книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней

*	l < w < A ? 4 ) > ( ^ 7		«
<$ '■ Î L M ^ c ^ f - z ^ p - - £ i		H ^ » r J o 4 £ + W ) +
n*o		•
, lctQn()-?-2A'l ^ !* - jç ry (l-ct'>W]-frf) ( г „ ц			*

* W

’*

Щ - ) (fs^>

* le tO n a f-ù n -o -C i^ iv i}					+
* J ." C -				V д П г -S g - ♦ 4 ^ ) *
				z £ h H
				(2nH)l		(3.II5)
				d U		d V
54 ’ -	|	4	з	д £	^	%
-2 С л	£	%	}	£		«

‘V , * * {И е д ,/ / ’- ^ * ( A<'ÎM;'N, _ c<		J и +
* i W W ' y V ' - i <* Д	♦ С « * * а д » Ч *

Зак.689

Наиболее	сложный	вид имеет оператор R, равный после	обраще­
ния оператору	(3,112)	и определяющий реакцию основания на	колеба­
ние пластинки*
В частности» при		быстро изменяющихся процессах по времени
			( 3 . I I 6 )
а для задач кваэиотатики

В общем случае для упругой пластинки и упругого основания опе-

ратор		t
e <W>s l h	r	-	>
z3fb>		О	(3 .1 1 8 )
C f		ZJt-
T(c,f)=j	j W (& - r c o s Q , y - r s i n Q , f - - ç ) d n d d		( 3 . I I 9 )

оо

Для вязкоупругого основания выражение (3.118) зависит от веда ядер вязкоупругих операторов Ыг ,Мг и может быть получено при ревении конкретной задачи.

Как видно из формул (3.116), (3.II7) или (3.118), реакция ос­ нования на колебание пластинки не совпадает с теорией ъикклеровского основания и очень сложно зависит от параметров этого основания.

Кроке того, вид уравнений колебания пластинки на деформируемом осно­ вании не обусловлен распределением перемещений и напряжений от ис­ комых функций, а лишь условиями на границах вязкоупругой пластинки.

Из точных уравнений ( З . Ш ) нетрудно получить приближенные уравне­

ния колебания для решения конкретных задач, при етом	реакцию осно­
вания необходимо вычислять по одной из формул (3.116)	- (3.118)	в
соответствии о типом задачи.

Примечание.	В известных классических и уточненных теориях ко­
лебания пластинки на деформируемом основании считается чисто			попе­
речным и описывается уравнением типа уравнения		Тимошенко с тем иди
иным законом реакции основания. Однако, как видно из ( З Л И ) ,			коле­
бание пластинки	на деформируемом основании не	является чисто	попе­

речным, а содержит также и продольную составляющую,которая описыва­

ется первыми тремя уравнениями (3.III). Аналогично			исследуется за­
дача при условиях жесткого	контакта при	z - - f i , т.е.	между пластин­
кой (слоем) и основанием	(полупространством).
$ 9. Теория колебания вязкоупругой пластинки,
находящейся в деформируемой		среде [33]
Рассмотрим вязкоупругую пластинку (слой), поверхности				которой
соприкасаются с деформируемой вязкоупругой средой			из одного	и того

хе материала, т.е. движение пластинки-слоя описывается уравнениями

(3.94), а полупространств z > A и z < - h			- уравнениями (3.95).
	Ограничиваясь условиями	отсутствия трения по границам контак­
та пластинки-слоя и полупространств, имеем граничные условия
			(ЗЛ20)
при z = h и
	— х	6?z ~fy	(3.121)
	6 zcc ~ f z
при	z = - h , где fz9 fj7L) f0	- напряжения и смещение по границе z=
= -fl,	возникающие, например,	при падении	на границу z = -/; вязкоупру­

гой волны	произвольной природы со стороны нижнего полупространства.
Начальные	условия нулевые.
Сформулированная задача весьма сложна с математической		точки

зрения, и ее точное аналитическое решение получить невозможно.Одна­ ко развиваемый подход позволяет найти ее приближенные решения.

Как и в предыдущем параграфе,	общие	решения уравнений	(3.94)
и (3.95) при - A < z < / z и z < - h	имеют	вид (3.103). При z	>h ана­
логично имеем

Ограничимся рассмотрением задачи для	сдоя* а искомые	величины
в полупространствах нетрудно выразить через	искомые функции	в слое:

В0* ^ - \ . Ч ( Щ 0- С ) - М г 10 f% \ [fi\- A J 1 ;

С ' в ' М г Ц Щ ' - ^ Ь - м ; ^ ^ [ t f - A 0V ;

(3.123)

Це ^ м ; 1 с Ч^ - к ф [ А г ( ^ .А 0)Т\

E0e~fi*h=- ur1Q(fll+Ao )\рсг (ц1-А 0)]~К

E / ^ - Z W ^ f i l - A j 1) Е/^2кигю(^-А0Т1; е/ Л^=0.

