книги / Статистические и интеллектуальные методы прогнозирования
..pdfS-образной функция также может быть определена двумя формулами:
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
x b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A (x) |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
, |
|
a x |
b, |
||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b x; |
|
|
||||||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
a x |
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
A (x) |
|
|
|
b |
a |
|
|
|
a b |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b x 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
x b, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b x. |
|
|
|
|
График S-образной функции представлен на рис. 6.5.
(6.7)
(6.8)
Рис. 6.4. График Z-образной |
Рис. 6.5. График S-образной |
функции принадлежности |
функции принадлежности |
Очевидно, что S-образная функция является «антонимом» Z-образной функции, поэтому и применяется для отражения нечетких понятий «большое», «значительное», «существенное».
S-образные и Z-образные функции принадлежности имеют другое название – «сигмоидальные» функции. Для них определено следующее выражение:
101
|
1 |
|
A (x) |
1 e a(x b) . |
(6.9) |
Очевидно, что в случае а > 0 может быть получена S-об- разная функция принадлежности, а в случае a < 0 – Z-образная функция принадлежности.
П-образная функция представлена на рис. 6.6.
Рис. 6.6. График П-образной функции принадлежности
При определении П-образной функции могут быть использованы любые из рассмотренных выше Z- и S-образных функций:
A (x) s (x,a,b) A (x,c,d). |
(6.10) |
6.1.2.Операции над нечеткими множествами
Снечеткими множествами, как и с четкими, можно производить различные операции, но особенность операций над нечеткими множествами будет связана с функцией принадлежности.
Пусть A и B – нечеткие множества. Множество A является подмножеством множества B A B , если
x U |
A (x) B (x). |
(6.11) |
Объединением A B нечетких множеств A и |
B называ- |
|
ется нечеткое подмножество, |
включающее как A , |
так и B , |
с функцией принадлежности |
|
|
102
x U |
A B (x) max{ A (x), B (x)}. |
(6.12) |
Пересечением A B нечетких множеств A и B называет- |
||
ся нечеткое подмножество, содержащее одновременно |
A и B |
|
с функцией принадлежности |
|
|
x U |
A B (x) min{ A (x), B (x)}. |
(6.13) |
Разностью A \ B нечетких множеств A и B называется нечеткое множество с функцией принадлежности
x U |
A\B (x) max{ A (x),1 B (x)}. |
(6.14) |
Дополнением нечеткого множества A называется нечеткое
множество A , функция принадлежности которого определяется следующим образом:
x U A (x) 1 A (x) . (6.15)
Дизъюнктивной суммой A B нечетких множеств A и B
называется нечеткое множество с функцией принадлежности
x U
A B (x) max{[min{ A (x),1 B (x)}]; [min{ B (x),1 A (x)}]. (6.16)
ПРИМЕР 6.3. Пусть заданы множества A и B :
A { x1,0.4 ; |
x2,0.2 ; |
x3,0 ; x4,1 }; |
B { x1,0.7 ; |
x2,0.9 ; |
x3,0.1 ; x4,1 }. |
Очевидно, что A B .
Операции дополнения, объединения, пересечения, разности и дизъюнктивной суммы будут определены следующим образом:
A { x1,0.6 ; x2,0.8 ; x3,1 ; x4,0 };
B { x1,0.3 ; x2,0.1 ; x3,9 ; x4,0 };
A B { x1,0.7 ; x2,0.9 ; x3,0.1 ; x4,1 };
103
A B { x1,0.4 ; x2,0.2 ; x3,0 ; x4,1 }; A \ B { x1,0.3 ; x2,0.1 ; x3,0 ; x4,0 }; B \ A { x1,0.6 ; x2,0.8 ; x3,0.1 ; x4,0 }; A B { x1,0.6 ; x2,0.8 ; x3,0.1 ; x4,0 }.
