книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

§2. Задача о несуществовании нового интеграла

61

рых — линия уровня функции Mo(lgLG°) на кольце К , дру­ гая — окружность S1{g mod 27г}. Иными словами, если сдви­ гать инвариантную кривую отображения вдоль окружностей

S1 = {L = L°, G = G °,l = l ° , 0 ^ g ^ 2тг},

то в результате получим как раз инвариантный двумерный тор невозмущенной системы уравнений.

Предложение 1. Пересечение SSnKi (i = 1, 2, 3, 4) со­ стоит из бесконечного числа замкнутых инвариантных кри­ вых отображения S; эти кривые накапливаются у сепаратрис, расположенных на границе области К{.

Обозначим через D область кольца К , содержащую сепа­ ратрисы неустойчивых неподвижных точек 3 и 4.

Лемма 1. Множество ^CiKiCiD (г = 1, 2, 3, 4) является ключевым для класса A(D).

Доказательство.

Пусть / — аналитическая функция в области D, обраща­ ющаяся в нуль на П К * (* = 1, 2, 3, 4). Рассмотрим анали­ тическую кривую без особенностей l(s): (а, /3) —> D, проходя­ щую через точку d(zKiC\D и трансверсально пересекающую одну из сепаратрис. Согласно предложению 1, эта линия пе­ ресечет бесконечно много замкнутых инвариантных кривых отображения S из множества Зв fl-SQ. Функция f(l(s)) аналитична в интервале (а , /3), и ее нули имеют предельную точку внутри этого интервала. Следовательно, /(Z(s)) = 0, s G (а, /3)

и, в частности,	f(d) = 0. Так как d —	любая точка внут­
ри Ki П D, то /	= 0 в области D.	я

§ 2. Задача о несуществовании нового аналитического интеграла

Предположим, что приведенная система канонических уравнений с гамильтонианом

62	Глава 3
имеет, кроме	интеграла энергии, дополнительный интег­
рал S (I, <р, ц),	аналитический в канонических переменных

действие-угол невозмущенной задачи и аналитический по па­ раметру |и. Пусть

S' — ^о {It <р) + fJt^i (!■> ¥’) + •••

Так как задача Эйлера-Пуансо невырождена (теорема 3 гл. II), функция ,% не зависит от <р. Согласно лемме Пуан­

каре	(§1 гл. I), функции Жо и So зависимы на множест­
ве	С Д° С Д°. Вековое множество	не является всюду

плотным в ДО (теорема 1). Это обстоятельство не позволило А. Пуанкаре на основании доказанных им общих теорем за­ ключить, что рассматриваемая задача не имеет аналитичес­ ких интегралов, отличных от классических [1, п. 86].

Такая трудность преодолевалась бы сравнительно просто, если бы функция Жо была аналитической в Д°. Действитель­ но, якобиан Жо и So равен нулю на множестве и являет­ ся аналитической функцией в Д°. Следовательно, на прямой / 2 = / 2 якобиан аналитичен, и его нули имеют предельную точку

{(/?, /°) : 2,З Д ]\ Ф = d l f/ B }.

Поэтому он равен нулю на любой прямой /2 = 12 и> следо­ вательно, есть тождественный нуль во всей области Д°, так что функции Ж0 и S'о зависимы. Однако при помощи метода А. Пуанкаре [1, п. 81] можно доказать, что если существует некоторый независимый интеграл S (I, <р, /л), то существует

итакой, для которого Жо и So не являются зависимыми.

Ксожалению, гамильтониан задачи Эйлера-Пуансо Жо

не аналитичен в Д°, так как прямые 2Жо(1г, I2) = / f /И являются для него особыми (см. §2 гл. II). Поэтому мы бу­ дем доказывать отсутствие новых интегралов, аналитичес­ ких в переменных, не имеющих аналитических особенностей в окрестности вращений вокруг средней оси эллипсоида инер­ ции (специальные канонические переменные, переменные Эй­ лера-Пуассона). При этом доказательства несуществования интегралов сильно усложняются в техническом отношении.

§ 3. Несуществование дополнительного интеграла

63

§ 3. Несуществование дополнительного интеграла, аналитического

в специальных канонических переменных

Рассмотрим каноническую систему с двумя степенями свободы, гамильтониан которой есть

Ж0(1, g, L, G, Н°) + рЖ (1, g, L, G, Н °)

(3.1)

(значение параметра Н° зафиксировано). Обозначим через D область на

кольце К , содержащую при неко­ тором значении модуля момента G° ф 0, |Н° |< G° сепаратрисы не­ подвижных точек 3 и 4 (заштрихо­ вана на рис. 10). Очевидно, что эти сепаратрисы будут расположены в области D при всех значениях G из малого интервала (ад, а2) С R , со­ держащего точку G° (а2 > ад > 0).

