книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней

+cyfj+*с,^ г < сН сг^ ~ 2с<сг№ +4 H(t^}+

+сРг,пп$г1)+гВ( ^ +^		[6а)+ с,Н (1)-сг tH (t)}+
+ С [ ^ + 2 С1^	+Сс^2сг )вШ -2с^гН (ф ф Н (г )\ у		(4.58)
Подставляя (4.57)	в (4.53),	находим решение задачи

" 4 1 , Щ Щ j - O W * ' * * * "

~

J

l

(4.59)

Ù0 0

которое ддя модели Максвелла вязкоупругого тела в случае уравнения (4.47) переходит в точное.

$ 5. Свободные колебания прямоугольной упругой пластинки, лежащей на упругом деформируемом основании

Бстроительстве большой прикладной интерес представляют задачи

околебании упругой пластинки (плиты или фундамента), лежащей на де­ формируемом основании. При их решении обычно вводят модель винкдеровского основания, т.е. предполагается, что реакция основания про­ порциональна смещению точек срединной плоскости пластинки (однопараметричеокое основание) или смещению и лапласиану от смещения (двухпараметрическое основание), причем, как указывается в работе [il], коэффициенты пропорциональности определяются иэ эксперимента и для дцухпараметричеокого основания они практически не наклеим. Кроме то-

го, в этой же работе отмечается, что модель винклеровского основа­ ния во многих случаях дает неверные результаты.

В § 8 гл.З выведены точные уравнения колебания вязкоупругой пластинки, лежащей на вязкоупругом деформируемом основании при от­ сутствии трения по границе контакта. Показано, что реакция основа­ ния весьма сложно зависит от смещения точек срединной пластинки. Однако для многих задач, связанных или с волновыми быстропротекапцими, или с кваэистатическими медленно протекающими процессами в плас­ тинке, зависимость реакции основания в асимптотике от смещения то­ чек срединной поверхности пластинки значительно упрощается. В част­ ности, при исследовании волновых процессов реакция основания пропор­ циональна скорости смещения точек средней плоскости пластинки и чет­ ным производным от этой скорости по координатам и времени, что ста­ вит под снмнение правомерность винклеровского основания для решения задач данного класса.

Рассмотрим случай, когда пластинка и основание упругие,однород­

ные и изотропные, внешние усилия отсутствуют, а начальные	условия
отличны от нуля. Пластинка предполагается прямоугольной и	шарнирно

опертой по краям. Для решения данной задачи применим приближенные

уравнения, получающиеся из точных отбрасыванием производных			от ис­
комых функций выше четвертого порядка. В качестве основной			неизве­
стной примем смещение точек		срединной плоскости пластинки U/f,через
которое выражаются остальные. Для смещения W1 имеем приближенное
уравнение
		f ( 1 , 3\d*W ,
b;1 d t z	6	\Jbf\bf a f / d t «

t3af-Zbf	dz				+ Q(Wt)= 0 ,
	AW ^8						(4.60)
	де
где реакция основания
Ж 1 = к а ,	à г	.	м	и	Л	]	(4.61)
0 ’ > ’ Щ Ж L ' г \ ^ b f					« *	' V

Как	видно иэ (4.61), подучается трехпараметрическое основание, при­
чем	все три параметра легко вычисляются через параметры пластинки

и основания. В (4.61) параметр

*<o = ( P z a z ) / ( P i a i)>

(4.62)

т.0 . к0 -.это отношение жесткостей основания и пластинки.Перепишем уравнение (4.60):

dt+	ô t*
- 2 B - $ - A W + C ^ + I)	Ô^ - n	(4.63)
ZB° d t ÙW' C° ô t 3 D° ~ d T ~ ° '

Здеоь параметры A, В , С определяются по зависимостям (4.2), а пара­ метры

_ _ 3 k £ a f

£ =	•	С - 3 к оа 1	ЯО9
	»	СЛ~
°~ 1 6 h b f(a f- b f)	’	0 f6hb\*
В0		a *+ 3 b Z	(4.64)

а» = 1 ^

иотражают закон влияния основания на колебание пластинки.

Всилу граничных условий для краев прямоугольной пластинки сме-

цение W1 ищем в виде (4.9), т.е.

п —Iт *1 wn,msin (		L	(4.65)
Подставляя (4.65) в (4.63), для Wn т		подучаем	обыкновенное
дифференциальное уравнение четвертого порядка
C W ^+C0W'“m+ iD + 2 B ( t i+ ^ w " ,m +
+С»o+2Bo ( i ï + t i M	[ m+ t â +*m fW i=0.		(4.66)
Решение уравнения (4.66)	ицется обычным опособом черев корни
карактеристического уравнения
C r*+c0r 3+[D +2B(tf+i>Z )]r*+
+[£0+2B.g( t i + i>*)]r+(tf+)>m)		= 0 .

