книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек
..pdf
|
|
Г |
д2Ф |
д2Ф 1 |
€уу (*,У,Z,т) = - [АпР(т) +A22RqМ]+ [А22 -faT +А12 <fy2 J |
||||
d2(w —w°) |
|
|
(5.82) |
|
|
|
|
||
2 |
cty* |
’ |
d2(w —wQ) |
|
еху(х, у, z,t) = -А6б |
д2Ф |
п |
|
|
----2z' |
дхду |
|
||
|
дхду |
|
|
В конечном итоге деформации и напряжения в оболочке опре
деляются путем суммирования рядов Фурье.
При решении каждой конкретной задачи первым этапом явля ется нахождение коэффициентов Фурье Wmn{x) и исследование их зависимостей от т и п. Несколько типичных зависимостей коэффициентов Фурье в разложении дополнительного прогиба
^0171= ^77111—WmnQот т и п приведены на рис. 5.17.
Как показали результаты многочисленных расчетов, распреде ления Wmn по п для любых значений т как при осевом динамиче ском сжатии, так и при динамическом внешнем давлении имеют только один максимум. Значение п=п*, которому отвечает этот максимум, определяется главным образом скоростью нагружения, видом распределения по п коэффициентов Фурье WmnQв разложе нии начального прогиба и моментом времени т. Распределение
Рис. 5.17. Распределения по т и п коэффициентов Фурье в разложении дополнительно го прогиба при осевом сжатии
(а) и внешнем давлении (б). Цифры у кривых соответству ют номерам вариантов рас чета, представленным в табл. 6.3 и 6.7
Wmn по п при нагружении оболочки динамическим внешним дав лением всегда имеет один максимум, соответствующий m —1.
Важнейшая особенность задачи об осевом динамическом сжа тии заключается в том, что распределение Wmn по т, как пра вило, имеет два максимума. Один из них соответствует т= 1, вто рой —намного большему значению т=т*. Как было установлено,
т* зависит главным образом от скорости нагружения Vp и гео метрических параметров оболочки. Указанная особенность задачи
требует, во избежание грубых ошибок при определении пределов суммирования рядов, предварительного исследования распределе ний по т коэффициентов Фурье в интересующем нас интервале времени.
После того как значения т и п, соответствующие всем макси мумам распределений коэффициентов Фурье конкретного рассмат риваемого ряда, установлены, суммирование можно провести сле дующим образом. Пусть, например, максимум по п соответствует п=п\, а максимумы по т —значениям т\=\ и т2. В качестве первого слагаемого выбираем член ряда Фурье с номерами (mlf П[). К нему последовательно добавляем слагаемые с номерами \ти п\—\), (т и Л1 + 1 (mi, по)у..., (mi, N). В результате вы
числяем сумму 5,,0>' (после этого значение т\ увеличивается на
единицу), определяем сумму S™1*' и т. д. до тех пор, пока будет выполнено условие
(5.83)
где е —заданная допустимая погрешность; k0 —наперед задан ное целое число. Вычисленную в результате двойную сумму обо
значим через S(1>.
Для дальнейшего существенно соотношение между mlt k и m2. Если mi+A:^m2, то суммирование ряда закончено. Если m,+Æ< <m2, то суммирование необходимо продолжить, добавляя к S(,)
слагаемые |
,• ■• |
7- Суммирование от ш2 в сторону |
||
убывания т |
»*о»Л |
7,о*л |
|
условия р= |
прекращается |
либо при выполнении |
|||
= m2—mj—/г, либо по достижении заданной точности: |
|
|||
|
|
р |
< е. |
(5.84) |
|
|
|
|
13-1514
Вычисленную в результате сумму обозначим через 5<2>. Последний этап состоит в суммировании от тг в сторону возрастания т.
При этом к S(2) добавляются слагаемые |
..., |
. |
Процесс заканчивается, когда выполнено условие |
|
|
ho |
|
|
У . Sm-+Q+i |
|
|
ТГ По,N |
|
(5.85) |
' < 6. |
|
да+ 2 swi+s гг!
Вычисленную в результате сумму обозначим через 5. Таким обра зом, окончательно имеем
о |
|
h |
р |
> |
|
сШ2-г |
q |
q«»2+s |
|
V |
e«*«+J I |
|
i > |
||||
о= |
j=0 |
ûn0l N T / |
|
I On0l дг |
*T |
o7l0l iV= |
||
h |
|
r=0 |
N |
|
s=1 |
N |
||
|
Л* |
p |
|
|
q |
|||
= E |
E |
+ E |
E |
5nm!“r+ E |
E s r +s ; (5-86) |
|||
j=0 |
1=no |
1=0 |
71=По |
S“1»=lit, |
m2 —P<mx+k.
