типа методов Бубнова и Ритца, а также разностные и ва­ риационно-разностные методы, такие, как метод конечных разностей и метод конечных элементов. С помощью всех этих методов нелиней­ ные краевые задачи сводятся к системам нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений с параметром, для решения которых непосредственно применимы алгоритмы продолжения решения по па­ раметру, разработанные в главе 1. Поэтому мы не будем рассматривать здесь такие алгоритмы.

Другой подход связан с локальной линеаризацией нелинейной кра­ евой задачи. В рамках метода продолжения решения по параметру он реализуется непосредственным применением процедуры метода к исход­ ным уравнениям. Первый шаг в направлении такого использования про­ цедуры продолжения решения был, по-видимому, сделан В. 3. Власовым и В. В. Петровым при формулировке алгоритма метода последовательных нагружений [51].

При таком подходе построение множества решений нелинейной краевой задачи с параметром сводится к решению последовательности линейных краевых задач, которые являются удобным объектом для ре­ шения методом типа прогонки. Сейчас отработано несколько вариантов метода прогонки, обеспечивающих высокую точность решения при при­ емлемой трудоемкости [5]. Мы будем использовать дискретную орто­ гональную прогонку С. К. Годунова [16, 5]. Для эффективного исполь­ зования в алгоритмах продолжения решения по наилучшему параметру в традиционный алгоритм метода прогонки будут внесены некоторые

7.1. Уравнения решения для нелинейных одномерных краевых задач

167

изменения, необходимость и существо которых будут выяснены на при­ мере метода начальных параметров, который существенно используется в методе ортогональной прогонки.

7.1. Уравнения продолжения решения для нелинейных одномерных краевых задач

Рассмотрим краевую задачу для системы нелинейных ОДУ с пара­ метром р

у' = F(x, у, р),	Ау(х\) = а,	Ву(х2) = Ь,
х € R1, у : R1-+ R",	F : Rn+2 -+ R",	(7.1)
		в G Rm, Ье R""m

Здесь введены следующие обозначения: А — прямоугольная матрица размера т х # (то < п); В — прямоугольная матрица размера < х в , ще / = » - то; rank А = т\ rank В = 1', у' = dy/dx.

Будем считать, что краевая задача (7.1) имеет решение для некото­ рого интервала значений параметра р и для некоторого значения р = Ро из этого интервала такое решение о д известно, т. е.

У\р=Ро = ОД -

(7.2)

В соответствии с основной идеей метода продолжения решения по параметру будем считать независимую вектор-функцию у и пара­ метр р непрерывными и дифференцируемыми функциями некоторого параметра р, смысл которого определим позже,

У= !/(*. Р), Р = Р(Р)-

(7.3)

Так как р не входит явно в соотношения краевой задачи (7.1), то мы вправе выбирать начало отсчета р так, чтобы известному решению (7.2) соответствовало р = 0, т. е.

у(х, 0) = о д , р(0) = р0.

(7.4)

Обозначим производные у и р по параметру р соответствующими прописными буквами

й = Y ^ = Р

(75)

Эти обозначения можно рассматривать как уравнения продолжения решения, которые вместе с начальными условиями (7.2) образуют задачу Коши по параметру р. Их необходимо дополнить соотношениями, определяющими У и Р. Получим их, продифференцировав по р краевую задачу (7.1). В результате для У и Р имеем линейную краевую задачу

Y ' = L ( y , p ) Y + P M ( y ,p ) , A Y ( x \ ) = 0, ВУ(*2) = 0.

(7.6)

168 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений

Здесь L(y,p) = [Lij(y,p)], М{у,р) = (М{( у , р ) , М п(у,р))т - мат­ рица и вектор, компоненты которых определены соотношениями

Uj	9Fi	^ _ dFi	(7.7)
	ду,'	i,j = 1,п.
		д р ’

Обратим внимание, что в уравнении (7.6) величина Р = dp/dp также является неизвестной.

Одним из методов решения линейной краевой задачи является метод ортогональной прогонки С. К. Годунова [16]. Он отличается устой­ чивостью и высокой эффективностью. Однако для его использования в алгоритмах продолжения по наилучшему параметру в его процедуру необходимо внести некоторые изменения. Для того, чтобы существо этих изменений не затенялось деталями, связанными с дискретной ортогонализацией решений, рассмотрим сначала решение методом начальных параметров, который существенно используется в методе ортогональной прогонки.

