книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

С этой целью воспользуемся тем, что

ü k N = O'k “f* а Ь+N + CCk-\-2N + • • •

2V-1

Отсюда R N (L, t/h)—R $ (L tr, t/h) = ^ b^N ?ft(£/fr), ft=0

CO

где bkN — 2 aîW+ft. 9^1

Поэтому max |RN (L, t/h)—R N (Ltr, t/hy|=^p*r. 0<t<co

В частности,

max I RN (Ltr, t/h) |< 2( |a N |+ I ÛW+I I +•••) = 2pN. о<t<®

(5.4.5)

Следовательно, аппроксимация Lfr-алгоритмами имеет тот же порядок малости, что и аппроксимация f(t) ортогональ­ ным рядом Лагерра.

m	рм =	,	I«и I	| t1 |	I ® W + 1 I	i ' a N+Z	'	|	\	»
Так как				(1H---	p ^ -j— I-------	pj^-j	----	г	•••)

то при достаточно быстром убывании коэффициентов о тве­ личина |ajv1 может служить численной характеристикой точности рассматриваемого приближения.

Заметим, что оценка (5) может быть несколько улучше­ на, если коэффициент ао вычислить точно по формуле

Тогда

шах |RN(Ltr, t/h) |< I (hr I + 2рдг+ь 0<*<oo

Возможность вычислить точно коэффициент а0 имеет дру­ гую замечательную сторону.

Так как а0п — а0= CLN + &2N + •••»

то с точностью до порядка малости коэффициента a 2N раз­ ность а 0п—ÜQ определяет величину а#. Тем самым, во-пер­ вых, порядок малости разности а 0п —До может служить вспомогательным .критерием достаточности числа интерполя­ ционных узлов N, обеспечивающих требуемую точность, во-

вторых, появляется возможность	пролонгировать HaCTHH-
^—l
ную сумму Лагерра ^ a hN(p(t/h),	Добавив к нему член
ft-о
a *<?N (t/h), где ofN = а0п —а0.

Вэтом свете следует отметить, что затраты, связанные

сточным вычислением некоторого числа первых коэффи­

циентов ряда (2.1 ) по формулам

а й — g (0), ах = g ' (0), a2 = ± g " ( 0 ) , . . .

оправдываются повышением степени уверенности правиль­ ности выбора числа узлов, обеспечивающих требуемую точ­ ность аппроксимации оригинала, о которой можно судить по порядку малости величин

§0 =	а 0п —	а 0 = dlT “t~ Û2W 4 " З з N 4 “ • ♦ •
8Х=	а1п—	а1= aN+1 4 " о г л г - н 4 " • • •
82 = а т —		<*г—	4" Û2A'+2 4- ■. ■

Кроме того, вычисленные значения а0, au 02, . . . позволяют несколько расширить расчетный лагеррсвский спектр за счет величин а ® ^1, ® bs==^2.v •• Это качество может быть использовано для контрольных вычислений. Как уже отмечалось выше, сравнение оценок

(4) и (5) показывает, что аппроксимация искомого оригина­ ла посредством Lïr-алгоритмов имеет тот же порядок мало­ сти, что и аппроксимация оригинала ортогональным рядом Лагерра. Следовательно, объем вычислений и точность ап­ проксимации существенно определяется скоростью убыва­ ния спектра Лагерра (т. е. скоростью затухания спектра Ла­ герра). Анализ скорости убывания коэффициентов ряда Лагерра в зависимости от дифференциальных свойств ори­ гинала выходит за рамки данной книги. Эти вопросы осве­ щаются в работе [93]. Вместе с тем то, что искомые коэф­ фициенты а к ряда (2.1) являются коэффициентами тригоно­ метрических рядов функций р(0) и ц(0) :

р(0) = а 04- Ojcos© 4- a2cos20 4“ •••>	(5.4.6)
pt(0) = ajsin.0 4" Û2sin2® 4" •••>	(5.4.7)

указывает на возможность использования методов ускоре­ ния сходимости посредством выделения особенностей, прак­ тикуемого в гармоническом анализе.

Так, в предположении, что изображение F(p) не имеет особых точек в полуплоскости R ep^y за исключением быть может бесконечно удаленной точки, вопрос об улучшении сходимости ряда (2.1) сводится к улучшению сходимости рядов (6) или (7) средствами гармонического анализа путем

учета поведения функций р(0) и р(0) на границе интервала 0 ^ 0 ^ я.