143

Уравнение (4.67) имеет действительные или комплексные корни и при отсутствии основания переходит в уравнение

Cr\[D+2B( fn+v)m2)]г2+(у„2+^ )2= 0,

(4.68)

которое является биквадратным и корни которого чисто мнимые. Из фи­ зического смысла следует, что действительные части корней уравнения (4.67) должны быть отрицательными* Это нетрудно показать на основа­ нии критерия IVpBmja [43], так как корни уравнения (4.67) таковы,что их действительные части отрицательны. При определение корней урав­ нения (4.67) могут быть три случая: I) корни комплексные, попарно сопряженные; 2) два корня действительных и равных и два - комплекс­ но-сопряженных; 3 два корня действительных и разных и два - комп­ лексно-сопряженных. Следовательно, общее решение уравнения (4.66) имеет вид один из трех ниже приводимых:

К ,т = е ^	fLA,Sin (л п ^ ) +АгШ
-8(п,т\	lA3sin(fi„tmt)+A^cos(finfmt)y,			(4.69)
+е г
К.т=*	4	W 1 +
+е"^ ’ \A3sin(fi„>mt)+A^cos(jinmt)]i				(4.70)
К,т=А,г 3		*+Аге *	+
	[A3sin(jin>mt)+A+cosfa* V I			(4.71)
Корни уравнения (4.67)		можно получать численно или по извест­

ным в алгебре формулам.

Для нахождения произвольных постоянных интегрирования в (4.69)- (4.71) имеем начальные условия

	d zW1 _ d 3W,	= 0 ;	t=0.
	~ W dta

Приведем значения постоянных интегрирования для наиболее часто встре­ чавшегося первого случая:

A i—-

(4.73)

Здеоь

+ (Sln'm)f ] - ^ n’m)Ç ‘m)<x2n>m1^ п>т)- 6 (гп’т)] } -

(4.74)

Зак.689

* < . - A % ] + ^ " ' " W " ' ^ - ( 4 <"•",)3 *

^ - ^ . A w . ^ ' ,{ W w " ’>,- - t . ] [ < . -

Л № и ,” ' А < „ ] } +

Аналогично втисываютсл выражения для /4у в двух других случа­

ях.

В зависимости от механических характеристик пластинки, ее раз­

меров, номеров гармоник п и т и параметров	основания корни уровив­
ш и (4.67) могут принимать един из указанных	видов.

бб. Колебание безграничной упругой пластинки при воздействии бегущей нагрузки

Рассмотрим упругую изотропную пластинку, лежащую на деформируе­ мом упругом основании.

Пусть по поверхности пластинки распространяется бегущая вдоль ееи х о постоянной скоростью V0 нормальная нагрузка вида

146

т.6. нормальная пульсирующая нагрузка о частотой со по		времени. При
этом выполняются условия	при ç < 0. В данной	задаче началь­

ные условия отсутствуют.

В силу внешнего воздействия вида (4.75) напряженно-деформирован­ ное состояние пластинки от координаты и не зависит, а потенциалы поперечных волн продольной и поперечной составляющей волнового поля равны нулю.

Задача сводится к решению основного уравнения для поперечного

смещения W точек средней плоскости пластинки
		d *W	оо d*W			оо	â 3W		d 4 W 4*
		д х *		â x zâ t z				+С â t ♦
		+ С dJW_+Dd^W				dW_= e i a F2( x + V0t ) ,					(4.76)
		+С° â t *		â t z	D° â t
где функция		Fz зависит		от нормальной нагрузки f						и частоты со	и вы­
числяется по формуле			(4.3),		коэффициенты В ,С ,Ь					- по формулам
(4.2),	а постоянные		В0 , С0 , D0			связаны с			влиянием нижнего основа­
ния на	колебание пластинки:
		в -	. Зк° а 1				с - Зк0а 1 д
		° ~ т ь * ( а * - ь * у					°~ 16h b f 0
		Д . =		вп		_ a f + 3 b f
				J F '		° ~ ~ ^ b f
Решение уравнения				(4.76)		ищем в веде
				W = eiu t W0( x , t ) .							(4.77)
Тогда для IV. из (4.76)				получаем уравнение
	d x h	â x zd ï Г+			â t ♦	+ 2 (B0-2iù)B )' â x zd t
	■+(Cg+4iü)C ) d 3W0				+ 2(ü(ü}B -iB 0 ) â zW0 .
				â t 3					d x z	^

+(D+3iü>C0 - 6œpС). d zW0 +

+(l>0+2ial>-3<ozC0 -4Ccà3C)-^r- +

+(CûJ4- i(ü 3C0-û )ZD+ icoD0)W0F2 (x + V Qt ) .