Метод начальных параметров предполагает представление решения

линейной краевой задачи (7.6) в виде
У = С1У(|) + С2У(2) + ... + С,Уw + РУ (,+1).	(7.8)

Здесь I = п — т; С\, С2, • • • i Cj — произвольные постоянные, вектор-

функции У ^(* ), у (2\ х ) , . . . , УW(«) — линейно независимые решения следующей краевой задачи:

Y' = LY, AY(x\) = О, (У(*1) * 0).	(7.9)
Вектор-функция у(,+|)(») является решением неоднородной крае­
вой задачи
Y' = LY + M, У(®1) = 0.	(7.10)

Представление (7.8) устанавливает соответствие между функцио­ нальным пространством решений уравнения (7.6), удовлетворяющих граничному условию AY(x\) = 0, и I + 1-мерным векторным прост­ ранством R,+1 : (C j, . . . , Q, Р}. Другими словами, любому вектору С = (Cj,. . . , Ci, Р)Т € R,+1 в силу выражения (7.8) соответствует реше­ ние задачи

Y' = LY + PM, АУ(®,)=0.

(7.11)

Задача метода начальных параметров состоит в определении та­ кого вектора С € R<+1, при котором функция У из выражения (7.8) была бы решением краевой задачи (7.6), т.е. удовлетворяла бы также

7.1. Уравнения решения для нелинейных одномерных краевых задач

169

и условию B Y (x2) = 0. Из векторов У^(®) (* = 1, 1+ 1), являющих­

ся значениями вектор-функций yW ПрИ х = ®2, составим матрицу D размера » х (I + 1)

Г> = [У(,)(®2) У(2)(х2) ... У(,+,)(®2)]-

(7.12)

Тогда условие ВУ(®2) = 0 приводит к уравнению

BDC = JC = 0, J = BD.

(7.13)

Это уравнение для нелинейной краевой задачи (7.1) имеет тот же смысл, что и уравнение продолжения (1.35) для системы нелинейных уравнений (1.28). Действительно, определяемому из уравнения (7.13)

вектору С € R,+l в силу соответствия, установленного представлени­ ем (7.8), отвечают такие вектор-функция У(®) и параметр Р , которые являются правыми частями уравнений продолжения (7.5), т.е. имеет место соответствие

Поэтому мы и обозначили матрицу BD через J, т.е. так же, как и матрицу уравнений Продолжения (1.35). Так как матрица В имеет размерность / х п, а матрица D — n х (I + 1), то размерность матрицы J будет I х (I + 1). Таким образом, уравнение (7.13) представляет собой систему из I однородных линейных алгебраических уравнений относи­ тельно 1+1 неизвестных компонент вектора С = (С \,... ,Q , Р)т€ R,+ l. По смыслу процесса продолжения решения по параметру вектор С явля­ ется функцией параметра ц, т. е. С = C(fi).

Образуем вектор с € R,+1 такой, что
	(7.15)
Его нетрудно построить, например, как интеграл вида
с =	(7.16)
Тогда соответствие (7.14) можно представить в форме
	(7.17)

Теперь видно, что кроме соответствия {К, Р) —* С представление (7.8) устанавливает также соответствие

{У, Р\ — с.

170 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений

Таким образом, определенное параметром р функциональное про­ странство решений нелинейной краевой задачи (7.1) отображается на множество с(р), которое в силу непрерывности С(р) и выражения (7.16)

представляет собой гладкую кривую К в R!+1. Так же, как и в главе 1, определим параметр р локально в каждой точке кривой К , т.е. положим

dp = a-dc, а 6 Rl+I, а а = 1 ,

(7.18)

где орт а определяет направление оси, по которой отсчитывается пара­ метр р. Тогда уравнения (7.13) и (7.18) с учетом выражения (7.15) можно записать в виде

(7.19)

Эта система в точности совпадает с системой (1.37) и, далее, повто­ ряя все рассуждения главы 1 при доказательстве теоремы 1, приходим к следующему утверждению:

наилучшая обусловленность системы (7.19) будет обеспечена тогда и только тогда, когда параметр р является параметром длины А, который вычисляется вдоль кривой К в R!+1.

Это позволяет нам использовать для процесса продолжения решения все алгоритмы, разработанные в главе 1.

Рассмотрим теперь шаговый процесс Лазя для решения краевой задачи (7.1). Тогда на к-м шаге по параметру продолжения (при р = рь ) необходимо сформулировать алгоритм Ньютона—Рафсона применитель­ но к задаче (7.1). Воспользуемся для этого его обобщением, называемым квазилинеаризацией [6]. Тогда на (j + 1)-й итерации алгоритм сводится к решению следующей линейной краевой задачи

+ M (* g ,rf>)(p?+1> -К ?1) +*■(»“ , r f 1), (7.20)

= «> ВУ(.)+1,(Х2) = ь , j = 1,2.........

Такая запись уравнения квазилинеаризации подчеркивает тот факт, что если итерационный процесс сходится, т.е. если и Рь^~+Рк, то он сходится к решению исходной краевой задачи. Действительно, в этом случае первые два слагаемых в правой части уравнения (7.20) стремятся к нулю, и в пределе уравнение (7.20) обращается в исходное уравнение (7.1).