книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике
..pdf8.2. Простейшая форма уравнений разветвления |
201 |
Функции pit являются однозначными, непрерывными и дифферен цируемыми. Подстановка выражений (8.29) в уравнения (8.24) приводит к уравнениям разветвления
■f>(/»l(«b. • •, a«f), • • • , Рг(«ь • • •, ad), a j , . . . , ad) = О,
(8.30)
3 = r + l,n.
Эти уравнения определяют как число ветвей решения, так и их поведение в окрестности исследуемой точки.
Поскольку уравнения разветвления (8.30) построены так, что их якобиан равен нулю, то они могут иметь не единственное решение. Для каждого решения этих уравнений как функции параметра Л
a f } = a,(,)(A), I = М , |
(8.31) |
из уравнений (8.30) или, что одно и то же, из уравнений (8.24) получаем
p f = p f iaf i • • •, а ? ), к = T r . |
(8.32) |
И тогда можно построить одну из ветвей решения х^(А), по ведение которой в малой окрестности исследуемой точки определится разложением (8.22).
Следует заметить, что процесс построения уравнений разветвления достаточно сложен, и в явном виде они могут быть выписаны только в исключительных случаях. А их решение в явной аналитической фор ме может быть найдено еще в более редких случаях. Поэтому особое значение приобретают методы, не использующие уравнения разветвле ния в форме (8.30), а решающие задачу на основе более простых соотношений.
8.2. Простейшая форма уравнений разветвления
Преобразуем систему (8.1) так, чтобы ее линейная часть приня ла простейший вид. Для дальнейшего удобно использовать следующие обозначения для матрицы Якоби (см., например, [61]):
9F |
|
|
ах |
*„+,)• |
1 ' |
Строки этой матрицы |
j, .. .,F^n+j] (г = 1, п) будем, как и рань |
ше, рассматривать как векторы в пространстве Rn+i и обозначим их через /W . Тогда
/ (1) = |
*i,*+i]T- |
(8-34) |
Пусть, как и в п. 8.1, решение системы (8.1) |
исследуется в окрестно |
сти точки х = 0, и в этой точке rank(J°) = г < п. Индекс нуль у какой-
202 |
Глава 8. Продолжение решения в особых точках |
либо функции будет ниже указывать на то, что берется значение этой функции в точке х = 0. Пусть снова линейно независимыми являются
первые г строк матрицы Якоби J 0. Тогда последние п - г = d - 1 строк этой матрицы являются линейными комбинациями первых г строк, т. е.
|
/0 (г+<>= |
» = М = Т |
|
(8.35) |
|
|
*=1 |
|
|
|
|
Так же, как |
и в п. 8.1, разобьем систему (8.1) |
на две |
группы |
||
уравнений (8.13), |
(8.14). Обозначим через |
и |
матрицы Якоби |
||
этих групп уравнений |
|
|
|
|
|
j(l) = |
т ........з ) |
j(J) = |
у |
, |
(8 36) |
|
9(^1,. . . , &n+l) |
|
»*■■>®n+l) |
|
Ясно, что
J = J<‘>
J<2>
Если ввести матрицу D = [d{*] (г = 1, d - 1, вление (8.35) в матричной форме примет вид
(8.37)
к = 1, г), то предста
(8.38) Так же, как и в п. 2.1, представим пространство Еп+| в виде прямой
суммы двух ортогональных подпространств |
|
к п+1 _ р г $ Ad d = п + 1 - г. |
(8.39) |
Здесь г — мерное подпространство Р Т определено базисом из век торов-строк матрицы J 0^ , a Ad — его ортогональное дополнение
в Kn+1. |
|
|
___ |
Введем в Р г ортонормированный базис |
(г = |
1,г), построенный |
|
из векторов-строк матрицы J°(‘) с помощью процесса Грама—Шмидта. |
|||
Тогда |
ПР. |
|
|
7 0(,) = |
|
(8.40) |
|
Здесь ортогональная матрица Р |
имеет |
размер |
г х (n + 1) и ее |
строками являются векторы pW ортонормированного базиса в Рт |
|||
п(‘)т- |
|
|
|
Р = |
|
|
(8.41) |
L Р № |
|
|
П — левая треугольная матрица ортогонализации.
