книги / Методы принятия технических решений
..pdf122 |
Глава 9 |
Перевод дерева решений в последовательность матриц, со ответствующих отдельным этапам процесса, производится сле дующим образом.
1 . Маркируют все варианты решений каждого этапа. Все действия drky которые встречаются на пути от исходного узла этапа до его конца, т. е. до появления нового решения, образу ют в совокупности вариант решения £,• [например, на рис. 9 .5 (d\2 >d21) и (dj2, d22) образуют соответственно два варианта ре шения первого этапа].
Рис. 9.6. Совокупность узлов решений и узлов событий.
2. Учитывают все случайные события отдельного этапа. Все лежащие на пути до конца каждого этапа случайные события fsi характеризуют внешние состояния F} [так, например, на рис. 9.5 как (f2ь /б2, f82)» так и /22 характеризуют внешние со стояния на первом этапе, a f7i и /72 — «а втором)].
3. Получаемые на каждом этапе результаты учитывают с помощью матриц решений, причем каждому пути от узла ре шений как исходного пункта до конца пути на рассматриваемом этапе соответствует одна матрица. Если конец этапа является одновременно концом дерева решений, то указанные там ре зультаты Ck представляют собой явно выраженный численный элемент eif матрицы решений последнего этапа, причем резуль тат является следствием как выбранного на рассматриваемом пути варианта £*, так и соответствующего состояния исходных данных Ff. Если этап дерева решений является промежуточным, то вклад этого этапа в конечный результат будет зависеть так же от решений на последующих этапах, так что вместо опреде ленного значения мы должны считать результатом рассматри ваемого этапа некоторую матрицу, элементы которой соответ ствующим образом характеризуют влияние тех или иных буду щих состояний и действий.
Анализ ситуаций выбора решения |
123 |
Применяя указанную выше последовательность шагов на каждом этапе, удается расчленить многоэтапное дерево реше ний на ряд одноэтапных деревьев, каждому из которых соот ветствует одна матрица решений. В качестве примера для де рева решений на рис. 9.5 имеем:
Этап I:
Путь |
1: |
du — E\ |
0 = /7ь откуда следует еп = С{ |
|||||||||||||
Путь |
2: |
d12, 6^21 — |
|
/з1 = F2~ + |
|
|
С2 |
|
||||||||
Путь |
3: |
^ i2, |
|
/ч |
|
|
|
/ч |
|
|
6*23 = Сз |
|
||||
d2\= E2\ /32— ^ 3- |
|
|
||||||||||||||
Путь |
4: |
|
|
/Ч |
|
|
|
/\ |
|
|
аз4 —С4 |
|
||||
d\2, d22= Е%\ /41 —^ 4" |
|
|
||||||||||||||
Путь |
5: |
|
|
/Ч |
|
|
|
ч. |
|
■^^35— |
|
|||||
6^12» |
d22 = Ez\ |
f42= F$- |
|
|||||||||||||
Путь |
6: |
^i3= £ 4; /ц, |
fbi—FQ — |
|
^46 |
|
EQ |
|
||||||||
Путь |
7: |
/X |
|
f и, |
|
/Ч |
|
*^47 = С*7 |
|
|||||||
d\z~Ei\ |
fs2 = E7- |
|
|
|||||||||||||
Путь |
8: |
di3 = £,4; |
flU |
/ 5 3 = |
^ 8 - |
|
|
|
s = Cs |
|
||||||
Путь |
9: |
di3= £V, |
|
|
/Ч |
|
|
|
|
|
этапа и вместо е4д следует |
|||||
fi2 = Fg. Конец |
||||||||||||||||
Путь |
10 |
|
^Ч. |
|
|
|
/Ч новая матрица |
||е||п |
||||||||
di4= £,5; |
/21, |
/ б б ~ ^ 1 0 ----- ^ ^ 6 . 1 0 = ^ 1 2 |
|
|||||||||||||
Путь |
11 |
|
/Ч |
/21» /б2, |
/— |
|
|
|
|
|
||||||
di4= £V, |
f8\ = F\\--- ^ ^ 6,11 = |
^13 |
||||||||||||||
Путь |
12 |
d\\~ Е§\ |
|
|
|
|
/Ч |
|
|
|
|
|
|
|||
/21, |
/б2, |
/в 2 = |
|
Е \ 2 |
|
^^6,12 = |
^ 1 4 |
|||||||||
Путь |
13 |
d14 |
Е5, |
|
/ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f 22 = F \ s -----^ |
в 6)1 3 = |
|
С 15 |
|
||||||||||||
Матрица \\e\h представлена в табл. 9.2. |
|
|||||||||||||||
Этап II: |
Ч |
|
/Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Путь |
1 : |
d$\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
^ч |
Е6, |
f n = Fi4> F 1 5 , F 16--- ^£ц = С9 |
||||||||||||||
Путь |
2 : |
|
|
|
/Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6/31 = £б; |
