книги / Методы принятия технических решений
..pdf
|
по |
Таблица 6.4. |
Квантили |
га для Практических значений вероятностей принятия ошибочного решения |
|
|||||||||
|
стандартному |
нормальному |
закону распределения при эмпирическом доверительном |
факторе V\,(a). |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Случай |
я*=2 |
при а * 0,01 и 0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
N\ |
|
h |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0,0 |
ол |
0,2 |
1о*з ; |
0,4 |
ГО.5J§ |
: о.б |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1.0 |
|
|
V |
\ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,1567 |
1413 |
1262 |
1114 |
0966 |
0817 |
0665 |
0510 |
0349 |
0180 |
0 |
|
|
|
10 |
6501 |
5934 |
5452 |
5001 |
4552 |
4085 |
3577 |
3001 |
2306 |
1395 |
0 |
|
|
*-ч |
20 |
7879 |
7256 |
6769 |
6319 |
5870 |
5395 |
4865 |
4239 |
3437 |
2271 |
0 |
|
|
30 |
8479 |
7859 |
7398 |
6975 |
6552 |
6100 |
5588 |
4971 |
4154 |
2896 |
0 |
|
|
|
о |
40 |
8814 |
8210 |
7777 |
7381 |
6984 |
6556 |
6068 |
5471 |
4665 |
3375 |
0 |
|
|
II |
|
- |
||||||||||||
50 |
9028 |
8443 |
8035 |
7663 |
7287 |
6883 |
6417 |
5842 |
5055 |
3759 |
0 |
а |
||
8 |
60 |
9177 |
8610 |
8224 |
7872 |
7516 |
7131 |
6686 |
6132 |
5365 |
4077 |
0 |
Zi-a/2 |
|
|
70 |
9286 |
8737 |
8370 |
8035 |
7696 |
7328 |
6901 |
6367 |
5621 |
4346 |
0 |
0,001 |
3,3 |
|
80 |
9370 |
8837 |
8486 |
8166 |
7842 |
7489 |
7079 |
6562 |
5836 |
4578 |
0 |
0,005 |
2,81 |
|
90 |
9436 |
8919 |
8582 |
8275 |
7964 |
7625 |
7228 |
6728 |
6021 |
4782 |
0 |
0,01 |
2,61 |
|
100 |
9489 |
8986 |
8662 |
8367 |
8068 |
7740 |
7357 |
6872 |
6182 |
4962 |
0 |
0,025 |
2,24 |
|
1 |
0,3790 |
3430 |
3094 |
2770 |
2448 |
2120 |
1777 |
1411 |
1007 |
0548 |
0 |
0,05 |
1,96 |
|
10 |
8592 |
7976 |
7523 |
7109 |
6693 |
6248 |
5743 |
5131 |
4316 |
3045 |
0 |
0,1 |
1,64 |
|
20 |
9243 |
8686 |
8311 |
7969 |
7624 |
7248 |
6814 |
6271 |
5516 |
4236 |
0 |
0,2 |
1,28 |
|
30 |
9482 |
8977 |
8652 |
8355 |
8054 |
7724 |
7339 |
6852 |
6160 |
4937 |
0 |
|
|
о |
40 |
9607 |
9141 |
8850 |
8584 |
8313 |
8016 |
7667 |
7221 |
6579 |
5418 |
0 |
|
|
II |
50 |
9683 |
9249 |
8982 |
8740 |
8492 |
8219 |
7896 |
7482 |
6882 |
5777 |
0 |
|
|
8 |
60 |
9734 |
9326 |
9079 |
8854 |
8624 |
8370 |
8069 |
7680 |
7114 |
6058 |
0 |
|
|
|
70 |
9771 |
9384 |
9153 |
8942 |
8727 |
8488 |
8204 |
7837 |
7299 |
6287 |
0 |
|
|
|
80 |
9799 |
9430 |
9212 |
9013 |
8809 |
8583 |
8314 |
7966 |
7452 |
6478 |
0 |
|
|
|
90 |
9821 |
9468 |
9261 |
9072 |
8878 |
8663 |
8406 |
8073 |
7581 |
6641 |
0 |
|
|
|
100 |
9839 |
9449 |
9302 |
9121 |
8936 |
8730 |
8485 |
8165 |
7691 |
6782 |
0 |
|
|
Количественные характеристики ситуации принятия решений |
73 |
и, следовательно, не зависит от значений самих параметров Х\
их2.
