книги / Физико-химические основы технологии дисперсных систем и материалов
..pdfП Р И Н Я Т Ы Е О Б О З Н А Ч Е Н И Я
\А* — постоянная Гамакера;
Ао^СМЬбТ)21ч2— постоянная электростатических сил; |
|
|
||||||
\ |
А — постоянная уравнения состояния Ван-дер-Ваальса; |
|||||||
|
а — |
амплитуда вибрации; |
запаздывающих |
электромаг |
||||
|
В* — постоянная |
полностью |
||||||
|
|
нитных сил, |
|
|
|
|
|
|
|
В —■постоянная уравнения состояния Ван-дер-Ваальса, |
|||||||
|
ь„ —■амплитуда колебаний частицы; |
|
|
|
||||
|
D, Do —■диаметр агрегатов и отдельных частиц; |
|
|
|||||
|
d - |
расстояние между поверхностями агрегатов; |
||||||
|
Et,E- |
■модуль Юнга адсорбционного слоя и частиц; |
||||||
|
е - |
• коэффициент неупругости; |
|
|
|
|
||
|
f- |
•частота вибрации (в Гц); |
|
|
|
|
||
|
F- |
■сила, действующая на агрегат в сдвиговом потоке; |
||||||
|
F,- |
■сила, действующая на частицу прн вибрации; |
||||||
|
F,- ■сила гидродинамического |
сопротивления |
сближению |
|||||
|
|
частиц, |
|
|
|
|
|
|
|
Fcs - ■сила связи двух частиц; |
|
|
|
|
|
||
|
Fs - |
• удельная поверхностная энергия; |
|
|
||||
|
Fg - ■сила тяжести, действующая на частицу; |
|
||||||
|
G- |
■относительная прочность; |
|
|
|
|
||
|
Gs - ■модуль сдвига структуры; |
|
|
|
|
|||
|
8- ■ускорение свободною падения, |
в том |
числе в цент |
|||||
|
h,Ti- |
робежном поле, |
|
|
|
|
|
|
|
расстояние между поверхностями частиц и его сред |
|||||||
Eo>hk1,hk2j hk,ftmaa - |
нее значение, |
|
|
|
|
|
|
|
значение h, соответствующее началу гидродинамиче |
||||||||
|
|
ского взаимодействия частиц; ближней и дальней |
||||||
|
|
коагуляции, |
максимуму |
потенциального барьера и не |
||||
|
|
посредственному контакту поверхностей частиц, |
||||||
|
kb—постоянная Больцмана; |
|
|
|
|
|
||
|
L, LQ—расстояние между центрами частиц и агрегатов; |
|||||||
|
L*s,Fs\ ■—•высота слоя |
порошка и ее значение при плотной ук |
||||||
|
|
ладке, |
|
|
|
|
|
|
|
l — линейный размер, неоднородности структуры; |
|||||||
|
M,Ma — масса частиц и агрегатов, |
|
силы |
молекулярного |
||||
Ci(h),C2(h) - постоянные, |
характеризующие |
|||||||
|
|
притяжения и электростатического отталкивания; |
||||||
|
Сэл — концентрация электролита, |
|
|
|
|
|||
|
n — |
число частиц в единице объема системы; |
|
|||||
|
N - мощность, поглощаемая |
дисперсной системой с газо |
||||||
|
|
вой дисперсионной средой; |
|
|
|
|
||
P, Р Л Р « р ) - напряжение сдвига в системе и предельное напряже |
||||||||
|
|
ние сдвига; |
квазигазе частиц, давление жидкости в |
|||||
|
P — давление в |
|||||||
|
|
зазоре между частицами; |
|
|
|
|
||
|
|
заряд ионов электролита; |
|
|
2), |
соответст |
||
R„ Ri, R ! — характерные |
размеры частиц (i= 0, 1, |
|||||||
|
|
вующие сферическим частицам, дискообразным части |
||||||
|
|
цам и частицам, имеющим «углы»; |
значения, ин |
|||||
RGI, ReKP>i — число Рейнольдса и его |
критические |
|||||||
|
t ~ |
декс i имеет тот же смысл, что и для Rr, |
|
|||||
|
время; |
|
|
|
|
|
|
|
U(h), |
T — абсолютная температура; |
|
|
|
|
|||
U,(h) - |
потенциальная энергия взаимодействия частиц и ее |
|||||||
|
|
электростатическая часть, |
|
|
|
максималь |
||
Ц, Нмакс —деформация |
частиц при соударении и ее |
ное значение;
Ua,Uai,Uaz — максимальная энергия связей на одну частицу |
(энер |
|||||||||||||
|
|
гия активации) |
и ее |
значение для |
ближней/ и |
даль |
||||||||
|
|
ней коагуляции; |
скорость сближения |
|
/ |
ее |
на |
|||||||