Преобразованные величины перемещений по-прекнецу выражаются формулами (3.100) через вспомогательные функции u0 , V0 , w 0 , и10, V1Q, Wi0 , для нахождения которых имеем граничные условия (3.120) и <3.121). Эти граничные условия приводят к системе уравнений

£ ^ ( н с 0)/> ? -с0(/ь*+* + m +

+[</ -cX "+^ A 2+* V	4 roV 0} < ^ +
+ £	кЦ0+<iv10)~
П*0

*[P0Q„

“А

4 J (2rl)!} ’

124

« К в) - А г [ 2 ^ 2+ ? 2Л>вС ^ - « ; я] ^ в} ^ ^ 7 =

h 2n" sRo % j ^ co € ( 4 ^ v < ^ % 0 ^ (2п+1)!h*n" +

£ { к 1-с0) « Ы п-2«?о<гч г)СоО		№	+? ^ )+
.	л	ч	,2/7+/
+ ( * + $ ) [(/+ C0)fif\ 2 ccfC 0 Q(n0}2 W<^(2 n + i)ï~ °>
« ,	»		(3.124)

_

л л

1,2/7+/

f k f V y t f - * V < ' « » % - * ! « , >(- 0 - " -

Подученные результаты позволяет с той иди иной степенью точнос­ ти исследовать прохождение волн через упругие или вязкоупругие слои. Данные задачи важны в сейсмологии, а также при исследовании колеба­ ния подземных сооружений.

КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ УПРУГИХ

ИВЯЗКОУШУГИХ ПЛАСТИН

Внастоящей главе рассматриваются некоторые частные задачи ко­ лебания прямоугольных пластин при различных условиях закрепления по краям и другие задачи колебания.

$ I* Общая постановка задач о поперечных колебаниях упругих прямоугольных пластин

В гл. 2 было показано» что в общем случае поперечные колебания пластин не являются чисто поперечными» а складываются из чисто про­ дольного и чисто поперечного колебаний. Точнее» эти колебания необ­ ходимо называть продольно-поперечными.

Таким образом» если на одну из поверхностей пластинки действу­ ют внешние нормальные усилия» то ее колебание описывается тремя не­ зависимыми уравнениями: одно для поперечных смещений средней плос­ кости пластинки и два для двух плоских потенциалов»описывающих про­ дольную составляющую колебания. Данные три уравнения выведены в гл.2. Однако они» хотя и являются точными» неудобны для решения частных задач» так как содержат производные по времени и координатам беско­ нечно высокого порядка. Поэтому вместо точных будем использовать при­ ближенные уравнения» получаемые из точных с любой степенью точности.

Если для определения смещения точек средней плоскости пластин­

ки W взять приближенное уравнение» содержащее производные не				в ш е
четвертого порядка» то зто уравнение будет иметь вид
^ W - Z B ^ A W		+ C ^ + D ^ F ^ y ^ y ,		(4.1)
“	д х г	d f '
где коэффициенты
З а г- 2 Ь г .	г -	° г+З Ь \ .	З а г
4Ьг(а г- Ь г) '	8Ьч(а г-Ь г) '		И гЬг(аг-Ьг) >

Г =

а 2

Г 6

2 16(аг-Ьг) U / ? 3

+_L(±	Заг-2Ьг л	Y1
fz ( u h W W	аг	Ч у

Нетрудно видеть» что приближенное уравнение (4Л ) является урав­ нением типа Тимошенко» а правая часть в форме (4.3) описывает коле­ бание пластин средней толщины (по принятой в литературе терминоло­ гии).

Аналогично если для плоских потенциалов» описывающих продоль­ ную составляющую колебания пластинки» ваять уравнения типа класси­ ческих» то эти уравнения имеют вид

1 дгу>	„г_*ЬЧаг-Ь2).	1 д г(р	*о,	(4.4)
Ау>- cl ât2	о- аг	А</>-" F it *

где

З д г - 4 Ь г	(4.5)К.)
Чаг-Ьг)

Уравнения (4.4) не описывают дисперсию продольных и поперечных волн продольной составляющей колебания. Для учета этой дисперсии вместо уравнений второго порядка (4.4) применяются уравнения четвер­ того порддка

	I c i	-dp]-	hz\ аг+ЗЬг д*у>
		d t *	6 \.ЧЬЧаг-Ьг) dt4
	~ агЬЧаг-Ьг) W		à(f*2àZÿ\	(4.6)
	1И
которые	являются	более сложными» чем классические		(4.4)»опиоывапцие
плоское	обобщенное напряженное состояние.			04 у. 4 lz. При-
Рассмотрим прямоугольную пластинку 04X4 tf;