Теорема 2. В области D х х (« 1, а2) х T x{g mod 27г} х (—е, е)

нет аналитического интеграла канонических уравнений с га­ мильтонианом (3.1), независимого от интеграла энергии (3.1) и аналитического по параметру р.

Следствие 1. В фазовом пространстве переменных L, I, G, g нет аналитического интеграла приведенной систе­ мы канонических уравнений движения несимметричного тя­ желого твердого тела с неподвижной точкой, независимого от интеграла энергии Ж , 2тт-периодического по угловым перемен­ ным I, g и аналитического по параметру р в окрестности значения р = 0.

Доказательство теоремы 2.
Пусть
& = &o(L, I, G, g) + p&i(L, l, G, g) + ...	(3.2)

64

Глава 3

— первый интеграл приведенной канонической системы диф­ ференциальных уравнений с гамильтонианом (3.1), аналити­ ческий в области

Л х (а2, а2) х Т 1-^ mod 2л-} х (—а, е).

Покажем, что функция	не зависит от угловой перемен­
ной g. Так как функция	— первый интеграл невозму­

щенной задачи, то она постоянна вдоль траекторий невозму­ щенной системы уравнений. На нерезонансных инвариантных торах интегрируемой задачи траектории всюду плотны [4], следовательно, непрерывная функция постоянна на каждом нерезонансном торе. Хорошо известно [4], что в невырож­ денной интегрируемой гамильтоновой системе нерезонансные торы всюду плотно заполняют фазовое пространство. Так как задача Эйлера-Пуансо невырождена (теорема 3 гл. III) и функция непрерывна, то S'Q постоянна на всех инва­ риантных торах задачи Эйлера-Пуансо. Очевидно, что для всех g Е R точки (Л°, 1°, G°, g) лежат на одном и том же инвариантном торе (см. §1). Следовательно,

M L 0, 1°, G°, t>) = M L 0, 1°, G°, g")
для всех g', g" E R . Значит, действительно, функция		не
зависит от переменной g.
Докажем теперь, что функции ЖЬ и	зависимы	на

множестве Л х (оц, 0:2). При каждом значении G G (ад, аг) сепаратрисы гиперболических точек 3 и 4 делят область Л на четыре связные подобласти Л* (г = 1, 2, 3, 4) (см. рис. 10). В каждой области Л* каноническим преобразованием (L , /) —> —> (ii, (рх) можно ввести переменные действие-угол (см. § 1 гл. II). Это преобразование зависит, конечно, от значения пе­ ременной G, которая сама является одной из переменных дей­ ствие (G = 12). Тогда 1г = Ix(L, /, I2), g>x = <pi(L, l, I2).

Введем в рассмотрение матрицу Якоби

		дЖ 0	дЖ	0	дЖ 0
	R =	д ь	81		d h
		д&о	д&о		д&о

dL 81 д12

3. Несуществование дополнительного интеграла

65

( 3 .3 )

Обозначим матрицу размером 2 х 3 в правой части равенст­ ва (3.3) через R. Заметим, что дЖо/dipi = дЗ'о/дсрг = 0. Это вытекает из невырожденности задачи Эйлера-Пуансо и лем­ мы Пуанкаре (см. § 1 гл. 1). Пусть (I±, I2) £ SS П Д°. Тогда ранг матрицы R равен 1. Значит, при фиксированном значе­ нии переменной 12, на инвариантных кривых отображения S кольца К на себя (§ 1 настоящей главы), составляющих мно­ жество ЗЙПБ, матрица R тоже имеет ранг 1. Согласно лемме 1 множество SS Г\ D является ключевым для класса A(D). Так как все миноры второго порядка матрицы Якоби R при любом фиксированном значении 12 являются аналитическими функ­ циями в области D, то в области D х (ад, а2) ранг R равен 1, то есть функции Жо и зависимы.

Предположим теперь, что функции (3.1) и (3.2) независи­ мы. Пусть J(L, I, G, g, ц) — ненулевой минор второго поряд­

ка матрицы Якоби функций Ж и	Функция J аналитична
в области
D х (ai, а2) х Т 1^ mod 27г} х (—е, е).
Разложим ее в сходящийся степенной ряд:
J — Jo + (iJ1 + ■•■		(3.4)

Так как функции Жо и ^ зависимы, то J0 =0. Предположим, что в разложении (3.4) коэффициент при цр (р ^ 1) не равен тождественно нулю.