Пределы суммирования k, p, q определены согласно условию, чтобы добавление к 5 любой группы из k0 неучтенных в (5.86) членов приводило к поправке, не превышающей заданной вели чины е.
Процедуру суммирования можно проводить и в обратном по рядке, зафиксировав значение п и начиная вычисления с суммиро вания по т. Результат может быть представлен в виде
Л' |
k |
j> |
q |
|
s = E |
( E |
5™+i+ E |
s»,_r+ E s»!+s ) • |
(5-87> |
n=no |
j—0 |
r—0 |
s-1 |
|
При решении задачи на основе многочленной аппроксимации про гиба «о и iV— наперед заданные числа. Поэтому оценка точности может быть получена только путем проведения повторных расче тов и сравнения значений сумм (5.86) или (5.87), вычисленных при различных пределах суммирования п0, N. При решении на ос нове одночленной аппроксимации прогиба пределы суммирова ния /г0, N заранее не задаются; суммирование по п продолжается до тех пор, пока будет достигнута требуемая точность.
Следует добавить, что в зависимости от координат {х, у) точки на поверхности оболочки, в которой производится суммирование рядов, и момента времени т, сильно варьируется число членов,
подлежащих учету при вычислении конкретной суммы с заданной точностью. Как показали расчеты, наиболее быстро ряды сходятся в точках {х, у}, где искомые функции (прогиб, деформации, на пряжения) максимальны. Учитывая это обстоятельство, можно добиться существенной экономии машинного времени, затрачивае мого на суммирование рядов, поскольку нет практической необхо димости вычислять малые величины с высокой степенью точности.
Рассмотрим некоторые результаты суммирования рядов для прогиба при нагружении оболочки линейно возрастающим во вре мени осевым сжимающим усилием Р{т). Параметры оболочки при мем такими же, как и в численном примере, относящемся к осевому сжатию (см. 5.4). Распределение коэффициентов Фурье \ГЖ„° за дадим в виде (5.79); скорость нагружения Ур=0,5. Пределы сум
мирования m0= 1, М=30, /г0=1, N=9 установлены согласно усло вию, что при добавлении каждой следующей окружной гармоники и каждой следующей группы из четырех осевых гармоник значе ние суммы изменялось не более чем на 1%.
На рис. 5.18 представлены зависимости ôd(.v) в сечении y=nR в два момента времени. Как видно, в данном случае неосеснмметричиое динамическое выпучивание характеризуется образованием и развитием нескольких поясов вмятин и выпучин в средней части оболочки. Такое местоположение зоны наиболее интенсивного вы пучивания обусловливается принятой зависимостью начального прогиба от х. На рис. 5.19 приведены зависимости прогиба от окружной координаты при т=3,4 в сечениях x=0,485L (кривые ], 2) и х=0,54L (кривая 3). Как было отмечено, при использова нии распределения (5.79) доминирует окружная гармоника с л=3; этим и объясняется наличие шести узловых точек у зависи мости w(y). Наибольшего значения прогиб достигает при y=nR. Что касается эффекта взаимосвязанности окружных гармоник, то, как видно из рис. 5.18 и 5.19, он приводит к заметному снижению прогиба. А поскольку этот эффект обусловлен учетом геометри ческой нелинейности, то он сильнее проявляется в тех местах обо
лочки, где больше величина прогиба.
и
Рис. 5.18. Зависимости проги ба от осевой координаты в се чении y=nR. Кривая 1 соот ветствует решениюс одночлен ной аппроксимацией при т= =3,4; 2 н 3 —решению с многочленной аппроксимацией при т=3,4 и 3,0
13*
Рис. 5.19. Зависимости прогиба от окружной координаты при т=3,4 в сечениях .v=0,485L (кривые /, 2) и at=0,54L (3). Кривая 1 соответствует решению с одночленной аппросимацией, 2 и 3 —с многочленной
Рассмотрим далее, как влияют на форму, принимаемую обо лочкой при динамическом выпучивании, наиболее характерные па раметры, входящие в уравнения движения, — скорость нагруже ния Ур, отношения R/h и L/R. Распределение WmnQсохраним в
виде (5.79).