/72 = ^ 1 5 — ^ е \2 — С\о |
|
||||||||||||||
Путь |
3: |
43 |
|
|
|
ч |
|
— |
|
|
|
Ci |
|
|
||
II |
Сц |
0 |
= F \ |
6 |
^21 |
= |
1 |
|
||||||||
|
|
сосч |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Как видно |
из рис. |
|
9.5 и табл. 9.2 и 9.3, для оценки и опре |
деления соответствующего отдельному пути конечного резуль тата С/г следует идти от конца к началу, т. е. начиная в каждом
Таблица 9.2. Платежная матрица этапа выбора решений I
F i F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F s F» F lo F 1 1 F 1 2 F l3
£1 |
с, |
|
£ |
2 |
с 2 Сз |
£ |
3 |
С4 с5 |
£ |
4 |
с6 С 7 Сз 1N1 |
£ |
4 |
C\4 C 13 Cu C 15 |
|
124 |
Глава 9 |
|
Таблица 9.3. Платежная |
матрица |
|
этапа выбора решений II |
||
Fu |
Fib |
Fie |
с9 |
Сю |
|
е 7 |
|
Сц |
случае с самых высоких этапов и ветвей. Полученный на ка ком-либо этапе результат вводят в соседний низший этап. Та ким образом, в нашем примере значения С9, Сю или Сц в зави симости от выбора варианта решения £ 6 или Е7 и данного внешнего состояния F14, F\s или F\e следует подставлять в мат рицу \\e\h как элемент еА9. Конечно, при использовании этого алгоритма следует охватить сразу все варианты решения и со стояния исходных данных, так как возможные ошибки переда ются вплоть до первого этапа. В процессе принятия решения уже нельзя, таким образом, вносить коррективы в более позд ние решения на основе информации, собранной в результате реализации более ранних этапов.
Компромисс для внесения корректив может быть найден в тех случаях, когда все варианты решения и внешние состояния учитываются полностью, однако следует ожидать дополнитель ной информации за счет уточнения исходных вероятностей. Сначала, идя от высших к низшим этапам, нужно проделать приближенный расчет, используя наиболее подходящий в дан ном случае критерий, который не требует обязательно этой ожидаемой дополнительной информации. Окончательное реше ние следует принять, идя в обратном направлении от низших к высшим этапам, с использованием более подходящих крите риев и дополнительной информации, полученной из реализации процесса.
В многоэтапных процессах принятия решения для получе ния наилучшего решения целесообразно применить понятие стратегии. Точное определение этого понятия будет дано поз же, в разд. 9.4.2. Для начала здесь будет достаточно указать, что под стратегией понимают однозначный образ действий, ко торый позволяет принимающему решение в каждый момент времени делать выбор с учетом всей информации, содержащей ся в осуществленных реализациях процесса. В случаях, описы ваемых в соответствии с рис. 9.6 одним деревом решений, все стратегии, о которых может идти речь, формулируются прави лом — следовать единичным решениям и действиям (на рис. 9.S такие пути состоят из одного или двух членов). Если всего име
Анализ ситуаций выбора решения |
125 |
ется R возможных стратегий и соответствующие индексу г по следовательности содержат в общей сложности Кг членов drk, & =1,..., /Сг, то запас стратегий, которым располагает прини мающий решение, можно записать множеством
(9.1)
Соответственно все лежащие на пути от начала до конца дерева решений состояния исходных данных образуют страте гию внешних состояний. Если всего имеется S возможных стра тегий внешних состояний и относящаяся к индексу s последо вательность состояний содержит всего Ls членов fsi>/= 1,..., Ls. то запас соответствующих стратегий Fст можно описать мно жеством
(9.2)
Таким образом, для примера на рис. 9.5 справедливо:
Ест= {dnV {ch2Ad2i)\/ {d12Ad22)V
V (^1зД^31) V (^1зЛ^32) V^M},
/"ст = {/31V/32Vf41V/42V (/llAbl) V (/иЛ/52) V
V (/11Л /53) V (/12Л /71)V (/12Л /72) V (fsiAfei)'V
V (/2lA/!62A/?8l) V (/21Л /62Л /82) N//22}.