Втабл. 6.4 представлены значения Vv(a) для частного слу
чая п =2 при изменении о от 1 до 10 0 и Л от 0 до 1, с а = 0 ,0 1
и а = 0,1. Кроме того, в таблице |
приведены значения квантилей |
|
2 i_ a/2 в зависимости от а. Результаты, |
приведенные в таблице, |
|
можно получить из выражения |
(6 .2 0 ), |
принимая А2=Л. |
1 6.4.2. Прогностический доверительный фактор
Прогностический доверительный фактор определяется для серии из ад реализаций с учетом вероятности а ошибки по формуле
|
Vw(a) = |
*L . |
(6.21), |
|
[Л |
X\ |
|
Здесь |
x\ — минимальноеп значение параметра из |
ряда л i, |
|
Xiy Xц. |
Выражение ц=2р/ЛГ/ |
определяет среднее |
значение |
/“ 1
параметра х, заданного рядом xj, /= 1, ..., п. Параметр х счи тается случайной величиной с (теоретическими) вероятностями
п
Pi его возможных значений, так что hpj — l. Величина Mw(a) = i—1
= ^%jw(a)Xj представляет собой наиболее неблагоприятное, /V- 1
т. е. наименьшее из реально возможных среднее значение пара метра, которое может быть получено в серии из ад реализаций; оно вычисляется на основании известного вероятностного рас пределения значений параметра (ри р2у ..., рп) и вероятности а принятия ошибочного решения. Коэффициенты %jw(a) опре
деляются на основании оценки |
вероятностей |
рь ..., рПУ причем, |
|
естественно, выполняются |
соотношения |
0 ^ й /° (а ) ^ 1 |
и |
п |
|
|
|
И%;м?(а) = 1. В этом случае, как и при рассмотрении эмпиричес-
/* 1
кого доверительного фактора, необходимо помнить, что наибо лее неблагоприятным является тот случай, когда малым зна чениям параметра из ряда хи *2>•••, хп соответствуют наиболь шие относительные частоты реализаций с учетом заданной вероятности а принятия ошибочного решения. Обозначим через Я { случайную величину, реализация которой есть число А, появлений элемента xj, наблюдаемых при ад-кратном повторе нии рассматриваемого случайного события. Тогда Hj имеет биномиальное распределение В (А/, ад, pf) с параметрами ад
и р,.
74 Глава б
Для /=1 |
будем исходить из равенства |
|
||
или |
Р(Р\ + uUa<Hi/w) |
= а |
|
|
|
|
|
|
|
|
P ( H i < w ( p i + Ui,a) ) = |
l — а . |
|
|
Квантиль |
(yi.i—a. биномиального |
распределения В (h, w, |
||
P i ) определяется из таблиц, после чего из соотношения |
||||
|
Pl + |
«l,a = ^l,l-a/tiy= |
: h w la |
(6.22) |
вычисляется |
величина |
hiaw. Аппроксимируя |
биномиальный |
закон распределения нормальным, величину hiaw можно полу чить, используя квантиль zi_a порядка 1 —а стандартного нор мального распределения
P l + 2 i _ a y p l ( l — P l ) / W = |
(6.23) |
Для 1 = 2, ..., п справедливо равенство
Р ( P i — U j , a < H j l w < p i + u i t a ) = 1 — а .