На рис. 5.20,а, б, в приведены зависимости прогиба от осевой координаты для трех значений скорости нагружения. Отметим две наиболее характерные их особенности. Во-первых, с уменьшением скорости нагружения количество вмятин и выпучин, образующихся вдоль оси оболочки, увеличивается; во-вторых, размеры отдельных вмятин и выпучин уменьшаются с ростом VP (последний резуль тат отмечался также и в экспериментальном исследовании [249]). Объяснением этому может служить установленное в -расчетах уве личение номера осевой гармоники т*, соответствующего макси муму на зависимости ^ш (т), с возрастанием УР (см. рис. 5.17,а).
Используя результаты, приведенные на рис. 5.20,а, г, д, можно сопоставить зависимости w{x) при трех отношениях R/h. Как видно, с ростом R/h уменьшается размер вмятин и выпучин вдоль образующей и усиливается локализация зоны интенсивного выпу чивания в средней части оболочки. Объясняется это, как и в слу чае возрастания VP, увеличением значения т* (см. рис. 5.17,а).
По результатам, приведенным на рис. 5.20,а, е, ж, можно срав нить также зависимости w(x) для трех отношений L/R. Отметим, что при увеличении L/R номер т* возрастает. Следствием этого является уменьшение размеров вмятин и выпучин в направлении образующей и усиление локализации зоны интенсивного выпучи вания в средней части оболочки. Таким образом, с качественной стороны увеличение параметров VP, R/h, L/R одинаковым образом влияет на характер зависимости w(x).
Остановимся далее на вопросе о влиянии поля начальных несо вершенств на характер динамического выпучивания оболочки. В рассматриваемой задаче он, пожалуй, наиболее важен.
На рнс. 5.21,а показаны зависимости от х функции w°(x, у) в сечении y—nR для двух случаев. Сплошная линия соответствует сумме ряда Фурье с коэффициентами (5.79)
зо ю
w°(x, у) =0,2/г |
sinатХ |
( —1) 71^-171-31 C0S £пу) |
|
a штриховая —параболической зависимости от х: |
(5.88) |
||
|
|||
|
ю |
|
|
ш°(х, у) =0,2/1 -ix(x~L) Xi (- |
cosM- |
(5.89) |
Изображенные на рис. 5.21,а кривые, как видно, различаются незначительно. Однако соответствующие этим формам начального прогиба зависимости w{x), приведенные на рис. 5.21,в, д, показы-
Рис. 5.20. Зависимости |
прогиба |
|||
от осевой координаты при Vp= |
||||
=0,5 |
(а, г, д, е, ж), 1 (б), |
|||
0,125 |
(о); |
Я/Л=200 |
(а, |
б, в, |
е, ж), |
500 |
(г), 800 (д)\ L//?= |
||
4=2(ж)(а, б, |
в, г, д), |
0,25 |
(е). |
Рис. 5.21. Зависимости от осе |
||||||
вой |
координаты |
начального |
||||
(а, б) |
и полного (в, г, д) |
про |
||||
гибов; |
а>— сплошная |
линия |
||||
соответствует |
(5.64) |
с |
т0=1, |
|||
штриховая —(5.65); б —фор |
||||||
муле (5.64) с ш0=12; в —на |
||||||
чальному |
прогибу |
(5.64) |
и |
|||
т=3,4; г —начальному проги |
||||||
бу (5.66) |
и |
т=3,8; |
д —на |
|||
чальному |
прогибу |
(5.65) |
и |
|||
т=3,4 |
|
|
|
|
|
|
вают, что интенсивное выпучивание происходит в разных местах оболочки. В случае (5.88) наиболее глубокие вмятины и выпучины образуются в средней части, тогда как при несовершенствах (5.89) — у обоих торцов. Особо отметим, что обе кривые w{x) (рис. 5.21,в, д) совершенно не похожи на соответствующие кривые т°(х) (рис. 5.21,а).
Таким образом, для процесса выпучивания оболочки при осе* вой динамической нагрузке не характерно равномерное развитие во времени заданной формы начальных несовершенств. В этом процессе основную роль играют высшие гармоники (см. рис. 5.17,а), которые главным образом и определяют вид деформированной по верхности оболочки. Это подтверждается сравнением вида функ ций w(x) (см. рис. 5.21,в) и W(i2)°(x) (рис. 5.21,6); последняя полу чена суммированием (5.88) с нижним пределом т 0=12.