(4.78)

Его правая чаоть зависит лишь от комбинации (x+V0t ) . Поетому

вводам новую переменную

t =x + V0t ,

(4.79)

и тогда (4.78) вводится к обыкновенному дифференциальному уравнен»

( 1- 2 8 V f+ C V f)~ ^ + \4icoV0(C V ?-B h

*V0(C0 V0Z+2B0) ] ^ +	lw (3C 0V02-
- 2B0)+ ( Щ г-6согУ02С	+ 2согВ )]	+

+l2toVjD-2uZC)+V0(D0-3cu%)}*£z +

=

(4.80)

Характеристическое уравнение (4.80) имеет вид

( 1-2BV0*+CV0*)r*+ [4iaV0(CVf-B)+V0 (C0V0Z+2B0)]r\

+[Ш(зс0Vf-2B0)+(DVZ-6co2VZC+ 2игВ» 2+

+ Ve[2Ш(Т)-2шгСЬ(Т>0-ЗыгС0)] Г+

+[iv(D0-eu*Cg)+ Сг(Ссог-Ъ0)]=0 ,

(4,81)

Его корни нетрудно найти по известный формулам Кардано» однако ана­ лиз етих корней в общем случае сложен и для этого целесообразно при­

менять	ЭВМ.
В частных случаях уравнение (4.81) упрощается.
Первый случай* Внешняя нормальная нагрузка					имеет неизменный
профиль»		т.е. чаотота со=0, и деформируемое упругое основание				отсут­
ствует:		B0 = C0 = D0 = О.	В этом случае	(4.81)	оводится к	уравне­
нию
		(1 - 2 B V z+CV?)r*+DV0zr z= 0,				(4.82)
корни	которого
		г1~ гг~0>	/	Щ г		(4.83)
			rM s ± z 1-2BV0z+CVf
Вт о р о й случай. Пусть			основание по-прекнецу отсутствует»			но час­
тота	<O t09 т.е. нагрузка пульсирующая. Тогда				вместо (4.81) имеем

(f-2BVf+CVf)r4+4ia>Ve(CV02-B )r3+

+(DV0z-6ù>zCV0z+ 2ü )z B ) r z +
+2iû}V0(D -2CûJZ) r + CJ z(Cü>z-D ) = 0 .	(4.84)

Уравнение (4.84) оодержит чисто мнимые коэффициенты только при нечетных степенях г.

Третий случай. Внешняя нагрузка неизменного профиля.т.е.часто­ те сл-О, но плаотинка лекит на деформируемом основании. Тогда вмес­ то уравнения (4.61) находим

r\ l-2B V ?+ C V f) + V0(С0V0Z+2B0 )г3+

+DV„zrz+VoD0r=0 .	(4.85)
Здесь один корень нулевой, т.е. rf = 0 . Для	трех других корней вы­
водим уравнение третьей степени

( 1-2ВУ0г+СУ0Ч)г> + V0 (С0 VgZ+2B0) г г+

+ J)Vozr + V0Do = 0 ,

(4.86)

которое легко решить, применяя формулы Кардано.

$ 7. Воздействие сдвигового пульсирующего напряжения на поверхность упругого слоя

В настоящем и последующих параграфах приводим аналитические ре­ шения ряда задач в точной постановке, которые могут быть использо­ ваны в дальнейшем для сравнения с решениями аналогичных задач,полу­

	ченными на основе приближенных уравнений.
	Пусть упругий слой -h	£ у £ 0	лежит на недеформируемом		основании
	^ = -А. На поверхность слоя и=0		воздействует сдвиговое пульсирующее
	напряжение интенсивности	F (x + D t) e x p ( ic u t ) .			В этом слу­
	чае задача сводится к решению волнового уравнения
	д ги/	д гШ _ 1		д гит	(4.87)
	д х г	* д у г	~~b*	d t *

относительно	смещения и/,перпендикулярного плоскости (х ,у ) при	гранич­
ных условиях
	F (x + D t)ex p (ia > t); у = 0 ;	(4.88)

ur(x,y,t)=0;	у=-А.	(4.89)
Введем новую функцию и?1:
w (x ,	t ) e x p ( id) t) ,	(4.90)
которая удовлетворяет уравнению

и граничным условиям

F (x+ D t)	(у = 0 ); tq = 0	(4.92)
оадачу (4.91), (4.92) удобнее решать, переходя к подвижным коор­
динатам х = (x + D t); у'= у ,	причем штрихи	в дальнейшем будем