ПРИМЕР 6.4. Пусть A – нечеткое множество «от 5 до 8», В – нечеткое множество «около 4», заданные своими функциями принадлежности (рис. 6.7, 6.8).
Рис. 6.7. График функции Рис. 6.8. График функции принадлежности «число от 5 до 8» принадлежности «число, близкое к 4»
Тогда операции пересечения, объединения и дополнения могут быть представлены графиками функций принадлежности
нечеткого множества A B , A B , A (рис. 6.9, 6.10, 6.11).
Рис. 6.9. График функции |
Рис. 6.10. График функции |
принадлежности нечеткого |
принадлежности нечеткого |
множества A B |
множества A B |
104
Рис. 6.11. График функции принадлежности
нечеткого множества A
6.1.2.1. Свойства основных операций над нечеткими множествами
Нечеткие множества имеют те же основные свойства (формулы равносильности), что и четкие множества.
Пусть А, В, С – нечеткие множества, тогда выполняются следующие операции:
1. Коммутативный закон:
|
|
A B B A, |
|
A B B A. |
(6.17) |
||||||||||
2. |
Ассоциативный закон: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A (B C) (A B) C, |
A (B C) (A B) C. |
(6.18) |
|||||||||||||
3. |
Дистрибутивный закон: |
|
|||||||||||||
|
|
A (B C) (A B) (A C), |
|
||||||||||||
|
|
A (B C) (A B) (A C). |
(6.19) |
||||||||||||
4. |
Закон де Моргана: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
(6.20) |
|
|
A B |
A |
B |
A B |
A |
B |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105 |
5. Закон идемпотентности: |
|
|
A A A, |
A A A. |
(6.21) |
6. Операции с пустым множеством:
A A, |
A . |
(6.22) |
где – пустое множество с функцией принадлежности
x U (x) 0.
7. Операции с универсальным множеством:
A U U , |
A U A. |
(6.23) |
8. Представление разности множеств через операции объединения и дополнения:
A \ B A |
B |
. |
(6.24) |
9. Представление дизъюнктивной суммы множеств операциями объединения и дополнения:
A B A |
B |
|
A |
B. |
(6.25) |
Вотличие от четких множеств для нечетких множеств
вобщем случае:
A |
A |
U , |
(6.26) |
A |
|
. |
(6.27) |
A |
6.1.2.2. Алгебраические операции над нечеткими множествами
Алгебраическим произведением A B нечетких множеств
A и B называется нечеткое множество, функция принадлежно-
сти которого определяется следующим образом: |
|
|
x U |
A B (x) A (x) B (x). |
(6.28) |
106
Алгебраической суммой A ˆ B нечетких множеств A и B
называется нечеткое множество, функция принадлежности которого определяется следующим образом:
x U |
A ˆ B (x) A (x) B (x) A (x) B (x) . (6.29) |
Для операций {, ˆ} характерны следующие свойства: 1. Коммутативный закон:
|
A B B A, |
|
A ˆ B B ˆ A. |
(6.30) |
|||||||||||||||
2. |
Ассоциативный закон: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
A (B C) (A B) C, |
|
A ˆ (B ˆ C) (A ˆ B) ˆ C. |
(6.31) |
|||||||||||||||
3. |
Закон де Моргана: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
(6.32) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
A B |
A |
B |
|
A ˆ B |
A |
B |
|||||||||||
4. |
Операции с пустым множеством: |
|
|||||||||||||||||
|
|
A , |
|
A ˆ A. |
(6.33) |
||||||||||||||
5. |
Операции с универсумом: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
A U A, |
|
A ˆ U U. |
(6.34) |
||||||||||||||
Не выполняются следующие законы: |
|
||||||||||||||||||
1. |
Дистрибутивный закон: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A (B ˆ |
C) (A ˆ B) (A ˆ C), |
A ˆ (B C) (A B) ˆ (A C). |
(6.35) |
||||||||||||||||
2. |
Закон идемпотентности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
A A A, |
|
A ˆ |
A A. |
(6.36) |
|||||||||||||
3. |
Закон исключенного третьего: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
A |
|
, |
|
A ˆ |
A U. |
(6.37) |
|||||||||||
|
|
A |
|
На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень нечеткого множества A ,
107
где – положительное число. Нечеткое множество A определяется функцией принадлежности:
(x) A (x). |
(6.38) |
A |
|
Частным случаем возведения в степень являются операции |
|
концентрирования CON (A) A2 и растяжения |
DIL(A) A0.5 , |
которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями. Графически эти операции представлены на рис. 6.12.