8.2. Простейшая форма уравнений разветвления |
203 |
Введем также в подпространстве Ал ортонормированный базис а(г)
(г = 1,d) и матрицу А |
размера d x ( n + |
1), строками которой являются |
векторы a® (i = 1, d): |
|
|
|
[ а № \ |
|
|
А = |
(8.42) |
Преобразуем исходную систему уравнений (8.1) следующим образом.
Уравнение (8.13) помножим слева на матрицу SI '. Получим систему уравнений
> l(® )‘ |
‘а д ' |
= Щх) = 0. |
(8.43) |
. а д . Щх)
В силу линейности преобразования и невырожденности матри цы П-1 уравнения (8.13) и (8.43) эквивалентны в том смысле, что все решения х уравнений (8.13) являются решениями (8.43) и наоборот, т.е. множества решений уравнений (8.13) и (8.43) совпадают. Но матрицей Якоби системы (8.43) при * = 0 является ортогональная матрица Р. Действительно, из (8.43) и (8.40) следует
«Р х ........и’)° |
аи ° |
п - 1 т |
.........F' )0 |
n - ' f j |
Г |
(8.44) |
|||
8( х |
, |
, . |
8ш |
|
|
|
" |
|
|
На основе уравнений (8.14) построим следующие уравнения: |
|
||||||||
|
.Fr+j(a;) - |
^ 2 |
<ЬкЫ*) = Vi(x) = |
0, |
* = 1, d - |
1. |
(8.45) |
||
|
|
|
k-i |
|
|
|
|
|
|
Или, в матричной форме, |
|
|
|
|
|
||||
’-Fr+l(*)' |
> ,(* )' |
' V,(x) |
' |
= V(x) = 0. |
(8.46) |
||||
|
|
- D |
. . . |
. . . |
|
||||
. |
Fn(x) |
т |
. Fr(х) |
ЪЩ х) |
|
|
|
Матрица Якоби этой системы при х = 0 обращается в нуль. Дей ствительно, из (8.46) в силу (8.38) получим
д(Уи ...,Уд-1)° |
дУ° _ j0(2) |
= о. |
(8.47) |
|
д(хи . . . , х п+1) |
дх |
|||
|
|
Нетрудно видеть, что множества решений систем (8.1) и (8.43), (8.46) совпадают. Мы, конечно, исключаем здесь случай, когда хотя бы одна из функций Ц (i = l , d - 1) тождественно равна нулю. Этот случай попросту сводится к уменьшению числа уравнений в системе (8.1).
204 |
Глава 8. Продолжение решения в особых точках |
||||
В результате преобразований система (8.1) сводится к эквивалентной |
|||||
ей системе из п уравнений |
|
|
|
|
|
|
Ui(x) = 0, |
i = l , r , |
(8.48) |
||
Vj(x) = О, j = T7d=l. |
(8.49) |
||||
Матрица Якоби этой системы по построению при х = 0 принимает |
|||||
вид |
|
|
|
|
|
d(U, V)° _ SdU^/dx} _ Гр] |
(8.50) |
||||
дх |
[дУй/д х \ |
[ o j |
|||
|
|||||
Ортонормированные базисы р® |
(i = |
1, г) и |
(j = 1, d) в си |
лу (8.39) вместе образуют ортонормированный базис в Rn+1. Поэтому можно представить искомое решение в виде разложения по этим ортонормированным базисам
x = t p iP(i4 t ^ = p P + a A |
= [p,a) Щ =[РТАТ] [ ^ ] - (8.51) |
Здесь р = (pi,. . . , рг)т и а = |
(ас|,. . . , а г)т можно рассматривать |
как векторы в евклидовых пространствах V и A d размерности г и d со ответственно и таких, что имеется их взаимно однозначное соответствие с подпространствами Р г и Ad, обусловленное соотношением (8.51).
Перейдем в уравнениях (8.48), (8.49) от неизвестной х к неизвест ным р и а. Получим
|
ЩР1, ■ ■ ■ , Pr , a i , . . - , a d) = 0, |
г = ТТт, |
|
(8.52) |
||||
|
Vj(pi,...,P r,ah . . . , a d) = 0, |
j |
= \ , d - \ . |
|
(8.53) |
|||
Или, в векторной форме, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(8.54) |
|
Матрица Якоби этой системы по переменным р, а при х = 0 имеет |
||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
д(Ц,У)° |
д(Ц,У)° |
дх |
Гр' |
РРТ РАТ |
'25 0 |
(8.55) |
||
д(р,а) |
дх |
д(р,а) |
0 [РТАТ)= |
0 |
О |
0 0 |
||
|
Произведение РРТ равно единичной матрице Е порядка г, так как Р — ортогональная матрица; а РАТ = 0 в силу (8.21).
