книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела
..pdf§ 1. Переменные действие-угол |
41 |
функция I2 ) не аналитична в окрестности точек Ii = О, Ii = J: £?(«/, = &(/°). Неаналитичность в окрестности нуля вытекает из того, что
lim ^ |
= - Нш |
ф О, |
д->+о aii |
/i->-o aii |
|
а в окрестности точки I± = J это доказывается так же, как для гамильтониана математического маятника (§ 4, гл. 1).
Положим шф1) = dST/dli (г = 1, 2). Величины u)i, 0)2 яв ляются частотами квазипериодических движений на двумер ных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо.
Рассмотрим в области Д линию уровня функции
h = h (h , 3"), |
3 = const. |
||
Лемма 3. При Ii ф О, I2 ^ |
0 функция ii(J2, 3 ) непре |
||
рывна и монотонно убывает, причем dli/dh = —w2/w i. |
|||
Действительно, дифференцируя тождество |
|||
n h ( h , |
Я), h ) = |
3 |
|
ПО I2, получим, что |
|
|
|
B3_dh |
, дЗ _ = п |
' |
|
8 h dl2 |
dl2 ~ |
Откуда
dll _ U)2 Ш2 ~
Из формулы дифференцирования интеграла вида (1.1) по па раметру
|
щ |
j Д А x)d x = j jp fiP , х) dx |
(1.2) |
|
получим следующее соотношение: |
|
|||
0)2 |
dli |
|
|
|
Ul |
dl2 |
|
|
|
2тг |
|
(a sin2l + bcos2l)dl |
(1.3) |
|
|
a sin2 1 - bcos20 (c - a sin2/ - bcos2 |
|||
i j ( p - |
1) |
|||
|
42 |
Глава 2 |
где |
|
Р = Щ - = const |
(1 / А < р < 1 / С , рф \/В ). |
Из (1.3) следует, что при В ^ 0 производная д1\/д!г < 0 . ■
Положим
^ 7 = 7 (р; 4 , -В, (7).
Значения функции 7 являются числами вращения потоков, возникающих на соответствующих двумерных торах задачи Эйлера Пуансо ([1, п. 86; 20]).
Лемма 4. |
Если р £ (1/А, 1/В), то d j/др > 0; если |
р £ (1/В, 1/(7), |
то dj/dp < 0. |
Доказательство.
Рассмотрим сначала случай, когда 1/В < р < 1/С. Про дифференцируем соотношение (1.3) по параметру р:
2п
= _ 1 _ [ 1 х
^^ (р - a sin2I — bcos2/)3
х |
(a sin21 + Ъcos2Г) dl |
0. |
< |
у с — a sin2I — bcos2/
Пусть теперь 1/А < р < 1/В. В этом случае для ин теграла (1.3) формула (1.2) уже несправедлива. Для вычис ления d j /др в интеграле (1.3) сделаем замену переменной по формуле х = cos/ (знак — [+] выбирается в том случае, когда интегрирование производится по замкнутому конту ру на плоскости (L, /) £ R 2, охватывающему точку (0, тг/2) [(0, —тг/2)]). Тогда
^ 2тг / ^/(1 _ х2)[(с - а) + (Ь — а)х2]
[а + (Ъ—a)x2]dx
х |
(1.4) |
л/[(р - а ) - ( Ъ |
- а)х2] |
|
|
|
§ 1. Переменные действие-угол |
43 |
Выполним еще раз замену переменной согласно формуле |
|
|||
|
|
|
х = р —а sin у. |
|
|
|
|
Ъ— а |
|
Тогда |
|
|
|
|
_ |
1 |
тг/2 |
\+ (b — a) sin2y\dy |
|
[ |
|
|||
^ |
7Г |
J |
b —а) —(р —a) sin2у J (с —а) —(р —a) sin2у |
|
|
-тг/2 |
Обозначим подынтегральную функцию через Ф(р, у). Нетруд но показать, что
|
дФ |
О, |
|
|
|
|
|
др |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
когда у Е [—7г/2, 7г/2] \ |
{0}, р |
Е (а, Ъ). Следовательно, |
при |
||
а < р <Ъ |
|
тг/2 |
|
|
|
|
1 |
д Ф , |
хП |
|
|
d j _ |
[ |
|
|||
др |
77 |
J |
др |
У |
Я |
—7г/2
Предложение 1. Если твердое тело несимметрично, то линии уровня функции I2) не имеют перегибов в об ласти Д„.