Случай многоэтапного решения в общей форме рассмотрен в разд. 9.4.2.
Для учета всех уместных вариантов решения и состояний исходных данных на практике рекомендуется менять подходы (способ рассмотрения) и продумывать различные варианты. Иногда имеются варианты, например, в организационной плос кости, которые не касаются вариантов технической реализации. Вариант решения может также состоять в том, чтобы не при нимать решения немедленно, а только позже, когда, возможно, появится дополнительная информация, или, например, в том, чтобы вообще не воздействовать на процесс, чтобы получить результаты, не содержащие последствий воздействия. Для си стематизации смены подходов рекомендуется оценить варианты решения и внешние состояния, например, со следующих точек зрения:
—позволяют ли рассматриваемые подходы выстроить ва рианты и внешние факторы в определенном порядке? Можно ли для этого порядка подобрать количественную шкалу?
—характеризуются ли они постоянными, целочисленными или не только целочисленными величинами?
126 |
Глава 9 |
—зависят ли внешние факторы и варианты решения от вре мени, и если это имеет место, лежат ли они в различных вре менных диапазонах?
—различна ли продолжительность их действия, так что при известных условиях они действуют в ограниченной мере и че
рез определенное время должны быть заменены новыми?
— реализуемы ли они детерминированно или речь идет о случайных величинах?
Разумеется, существенную роль могут играть и другие ха рактеристики.
Если внешние состояния известны, а варианты необозримы, потому что проблема слишком сложна, можно пойти еще таким путем. Если между зависимыми и независимыми переменными имеется функциональная связь, т. е. возможна в некотором роде детерминистская программа оптимизации, то каждому дискрет ному значению независимой переменной можно поставить в со ответствие значение зависимой переменной и, таким образом, определяется пространство допустимых вариантов.
На рис. 9.7 показана часть дерева решений некоторой ре альной задачи. На трансформаторной подстанции крупной энергосистемы семь автотрансформаторов 380/220 кВ в опреде ленный момент времени из-за возрастающей мощности корот ких замыканий становятся неустойчивыми при коротких замы каниях. Соответствующие стандарты требуют установления па раметров по максимально возможному току короткого замыка ния, т. е. по ударному току короткого замыкания в месте ввода. Прежде всего напрашивается решение заменить трансформа торы. Следующая группа вариантов решения направлена на снижение мощности коротких замыканий. Для полноты систе матики требуется также ветвь решений, которая предусматри вала бы возможность и дальше эксплуатировать трансформа торы, мирясь с последствиями. Окажутся ли такие не лежащие в обычной области технического рассмотрения варианты опти мальными или будут, в конце концов, вообще исключены —эти обстоятельства на предварительном этапе анализа пока не име ют значения. Правда, это приводит к быстрому разрастанию дерева решений, однако было бы неразумно на начальной ста дии анализа отказываться от полноты представления исходных данных и вариантов решения. Только те события и действия, ко торые, без сомнения, должны быть исключены, следует отбро сить с самого начала. Более детальное исследование рассматри ваемой задачи показывает, что максимальные токи короткого замыкания в местах ввода—очень редкое явление, поскольку они определяются неблагоприятными сочетаниями многих слу чайных величин, и вероятность реализации таких сочетаний очень мала. К тому же конкретный анализ показывает, что эко-
Анализ ситуаций выбора решения |
127 |
D2I |
[> 30млн] |
|
Рис. 9.7. Часть дерева решений для эксплуатации неустойчивых при коротких замыканиях трансформаторов 380/220 кВ [9].
Ег — замена всех трансформаторов к 1 января первого года эксплуатации; £2 — замена
всех трансформаторов к |
1 |
января |
второго года; |
£з — замена |
всех |
трансформаторов к. |
|||
1 января третьего года; |
£ 4 — замена |
всех трансформаторов к 1 |
января четвертого |
года; |
|||||
£' — снижение |
мощности |
короткого |
замыкания; |
£" — дальнейшая |
эксплуатация |
транс |
|||
форматоров; £21 — снижение |
питающей |
мощности; D2t — последующее отключение |
сети; |
||||||
Ъ2г — частичное |
упразднение |
заземления |
нейтральной точки; D2<— установка устройств,, |
||||||
|
ограничивающих |
ток короткого замыкания. |
|
|
128 |
Глава 9 |
номические последствия критического короткого замыкания сравнительно невелики. Отсюда напрашивается решение про должать эксплуатацию трансформаторов, несмотря на то что они неустойчивы при коротких замыканиях. Оценка же эконо мических последствий подтверждает, что все технические ме роприятия по снижению мощности коротких замыканий целе сообразно исключить из рассмотрения.