В области D х (ai, « 2), (L , 1) £ D, G £ (ai, a2) отлична от нуля производная

Следовательно, равенство

Ж0{Ь, I, G) = Ж0

66

Глава 3

можно разрешить относительно G и подставить полученное выражение в 3 0. В результате получим функцию

3 * = M L , l, G(L, l, Ж0)).

Покажем, что эта функция не зависит от L и /. Действительно,

	(13*а __ дЗо		ОЗц 0G _ Q
	dL ~	dL	dG д Ь ~		’
так как	8G	_дЖ о / дЖй
	8L		дЬ /	д С
Аналогично доказывается, что д 3 0/д1 = 0.
Таким образом, 3 0 = 3 {Ж 0), где 9 {х )					— функция, ана­
литическая в интервале (h h " ) , 0 < h' < h"
h' =	min	Жо,	h" =	max	Ж0.
	( L , l ) & D			( L , l ) G D
	G6 (a1 ,0:2 )			G&(a1 , 012)
Отметим, что	при фиксированных			значениях переменных
L = L0 и I = 1° минимальное и максимальное значение функ­
ции Жо(Ь°, I°, G) достигается в точках ад и а2 и только в них.
При fj, G (—е', е'), е'		— достаточно малое положительное
число, функция {91. —Ж ) аналитична в области D' х {а'х, а2) х
х Т 1!^ mod 27г}, где а'х > ад, а'2 <				а%, a D' С D, D' С D —

некоторая область кольца К , содержащая при всех (?£(а^, а2) обе сепаратрисы.

Рассмотрим функцию

3 - 9 ! .{Ж )

^- Д ’

аналитическую в области

D' х (а'х, а2) х T x{g- mod 27г} х (—£•', е').

Эта функция — первый интеграл канонической системы с га­ мильтонианом (3.1), и ее можно разложить в сходящийся сте­ пенной ряд

3 ' = 3 ' о + цЗ'х + •••

§4. Несуществование дополнительного интеграла

67

Снова получим, что о не зависит от переменной g и функ­

ции Ж0 и	зависимы. Так как
	& = Я (Ж ) + Н&'о +	+ ■■■,

то разложение минора J в степенной ряд начинается с членов порядка р2. Значит, Ji = 0.

Повторяя эту операцию р раз, мы придем к заключе­ нию, что разложение (3.4) начинается с членов порядка рр+1,

а не рр, как предполагалось выше.	■
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Нетрудно доказать,	что система с функцией

Гамильтона (3.1) не допускает даже частных аналитических ин­ тегралов, аналитически зависящих от р, при ограничениях на по­ стоянную энергии (ср. с § 3, 4 главы I).

Замечание 2. Теорема 1 фактически утверждает, что кано­ нические уравнения задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела с неподвижной точкой не допускают, кроме интегра­ лов энергии и площадей, третьего аналитического интеграла, нахо­ дящегося в инволюции с интегралом площадей. Последнее условие можно отбросить, но это потребует более громоздкого доказатель­ ства (ср. с [1, п. 86]).

Замечание 3. Рассмотрим каноническую систему с функцией

Гамильтона
Ж = Ж0 + рЖх + рЖ ч + ... ,	(3.5)

где Ж0 + рЖ\ — гамильтониан задачи о вращении несим­ метричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, а Ж2, Ж3, ••• — произвольные аналитические функции в фазовом пространстве переменных L, I, G, g1 2я--периодические по углам

Z, g. Если

PF —Зч, + р^\ + р ‘Р'ч + •••

— первый аналитический интеграл такой системы, то

^ = (Ж , 9 ) = (Ж0, 9 0) + р[(Ж0, &i) + (Жи &о)] + ... = 0, и, следовательно,

(Жо,^ о ) = 0, (Жо,& 1 ) + (Жи & о)= 0 ,...

При доказательстве теоремы 1 мы использовали только два пер­ вых равенства, куда входят функции Жо и Ж\. Значит, теорема 1 справедлива для более общих систем канонических уравнений с га­ мильтонианом вида (3.5).