На рис. 5.21,г приведена зависимость w(x), соответствующая
начальному прогибу |
с более резким, чем в |
(5.88), убыванием |
|
коэффициентов Фурье: |
ю |
|
|
зо |
|
|
|
®°(х.У)=0,2Л ^ |
——J— sinатх V, (—П"е-1"-31 cosf)„у. |
||
т-l |
т |
Я-1 |
(5.90) |
Как видно, кривые на рис. 5.21,2, в качественно близки, но при несовершенствах (5.66) интенсивное развитие прогиба начинается несколько позже. К приведенным результатам добавим, что равно
мерное по m увеличение (уменьшение) всех коэффициентов Wmn°
приводит к пропорциональному увеличению (уменьшению) про гиба во всех точках поверхности оболочки.
Рассмотрим далее следующий важный вопрос: сравнение ре зультатов расчета прогиба оболочки, нагруженной осевыми дина мическими усилиями, по методикам, изложенным в 5.3 и 5.4. По скольку методика 5.3 не учитывает взаимосвязанности окружных гармоник, соответствующих различным п, такое сравнение будет проводиться с вариантом методики 5.4, основанным на одночлен ной аппроксимации прогиба (5.74).
Рассмотрим углепластиковую оболочку с геометрическими па раметрами R = 1 м, LfR=2, R/h=200 и характеристиками мате риала (5.19). Принимаем скорость нагружения W=5; начальные несовершенства будем считать отличными от нуля только для окружной гармоники п=3 (зададим их формулами (5.56), (5.57)). Результаты решения задачи по методикам 5.3 и 5.4 для этого рас четного варианта приведены на рис. 5.12. Кроме того, на рис. 5.11 указаны значения прогиба (обозначены точками), рассчитанные по методике 5.4 для соответствующих сечений х. При этих расче
тах коэффициенты Wmn{t) находились интегрированием уравне ний (5.75), а суммирование по m ряда Фурье для прогиба прово дилось в пределах mQ= 1, Aî=30.
Следует еще раз особо подчеркнуть, что изложенные в 5.3 и 5.4 подходы различаются по существу как постановкой задачи, так и использованными методами решения. В первом случае си стема уравнений движения не содержит внешней нагрузки P{t), которая входит только в неоднородное краевое условие (5.43). Во втором случае P(t) входит в уравнение движения (5.64) в виде коэффициента, а все граничные условия однородны. В первом случае необходимо предварительно вычислить функцию ау3°(*,*/), суммируя по m ряд Фурье (5.56). В последующем ходе решения используются значения этой функции только в узловых точках x=Xi. Во втором случае ряд Фурье для Шз°(х,у) нигде не сумми руется, а коэффициенты Wmз° используются только при решении задачи Коши (5.75), (5.72). И наконец, в первом подходе приме няется конечно-разностный метод по координате .v, тогда как во втором —метод Бубнова—Галеркина с одночленной аппроксима
цией прогиба.
Учитывая сказанное, можно считать очень хорошим соответ
ствие результатов расчета Wz{x) по указанным двум методикам. Практически совпадают те значения х, при которых прогиб имеет максимумы. И лишь сами величины максимумов при расчете по методике, рассмотренной в 5.4, оказываются несколько большими. Вероятным объяснением этого расхождения может быть неучет в методике 5.4 эффекта взаимосвязанности осевых гармоник, кото рый в методике 5.3 учитывается автоматически. Как показано в
[57], при учете этого эффекта коэффициенты Фурье Wmn умеиь-
шаются. Следовательно, уменьшается и значение прогиба в тех местах оболочки, где он имеет максимумы. Подтверждает выска занное предположение также и то, что, с одной стороны, относи тельное снижение прогиба при учете эффекта взаимосвязанности осевых гармоник возрастает с увеличением самого прогиба, а, с другой —различие в величинах ш3(х), рассчитанных по двум ме тодикам, тем значительнее (рис. 5.12), чем больше ш3(л*).
Рассмотренный пример показывает, что в тех случаях, когда интенсивное неосесимметричное выпучивание происходит на доста точном удалении от торцов оболочки (вне зоны осесимметричного краевого эффекта), неосесимметричную составляющую прогиба можно вполне достоверно определить, применяя методику, изло женную в 5.4. Следует иметь в виду при этом, что данная мето дика пригодна в ограниченном сверху диапазоне скоростей нагру жения, поскольку соответствующая ей постановка задачи пред полагает однородность осесимметричного напряженного состояния вне зон краевого эффекта, нарушаемую при сравнительно кратко временных интенсивных нагрузках. В тех случаях, когда область интенсивного неосесимметричного выпучивания находится вне зон краевого эффекта, для расчета осесимметричной составляющей прогиба можно использовать методику, изложенную в 5.1.