Таким образом, в результате преобразований (8.43), (8.45) и (8.51) мы перешли от системы (8.1) с неизвестным х к системе (8.54) с неиз вестными р, а. Причем преобразования таковы, что между множествами
8.2. Простейшая форма уравнений разветвления |
205 |
|
решений этих систем имеется взаимно однозначное соответствие. Но ма трица Якоби системы (8.54) в особой точке р = а = 0 (х = 0) имеет простейший вид (8.55). Учитывая это, из уравнений (8.52) по теореме о неявных функциях можно выразить р через а
р = р(а). |
(8.56) |
Причем в этих выражениях должны отсутствовать линейные по а за висимости. Подставив (8.56) в (8.53), получим уравнения разветвления в виде
V(p(a),a) = Q. |
(8.57) |
В силу структуры матрицы Якоби (8.55) эти функции не должны содержать линейных по а зависимостей.
Как уже отмечалось, уравнение разветвления (8.57) в явном виде удается построить в исключительных случаях. Методам его прибли женного построения и исследования посвящена обширная литература ([9, 28] и др.), начало которой положили работы А.М. Ляпунова [39] и Е. Шмидта [111]. Мы здесь ограничимся методом, основанным на ана лизе разложений в ряды Тейлора вида (8.3), (8.5)—(8.7) в окрестности
особой точки.
В силу представления (8.51) поведение решения х(А) в малой окрестности особой точки А = 0 определится разложением в степенной
ряд Тейлора по А |
|
|
|
|
|
*№ = ^ ( р ; 0И |
+ |
+ |
Л |
Г ( < V + 5 « » a2 + "- ) |
■ ,8.58) |
р'(0) = dp/dX\x=0, |
р'(0) = d2p/dX2\\=o, ■■■■ |
|
|||
Уравнения для |
определения |
р'щ, Р(о)» • **»а (о)’ а(°)’' ' ' |
палУчим> |
дифференцируя но А уравнения (8.48), (8.49). Из (8.48) имеем после формального дифференцирования
£ 'V (» )+ £ ',H ) = 0' . , ,
« а * + + « * * * + |
1? |
<85», |
4- « Ы М » + ,и М ° > У ! |
" У ’У |
|
+ m ° aa'l0)a'{0) + t/°p№P(0)P(0)P(0) + |
|
|
+ 3t^paaP(o)а (0)a (0) + + £/,«<»«O!(0)a (0)a (0)
206 Глава 8. Продолжение решения в особых точках
В этих уравнениях приняты обозначения, смысл которых становится ясным из сравнения второго уравнения с его развернутой записью
дУ? *2Р(Oh |
dU? d2a(0)j |
d2U? dpm |
dp(0)k |
|
|
|||||
dpj dX2 |
+ datj |
dX2 + dpjdpk |
dX |
dX |
+ |
|
|
|||
2 d2Uf |
dp(0)jda(Q)k |
d2Uf |
dai0)jda{0)k |
Q |
|
|||||
dpjdatk |
dX |
dX |
datjdatk |
dX |
dX |
’ |
’ |
|||
Здесь производится суммирование по повторяющимся индексам у р |
||||||||||
от 1 до г и у а |
от 1 до d. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Из (8.55) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
U°P= Е, |
U °= 0. |
|
|
(8.60) |
|||
Тогда из первого уравнения (8.59) следует известный нам уже из п. 8.1 |
||||||||||
результат |
|
|
|
р'(о) = |
0, |
|
|
|
|
(8.61) |
|
|
|
|
|
|
|
|
который в соответствии с представлением (8.51) указывает на то, что вектор х' = dx/dX принадлежит подпространству Ad.
Выражения (8.60) и (8.61) позволяют упростить второе и последую
щие уравнения в (8.59). Они принимают вид |
|
|||
|
4 ») + ^.“«а (0)а (0) = °> |
,g 62) |
||
Р (0) + |
^ ? р а Р ( 0 ) а \о ) + |
^ % а а (0 )а '(0) + |
^.««»а (0)а (0)а (0) ~ |
|
Эта последовательность уравнений позволяет рекуррентно опреде- |
||||
If |
w |
/ |
// |
определяются |
лить Р(о)» Р(о)> **■» если |
известны |
которые |
уравнением разветвления (8.57). Каждое решение этого уравнения при надлежит пространству Ad и, в соответствии с рекуррентной последова тельностью уравнений (8.62), оно определяет рщ G Vr■
Учитывая взаимно однозначное соответствие между пространства ми V , Ad и подпространствами Pr, Ad с Kn+1, заключаем, что каждое решение уравнения разветвления определяет составляющую вектора х в Ad, которая, в свою очередь, определяет в силу уравнений (8.62) соста вляющую вектора х в Рг. Поэтому, следуя Томпсону, будем называть Ad и Ad активными подпространством и пространством, а Рг и Р г - пассивными.