Рассмотрим в общих чертах процедуру улучшения схо­ димости. Ограничимся классом изображений, для которых •справедливы предельные теоремы :

lim,p.F, (p) = /'o»

00

Пт p ( p F ( p ) - f 0) = Го,

Р~+-+ 05

lim p[p(pF(p) — f 0) — Г 0] = Го,

рСО

Введем обозначения:

Ло(Р) = PF(P), Ri(P) = pR 0(P) — fo> R2{P) = PÜi(p) — f'o>

Fm+i(p) = pRm( p ) - h m)-

Тогда

h (n)

•Функция

(5.4.8)

п"‘+1

Rm+l(P)IPm+1

(5.4.9)

является изображением функции

Го

Посредством конформного отображения (2.5) от изобра­ жения (9) перейдем к функции

e M{z) = -r(2A)m+1	(г+1}	(т +
( l + 2 Ü T - ( l - 2 f t T)a )m +l Rm+1
^ 2А	1+2 Г

(5.4.10)

В предположении, что Mm+i ^ï+ имеет конечное

значение в точке г = — 1 , функция gm(z) будет иметь в точке г —— 1 нуль-порядка не меньше, чем т.

Таким образом, функция g m(z)			удовлетворяет условию:
в точке я= — 1 она обращается в				нуль вместе со	своими
производными до тп-порядка включительно.					в функ­
Теперь остается преобразовать				функцию g m(z)
цию gm(z), такую, чтобы были выполнены условия
g m * (2) |z=±l ~ 0,		k = 0, 1, 2, . . •гШ .
С этой целью строится многочлен
Ъ» (г) = (2 +	1Г (?)о +		+	. . . + yjmzm),
такой, чтобы
«	(г)	- * «	’ ( + « .

Тогда искомая функция g m(2) принимает вид

&т(г) — 8m(z) ^Î2nt (2).

В соответствии с общими принципами гармонического анализа коэффициенты a k разложения функций р(0)=

=Reg (е‘°), /i(0)=Img(eiO в ряды типа (6) и (7) будут иметь порядок O ^ j .

Обозначим через Gm(t) оригинал, отвечающий g m(z) и восстанавливаемый приближенно посредством ряда Лагер-

ра, а через	— оригинал, соответствующий многочлену
vbm (2), тогда искомая функция примет вид
т = fo + U t +	f\ -Ç r + . . . + Am)^ +	#*»(*) + От (f).

Замечания 1. Если положить Л= 1/гу, то выражение (10)

несколько упростится.

2. Предельные соотношения (8), в частности, верны при любом т, когда изображение F(p) аналитвчно в окрестно­ сти бесконечно удаленной точки.

Большие вычислительные трудности возникают, когда изображение F(p) имеет сложное поведение в окрестности бесконечно удаленной точки. (Например, бесконечно уда­ ленная точка является существенно особой точкой и даже быть может неизолированной).

Рассмотрим, как в таких случаях осуществить регуляризирующую процедуру, которая бы улучшила сходимость ряда Лагерра.

Пусть g(z) в П2, и причем g(z) имеет на контуре |z |= 1

в точке г —— 1 существенно особую точку. сю

Имеем g(z) = 2 °*2* ПРИ 12 1< 1 .

ft=0		причем
Пусть 2= г е % 0 < г < 1 , тогда 5(гего)=рг(9 )+ ^ г(0)»
Рг(@) =	2 М г) cosft0,
	ft=0	(5.4.11)
	со
1Аг(б) =	2 ь*(г) sinè0,
	*-1

где Ък (г) = akrk.

Отсюда искомые коэффициенты a k принимают вид Оь==—Ьь(г). rR

Коэффициенты Ьк(г) могут быть исчислены в соответ­ ствии с Lïr-алгоритмами. Поскольку г < 1 , то множители

1/г к с возрастанием k могут оказывать существенное влия­ ние на накапливание погрешностей округления.

В связи с этим рассмотрим предварительно вопрос о вы­ боре параметра г таким образом, чтобы избежать указан­ ного влияния на точность вычислений.

Пусть для вычисления дискретных коэффициентов Фурье в соответствии с Lfr-алгоритмами избрано N узлов.

Тогда достаточно положить г = 1 — -^,где 0< Я ,< 1 .