Таким образом, при условии, что процессы осесимметричного и неосесимметричного динамического выпучивания протекают в раз ных координатных областях, общую задачу, рассмотренную в 5.3, можно разделить на две существенно более простые, исследован ные в 5.1 и 5.4. Решение первой задачи дает осесимметричную составляющую прогиба, второй — неосесимметричную (которая может быть рассчитана с учетом взаимосвязанности любого ко нечного числа окружных гармоник). Полный прогиб оболочки оп ределяется путем суперпозиции этих двух составляющих. Отметим, что машинное время, затрачиваемое в сумме на решение указан ных двух частных задач, в 4—5 раз меньше, чем на решение об щей задачи.
Сформулированный принцип суперпозиции для рассматривае мой нелинейной задачи носит, разумеется, приближенный харак тер и имеет ограниченную применимость. Он неприменим в тех ситуациях, когда расчет по методике 5.4 указывает на расположе ние области неосесимметричногодинамическоговыпучивания в пре делах зоны осесимметричного краевого эффекта (см., например, рис. 5.21,д). Действительно, в 5.3 при расчете с параболической зависимостью от х неосесимметричной составляющей начального прогиба установлено (см. рис. 5.14,а), что в условиях свободного опирания торцов развитие неосесимметричной составляющей про гиба слабо выражено. Характер зависимости w(x), приведенной на рис. 5.21Д противоречит этому результату. Таким образом, до
стоверные значения прогиба в данном случае могут быть получены только при учете взаимодействия осесимметричной и неосеснммет-
ричной составляющих, т. е. при использовании методики, изложен ной в 5.3.
Рассмотренные примеры относились к расчету прогиба обо лочки. Деформации и напряжения, как уже отмечалось, могут быть рассчитаны путем подстановки рядов (5.73) в соотношения (5.81) и (4.76). Разумеется, при суммировании полученных рядов для обеспечения требуемой точности следует заново определять пределы суммирования, используя описанную в данном параграфе процедуру. Как правило, ряды для деформаций и напряжений схо дятся медленнее, чем ряды для перемещений, что приводит к не обходимости удерживать большее количество членов как по т, так и по л.
Численные примеры, иллюстрирующие зависимости напряже ний от координаты х и от времени в различных изотропных и ортотропных оболочках, приведены в [55, 57], где рассматривалось на гружение линейно возрастающими во времени осевыми сжимаю щими усилиями. Не останавливаясь здесь на иллюстрации этих результатов, отметим только один, наиболее существенный, по на шему мнению, вывод.
В главе 2 подчеркивалось, что все используемые нами варианты уравнений движения основаны на модели линейно-упругого пове дения материала. Поэтому изложенные расчетные методики, строго говоря, становятся неприменимыми при условии, что хотя бы в одной точке оболочки напряжения вышли на поверхность теку чести (или поверхность прочности) рассматриваемого материала. В этой связи возникает вопрос: проявляются ли и насколько сильны установленные выше эффекты, обусловленные учетом гео метрической нелинейности, при условии линейно-упругого поведе ния материала? Этот вопрос подробно исследован для стальной оболочки при различных значениях параметров R/h, L/R, VP. Срав нивались зависимости интенсивности касательных напряжений Т(т) (5.25), полученные из решений нелинейной задачи с учетом и без учета взаимосвязанности окружных гармоник, а также из решения линеаризованных уравнений движения. Установлено, что вплоть до момента т=т*, соответствующего началу образования пластических деформаций, эти зависимости малоотличимы даже для оболочек с R/h=500.
Один из путей обнаружения более заметных эффектов, связан ных с учетом геометрической нелинейности в области физически линейного поведения материала заключается в исследовании обо лочек из материалов с более высоким, чем у металлов, относи
тельным пределом текучести (пределом пропорциональности для нелинейно-упругих материалов). Один из таких материалов —
майлар, имеющий механические характеристики £=5-109 Н/м2; v=0,38; р= 1,4-103кг/м3; 7\=9-107 Н/м2. Для оболочки с Æ//i=800, LIR=2, при скорости нагружения VP=0,5 и начальных несовер шенствах (5.79) рассчитаны зависимости 7'(т) согласно указанным