Рис. 6.12. Графики возведения в степень, концентрирования и растяжения
Операции концентрирования и растяжения особенно значимы, когда необходимо свойства нечеткости сделать более четкими (концентрирование) или менее четкими (растяжение).
6.2.НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА
Нечеткая логика – это обобщение традиционной булевой логики на случай, когда истинность рассматривается как лингвистическая переменная, принимающая значения типа: «очень истинно», «более-менее истинно», «не очень ложно» и т.п. В соответствии с булевой логикой любая переменная принимает одно из двух значений: «истинно» или «ложно». В нечеткой логике переменная может принимать любое значение на диапазоне «истинно», «ложно» («менее истинно», «более ложно» и др.). Указанные лингвистические значения представляются нечеткими множествами.
108
6.2.1. Лингвистические переменные
Лингвистической переменной называется переменная,
принимающая значения из множества слов или словосочетаний естественного искусственного языка [31, 32].
Терм-множеством называется множество допустимых значений лингвистической переменной.
Словесную оценку лингвистической переменной можно рассматривать как выражение x is q, где x – лингвистическая переменная, q – словесное (лингвистическое) значение, являющееся неформальной оценкой количества или интенсивности, лингвистический терм. Например, температура тела человека (T) является лингвистической переменной. А ее качественные характеристики (нормальная, высокая, низкая) представляют собой множество термов. При этом словесная оценка (конкретный терм) обозначает определенный диапазон изменения температуры. Полный количественный диапазон изменения лингвистической переменной называется доменом или универсумом – областью изменения переменной. Множество термов можно дополнить новыми термами, образованными на основе исходных. Например, не очень высокая, выше низкой. В данном случае появляются правила образования новых термов, или, иначе говоря, грамматика.
Таким образом, лингвистическая переменная определяется следующим образом [32]:
x,T ,U ,G, M ,
где x – имя лингвистической переменной;
T – терм-множество, каждый элемент которого (терм) представляетсякакнечеткоемножествонауниверсальноммножествеU;
G – синтаксические правила, часто в виде грамматики, порождающие название термов;
M – семантические правила, задающие функции принадлежности нечетких термов, порожденных синтаксическими правилами G.
109
ПРИМЕР 6.5. Рассмотрим лингвистическую переменную
с именем x – «температура в комнате». |
5 t 40}. Терм- |
Тогда универсальное множество U {t | |
множество T можно определить как T = {«холодно», «комфортно», «жарко»} со следующими функциями принадлежности:
μхолодно |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
||||||||
|
|
|
|
|
t 10 |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
μкомфортно |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
t 20 |
6 |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
μжарко |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
t |
30 |
10 |
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Множество синтаксических правил G порождает новые термы с использованием квантификаторов {«не», «очень» и «более-менее»}.
Семантические правила M заданы в виде таблицы расчета функций принадлежности (табл. 6.1).
|
|
Таблица 6.1 |
|
|
Семантические правила |
||
|
|
|
|
№ |
Квантификатор |
Функция принадлежности |
|
п/п |
|||
|
|
||
1 |
Не t |
1 t (u) |
|
2 |
Очень t |
( t (u))2 |
|
|
|
|
|
3 |
Более-менее t |
t (u) |
|
|
|
|
Графики функций принадлежности термов «холодно», «не очень холодно», «комфортно», «более-менее комфортно»,
110