o . Оо.Умин — относительная |
частиц, |
|||||||||||||
|
|
чальное значение и минимальное значение, соответ |
||||||||||||
|
|
ствующее преодолению гидродинамического сопротив |
||||||||||||
|
|
ления сближению частиц; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
vp, va — среднее значение скорости частицы и агрегата; |
|
|
|||||||||||
|
v — скорость движения жидкости в зазоре между части |
|||||||||||||
|
|
цами; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vs, osa — скорость оседания частицы и агрегата; |
|
|
|
||||||||||
|
О/, — скорость движения |
«дырки» в квазикристаллической |
||||||||||||
|
|
решетке; |
поглощаемая дисперсной |
системой с жид |
||||||||||
|
W — мощность, |
|||||||||||||
|
|
кой дисперсионной средой; |
от |
основания слоя |
по |
|||||||||
|
z — координата, |
отсчитываемая |
||||||||||||
|
Zk, za |
рошка; |
|
|
|
|
|
упаковок частиц и агрегатов; |
||||||
|
~ координационное число |
|||||||||||||
|
го— значение zk при ф=фмакс; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
fi — коэффициент |
проскальзывания жидкости у поверхно |
||||||||||||
|
|
сти частиц; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
______б — толщина адсорбционного слоя; |
|
|
|
|
|
|||||||||
Д==Ут]/(2<ор) |
— глубина проникновения колебаний в среду; |
|
|
|||||||||||
* • |
е |
— относительная диэлектрическая проницаемость; |
|
|
||||||||||
• • |
|
|
|
|
сдвига, |
его критическое значение, |
||||||||
6, Бкр, бь е0 — градиент скорости |
||||||||||||||
|
|
соответствующее возникновению разрыва сплошности, |
||||||||||||
|
|
значение, |
соответствующее |
предельному разрушению |
||||||||||
|
|
структуры, градиент скорости при вибрации; |
|
|
||||||||||
|
Т] — вязкость дисперсионной среды; |
|
и |
суспензии |
при |
|||||||||
|
Г)о, Т)1 — вязкость неразрушенной структуры |
|||||||||||||
|
|
полном разрушении структуры; |
и |
ее |
составляющие, |
|||||||||
ЧэФФ> Т](0>вФФ, т1(|>вФФ— эффективная |
вязкость |
системы |
||||||||||||
|
|
соответствующие |
гидродинамической |
диссипации и |
||||||||||
|
|
фактору столкновения частиц; |
|
|
суспензии; |
|
||||||||
|
Т)(а)эфф — эффективная |
вязкость |
агрегированной |
|
||||||||||
|
Tje — вязкость адсорбционного слоя; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Т]* — пластическая вязкость; |
|
(кинетическая энергия хао |
|||||||||||
|
0 — эффективная |
температура |
||||||||||||
|
|
тического движения частиц); |
|
|
|
|
воз |
|||||||
|
6» — составляющая |
0, |
обусловленная вибрационным |
|||||||||||
|
|
действием, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0о — угол смачивания; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
X — дебаевский радиус; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
X, — фактор формы частиц; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|л — химический потенциал; |
|
|
|
расклинивающего |
|||||||||
|
Яэл — электростатическая |
составляющая |
||||||||||||
|
|
давления; |
|
|
|
среды, агрегатов, |
суспензии |
между |
||||||
p, ро, Pa, pi — плотности частиц, |
||||||||||||||
|
|
агрегатами, дисперсной системы; |
процессов; |
|
|
|||||||||
|
Ti,Ta, Та — времена релаксации |
различных |
|
|
||||||||||
|
т+, т _ —-характерные |
времена перехода частицы по и против |
||||||||||||
|
|
действия силы; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ф , фо, Ф к р , фмакс — объемное содержание твердой фазы, его значение, со |
||||||||||||||
|
|