Х\н Действительно, в этом случае будем иметь rff= ^ l— ^

и, следовательно, при 0< Я < 1 влияние множителей

~ на величину и точность вычисления коэффициентов а к

в пределах будет незначительным. После того, как таким образом подобран параметр г, можно перейти к про­ цедурам ускорения сходимости рядов (11). С этой целью по­ строим многочлен

Ъ я (2) — (* + Г)тк + «jZ + . . . + am2m) +

+ (2 - г Г ( р 0+ Р1г + . . . + ? Л

такой, что

« W I z = ± r = gtft)(± r), 0 < /г < т.

Тогда функция gm(z)=g(z)— vj2m (г) будет обращаться в О' вместе со своими производными до m-порядка включитель­

но в точках z = ± г, что обеспечивает для функции g m(г ei0) скорость убывания коэффициентов рядов вида (1 1 ) (при изб­

ранном г) до порядка	.
Если через tymJr(f) обозначить N-ую частичную сумму
Лагерра, отвечающую функции gm(z), а через		— ориги­

нал, отвечающий функции r)2m(2), то искомый оригинал бу­ дет приближенно восстанавливаться выражением Çm(t) -f-

+ ŸnH(О*

Замечание. Приведенные алгоритмы ускорения сходимо­ сти рядов Лагерра являются аналогами улучшения сходи­ мости тригонометрических рядов, описанными в [55]. Они не зависят от того, как исчисляются коэффициенты ряда Ла­ герра (в соответствии с Ltr-алгоритмами или по точным формулам (2.11)). В § 8 рассматривается еще один метод улучшения сходимости рядов Лагерра (аналог метода А. Н. Крылова [59]).

§ 5. Irÿ/г-алгоритмы

Возвращаясь к функции g{z) (2.6), заметим, что для вы­ числения коэффициентов а а стеленного представления функ­ ции g(z) можно использовать чебышевские аппроксимации функции g{z) с узлами на действительной оси [—1 , + 1 ].. Этот подход порождает ряд алгоритмов, которые естествен­

но назвать Lfft-алгоритмами.		Функция g(z).
Отметим, например, LThu — алгоритм.
аппроксимируется многочленом
	П
ë(z )~ L m	(g9 2) =	(5.5.1)-
71+1	й=0

где

' . . = S i 2 w , ( A г» _ с о з 2§ ^ ;

ëk = g {z h), 0 < ft < и.

Впоследующем многочлен Lm (g, z) преобразуется

Л*■Д+1

«виду Хот /g, г) = 2 ак„гк по схеме, описанной, напри-

n+lV	" о
мер, в [33].
Коэффициенты а кп аппроксимируют коэффициенты а к
искомого разложения (2.6). Вопросы сходимости Lj* (g, z)
к g(z) рассмотрены в работах [6, 33].		“+1
Аналогично формируются алгоритмы LThu, LTh22. По­
скольку LjPft-алгоритмы, подобно Lîr-алгоритмам,		можно

интерпретировать на языке тригонометрического интерпо­ лирования, то в случае слабой сходимости чебышевской ап­ проксимации целесообразно применять (в тех случаях, ког­ да это возможно) преобразование функции g(2) к функции

gm(z) для обеспечения ускорения сходимости.

С вычислительной точки зрения LjFft-алгоритмы облада­ ют преимуществом перед Lfr-алгоритмами в том смысле, что они используют значения функции g(z) в действитель­ ных узлах zk,

§ 6. Формула суммирования Пуассона и задача обращения

Рассмотрим аналог формулы суммирования Пуассона для одностороннего преобразования Лапласа. Соответствую­ щую модернизацию вывода формулы Пуассона можно полу­ чить, используя единичную функцию Хевисайда r\(t).

Пусть функция <р(г) абсолютно интегрируема на [0, оо) и

такова, что при	функциональный ряд
u(t) =	2 ?(? + kl)n(t + Ы)	(5.6.1)
	»

сходится равномерно.

Нетрудно убедиться, что u(t) функция периодическая с периодом I. Пусть далее Ф(р) изображение Лапласа функ­ ции q>(t)ri(t). Вычислим коэффициенты Фурье функции u(t):

(4+1)1	_ 2JE
— f J	« i inx <f(x)yi(x)dx =
M
00
- f J е ~ ^ пхч Ш х Ц х =	± - Ф ( ^ ) (га = 0, ± 1 , . . . ).