Используя квантили <7/,а/2 и <7/,i-a/2 порядка а/2 и, соответствен но, 1 —а/ 2 биномиального закона распределения, получаем выражение для граничных значений коэффициентов
pj — uiia = q,,a,2lw = : hwj,a/2, Pj + «/,«= |
|
= <7;,i-a/2/w = :hwit a/2, |
(6.24) |
а при аппроксимации нормальным распределением с квантилями za /2 и Zi—а/2 порядка а/ 2 и, соответственно, 1 —а /2 получаем
И/,a = |
— Za/2 |
У |
Pl(‘1-~ |
Pi) ■> И/,a = |
Zl-a/2 | / Pl^ ~ |
Pl) |
, (6.25) |
P i + |
2a/ 2 У |
P |
l V - Pll |
= : hwit a/2, |
P i -f Z,_0/2 " I / EZ |
E S |
= |
|
f |
|
W |
|
f |
W |
|
Весовые коэффициенты 7ijw(<x), / —1, ..., n, как и для выражения '(6.18), определяются индуктивно:
hwt (a) : = hwi,at
Количественные характеристики ситуации принятия решений |
75 |
|
При этом выполняются условия |
п |
и |
2%j(a) = l |
||
среднее значение определяется равенством |
|
|
Mw(а) = II |
hwj(a)Xj. |
|
/= 1 |
|
|
При стремлении к бесконечности числа реализаций (до->-оо) согласно закону больших чисел (с вероятностью 1 ) выполняют ся следующие асимптотические соотношения:
1,<х р и h Wj, a/2 P u j, a/2 Pj> h Wj (ot) P f 9
а из них следует, что Vw(a)->-\ при w-+оо, т. е. при неограни ченном возрастании числа реализаций (до-^оо) прогностический доверительный фактор стремится к единице. Естественно, сох раняется условие 0 ^ Vw (а) ^ 1.
Из представленных выше формул (6.22) и (6.24) следует,, что с уменьшением числа реализаций w до единицы прогности ческий доверительный фактор монотонно стремится к нулю, что математически записывается так: Vw(a)-+Q при С учетом
п |
п |
выражение (6 .2 1 ) |
можно за |
равенств Ър, = 1 |
и 27г/®(а) = 1 |
||
писать в виде |
|
|
|
|
2 V(®)(*/ — *0 |
|
|
|
V (a ) = — п--------------- |
• |
(6.27) |
23P,(xj — xi)
/= 1
Для частного |
случая п= 2 выражение |
(6.27) приобретает |
про |
||
стой вид |
|
|
|
|
|
yw/a) ^ |
h2”(a) = |
l -hr(a) |
. |
(6.28) |
|
' |
' |
Р2 |
Р2 |
1— Pi |
|
6.4.3. Эмпирико-прогностический доверительный фактор
Эмпирико-прогностический доверительный фактор определя ется на основании значений параметров из ранее полученной выборки объемом v с учетом предстоящего проведения серии из w экспериментов и вероятности а принятия ошибочного ре шения по формуле
Vw0(a) = %,»(«)- х , . |
(6.29) |
M v — Х\ |
|
Здесь, как и в случае эмпирического доверительного факто ра, х\ представляет собой минимальное значение параметра из.
76 Глава 6
ряда х\, *2. —. хп, a Af„=E/tjX3— среднее значение эмпиричес-
/= 1
кого ряда, где Л,- — относительная частота реализации значения Xj в выборке объемом v экспериментов; кроме того, справедли-
П |
П |
во равенство 2ftj= 1. Величина |
Mvw(a) = h %wx>jXj представляет |
/= 1 |
/= 1 |
собой наиболее неблагоприятное, т. е. наименьшее из реально возможных среднее значение параметра, которое рассчитывает ся на основании данных выборки (fti, Л2, ..., Лп), т. е. без зна ния (теоретического) распределения вероятностей (ри р2, ...