Дифференцируя по А уравнения (8.49), получаем рекуррентную систему уравнений, аналогичную системе (8.59). Упрощаем ее с учетом следующих из (8.51) и (8.61) результатов
•0
8.3. Простейший случай ветвления (ra n k (J ° )= n — 1) |
2 0 7 |
В итоге получаем последовательность уравнений |
|
v,««a'(0)a'(0) = °. |
(864) |
3VXp'lo)a (0) + 3К«*а (0)а (0) + ^2о<»Л(0)а (0)а (0) = |
|
Эти уравнения совместно с системой (8.62) позволяют последо вательно определить векторы а |0^, р '^ , а' ^ , . . . и, таким образом,
определить в силу разложения (8.58) вектор х в окрестности особой точ ки. Причем уравнения (8.64) могут иметь несколько решений, и каждое из таких решений определит свою ветвь множества решений исход ной системы (8.1). Вообще говоря, уравнения (8.62), (8.64) содержат ту же информацию о поведении решения в окрестности особой точки, что и уравнения (8.52), (8.53). Но они позволяют часто решать задачу о ветвлении не на основе уравнения разветвления (8.57), а используя его приближенные (и более простые) представления. Ниже рассмотрим некоторые простые случаи.
8.3. Простейший случай ветвления (rank(J °) = п — 1)
Пусть гапк(7°) = п - 1. В этом случае размерность d активного подпространства Ad равна 2. После преобразований (8.43), (8.45) и (8.51) с использованием ортонормированных базисов подпространств Р"_| и А2 исходная система уравнений (8.1) в особой точке сведется к виду
U i(pi,...,pn. u a u a2) = 0, i = l , n - l , |
(8.65) |
^(РЬ-»Рп-Ь«1)а2) = 0. |
(8.66) |
Геометрически эта ситуация означает, что являющееся плоскостью |
|
в К"+| активное подпространство А2 соприкасается |
в особой точке |
с множеством решений К (со всеми его ветвями, проходящими через
особую точку). Поэтому анализ ветвления |
здесь |
может быть |
сведен |
к ветвлению плоской кривой. |
|
|
|
Первым приближением уравнения разветвления будет первое из |
|||
уравнений (8.64). Оно принимает вид |
|
|
|
^11 (a l)2 + ^ V °i2a \ a 2 + ^22 (а 2)2 = |
V jj = |
QaQa . |
(8-67) |
и является однородной квадратичной формой. Здесь возможны следую щие случаи.
1. Квадратичная форма (8.67) знакоопределена. В этом случае он имеет единственное действительное тривиальное решение a't = a'2 = 0.
А это означает, что в малой окрестности особой точки больше нет
208 Глава 8. Продолжение решения в особых точках
точек из искомого множества решений, т. е. исследуемая точка является изолированной особой точкой. В такую точку нельзя прийти, двигаясь вдоль непрерывной кривой К множества решений. Поэтому появление изолированной особой точки в процессе продолжения решения свиде тельствует о некорректности этого процесса. Причиной возникновения такой ситуации обычно является излишне большой шаг по параметру продолжения Л. Знакоопределенность квадратичной формы (8.67), как это уже отмечалось в главе 1, зависит от знака ее дискриминанта
^ = V > J 2 -(V ? 2)2. |
(8.68) |
Если D > 0, то форма (8.67) знакоопределена.