Таким образом, если ряд (1) сходится равномерно на [0, Z], а его сумма u(t) удовлетворяет условиям разложимо­ сти в ряд Фурье, то при имеет место равенство

Замечания. 1. Из (2) следует справедливость формулы

(5.6.3)

при условии, что ряд в правой части равенства (3) сходится. Формула (3) представляет собой аналог формулы суммиро­ вания Пуассона для случая одностороннего преобразования Лапласа.

2. Полезно отметить, что ряд (1) при представля­ ет собой решение разностного уравнения

x (t+ l)—#(f) = cp(f).

(5.6.4)

Следовательно, формула (2) позволяет получить частное решение неоднородного разностного уравнения (4) для O^Lt^Ll в виде тригонометрического ряда

Используем формулу (2) для задачи численного восста­ новления оригинала f(t), заданного изображения F(p).

Пусть Vo — абсцисса абсолютной сходимости интеграла Лапласа от функции f(t).

Положим <p(t)=e-T# f(t) CY > YO) , тогда Ф(р)—Р(р-\-у).

Так как в этом случае |<p(t+feZ)| =0(е~(к~т»)М)»то ряд (1)

сходится равномерно на любом отрезке [О, Т ]. Равенство (2) соответственно принимает вид

m + ^ e - u b f i t + k D ^ ^ - 2					4	+	'
ft- 1				ft«-oo
			0 < f < Z				(5.6.5)
Из формулы (5) вытекает ряд любопытных следствий.
1. Сумма ^(г, г) ряда
		ОJ
	\F(t, г) =	^ Н г +		Ы )гк, 0 < t < Z			(5.6.6)
		ft—о
может быть	выражена через			изображение Лапласа Fip)
функции /(f) :
\b‘(t,3) =	2	е*	1 W	— Г ^пг	г ¥ )	'	(5.6.7)
	ft=—Оо		^		'

В частности, если в разложении (6) положить f= 0, то полу­ чим так называемое г-изображение функции /(f): Чг(г) =

03

=2 f <*>**• É=О

Соответственно формула (7) связывает г-изображение функ-

00
ции /(f) с ее изображением Лапласа: Чг(г)= 2	—Inz-f
*= -ш

+i •2-xk).

2.Разобьем интервал интегрирования интеграла

f+iao

m = ê ü J еР(рШ р .

(5.6.8)

Y—too

ft_

на подинтервалы равной длины 2я/l точками р к = ^ + ik -^

(fe=0, ± 1 , ± 2, . . . ) и применим к интегралу {8) формулу трапеций, тогда получим

7+i»	»	,	2 ..
è l I	= Т 2	e ^	' ^ ’ F ^	+ i2-^ ).	(5.6.9)
V—{«	Яг— »		'	)

Сравнивая приближенную формулу (9) с точной формулой (5), заключаем, что погрешность £2(f) формулы трапеции

7 + * »

e h J	« " w	o —
т-ю
имеет вив	©(#) =	— 2	e ~lïkf ( f +	Aï).
Поскольку |/(?)|		k = i	(у> уа), то
		|2(J) i	< M eт.*—	.	(5.6.10)

Неравенство (10) оценивает величину погрешности фор­ мулы трапеции в зависимости от выбора параметра I, т. е. в зависимости от выбора шага h = 2 n /l формулы трапеции.

§ 7. «Смешанные» производящие функции

Из вышеизложенного со всей ясностью вытекает, что многочлены Лагерра играют особую роль в операционном исчислении и они могут с успехом применяться в самых различных целях. Ниже будет показано, что многочлены Лагерра наиболее удобны при выводе так называемых «смешанных» производящих функций.

Вначале вкратце покажем вывод формулы для одной «смешанной» производящей функции, остальные приведем без выкладок.

Используя производящую функцию [21, 93]

2 р в (*)Ап= <1 - 2*А + А2) 2 , |*| < 1

71=0

для многочленов Лежандра Р„(л:), находим равенство

О»	g
2	(2л + 1 W P n (х) = (1 - А2) (1 - 2xh + h?)T .
л=0

Отсюда с помощью замены Л=о>(1—р)/р, где р — операци­ онная переменная, получаем:

	2 <2а + 1K	( W	-	р[(1-щД)р2+ 2(ор-а)2]	(5.7.1)
				[6/г2—2<й(др+а))р-}-и)-]я/2
	71=0	'	'