..., рп) для случая ад-кратной реализации процесса с учетом ве роятности а ошибки. Коэффициенты определяются из соот ветствующих величин для эмпирического и прогностического доверительных факторов. С одной стороны, применяя биноми альное распределение, можно получить более точные значения этих величин. При этом в формуле (6.22) вместо вероятности
pi следует использовать значение ри полученное из выражения (6.16). С другой стороны, при аппроксимации нормальным распределением, что в свою очередь предполагает достаточно большие значения величин v и wt из выражений (6.17) и (6.23) получаем
|
pl + Zi-aVpi(l — pi)lw = :h"v,1,а, |
(6.30) |
||||
а для /=2, ..., п согласно (6.17) и (6.25) получаем |
|
|||||
|
|
т |
w М |
= • A*®, I, а/2» |
|
|
|
|
______ |
|
|
(6.31) |
|
|
Py + Zl—а/2 |
= |
: А » в, /, «/2. |
|
||
Здесь Zi—a, |
z0/ 2 |
и 2 i_а/, — квантили |
стандартного |
нормального |
||
распределения |
порядков, |
соответственно, |
1 —<*, а/ 2 и 1 —а/2 . |
|||
Весовые |
коэффициенты |
(а), /*=1....... л, |
аналогично |
|||
(6.18) и (6.26), определяются индуктивно: |
|
|
||||
|
|
Ae »,i(a) : = |
|
|
|
|
|
A®o,/(a): = rain [ max jo, 1 —^ |
A”0,((a) — |
||||
|
|
|
» |
/, a/2j i |
|
|
|
|
1 - г |
. .... Я — 1 |
|
(6.32) |
n—1 _
A"0,n(a) : =* шах jo, 1 — Z A®,,* <-i
|
Количественные характеристики ситуации принятия решений |
77 |
|||
При |
этом |
выполняются |
соотношения |
0^А*%,/(а)^1, |
|
п |
|
и определяется величина |
|
|
|
XTiwr ; fa) = 1 |
|
|
|||
/ - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Mwv(а) = |
2 |
hwv,i{a)Xj. |
||
|
|
|
|
/= 1 |
|
|
Теперь рассмотрим асимптотические приближения при w-+-оо |
||||||
и a-^оо. Согласно закону больших чисел |
(с вероятностью 1 ) |
|||||
при w—>-оо имеем: |
|
|
|
|
|
|
hWv, 1, a |
Ри |
hWv, /, a/2 -*■ Р/, |
/, a/2 “*■Pj, |
|||
|
|
flWv,j (&) |
|
А0,/ (ot) , |
|
|
M vw |
и, |
тем |
самым, |
У^(а)-^У^(а) при а;->оо. |
||
Соответственно при а->-оо получаем |
|
|||||
|
К , 1,. |
А*1, а, |
А**, /, а/ 2 |
hWj, а/2» |
||
К |
, /, a/2 |
A*/, a/2, |
|
h wv,/ (а) -> hwf (а), |
||
hj-*pj, |
Mvw{a)-+Mw{а) |
и, следовательно, VV°(a)->- |
||||
при |
|
При о->оо и w-*oo получаем |
||||
lim Mwv(a) = |
lim Mw(a) = lim |
Mv(a) = 1, |
||||
a-*oo |
|
|
a;—►оо |
|
и->оо |
|
W-+QO |
|
|
|
|
|
т. е. при одновременном неограниченном возрастании объема выборки у-»-оо и числа реализаций процесса w-*-оо эмпирико прогностический доверительный фактор стремится к единице. Очевидно, что справедливо неравенство 0 ^ V V °(a )^ l.
С другой стороны, при постепенном уменьшении объема выборки v до нуля или числа реализаций процесса w до еди ницы эмпирико-прогностический доверительный фактор моно
тонно стремится к нулю: W°(a)40 при пЮ и w\l. |
С учетом |
||||
П |
П |
|
выражение (6.29) можно пред- |
||
равенств 2?г*=1 |
и 2 %wv,j (a) = 1 |
||||
i-i |
i=i |
|
|
|
|
ставить в виде |
|
|
|
|
|
|
2 |
hwv,j[Oi)(xi *,) |
|
||
|
V”v(a) = ^ |
----------------. |
(6.33) |
||
|
|
hj{Xj |
Xi) |
|
|
|
|
/= 1 |
|
|
|
Отсюда для частного случая |
л=2 |
выражение (6.33) |
приобре |
||
тает простой вид |
|
|
|
|
|
Vwo(л) = ^Уг(Д) |
1 —AVt(g) |
(6.34) |
|||
|
*2 |
|
|
1 —hi |
|
78 |
Глава 6 |
6.4.4.Использование доверительных факторов
взадачах принятия решения
Введенные выше доверительные факторы были получены для ряда значений одного параметра. При наличии нескольких вариантов решения i= l, т в зависимости от значений внешних состояний Fu .... Fn каждому из т вариантов будет соответствовать свой ряд значений полезности решения etl , ...