2. Квадратичная форма (8.67) знакопеременна. В этом случае D < 0. Если, например, V^2 Ф 0, то положение касательной к кривой множества
решений можно определить на плоскости А? : (aj, a 2) С Kn+l ее углом <р с осью а |. Тогда
t = tgip = a 2/a j |
= da2/d a j. |
(8-69) |
|
Из (8.67) без труда получаем для t |
квадратное уравнение |
|
|
^ , t l + 2 V > + y 2V 2 = 0. |
(8.70) |
||
Так как D < 0, то это уравнение имеет два действительных корня |
|||
*1,2 = ( - ^ 12± |
^ ) Л & - |
(8-71) |
|
Таким образом, в особой точке пересекаются две ветви множества |
|||
решений, касательные к которым определяются выражениями |
|
||
doL2/da\=t\, |
dai/da\=t2- |
(8.72) |
Геометрически эта ситуация выглядит так, как это показано на рис. 8.1 в плоскости А2.
3.Квадратичная форма (8.67) знакопостоянна. В этом случае D = 0
иквадратное уравнение (8.67) имеет кратный корень <[ 2 = t = -F®2/ ^ 22Для выяснения характера особой точки необходим анализ высших чле нов разложения и более тонкий анализ уравнения ветвления. Примеры такого анализа для плоских кривых даны, например, в [61], а анализ возможных случаев приведен в [107, 116, 19]. Здесь особая точка мо жет оказаться точкой соприкосновения двух ветвей решения или точкой возврата. В последнем случае приведенными выше уравнениями (8.62),
(8.64) надо пользоваться с осторожностью, поскольку они построены в предположении дифференцируемости множества решений по Л в осо бой точке. А это условие в точке возврата не выполняется.
8.3. Простейший случай ветвления (ra n k (J ® )= n — 1) |
209 |
Для численной реализации продолжения решения в существенно особой точке анализ уравнений (8.62), (8.64) представляется неудоб ным. Здесь можно пойти по пути численного установления количества
и характера решений ветвей в ок рестности особой точки в плоско сти А2. В рассматриваемом случае кратного корня поиск этих ветвей облегчается тем, что в окрестно сти особой точки они должны быть близки к направлению, задаваемо му касательной
t = dxx2/da{ = -V°l2/V$2. (8.73)
Это позволяет вести поиск ре |
|
|
шения в области, заштрихованной |
Рис. 8.2. |
|
на рис. 8.2 на окружности с малым |
||
|
радиусом £. Поиск решения можно облегчить переходом к полярным координатам, как это рекомендовано в [61].
21 0 |
Глава 8. Продолжение решения в особых точках |
4. Квадратичная форма (8.67) тождественно равна нулю (VJJ
V®2 = V%2 = 0). Здесь в первом приближении поведение решения определяется вторым уравнением (8.64), левая часть которого с учетом первого уравнения (8.62) приводится к однородной кубической форме
3Vj!a^,aa<*(0)<*(0)<*(0) + ^aaaa (0)a (0)a (0) = |
(8.74) |
Тогда, рассуждая так же, как при анализе уравнения (8.67), приходим к выводу, что в особой точке могут пересекаться три ветви решения.
Как только что отмечалось, анализ уравнения разветвления с учетом высших производных мало пригоден. Выявление ветвей решения удобнее также свести к поиску нулей на е-окружности в плоскости А2 : (ai, aj) С Mn+1 (рис. 8.2).
8.4. Случай ветвления, когда rank(J °) = п — 2
Для того, чтобы подчеркнуть проблемы, возникающие при анализе ветвления решения в более сложных случаях рассмотрим ситуацию, когда г = rank(J°) = п - 2. Здесь размерность d активного пространства Ad равна 3. Уравнения разветвления с точностью до второго порядка разложения в ряд Тейлора определяются первым уравнением в (8.64). Эти уравнения при d = 3 примут следующий вид:
V^a'ja'b = 0, = 0, j,k = 1,2,3. (8.75)
Левые части этих уравнений представляют собой однородные ква дратичные формы, матрицы которых обозначим следующим образом:
У(1) = №$‘>] = [< * ], yW = w f ] = [* £ ,]. |
(8.76) |
Тогда уравнения (8.75) в матричной форме можно записать в виде
(o')W |
= 0, (a)TV i2)a' = 0, а = |
а} |
(8.77) |
|
а} |
||||
|
|
|
||
|
|
“ 3. |
|
Ясно, что если хотя бы одна из этих квадратичных форм является знакоопределенной, то особая точка будет изолированной, поскольку в таком случае система уравнений (8.77) не имеет действительных ре шений, кроме тривиального а ' = 0. Но изолированная особая точка не может быть достигнута в процессе корректного продолжения решения по параметру. Знакоопределенность хотя бы одной из квадратичных форм (8.77) свидетельствует обычно о слишком большом шаге при движении по кривой решений К.