ответствующее началу образования структуры в объ |
||||||||||||
|
|
еме, критическое и максимальное значение; |
|
|
||||||||||
фа, фа,макс — плотность |
упаковки |
|
агрегатов |
и |
ее |
максимальное |
||||||||
|
|
значение; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(о — круговая частота вибрации; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
о),, со0— частоты собственных колебаний частицы осциллятора; |
|||||||||||||
|
~ |
— знак приближения по порядку величины; |
|
|
** — приближенное значение,
ТЕОРИЯ КОАГУЛЯЦИИ И УСТОЙЧИВОСТИ КОНЦЕНТРИРОВАННЫХ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ В ДИНАМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ*
1.1.КОАГУЛЯЦИЯ ЧАСТИЦ В СДВИГОВОМ ПОТОКЕ И ПРИ ВИБРАЦИИ
Воснове многих гетерогенных химико-технологических процес
сов, протекающих в концентрированных дисперсных системах с твердой фазой в жидкой или газовой средах, лежат контакт ные взаимодействия частиц дисперсных фаз. Сложность теоре тического анализа поведения дисперсных систем, особенно вы сококонцентрированных, в гетерогенных процессах, сопровожда ющихся конвективным массопереносом, обусловлена тем, что контактные взаимодействия осуществляются в динамических,
т.е. неравновесных условиях.
Кнастоящему времени в физикохимии дисперсных систем хорошо развита теория, описывающая взаимодействия конден сированных фаз преимущественно в равновесных условиях. Пе ренос этих классических представлений на дисперсные системы, подвергаемые интенсивным механическим и иным воздействи ям и находящиеся поэтому в неравновесном нестационарном состоянии, некорректен и неизбежно ведет к существенным ошибкам. Следует также отметить, что проблемы агрегативной
иседиментационной устойчивости как в экспериментальном, так и в теоретическом плане решены в основном для разбав ленных систем. Полной теории устойчивости (агрегативной и седиментационной) высококонцентрированных систем, особенно в динамических условиях, до настоящего времени нет. Требует дальнейшего развития и понятие о критерии агрегируемости, оцениваемом по характерному размеру частиц, начиная с кото рого (по мере его уменьшения), сила взаимодействия (сцепле ния) частиц превышает силу тяжести [15]. Следует учесть то обстоятельство, что в реальных гетерогенных химико-техноло гических процессах, осуществляемых в аппаратах с внешним подводом энергии, дисперсной системе может сообщаться уско рение, значительно превышающее ускорение свободного паде
ния или, во всяком случае, отличное от него. Естественно, что и характерный размер частиц, проявляющих склонность к об разованию агрегатов, будет соответственно изменяться. Поэто му следует в более общем виде, чем это выполнено в работе [15], определить критерий агрегируемости с учетом сказанного выше.
* Глава 1, а также разделы П.1 н П.4 написаны автором совместно с А. А. Потаниным.
13
Существуют достаточно определенные представления о/ том, как происходит необратимая коагуляция коллоидных частиц, если они сближаются настолько медленно, что их кинетической энергией можно пренебречь по сравнению с энергией ш. взаи модействия. Эти представления основаны на теории/ДЛФО*. В этой теории считается, что коагуляция осуществляется, если
максимум |
потенциальной энергии |
взаимодействия частиц |
ра |
|
вен нулю: |
|
|
' |
|
|
U = 0 |
(1.1); |
dU/dh='<0, |
(1.2) |
где U — сумма энергии отталкивания двойных ионных слоев частиц и энергии молекулярного притяжения частиц; h — расстояние между поверхностями частиц.
