книги / Статистические и интеллектуальные методы прогнозирования

Окончание табл. 5.5

i	y	s	b	c	A
14	90.87	100.12	2.643	–7.81
15	91.29	102.36	2.522	–12.57
16	107.54	104.21	2.321	–11.75
17	99.25	108.88	3.025	–12.54	104.64
18	100.16	110.94	2.734	–5.39
19	103.25	113.48	2.677	–13.31
20	115.89	115.93	2.608	–13.45

На рис. 5.5 видно, что прогнозируемые значения модели Хольта – Уинтерса проходят по пикам временного ряда. Это объясняется тем, что в модели существенное влияние оказывает сезонность через коэффициент 0.4.

Рис. 5.5. График временного ряда и тройного экспоненциального сглаживания

Прогнозируемые значения рассчитываются по форму-

ле (5.16):

	s(20) b(20) c(17)	115.89 2.608 5.39 113.147.
y(21)

91

Рис. 5.6. Исходные данные для модели простого экспоненциального сглаживания

5.4.ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ПРОСТОГО ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ В MS EXCEL

Для построения моделей простого экспоненциального сглаживания используется Пакет анализа MS Excel. Загрузка надстройкиПакетанализа,описанавподразд.4.10.

Первоначально исходные данные вводятся в поле MS Excel (рис. 5.6) (исходные данные примера 5.1).

При вызове Экспоненциальное сглаживание (Данные > Анализ данных > Экспоненциальное сглаживание) запуска-

ется диалоговое окно (рис. 5.7).

Вполе Входной интервал вводят-

ся адреса диапазона, который содержит значения временного ряда.

Вполе Фактор затухания заносится значениекоэффициентасглаживания .

Флажок в поле Метки устанавливается, если первая строка во входном диапазоне содержит заголовок. При отсутствии флажкадлявходных данных будутсозданы стандартныеназвания.

Рис. 5.7. Диалоговое окно Экспоненциальное сглаживание

92

В поле Выходной интервал достаточно указать ячейку листа Excel, в которую будет занесено начальное значение результата, все остальные значения будут расположены ниже.

Флажки в полях Вывод графика и Стандартные погреш-

ности обеспечивают вывод сглаженного временного ряда и погрешности модели соответственно.

Результаты вычислений модели простого экспоненциального сглаживания представлены на рис. 5.8.

Рис. 5.8. Результаты расчета модели простого экспоненциального сглаживания

#Н/Д сигнализирует о невозможности расчета значения для данной ячейки листа Excel. Действительный расчет прогнозируемого значения временного ряда с помощью простого экспоненциального сглаживания осуществляется со 2-го значения. В столбце E приведена погрешность экспоненциального сглаживания, которая для каждого момента временного ряда определяется по формуле

1	n		2
		(y(i) y(i))		,	(5.17)
n i 1

где y(i) – значения исходного ряда в момент i;

93

y(i) – значения ряда, полученного методом простого экс-

поненциального сглаживания в момент i;

n – для простого экспоненциального сглаживания равно 3, т.е. ошибка вычисляется за 3 последних периода (последние 3 значения учитываются с максимальным весом при расчете текущего значения сглаженного ряда и, соответственно, вносят более 50 % вклада в его значение).

Если убрать незадействованные ячейки, то конечный результат будет иметь вид, представленный на рис. 5.9.

Рис. 5.9. Исследование модели простого экспоненциального сглаживания

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.В чем суть экспоненциального сглаживания?

2.Что общего в моделях экспоненциального сглаживания

искользящего среднего?

3.Можно ли модели экспоненциального сглаживания считать авторегрессиоными моделями?

4.Смысл параметров s , b и c ?

94

5.Для примера 5.1 рассчитать и оценить качество прогнозирования при коэффициентах сглаживания, равных 0.2 и 0.8.

6.Когда применяются модели двойного и тройного сглаживания?

7.Почему простое экспоненциальное сглаживание не применяется для временных рядов с трендом и сезонностью?

8.Каким образом коэффициенты сглаживания , ,

влияют на качество прогнозирования?

9.Достоинства и недостатки моделей простого экспоненциального сглаживания, моделей Хольта и Хольта – Уинтерса.

10.В модели Хольта – Уинтерса выбраны коэффициенты 0.3, 0.4 и 0.1. Какой параметр в модели оказыва-

ет наибольшее влияние на прогноз?

95

6. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ

Рассмотренные ранее методы основаны на способе построения статистических моделей. В каждом из предложенных методов в конечном итоге была получена формализованная модель, определяющая функциональный оператор f [см. формулы

(1.2) и (1.3) в главе 1].

В отличие от статистических моделей структурные модели представляют собой некоторую структуру и правила перехода по ней. В задачах прогнозирования структурные модели, как правило, представляют собой нечеткие модели, нейронные сети или нечеткие нейронные сети.