Доказательство.
Достаточно, очевидно, показать, что
Я2т
— v ф 0, h = h ( I 2, S'), 3 = const.
Так как
d2h |
д_ |
дЦ |
д1 2 |
т(р; А >в , с )
d j др _ |
d j |
4£У |
др 0 12 |
др |
/| ’ |
то согласно лемме 4 д 21\/д12 > 0 при р £ (1/Д., 1 /5 ) и d2li/ d l2 < 0 при р Е (1/В, 1/С).
44 |
Глава 2 |
Замечание. Условие отсутствия перегибов у линий уровня функции & можно представить аналитически в сле дующем виде:
На рис. 6 изображены линии уров ня функции & (ясно, что все они подоб ны). Область Д заштрихована, и выде-
лены две прямые 22? = В |
- |
1 Т 2 |
|
1 2• |
§ 2. Числа вращения и их свойства
Исследуем более подробно отношение частот
g = 7 (p; А, В, С).
Теорема 1. Функция j ( p ;A ,B ,C ) аналитична на
( i ’ Ь ) \ { i ? } ’ пРичем пРи
1) р_> |
1 |
7 _> |
|
А |
У (А - С ) ( А - В ) |
2)р |
1 |
^ _____ Ш _____ - 1; |
|
С ’ |
у/(.В —С)(А —С) |
3) Р -> |
|
7 -> °о- |
Доказательство.
но, |
3) |
|
Когда р = 1/В, интеграл (1.3) расходится. Следователь |
||
|
|
lim |
7 (р; А, В, С) = сю. |
||
|
|
|
|||
|
|
|
р->1/В |
|
|
2) |
Нт |
7 |
(Р! А, В, (7) = |
|
|
р -я /с |
2-тг |
|
|
||
_ |
J _ |
|
______л/АД_________1 |
||
f |
a sin2ж + 6cos2ж ^ |
||||
|
|
J |
с - a sin2ж - |
6cos2ж |
^/(В — С) (Л — С) |
§2. Числа вращения и их свойства |
45 |
1) Воспользуемся следующим предложением: пусть функ ция f(x ), х € R непрерывна в окрестности точки х = 0. Тогда
Пт |
/(* ) |
: dx = / ( 0). |
(2.1) |
ot—И) 2тг j ^^2 |
|
|
|
Действительно, выполняя |
замену |
переменной |
по формуле |
х = asin<£>, получим, что |
|
|
|
У у/aЛЖ)2 - |
dx= b J |
\f'j a2^—x 22 d X = * / /(aSin^)^ |
|
|
|
|
— 7T / 2 |
Так как f(x ) |
непрерывна, то |
||
|
|
тг/2 |
|
|
И т | |
[ |
f (a sin ip) dip = f (0). |
|
a—HDп |
J |
|
|
|
т/2 |
|
Согласно формуле (1.4) |
|
|
|
I I |
1 |
|
[а + (6 - а)ж2] Дж |
т= оГ
^У л/Ь — а у/ ( 1 — х2)[(с — а) —(Ь —а)ж2](а2 — ж2)
где
а 2 = ^ |
> 0. |
Ь |
— а |
Следовательно, по формуле (2.1)
lim 7 (р; А, В , (7) = |
|
|
|
p-fl/A |
|
|
|
|
\/Ж7 |
. (2.2) |
|
V (Ь - а ) ( с - а ) |
W - В) |
||
|
По лемме 4 функция 7(р) возрастает в интервале (а, Ь) и убывает в интервале (6, с). Из неравенства треугольника для моментов инерции (А + В > С) и теоремы 1 следует, что пределы
lim 7 (р), |
lirn 7 (р) |
р—fa |
р—>с |
46 |
Глава 2 |
больше нуля. Следовательно, функция 7 (р) всюду положи тельна. Нетрудно показать, что д2у/др2 > 0 при всех р £ (а, с) \ {&}. Значит, график функции 7 (р) имеет вид, изо браженный на рис. 7.