9.3.Ошибки решения
9.3.1.Количественный анализ
На практике часто встречается случай, когда функция по лезности е(уу х)у где х характеризует состояния исходных дан ных, а у — варианты решения, известна не точно, а с некоторой неопределенностью или ошибкой Де(уу х)у так что принимаю щему решение приходится иметь дело не с самой функцией по лезности е (у, х)у а с отягощенной ошибкой ее формой
ИУ, х)+Р±е{уу *)).
Возникает вопрос, какая погрешность возникает, когда оп
тимизацию приходится проводить, исходя из функции (е(у,х) + + Де(уу *)) вместо функции е(у, х). Можно, правда, предполо жить, что достаточно малая погрешность Де(уу х) мало повли яет на максимальную эффективность и доминирующие вариан ты решения, но нельзя ожидать, что это общее предположение будет справедливо в одинаковой мере для всех критериев выбо ра и ошибок Де(уу х). Если, однако, величина Де(уу х) посто янна и не зависит от у и ху т. е. Дe{yt x)=ky что на практике является весьма нередким частным случаем, то при использо вании различных ранее обсуждавшихся критериев получаются такие же оптимальные варианты решения, как и для задачи, не отягощенной погрешностями оценок. Мы покажем это на важ ных примерах критерия Байеса — Лапласа, а также минимакс ного и гибкого критериев. Будем в общем случае исходить из того, что переменные у и х могут изменяться как непрерывно, так и дискретно, и независимо от природы переменных пронор мируем диапазон их изменения в пределы [0, 1]. Сформулиро ванное выше высказывание верно, когда при использовании критерия К оптимальное значение величины оценочной функ ции ZKy которое мы хотим получить, не зависящая от у и х ошибка Де(уу x)=k и соответствующая ей погрешность &ZK подчиняются уравнению
ZR +AZx —Zx+k,
т. е. &ZK = k. Для минимаксного критерия с оценочной функци-
Анализ ситуаций выбора решения |
129 |
ей ZMM= sup inf е (у, х) и Ае (yf'x) =k непосредственно получаем
ух
|
ZMM+ A Z MM = sup inf |
(у, x) +Ae (у, *)]== |
|
|
у |
x |
|
“ sup |
inf [e (у, x)+k] = sup |
inf e (у, *)+£, т. c. AZMм=£ |
|
0 |
* |
у |
x |
В случае критерия Байеса—Лапласа вместо прежней дискрет ной формы
п
ZBL = m ax2^j?i/ i i=l
используем для непрерывно меняющихся переменных с произ вольной функцией распределения Q (дс) непрерывную форму:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
„ |
|
ZBL =sup .fe (у, х) dQ (х). |
|||||
|
|
|
у |
0 |
|
|
|
Отсюда следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
ZBL + AZBL.==sup \[е (у, x)+k]dQ (х) = |
||||||
|
|
1 |
|
у |
о |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
= sup J е (у, х) dQ (х) +k JdQ (л:), |
||||||
|
у |
О |
|
|
|
|
О |
и поскольку |
1 |
|
|
|
то |
A Z BL = k. |
|
fdQ(*).= l, |
|||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
Наконец, для гибкого критерия, исходя из выражения |
|||||||
|
Zr = sup Г |
V (а)у f е (у, х) dQ (дс) + |
|||||
|
|
у |
L |
|
6 |
|
|
|
+ (1 — V (а) у ) М е ( у у х) jc Ае (у, *)=£, |
||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Zr + AZr= sup [ V (а) у |
\[е (у, х) +k\dQ (дс) + |
|||||
|
|
у |
1 |
|
|
о |
|
|
+ {l— V (a) )„{inf[e (,у, х) + £]}]=* |
||||||
= sup |
г |
i |
|
|
* |
|
J |
V' (а) у |
j г (г/, |
х) dQ (х) + |
(1— V (а) у) inf е (,у, *) + |
||||
У |
L |
о |
|
|
|
|
у |
|
+ V (a)*fe ) dQ (х) + |
(1—У (a) „)й 1 =Zr+£, |
|||||
|
|
6 |
|
|
|
|
.1 |
и, следовательно, снова AZr =k.
Таким образом, подтверждается положение, что постоянная, т. е. не зависящая от внешних состояний и вариантов решения ошибка в определении функции полезности для рассмотренных нами случаев ведет к постоянной и такой же по величине по-
9— 152
130 Глава 9
грешности оценочной функции, однако сами оптимальные ва рианты решений остаются теми же, что и в случае отсутствия ошибки.