Однако допущение, что условие наступления коагуляции не зависит от кинетической энергии частиц, становится некоррект ным при рассмотрении коагуляции частиц в динамических усло
виях. Такие условия |
реализуются |
на практике при |
протекании |
в концентрированных |
дисперсных |
системах любых |
гетероген |
ных процессов с внешним подводом механической энергии, со провождающихся конвективным массопереносом, например при перемешивании. При этом могут развиваться высокие относи тельные скорости сближения частиц, особенно при возникнове нии разрывов сплошности в дисперсной системе [15], когда на участке длиной 50 мкм возможны перепады скорости движения до 1 м/с. В таких условиях наблюдается усиленное агрегатообразование в зоне разрыва сплошности. Аналогично при раз рушении структуры под действием вибрации и ее распаде на агрегаты между ними возникают локальные разрывы сплошно сти, в которых, в свою очередь, идет агрегатообразование. При воздействии вибрации на концентрированную дисперсную систе му частицам сообщаются высокие относительные скорости да же в том случае, если система монодисперсна за счет частых
хаотических столкновений |
между частицами. При круговой ча |
||||
стоте вибрации с о 50 Гц |
и амплитуде а х |
1 см |
начальная |
от |
|
носительная скорость сближения |
частиц |
составит Уо~ 1 |
м/с. |
||
В разбавленной системе высокие |
относительные |
скорости час |
|||
тиц возможны, если система полидисперсна и при данных |
па |
раметрах вибрационного или ультразвукового воздействия частицы мелкодисперсных фракций увлекаются средой в зна чительно большей степени, чем частицы грубодисперсных фрак
ций. Агрегатообразование |
в разбавленной |
суспензии при |
воз |
|
действии на нее ультразвука изучалось |
в |
[16]. Оседание |
сус |
|
пензии наблюдалось при |
интенсивности |
ультразвукового |
воз |
действия более Ы О4 Вт/м2 и частоте ультразвука v = 450 кГц,
чему |
соответствует амплитуда |
смещения |
жидкости а = 40 нм. |
* |
Основные положения теории ДЛФО сформулированы в работе |
||
Б В. |
Дерягина, Л. Д. Ландау в 1941 |
г. (см. ЖЭТФ, |
1941, т. 11, № 2, с. 802; |
1945, |
т. 15, № 11, с. 662). |
|
|
14
Принтом жидкостью увлекаются частицы, имеющие размер до 3 MKML Поэтому их скорости относительно более крупных час
тиц составят |
oo-~2itav'~2jt-4-10—8- 450 • 103 |
0,1 |
м/с. |
Таким |
|
образом, в дисперсных системах |
с частицами |
размером 1~ |
|||
-т-100 мкм при |
их относительных |
скоростях |
0,1-ь1 м/с |
начина |
ется усиленное агрегатообразование.
Ниже дается количественная теория процесса агрегатообразования на уровне контактного взаимодействия двух частиц [17, 18]. Пу(5ть в начальный момент времени две одинаковые сферические частицы радиусом R0 начинают сближаться со ско ростью Vo, расстояние между их поверхностями в этот момент составляет hr0^ R 0. Необходимо найти связь между о0, -Ко и другими параметрами, при которых частицы способны преодо леть потенциальный барьер поверхностных сил. Подобно пред посылкам в статической теории устойчивости ДЛФО предпола гается, что потенциальная энергия взаимодействия частиц U(h) имеет максимум при h = hK и достаточно глубокую потенциаль ную яму при h<hK. Коагуляция наступает в том случае, если частицы, получив от внешнего источника кинетическую энер гию, смогут преодолеть гидродинамическое сопротивление и по тенциальный энергетический барьер и сблизиться до расстоя ний h<hK.