исследовании ее колебаний возникают различные краевые задачи» кото­

рые зависят от условий закрепления краев пластинки.	Таких условий
на практике возникает весьма много. Ниже укажем лишь	некоторые	из

условий закрепления» которые				приводят к	следующим	основным			за­
дачам.
	Задача I.	Наиболее простая для исследования. Она				возникает тог­
да, когда все четыре края пластинки шарнирно оперты.
	Задача 2 . Два противоположных края шарнирно оперты, а два дру­
гих	свободны.
	Задача 3 . Все четыре края пластинки жестко закреплены.
	Задача 4 . Два		противоположных края жестко защемлены,				а два дру­
гих	свободны.
	Задача 5 . Один из краев жестко защемлен, а три других овободны.
	Задача 6 . Один из краев жестко закреплен, противоположный								ему
шарнирно закреплен, а остальные два свободны.
	Возможны и другие условия закрепления,				например когда		один		и
тот же край частично закреплен, а частично свободен и т.д.
	Кроме граничных условий закрепления краев пластинки для							реше­
ния задач колебания необходимо задавать начальные условия,							опреде­
ляющие состояние пластинки в начальный момент времени (или							в	любой
заданный)•
		5 2. Свободные поперечные колебания
			прямоугольных пластин
	Свободные колебания пластин возникают тогда, когда внешние уси­
лия равны нулю,		т.е. /z = 0, а		начальные условия в общем случае					от­
личны от нуля.		При	внешних усилиях, равных нулю, поперечные				колеба­

ния плаотин относятся к чисто поперечным и свободные колебания опи­

сываются одним уравнением для	W типа уравнения (4.1), правую часть
в котором необходимо положить	равной нулю, т.е. для	W будем	иметь
однородное дифференциальное уравнение в частных производных.
Рассмотрим некоторые из сформулированных в предыдущем парагра­
фе задач о свободных колебаниях прямоугольных пластин.
Задача I. В этой задаче	граничные условия для	смещения	имеют
вид
			(4.7)

при начальных условиях

В силу граничных условий (4.7) смещение

Решение (4.9) будет удовлетворять граничным условиям (4.7), еояи

	у - Ш . .		о - %т	тп|
	*п I	>	vm~ / *	(4.10)
	f		‘-г
Подставляя (4.9)	в (4.1) при /^=0, для И/„ т подучаем обыкновен­
ное дифференциальное уравнение
CK m + ^D+2B( l 2+^ M ^ +( ^ +^ )K ,rn = 0 -				(4.И)
Общее решение уравнения (4,II) находится известными				способами;
К	,		<)*b„imcos(r"i,t) +
+ с » ,„ *‘" ( С №			. т СоЛГ% 1 Л -	<4-К >
Здесь
				i/г

- частоты колебаний пластинки, шарнирно опертой по краям.

Для определения постоянных интегрирования Яп,т> ^п,т>сп,т>^п,п используем начальные условия (4.8), что дает

ОО	0 0	+ / г)cn J s i n ( ÿ n*)sï-n V mV )=yz ( * ' j f ) l
z:	zЕ ( Г ^ п
n-oт-оv n fm n 9m		n , m n 9m *	o n

е т ч , , * * в д v = a

Иа (4.13) следует, что указанные постоянные интегрирования яв­ ляется коэффициентами двойных рядов Фурье функций <pi , уг . Следо­ вательно,

	l t t2
*п,т	J J
	0	0
* s in ( ^ ) s in ( ^ ) d ^ d ç - ,	cntm= - [ r ^ ] 3[ ^ ] ' a nimi
^rrC2J-]2	(f h	(4.14)

*S in ($ mt})d tid ç ; ^n,m~~Vn,m\	\Гп,т\ bn,m’
Подотавляя (4.14) в правую часть (4.12),	а затем выражение W^m
в (4.9), получаем решение задачи о свободных	колебаниях пластинки,
шарнирно опертой по краям, при начальных уоловиях (4.6):
W= £ Ë 0K m Sin( C t ) + b n,mCOS(r„%t) +
+ cn,«Si^ $ ) 4 , m c*S^	<4Л5)
Зная смещение IV, определяемое по (4.15),	по формулам гл.2 мож­

но найти распределение как перемещений, так и напряжений по толщине пластинки о любой отепенью точности.

Для частот гп(1^ имеем выражение

(t,2) Ь j3(1-)>)+^jr^-h2[(M:nA(xm)2(lt/t2f'] +

^

= Л Ч

\ * - 5 * )

1