Специальные канонические пере менные можно ввести в окрестности вращений вокруг большей оси инерции (т. е. вместо оси Oz взять ось Ох). Тогда для отношения частот полу чим формулу (1.3), в которой момен ты инерции А и С переставлены мес тами. Обозначим это отношение че рез 7' (р; А, В, С). Устремим в новой формуле р к 1/А. Нетрудно показать, что
lim |
1 (р; А, В, С) = |
У в е |
(2.3) |
|
у /(А - С ) ( А - В) |
||||
р —f1/А |
|
(ср. с доказательством п. 2 теоремы 1). Формулы (2.2) и (2.3) не совпадают, однако здесь нет никакого противоречия. Дело в том, что у векторного поля без особых точек на двумерном торе существует не одно, а бесконечно много чисел вращения (они зависят от выбора замкнутой трансверсали) [21]. Все они связаны между собой следующим соотношением:
|
|
|
7 = |
k j + 1 |
(2.4) |
|
|
|
m j + п |
||
где |
к |
1 |
унимодулярная матрица (ее элементы — целые |
||
|
ш |
п |
|
|
|
числа, а определитель равен ± 1). |
|
||||
|
Иллюстрацией к этому утверждению может служить |
||||
следующее |
рассуждение. Рассмотрим на двумерном |
торе |
|||
Т 2 {<pi, ip2 |
mod 27г} постоянное векторное поле |
|
|||
|
|
ф\ = Wl, <Р2 = W2 |
(wi, W2 = const ф 0). |
(2.5) |
Если в качестве замкнутой трансверсали взять окружность S1 = {(ipi, 1Р2) € Т2 : (р2 = 0}, то число вращения поля (2.5)
|
|
§2. Числа вращения и их свойства |
47 |
равно 7 |
= |
шх/ш2- Рассмотрим линейный автоморфизм |
то |
ра р —>•р'\ |
|
|
|
|
|
ip[ = ktfli + lp2, ^2 = mPl + П(Р2, |
|
где к |
1 |
— некоторая унимодулярная матрица. В новых |
тп
переменных ip' mod 27Г уравнения (2.5) запишутся в следую щем виде:
Iр\ = ки)\+1ш2 = Ф2' = mu)i+nu>2 = {ш\1 Ш2 = const).
Пусть, например, и>'2 ф 0. Тогда в качестве замкнутой трансверсали можно взять окружность S1 = {(<£>i, Ч>Ф) £ Т 2 : трi + + пр2 = 0}. Соответствующее число вращения равно
, _ |
_ |
ку + I |
|
7 “ |
ш'2 ~ |
ту + п' |
|
В нашем случае |
|
1 |
-1 |
к |
1 |
||
т |
п |
0 |
1 |
Рассмотрим геометрическое представление Пуансо. Ког да на эллипсоиде инерции точка касания (полюс) сделает один полный оборот, тело повернется вокруг оси постоянного мо мента на некоторый угол а = а(2£7//|; А, В, С). Функция а (р; А, В, С), р = 2£7//| была введена А. Пуанкаре; отно шения а/2ж являются числами вращения потоков, возника ющих на соответствующих инвариантных торах задачи Эйле- ра-Пуансо ([1, п. 86; 9, дополнение]).
Теорема 2. Если р £ (1/А, 1/В), то а = 2л- (7 + 1), если р £ (1/В, 1/(7), то а =
Доказательство.
Так как величины а/2ж и 7 являются числами вращения одних и тех же потоков, то они связаны формулой (2.4). Най дем коэффициенты к, /, т, п.
Пусть j(x ) — непостоянная аналитическая функция. Предположим, что выполнено тождество
к'у + V = |
к"7 + I" |
т'7 + п' |
т"7 + п" ’ |
48 |
|
|
|
Глава 2 |
|
|
где £ ' |
к' |
V |
и £ л |
к" |
I" |
две унимодулярные |
тп' |
п' |
И |
п'1 |
|||
|
|
то" |
|
матрицы. Тогда, очевидно, £ ' = ± £ " . Следовательно, в нашей задаче коэффициенты к, /, то, п определяются с точностью до знака.