В [16] и [19] рассматривается задача, аналогичная сформулированной выше. Было отмечено, что правая часть соотношения (1.1) не равна нулю, а отвечает энергии, которую имеют частицы в момент, когда h ~ h K, где hx рассчитывается из (1.2). Эта энергия определяется начальной скоростью о0 н потерями на вязкое трение. Было принято, что эти потери вызваны лишь действием силы гидродинамического сопротивления, определяемой законом Стокса:
Ft- — бзщЯо v = — 6ят]1?0 dh/dt, |
(1.3) |
|
где г]— вязкость дисперсионной среды; |
и — скорость сближения |
частиц; ( — |
время. |
применимо лишь при Л > Ro- В дру |
|
В действительности уравнение (1.3) |
гом предельном случае при /г<сДо приближенное выражение для силы гидро динамического сопротивления можно получить, воспользовавшись простым ме тодом [20] Для этого следует найти давление р в зазоре между сближающи мися поверхностями. С этой целью введем цилиндрическую систему коорди нат с осью 2, направленной вдоль прямой, соединяющей центры сферических частиц с началом координат на поверхности одной из частиц (зависимость от угловой координаты отсутствует). На расстоянии г от оси г система урав нений для составляющих скорости жидкости vr и vz и давления р в зазоре между частицами имеет вид [21]:
|
|
т]д3иг/дг* =др,/дг, |
др/дг = 0, д (rvr) /(гдг) + dvz/dz = 0. |
(1.4) |
|
Граничные условия запишем в виде: |
|
||||
при |
2 |
= 0 : E/J = 0, vr = |
riPdiy/dz, |
(1.5) |
|
при |
z |
— Н \ vz — — v, |
vr = |
— riflctey/Sz, |
( 1. 6) |
где Я = Л + г2/До; Р — коэффициент проскальзывания жидкости на поверхности частиц. Он учитывает влияние на коагуляцию гидрофобизации поверхностей частиц.
15
При [5=0 граничные условия ,(1.5)—(1.6) сводятся к обычному условию прилипания жидкости на твердых поверхностях {21]. Из (1.4)—(1.6У можно получить следующее соотношение, связывающее скорость сближени/ поверх ностей v и давление в зазоре р:
Р |
|
dH' |
vRo |
|
(#')3+ 6т)рЯ' |
2р _ h + r*/Rо / |
|
||
|
1 |
1п |
бРт] |
(1.7) |
|
6пР |
r2/R0 |
||
|
h + |
|
Далее, вычисляя силу, противодействующую сближению/поверхностей, на
ходим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
F , (», *) * - |
л | |
р м *« _ — |
|
|
i R, in |
|
|
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Яд0)-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ “4 ' |
|
I |
'" d + e n P R .a f - • |
|
|
( 1.8) |
||||||||||
|
|
|
|
|
t«o («о+Я)]-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где Н' и 1 — переменные интегрирования. |
фактически учтено |
в |
(1.8), за |
|||||||||||||||
Используя |
условие |
ft<ci?0, которое |
уже |
|||||||||||||||
пишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fо (о, К) |
IU)i?20 |
(ft + |
6rjP) In 11 + |
|
|
— (Ro + |
6T|P) |
In |
1 + |
|
||||||||
Щ2ц |
h |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.9) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда получается |
выражение для у (ft) |
при |
условии |
сильного |
6riP^>^o. |
|||||||||||||
н слабого б'пР'С^о проскальзывания жидкости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Fо (v, h) — ~ |
р |
In ~7~ > |
6r) р » ^ 0, |
|
|
(I Л0) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2. |
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F a ( v , |
|
Зл |
х} |
|
, |
6т]Р « |
R o . |
|
|
|
(1.11) |
||||
|
|
|
Л ) = — |
Т1— |
|
|
|
|
||||||||||
Рассмотрим вариант взаимодействия частиц при слабом проскальзыва |
||||||||||||||||||
нии жидкости |
(6г)Р<^о). Уравнение движения частиц имеет вид: |
|
||||||||||||||||
|
l /2Mvdv/dh = F0 (у,ft) — dU/dh a 3/ 2n ^ R \ / h — dU/dh |