68

Глава 3

§ 4. Несуществование дополнительного интеграла, аналитического в переменных

ЭйлераПуассона

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в потенциальном поле сил, инвариантном относитель­ но поворотов вокруг некоторой прямой Г, проходящей через точку подвеса. Обозначим, как обычно, через р, q, г проекции вектора угловой скорости на главные оси эллипсоида инерции тела, а через 71, 72, 73 — косинусы углов между прямой Г и главными осями инерции. Потенциал поля сил У зависит только от переменных 71, 72, 73- Предположим, что У — ана­ литическая функция в некоторой окрестности нуля 71 = 72 = = 7 3 = 0, содержащей сферу Пуассона

S2 = {(71, 72, 7з) 6 R 3 : 7i + ll + 1! = Ц-

Уравнения движения тела имеют следующий вид:

A p + (C - B )q r = 73^		- 72^ ,
B q + (A - C )p r = 7i g		-	73^ ,	(41)
Cr + (B -	A)pq = 72^	-	7i
7i = Г72 -	97з, 72 = Р7з - r7 i,			7з = (77i - P72-

Эти уравнения называются уравнениями Эйлера-Пуассона. Они имеют три первых интеграла:

интеграл энергии

Ар2 + Bq2 + С г2 - 2У (71, 72, 7з) = сь

интеграл площадей

Лр7] + /if/72 + C rj 3= С2,

геометрический интеграл

7i + 72 + 7з = сз-

§ 4. Несуществование дополнительного интеграла		69
Для реальных движений твердого тела сз = 1.
Разложим функцию У в сходящийся ряд
г = % + % +	,

где У* (к = 1, 2, ... ) — однородная форма переменных 71, 72, 7з степени к.

Уравнения Эйлера-Пуассона определены в R 6 = = R 3{p, q, г} х R 3{ 7I , 72, 73}. Пусть Е — некоторая окрест­ ность нуля в R 6.

Теорема 3. Если А > В >	С и форма У[	невырож­
дена (т. е. Ti^O ), то уравнения	(4.1) не имеют	в облас­
ти Е С R 6 четвертого аналитического интеграла,		не зави­

сящего от классических интегралов энергии, площадей и гео­

метрического.

В случае вращения твердого тела в однородном поле тя­ готения

У = - Р ( х 7i + 2/72 + 273),

где Р — вес тела, а (х , у, z) — координаты центра тяжести в главных осях инерции.

Следствие 2. Если тело несимметрично и центр тя­ жести не лежит в точке подвеса, то уравнения Эйле­ ра-Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела во­ круг неподвижной точки не имеют четвертого аналитичес­ кого интеграла, независимого от классических.

За м еч ан и е. Это утверж дение сущ ественн о усиливает теоре­ му Пуанкаре-Гюссона об отсу тств и и в этом случае нового алгеб­

раического интеграла [25].

Рассмотрим еще задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле сил [26, 35]. С боль­ шой точностью потенциал в этом случае можно представить в следующем виде [26]:

У = Ai(a:7i + y j2 + z j3) + \2(A jf + B^\ + C^\),

(4.2)

где Ai, Л2 — некоторые постоянные. Отметим, что такой же вид имеет потенциал в задаче о вращении тела вокруг непо­ движной точки, находящегося под действием силы тяжести

70

Глава 3

и силы притяжения к некоторой неподвижной плоскости, про­ порциональной расстоянию [27, п. 499].

Следствие 3. Если А > В > С и x 2+ y2+ z 2 ф 0, то урав­ нения Эйлера Пуассона (4.1) с потенциалом (4.2) не имеют нового аналитического интеграла, независимого от классичес­ ких.

За м еч а н и е . Это утверждение является существенным усиле­

нием теоремы Ю. А. Архангельского об отсутствии в рассматрива­ емой задаче нового алгебраического интеграла [28].

Точная потенциальная функция ньютоновского поля сил равна

	Ж г), Qd^dydC
	(4.3)
и	л/Д2 + 2Л(£71 + г/72 + СТз) + С2 + Ц2 + С

где (£, г], С) — координаты точки твердого тела в главных осях инерции, /?(£, г], Q — плотность массы в этой точке, R — расстояние от гравитирующего центра О' до точки подвеса О, U — область в подвижной системе координат, занимаемая твердым телом, Л — гравитационная постоянная (см. рис. 11).

Если точка О' не может находиться внутри твердого те­ ла, то согласно формуле (4.3) У — аналитическая функция направляющих косинусов 71, 72, 73. Положим

У1 — Х 71 + Y12 + Z13.

Тогда

V, СЖ d,t) d(

	и	(R2 + e + i ?2 + с 2)з/2’
		V, Od£dr)dC
	и	(R2 + e + r ) 2 + c 2)з/2,
		C/Ж V, Od£dr)dC
	и	(R2 + $ 2 + r f + C2)3/2 ’
		(4.4)