Рассмотрим сначала случай, когда 1/В < р < 1/С. Полагая А = В, найдем
lim я!=а(р; А, А, С). р—^1/С 47Г
Для этого исследуем качение эллипсоида вращения с полуосями о, с по неподвиж ной плоскости, отстоящей от центра эл липсоида на расстоянии у/р = д/2S'//| (см. рис. 8). Очевидно, что
а_ _ П
2тг
где п , гг — радиусы окружностей являющихся соответствен но полодиями и герполодиями. Рассмотрим сечение эллипсо ида инерции плоскостью, проходящей через ось симметрии и точку касания. Координаты точки касания в прямоугольной системе координат Оху обозначим через £, у (рис. 8). Нетруд но проверить, что
Г\ = Ц\ r2 = e + V2 ~P, Р = C2e l A2v2- |
(2*-6) |
Заменяя £2 на ^ с учетом (2.6) получим следующее равенство:
2 _ ( А - С) V - А(А - C )2rf
r2 С[С + А(А - С)у2}
Если р —>•1/С, то у —> 0 и |
|
|
|
lim |
^ = |
lim ^ = |
С2 |
p—y l / C |
Г2 |
Л - Ю г 2 |
{А - С)2' |
3. Невырожденность задачи Эйлера-Пуансо |
49 |
||
Следовательно, если А = В, то |
|
||
lim |
С |
(2.7) |
|
2тг А - С |
|||
р-Я/С |
|
Согласно п. 2) теоремы 1, при А = В
lim 7 = |
(7 |
(2.8) |
р - я / с |
А - С |
|
Так как пределы (2.6) и (2.7) совпадают и являются непо стоянными аналитическими функциями моментов инерции А и С, то при 1/В < р < 1/С
Рассмотрим случай, когда 1/А < р < 1/В. Если В = С, то из формулы (2.7) получим, что
Пт |
|
" |
р—>1/А 2л- |
А —(7 |
|
В этом случае, согласно п. 1) теоремы 1, |
||
lim |
7 = |
(7 _. |
p—ti/A |
|
А — С |
Так как |
_ |
С |
А |
||
А - С |
А - С + Д |
то при 1/А < р < 1/ в
а
2л- = 7 + 1.
Из этой теоремы вытекает, в частности, что график функ ции а(р) имеет вид, изображенный на рис. 7.
§ 3. Невырожденность задачи Эйлера - Пуансо
Гессиан функции |
по переменным Д, Д обозначим че |
рез Г(Д, Д). |
|
50 |
|
Глава 2 |
|
Теорема 3. |
|
|
|
1. |
Если А = В = С, |
тоГ = 0 |
в области А. |
2. |
Если А = В > С, |
тоГ > 0 |
в Д. |
3. |
Если А > В = С , |
тоГ < 0 |
в Д. |
4. |
Если А > В > С, |
то Г > |
0 в двухсвязных подоблас |
тях А а, примыкающих к прямым |Ji| = 1 2. В остальных двух подобластях А а гессиан Г < 0.
Доказательство.
Утверждения 1 и 2 очевидны.
3. Когда В = С, интеграл (1.1) нетрудно вычислить. Он равен
Следовательно,
А.д2^ |
_ д {ш 1,ш2) |
_ |
д{ш\, w2) д(и>!, 7 ) |
д (^ ,р ) |
dlidlj |
~ d { h ,I 2) |
~ |
д(изи!) d(ST,p) |
д{1и 12У |
где 7 = w2/u)i- Каждая из этих матриц Якоби определена в Да. При этом
д(ш!, Ш2) |
|
! д(ш1, т) |
1 |
0 |
|
||
|
|
1 |
= wi, |
||||
д (ал, |
7 ) |
6 |
д{и}г,и)2) |
|
|||
|
«1 |
|
|||||
det 0 |
( П |
р ) |
ОЛ |
2Ш _ |
|
4.Уал |
|
2а;1 |
|
|
|||||
гЗ |
1 2 |
|
|||||
0 |
(Д, / 2) |
12 |
Г2 |
|
|||
|
|
|
^2 |
|
|
|
Дифференцируя выражение (1.1) по 1±, получаем