|
(1.12) |
|||||||||||||||
где M/2= 2/3jtpi?o3— приведенная |
масса |
частиц; |
р — плотность |
вещества час |
||||||||||||||
тицы. |
|
|
|
|
|
взаимодействия |
частиц |
в |
растворе |
электролита |
||||||||
Потенциальная энергия |
||||||||||||||||||
£/(Л) записывается следующим образом [10]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
U (h) = Ra [С, (ft) + |
С2 (ft) ], |
Cj (ft) |
= |
- |
A*/12ft, |
|
|
||||||||||
|
|
|
C2 (ft) = я j dh' |
j |
dh" Пэл (h") |
|
|
|
|
|
(1.13) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
h |
h' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пэл (h) = |
4сэл TkEsh2 (ud/2) |
|
|
|
|
|
(1.14) |
16
Зависимость ua(h) определяется с использованием формулы:
“i
|
xft |
Р _______ du_____________ |
qtyd |
_ |
дфд |
||||
|
2 |
= J |
V 2 (ch и — ch ud) |
’ |
П Б ’ “1 = |
(I.15> |
|||
|
TkB |
||||||||
|
|
|
ud |
|
|
|
|
|
|
где |
A* — константа |
Гамакера; Пэл — электростатическая |
составляющая рас |
||||||
клинивающего |
давления; |
Т — абсолютная |
температура; |
kB— постоянная |
|||||
Больцмана; |
х ^ У 8ж72сэл/(е7£в) — обратный |
дебаевский |
радиус; q — заряд |
||||||
ионов электролита, который предполагаем симметричным; |
сэл — число ионов |
||||||||
электролита |
в единице объема; е — относительная диэлектрическая проницае |
||||||||
мость среды; |
ф>1 и ф2— соответственно |
потенциал на поверхности частиц и в |
|||||||
середине зазора между ними. |
|
|
|
|
|||||
ное |
Если в правой части (1.12) пренебречь вторым слагаемым, то однократ |
||||||||
интегрирование |
(1.12) дает закон |
сближения частиц |
в |
виде: |
|||||
|
|
|
|
v {h) = v 0 - |
W\nhK/h, |
|
(1.16) |
||
где |
W=3mr\Ra2IM. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Сравнение силы, противодействующей сближению частиц, и \dUjdh\ дает |
||||||||
условие, при котором |
(1.16) |
можно считать решением уравнения (1.12). |
|||||||
|
|
|
|
|
v(h) » |
Л* |
|
|
(1.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
18ят]^0 h |
|
|
|
|
|
Установим возможность выполнения (1.17). С учетом (1.16) динамиче |
||||||||
ский аналог критических условий (1.1—1.2) имеет вид: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
dU (Лк) /<й — 0, |
|
|
(1.18> |
|
|
|
|
|
U(hK) = ^/iM(o0- W \ n h 0/hK)K |
|
(1. 19> |
|||
Далее рассмотрим коагуляцию систем, для которыхвыполнено условие |
|||||||||
|
|
|
|
|
иЛк « 1 . |
|
|
(1.20> |
При этом условии реализуется предельный случай высокого потенциаль ного барьера и появляется возможность исследовать агрегативную устойчи вость систем в динамических условиях, заведомо устойчивых в статических условиях за счет электростатического фактора.
Следуя [22, 23], отдельно проанализируем устойчивость дисперсной си стемы для областей низких (ы: 1) и высоких поверхностных потенциалов («1» 1). Для области низких потенциалов электростатическая составляющая энергии взаимодействия частиц равна:
|
|
Ui |
2R0s(T k B)* |
|
|
|
|
|
|
|
In (1 — e~xft) , |
|
( I . 2 1 > |
||
где |
{TkB) ; |
■— потенциал поверхности частиц при |
бесконечном |
||||
расстоянии между ними. |
|
|
|
|
|||
Отсюда, используя |
(1.20), получим: |
|
|
|
|||
|
|
U1 » 2 R 0 |
s (ТЫI2 |
|
|
(1.22) |
|
|
|
и?оо | In кН | . |
|
||||
Для области высоких потенциалов имеем |
|
|
|
||||
_ |
27?о s (ТкБ)2 |
Ъ?е) К2 + 2ke (К — Е ) — — |
1п К |
(1.23) |
|||
Ul~ |
|
Ф |
(1 |
||||
|
1 |
xhK = keR - |
1 |
|
|
||
|
ке |
|
|
(1.24) |
|||
|
ch (ud/2) ’ |
2 |
sh (uJ2) |
|
|
2— 1493 |
17 |
еде K(ke), E(ke) — эллиптические интегралы первого и второго рода Соответ ственно.