.... ein и, таким образом, свои эмпирический Vv(a),• (разд. 6.4.1), прогностический У№(а){ (разд. 6.4.2) и эмпирико-прогностичес кий Vvw(a)i (разд. 6.4.3) доверительные факторы. Порядок определения значений этих доверительных факторов и их свой ства описаны в указанных соответствующих разделах этой гла вы. Сопоставим еще раз формулы, отражающие асимптотичес
кие свойства доверительных факторов, которые |
потребуются |
||||||
при дальнейшем изложении материала: |
|
при |
W f oo |
||||
Vv (ос); |
I f |
при |
V\ ° ° |
Vw(а) ,• |
( I f |
||
|
|
при |
v | 0 |
|
1 о \ |
при |
w I 1 |
|
I f |
при |
V f oo/\w f оо |
|
|
(6.35) |
|
Vwv (а)» |
|
|
|
||||
0 \ |
при |
v | 0 \Jw j |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Эти определенные для каждого |
варианта |
£i |
доверительные |
факторы можно использовать в качестве индивидуальных пара метров в HL-критерии (4.5), т. е. обозначая для упрощения за писи любой из доверительных факторов (эмпирический, прог ностический, эмпирико-прогностический) через щ, получим посредством соотношений
П |
hjetj+ ( 1 — т) min eih |
Мir=Ui 2 |
|
/=i |
/ |
|
(6.36) |
[Hr — ►max!
i
уточненный вариант HL-критерия.
Характерными для указанных доверительных факторов яв ляются «наиболее неблагоприятные» средние значения полез ности Mv{a), №w(а) и Mvw(а). При наличии нескольких вариан тов решения Ei и, естественно, нескольких величину,зависящих от внешних состояний Fj, эти средние значения определяются
индивидуально по следующим формулам: Жг,(а)г=ЕА„,;-,(а)ег;-, /= 1
Mw(a) / = Е А®/,; (а) е,-;- и Mvw(а) ; = 2 Ttwv,s,i (а) е»у. Ниже будет
/= 1 |
/= 1 |
Количественные характеристики ситуации принятия решений |
79 |
описан общий принцип представления этих формул, для чего средние значения, соответствующие всем трем типам доверитель ных факторов, обозначаются просто Ш(а)/, а границы, вычис ленные (в зависимости от вероятности ошибки а) для отдель
ных вероятностей, обозначаются Яц(а) и Яч(а). Тогда для оп ределения M(a)i необходимо найти вероятности Яч в соответ ствии с условиями
^ |
п |
п |
М (а ); = |
2 ецЦц — ►min, |
2 qи = 1, |
|
/= 1 |
/= 1 |
|
|
(б-37) |
9*7 (а ) ^ |
Яч ^ 9*7 (а )« |
|
Такая постановка задачи позволяет распространить ее ре шение и на случай непрерывного распределения бесконечного множества возможных значений влияющих параметров x ^ F , причем для каждого x ^ F и варианта решения Е{ реализуется свое значение полезности е(х, i). Границы для частот в их зависимости от вероятности ошибки а могут теперь быть пред
ставлены в виде^ функций распределения Q*(a, х ) и Q*(a, х )
вместо яrj(a) и 9 *j(a) соответственно. Для определения M(a)i необходимо найти функцию распределения Q i ( x ) согласно условиям
4-00 |
4-оо |
M ( a ) i = $ e{x,i)dQi(x) |
— »- min, $ dQt(x) = 1, |
Q i (a, x ) < Q i |
(*) < Q i (a, x). |
Для обобщения понятия о самом неблагоприятном среднем значении полезности по всем трем типам доверительных фак торов аналогично формулам (6.18), (6.26) и (6.32) обозначим
П
эту величину через M(a)i = I,hji(a)eij, после чего в результате
несложных преобразований, используя выражение (6.36), по лучаем простое равенство:
1Иг—М(а)1 = 2 hu(a)eij. |
(6.3’8) |
/-1
Предыдущие рассуждения можно распространить на общий случай задачи принятия решения при наличии нескольких параметров 1=1, L. Если, отбрасывая в данном случае ин декс i для различных вариантов решения Ei} обозначить через
Яи(а) и Яп(а) границы для вероятностей состояний, соответст вующих параметру /, 1 ^ / ^ L , то можно принять
L |
Л |
L |
(6.39) |
<7/ (а) : =П qn (а) |
и q,(а) : = |
П qn (a). |
i= i |
i= i |
80 |
Глава 6 |
Теперь, когда определены эти новые границы* все еще завися щие от некоторых комплексных состояний, дальнейший способ действий остается тем же, что и в случае одного параметра.