О зависимости значения оценочной функции от погрешно сти функции полезности и о воздействии этой погрешности на выбор оптимального варианта нужно еще сказать следующее. Мы принимаем, что значение оценочной функции ZK для крите
рия К соответствует состоянию исходных данных х* |
и опти |
|
мальному варианту решения у*, т. е. |
справедливо |
равенство |
2я = е(г/*, х*)=е*, и можно упростить |
символику обозначений, |
|
записывая функциональную зависимость у-*е(уу х*) |
символом |
у-^е(у). При этом функция у-*е(у) предполагается дифферен цируемой, так что существует производная е' (у)> и поскольку
ZK = шахе (у)=ш ахе (у, |
х*), то е' (*/*)=0. Если теперь вместо |
|
V |
9 |
мы располагаем отягощенной ошиб |
функции полезности е (у) |
кой функцией ё (у)=е (у)+Ае (у) и максимальное значение по следней шах е (*/)=ё (у0) соответствует варианту решения г/°, то для ошибки ДZ = e (у0)—е* в случае
\ё (у)— е (y)]s£d
справедлива оценка
|A Z |^ d + - i - | 7" ( у ) \ \ у ° - у * \ 2.
При этом аргумент у во второй производной ё" (у) имеет про межуточное значение между у0 и у*. Коль скоро для у0 предпо лагается так называемый гладкий максимум и первая произ водная ё' в у0 будет меняться лишь незначительно, то и значе ние второй производной ё” (у) в окрестности у0 будет мало и даже при больших отклонениях оптимального варианта реше ния у0 от у* ошибка ДZ будет определяться главным образом ошибкой функции полезности | ё (у) — е (у) | .
9.3.2. Качественный анализ
До известной степени и качественный анализ позволяет принять правильное решение и оценить ошибки. Таким обра зом обеспечивается и более высокая достоверность последую щих решений. На всех этапах процесса выбора решения сле дует тщательно анализировать и устранять возможные ошибки. Для этого нельзя указать какого-то единого систематического пути. На основании практики принятия решений можно, одна ко, указать на некоторые характерные ошибки. Если задача рассматривается небрежно или неподготовленным человеком, то из-за недостатка времени или информации может сформиро
Анализ ситуаций выбора решения |
131 |
ваться недостаточно точное представление о задаче. Системати ческое и по возможности математически обоснованное исследо вание задачи предотвращает ее недооценку. Кроме того, при этом реже случаются слишком поспешные или, наоборот, за поздалые решения. Очень часто наблюдаются неясности отно сительно цели, которую преследует решение задачи. Особенно это проявляется при множестве целей, при зависящих от вре мени целях и при многоэтапных решениях с изменяющимися целями. Определение цели часто недооценивают или даже им пренебрегают, поскольку полагают, что, относящееся к поста новке задачи, это определение входит в круг обязанностей за казчика, а при самостоятельной формулировке задачи цель мо жет казаться изначально полностью определенной. Тем не ме нее ошибочные решения часто являются следствием неточно или неполно сформулированных целей. Для мало-мальски важ ного технико-экономического решения всегда необходимо иметь постановку задачи, оформленную в письменном виде. К грубым ошибкам ведет предубежденность как в отношении исходных данных и вариантов решений, так и в отношении результатов. Задание неизбежно выглядит несерьезным, когда к фактически уже принятому по различным причинам решению просто ищут обоснование. При анализе информации ошибка может возник нуть из-за того, что поспешно и опрометчиво мирятся с недо статком информации вместо того, чтобы предпринять все воз можные усилия для получения недостающей информации. Ошибка может возникнуть и из-за того, что установление гра ниц диапазона изменений неизвестного параметра окажется не достаточно обоснованным. Влияние принятых распределений вероятностей и критериев выбора уже рассматривалось в соот ветствующих главах, и о них здесь нужно упомянуть лишь как о необходимости обеспечить достаточную полноту множества вариантов решения £. В случае очень сложных комплексных проблем ошибки могут возникать из-за неправильной поста новки частных задач. При часто практикуемых коллективных решениях необходимо также считаться со взаимным влиянием множества мнений.
9.4.Процесс принятия решения
9.4.1.Одношаговые схемы принятия решения
Есть два пути возникновения технической задачи: или полу чают заказ на решение задачи, или на основании собственных наблюдений приходят к убеждению, что нужно искать рацио нальный способ достижения поставленной цели. При этом цель может быть изначально известной или может характеризовать
91