При выводе этих формул предполагалось, что йе<0,7 [22]. В этбм случае из (1.20) н (1.24) следует, что йе<С1. Тогда из (1.23) и (1.24) получим:
я2 |
Ro6 (Т^б) 2 |
|
|
т |
|
In х й |
(1.25) |
|
|
||
при этом было принято, что «1» |
| 1пхй| . Объединяя (1.22) |
и (Т25), запишем |
■окончательно следующее выражение для электростатической составляющей энергии взаимодействия частиц:
|
|
Ux = А0 R011пхйк | = |
А0 R0In т к , |
(1.26) |
|
.где Aa = C0&(kBT)2/q2 |
|
|
|
||
|
|
|
Я 2 / 4 , |
ut > 1 |
|
|
|
|
Со — 2и-оо , Uj -С 1 |
|
|
Из (1.18), (1.19) |
и (1.26) следует, что |
|
|||
|
|
|
хйк —х |
Л* |
(1.27) |
|
|
|
12Л3 |
|
|
V |
(Йк ) |
Л*/?0х |
|
(1.28) |
|
ЗМ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
«Подставляя в (1.28) |
уравнение (1.27) и выражение для скорости |
сближения |
|||
(I 16), получим критерий коагуляции в виде |
|
||||
н„> |
W 1п |
|
|
(1.29) |
Коагуляция произойдет, если частицы получат от внешнего источника от носительную скорость, превышающую (1.29). Подставляя (1.27) и (1.28) в
.(1.20) и (1.17), запишем условия применимости критерия (1.29) |
|
||||
1 |
|
- |
12Л° » 1 |
(1.30) |
|
хйк |
|
у.А* |
|
||
1 j |
|
1 |
рЛ* |
(1.31) |
|
хйк |
хйк |
81яхт1а й2к |
|||
|
Соотношения (1.30) и (1.31) показывают, что второе слагаемое в правой части (1.29) является малой поправкой и в первом приближении им можно пренебречь. Условие коагуляции (1.30) при низких потенциалах переходит в критерий статической устойчивости, полученный Б. В. Дерягиным, а при высоких потенциалах в аналогичный критерий, предложенный Б. В. Деряги ным и Л. Д. Ландау, которые имеют следующие соответствующие выраже ния [10]:
ва Тквфср ш |
е3 № ) 5 |
С э л < < q2 { A * ) 2 ’ С э л < < |
q * ( A * ) 2 ' |
Таким образом, (1.30) представляет собой условие, при котором в дина мических условиях происходит коагуляция системы, устойчивой в статиче ских условиях в соответствии с указанными параметрами.
J8
Например, для системы |
частиц с |
параметрами: Л *»Ы О ‘ !1 Дж, |
ц»* |
**1-10_3 Па-с, 8*100, Tkб»4-10-21 Д ж, р * 1 1 0 3 кг/м3, <?»2-10~19 Кл из |
(1.31) |
||
следует,'что электролитная |
коагуляция |
наступает при условии |
м-1, |
т. е. под действием электролитов при концентрации менее 10-2 моль/л. Для низких потенциалов поверхности частиц условие (1.30) накладывает ограни
чения также на г|)со. При х«10 8 м-1 неравенство (1.30) |
выполняется, начиная |
||||||||
с t|)i=10 мВ и выше. Неравенство |
(1.31) также |
выполняется |
при |
указанных, |
|||||
значениях параметров. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критерий коагуляции (1.29) можно записать |
в виде: |
|
|||||||
Reo |
pRo г0 |
— — |
) + |
1 / |
|
In |
|
|
• |
ReKp,o == ^ 1ч |
щ 2 |
\ |
кА* ) |
||||||
|
П |
А* |
} |
V |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.32> |
Таким образом, критерий коагуляции в динамических усло виях является условием, накладываемым на число Рейнольдса Re0, причем зависимость критического числа Рейнольдса ReKp, от параметров поверхностных сил Ло и А* выражена слабо. Иными словами, если в теории ДЛФО, пренебрегающей дина микой сближения частиц, критерий коагуляции определяется соотношением электростатических и молекулярных сил взаимо действия частиц, то в динамических условиях возможность коагуляции определяется в первую очередь гидродинамикой