Если вместо нижней и верхней границ функций распределе ния вероятностей qji(a) и qji(a) известны соответствующие
границы hji(а) и Л//(а), то, аналогично (6.39), можно получить нижние и верхние границы
L |
L |
А/(а) : = П hft(а) |
и А/ (а) : = П кц(а). |
/= 1 |
;=•1 |
Учет зависимости доверительных факторов от варианта ре шения Eiy i= 1, ..., т при определенных обстоятельствах требует довольно больших вычислительных затрат. С целью упрощения обозначим через 1U любой из трех типов доверительных факто ров. Тогда, если диапазон разброса его значений
min V,-c Vi<шах Vi |
|
i |
i |
для всех m вариантов решения сравнительно невелик, то впол не обоснованно можно использовать среднее значение довери тельного фактора
_ 1 |
т |
|
V— |
т |
Ъ У г . |
|
i=i |
Эта величина теперь полностью соответствует доверительному фактору HL-критерия (4.6), разд. 4.2, но теперь она содержа тельно мотивирована, а в количественном отношении точно определена.
6.5. Принятие решения при наличии риска
Допущение пусть даже малой вероятности а принятия оши бочного решения не исключает возможности риска даже с учетом вычисления ^введенных выше; доверительных факторов. Полное устранение риска при принятии решений практически даже и не требуется; мало того, определенная степень риска вводится сознательно, так как принятие решения без риска, например, с предельно пессимистической позиции, как правило, невыгодно. Однако при этом разумный риск следует отличать от риска азартного игрока. Любой риск, во-первых, должен учи тываться по возможности полно, описываться количественными характеристиками и ограничиваться, а во-вторых, ни в коем случае не превышать уровень, при котором результат достига ется с достаточной надежностью!] Приводимые ниже рассужде
Количественные характеристики ситуации принятия решений |
81 |
ния ознакомят читателя с возможностью принятия эффективно го решения при. наличии определенного рискаГ]
В качестве опорного для оценки риска примем выражение (3.3) для совокупности вариантов решения по минимаксному критерию, соответствующее позиции крайней осторожности. В случае выбора вместо оптимального по данному критерию какого-либо другого варианта Е{ степень неоптимальности можно вычислить в виде так называемого дефекта варианта решения £* относительно опорного значения оценочной функции по ММ-критерию:
в/ возм = |
min Bij, |
(6.40) |
|
Максимальную разность дефектов при рассмотрении всех |
|||
возможных вариантов решения |
i==1 , ...» |
можно охаракте |
|
ризовать как возможный риск: |
|
|
|
евозм = max ( Z M M — min ец) — min ( Z MM — min ец) = |
|||
i |
i |
i |
/ |
= Z MM — min min ец. |
|
(6.41) |
|
i |
J |
|
|
Таким образом, возможный риск е Возм независимо от информа ции о параметрах, имеющейся по результатам выборки, а также от числа реализаций процесса представляет собой максимально возможную величину нереализуемой полезности решения. В случае малых объема v выборки и числа реализаций w про цесса принятия решения безопаснее придерживаться ММ-кри- герия, тогда как при достаточно больших значениях v и w целесообразно ориентироваться на BL-критерий. Как известно, оба они обобщаются HL-критерием (4.6), согласно усовершен ствованному варианту которого (6.36) оптимальным считается решение Ей для которого выражение
eir=ut 2 |
ецк, + (1 — ш)т\пец |
(6.42) |
/= 1 |
/ |
|
дает максимальный результат. Здесь и в дальнейшем изложе нии материала величины Aj, / = 1 , ..., п представляют собой известные, в меру имеющейся в наличии информации, вероят ности реализации внешних состояний Fь ..., Fn либо оценки этих вероятностей, полученные на основании выборки по ре зультатам каких-либо экспериментов, либо, по крайней мере, относительные частоты их распределения, определенные на ос новании априорной информации. В качестве щ целесообразно использовать эмпирико-прогностический доверительный фактор Vvw(a), величина которого автоматически изменяется в грани-
6— 152