Математическая теория нечетких множеств и нечеткая логика является обобщением классической теории множеств и формальной логики. Данные понятия были предложены американским ученым Лотфи Аскер Заде в 1965 г. Он обратил внимание на тот факт, что в обычной жизни используются не только измеряемые значения величины, но и словесная оценка («маленький», «средний», «большой» и др.). Данная словесная или качественная оценка используется для принятия решения. Например, руководствуются правилом «Если на улице ХОЛОДНО, то следует ТЕПЛО одеться». Здесь слово ХОЛОДНО является словесной оценкой температуры воздуха, а слово ТЕПЛО обозначает характер одежды. Введение качественных оценок (нечетких и неопределенных), как ни странно, увеличивает не только математический аппарат классической булевой логики, но и расширяет область применения данных знаний в различных областях науки, техники.

Основной причиной появления новой теории стало наличие нечетких и приближенных рассуждений при описании чело-

96

веком процессов, систем, объектов. Теория нечетких множеств позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперируя этими знаниями, и делать нечеткие выводы. Нечеткая логика обеспечивает эффективные средства отображения, неопределенностей и неточностей реального мира, в том числе и в прогнозировании. Нечеткая логика в задачах прогнозирования применяется в виде модели нечеткого временного ряда или модели нечеткой логики.

6.1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕЧЕТКОГО МНОЖЕСТВА

6.1.1.Функции принадлежности

Вотличие от теории четких множеств, для которых принадлежность элемента определяется по бинарному закону (принадлежит или не принадлежит), в нечетких множествах возможны состояния: принадлежит; скорее принадлежит, чем не принадлежит; возможно, что не принадлежит и др. Такие нечеткие границы принадлежности определяются с помощью характеристической функции, определяемой следующим образом [29].

Характеристической функцией множества A (x) назы-

вается функция, значения которой определяют принадлежность элемента x множеству A [30]:

1	x A,	(6.1)
A (x)	x A.
0

Если для четких множеств характеристическая функция принимает значение или 0, или один, то для нечетких множеств характеристическая функция может принимать любое значение из диапазона 0,1 .

97

Для нечетких множеств характеристическую функцию называют функцией принадлежности, а ее значение A (x) – степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A .

Нечетким множеством A называется множество пар

A { x, A (x) }.		(6.2)
ПРИМЕР 6.1. Пусть	универсальное	множество
U {a,b,c,d,e}, а множество A	задано A { a,0 , b,0.1 ,

c,0.5 , d,0.9 , e,1 }.

Анализ пар нечеткого множества позволяет сделать вывод, что элемент a не принадлежит множеству A, элемент b скорее не принадлежит множеству, элемент c с одинаковой степенью достоверности может принадлежать и не принадлежать множеству, элемент d скорее принадлежит в значительной степени, e является элементом множества A.

ПРИМЕР 6.2. Если в качестве универсального множества взять множество действительных чисел, нечеткое множество A представляет числа, близкие к 10, то функцию принадлежности можно представить в виде

A (x) (1 x 10m ) 1, m N .

Тогда график функции принадлежности будет иметь вид, представленный на рис. 6.1.

Рис. 6.1. График функции принадлежности «число, близкое к 10»

98

Показатель степени m показывает «жесткость» по отношению к близости действительного числа к 10.

Функции принадлежности являются основной составляющей в нечеткой логике. От выбора вида данной функции зависит качество нечетких моделей.

На практике чаще всего применяются кусочно-линейные функции, S-, Z-и П-образные функции.

Среди кусочно-линейных функций рассматривают тре-

угольную (рис. 6.2) и трапециевидную (рис. 6.3) функции при-

надлежности.

	Рис. 6.2. Треугольная			Рис. 6.3. Трапециевидная
	функция принадлежности			функция принадлежности
	Треугольная функция аналитически определяется как
		0,		x a,
		x a	,	a x b,
	A (x)	b a
				(6.3)
		c x	,	b x c,
		c b
		0,		c x.

Трапециевидная функция принадлежности в общем случае может быть задана аналитически следующим выражением:

99

		0,		x a,
		x a	,	a x b,
		b a			(6.4)
A (x)		1,		b x c,
		d x	,	c x d,
		d c
		0,		d x.

Данные функции используются для задания свойств множеств, которые характеризуют неопределенность типа: «прибли-

зительно равно», «среднее значение», «расположен в интервале», «подобен объекту», «похож на предмет» и др.

Z-образная функция определяется одной из формул:

	1,																x a,
	1						1				x a
A (x)									cos						,		a x				b,
	2						2
											b a
	0,																b x;
			1,					x a						2	x a,					a b
			1				2							,	a x							,
																				2
A (x)								b a
					b x 2											a b
			2								,								x b,
															2
					b a
			0,												b x.

(6.5)

(6.6)

График Z-образной функции представлен на рис. 6.4.

С помощью данной функции можно определить нечеткие свойства множеств: «малое», «небольшое», «незначительное»

значения, «низкое потребление энергии» и др. Отличительной особенностью Z-образной функции является существенность низкого/малого значения какой-либо переменной.

100