вязкой дисперсионной среды в зазоре между поверхностями частиц. Отсюда легко понять, что для коагуляции в динамиче ских условиях чрезвычайно существенное значение приобретает фактор формы поверхностей частиц, т. е. для анизометричных частиц потеря агрегативной устойчивости в динамических усло виях более вероятна. Рассмотрим в связи с этим процесс взаи модействия двух частиц, имеющих форму плоских дисков ра диусом Ri и толщиной 2Ri (Ri — радиус кривизны боковой по верхности). Получив от внешнего источника начальную относи
тельную скорость Оо в момент, |
когда расстояние между их по |
верхностями составляет h0^ R |
ь диски сближаются так, что |
один из них все время остается перпендикулярным другому. Вычислим давление, создаваемое жидкостью, вытекающей
из зазора между поверхностями частиц, одна из которых в дан ном случае является плоскостью, а другая характеризуется двумя радиусами кривизны Ri и Ri, причем Ri^$>Rь Введем де картову систему координат, начало которой находится на плос
кой поверхности в точке |
наименьшего |
расстояния между по |
||
верхностями, а оси х н у |
лежат в плоскостях главных нормаль |
|||
ных сечений, кривизна |
которых Ri и Ri. Для данной |
системы |
||
выражение давления в |
зазоре между |
поверхностями |
частиц, |
|
имеет вид: |
"____________ 1____________ |
|
||
vRi |
|
|||
1 |
_'ft-M2/(2R1)+ i/7 (2 R z ) “ |
|
||
, |
___________________________________________ |
(1.33) |
||
бтф |
|
h+ х2/ (2Rj) -f-1/2/ (2Ri) |
||
|
|
2* |
1» |
Проводя вычисления силы гидродинамического Сопротивления [см. (1.10) —(1.11)], запишем:
f ■~ 4” Д Г I / д г ('" т И Ь г |
± |
(1.34) |
||
|
|
|
|
|
D2 |
/ |
D |
при 6riP /?j.. |
(1.35) |
Д1 яз 12m\v——■У/ |
----- |
|||
h |
V |
Ri |
|
|
Рассмотрим столкновение частиц при условии слабого про скальзывания 6л Р < ^ь Проводя вычисления, аналогичные тем, которые привели к (1.32), можно получить критерий коагуля ции дискообразных частиц:
(1.36)
Еще один пример влияния анизометричности формы частиц на их коагуляцию дает рассмотрение процесса столкновения ■частиц произвольной формы, но имеющих острые углы, т. е. со держащих плоские участки поверхности, локальный радиус кривизны которых R2 намного меньше характерного линейного
размера частиц RM = 31ЗМ/(4яр) (где М — масса частицы). К такому типу относятся палочкообразные частицы, если они сталкиваются с плоскостью, или частицы в форме плоских мно гоугольников, например частицы некоторых видов глин. Для простоты можно принять, что две сталкивающиеся частицы име ют одинаковую массу, причем в момент столкновения угол од ной частицы сближается с плоским участком поверхности дру-
той частицы. В данном случае критерий |
коагуляции |
можно |
|||
записать в виде: |
|
|
|
|
|
ря и »о |
>9 |
12 |
А* |
+ |
|
и |
|
|
|
|
|
+ |
|
А. In |
12А0 \ |
(1.37) |
|
|
|
RM |
иЛ* |
) |
|
Объединяя (1.32), (1.36) и (1.37), запишем критерий |
коагуля |
||||
ции в первом приближении в виде: |
|
|
|
||
Ret = PRM VO |
Еекр,1 |
|
12 |
hp Ад |
(1.38) |
|
А* |
||||
и |
|
|
|
|
|
В (1.38) индекс i принимает значения 0, |
1 и 2, которые соответ |
ствуют столкновению двух сферических частиц, двух дискооб разных частиц и двух частиц, имеющих углы. Величина X,- игра ет роль фактора формы. Этот фактор принимает значения
*o = l, h~URi/RM )bli, K = 4(R2/RM)2. |
(1.39) |
20