книги / Остаточные напряжения в полимерных композиционных материалах
..pdfψ2 (T )2 =
ψ3 (T
|
|
|
3 |
; |
|
|
|
||
|
N(t ) |
|
||
2 |
|
|
RB (t − ω,t − ω) dN (ω) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
)2 = |
1 |
; ψ4 (T )2 = |
3 |
. |
|
|
|||
|
2G |
2B |
||
|
1 |
|
1 |
|
Тогда для функции рассеяния из (3.26) можно записать следующее соотношение:
|
|
* = − |
|
s2 |
× |
|
||
|
W |
|
ij |
|
||||
|
N(t ) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
RG (t − ω,t − ω) dN (ω) |
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
N(t ) |
t |
|
|
|
|
||
|
× |
RG (t − ω, τ− ω)deij (τ) dN (ω) − |
|
|||||
|
0 |
ω |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
× |
|
|
|
|
N(t ) |
|
|
|
|
||
|
|
|
RB |
(t − ω,t − ω) dN (ω) |
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
N(t ) t |
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
RB (t − ω, τ− ω)d (θ(τ) − 3εT (τ)) dN (ω), |
(3.27) |
||||||
0 |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
где σ2 – среднее нормальное напряжение в дополнительных меж-
молекулярных связях, образованных в |
процессе стеклования, |
|||||||
|
2 |
|
N (t ) t |
|
|
|
||
σ2 = |
σii |
= |
|
RB (t − ω, τ − ω)d (θ(τ) − 3εT |
(τ)) dN (ω); |
sij2 (t ) = |
||
3 |
||||||||
|
|
0 |
ω |
|
|
|
||
N(t ) t |
|
|
|
|
|
|||
= |
RG (t − ω, τ− ω)deij (τ) dN (ω) |
(см. (3.13), (3.14)). |
|
|||||
0 |
ω |
|
|
|
|
|
||
Если |
RG (t − ω, τ− ω) = RG (t − τ) , |
RB (t − ω, τ− ω) = RB (t − τ), то |
||||||
соотношение (3.27) преобразуется к виду |
|
|
111
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
α(t ) t |
|
|
|
|
W * = − |
|
|
|
|
|
RG |
(t − τ)deij (τ) dN (ω)× |
|
||||
R |
G |
(0) N (t ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 ω |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
N(t ) t |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
× |
RG (t − τ)deij (τ) dN (ω) – |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
ω |
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
N(t ) t |
|
|
|
|
||
– |
|
|
|
|
|
|
|
RB (t − τ)d (θ(τ) − 3εT (τ)) dN (ω)× |
|
||||
R |
B |
(0)N (t ) |
|
||||||||||
|
|
0 |
ω |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
N(t ) t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
× |
RB (t − τ)d (θ(τ) − 3εT |
(τ)) dN (ω). |
(3.28) |
|||||||
|
|
|
0 |
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом выражение для функции диссипации может быть записано следующим образом:
W |
* = s2e |
− |
sij2 sij2 |
+ σ2 (θ− 3αT )− |
σ2σ2 |
. |
(3.29) |
|
RG (0) N (t ) |
RB (0)N (t ) |
|||||||
|
ij ij |
|
|
|
|
Если положить в соотношениях (3.28), (3.29) N (t ) = 1 (что соот-
ветствует полностью застекловавшемуся полимеру), то полученные соотношения для функции диссипации совпадают с полученными в работе [101] для классических линейных вязкоупругих сред.
Можно показать [77], что
α(t ) t |
|
|
N(t ) t |
|
|
||
− RG (t − |
τ)deij (τ) dN (ω) |
|
RG (t − τ)deij (τ) dN (ω) ≥ 0 ; |
||||
0 |
ω |
|
|
0 |
ω |
|
|
|
N(t ) t |
|
|
|
|
||
|
− |
RB (t − τ)d (θ |
(τ) − 3εT (τ)) dN |
(ω)× |
|||
|
|
0 |
ω |
|
|
|
|
|
N(t ) t |
|
|
|
|
||
|
× |
RB (t − τ)d (θ(τ) − 3εT |
(τ)) dN (ω) ≥ 0, |
||||
|
0 |
ω |
|
|
|
|
112
если выполняются следующие условия:
RG (t ) > 0, RB (t ) > 0, RG (t ) < 0, RB (t ) < 0. (3.30)
Если, кроме того, для функции степени стеклования выполняется условие
N (t ) ≥ 0 , |
(3.31) |
то функция рассеяния W * ≥ 0. Условия (3.30), (3.31) выполняются автоматически, исходя из смысла функций объемной и сдвиговой релаксации и функции степени стеклования.
Для линейной упругой среды из соотношения (3.28) следует W * = 0, что в данном случае отражает обратимость процесса.
113
ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕКЛУЮЩИХСЯ ТЕЛАХ
В главе дана общая постановка краевой задачи термомеханики полимерных материалов в условиях релаксационного перехода, включающая описанные в предыдущих главах определяющие соотношения. Изложен численный пошаговый алгоритм решения задачи с применением на каждом шаге процедуры метода конечных элементов. Рассмотрены особенности численного решения при учете вязкоупругих свойств стеклообразного состояния. Алгоритм проиллюстрирован при решении задачи о прогнозировании полей технологических и остаточных напряжений в стеклующемся сплошном коротком эпоксидном цилиндре.
4.1. ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМОМЕХАНИКИ
СТЕКЛУЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
Для решения задач механики деформируемых твердых тел, поведение которых описывается физическими соотношениями (3.3) или (3.13), (3.14) в двух- и трехмерном случаях, приходится использовать численные методы. В данной главе рассмотрено применение метода конечных элементов для расчета напряженно-деформиро- ванного состояния в стеклующихся телах.
В общем случае постановка краевой квазистатической задачи без учета объемных сил включает в себя следующие уравнения:
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
Ω ; |
|
|
|
div σ(x,t) = |
0 , x |
|
|
|
(4.1) |
||||||
ˆ |
|
|
T |
+ |
|
|
|
|
|
Ω ; |
|
ε(x,t) = (( |
|
u(x,t)) |
|
|
u(x,t)) / 2, x |
|
(4.2) |
с начальными условиями
ˆ |
|
Ω ; |
|
σ(x,0) = 0, x |
|
(4.3) |
114
и граничными условиями вида |
|
|
|
|
||||
|
|
u(x,t) = U(x,t), |
x Su ; |
(4.4) |
||||
|
ˆ |
|
|
n = P(x,t), |
x |
|
Sσ , |
(4.5) |
|
σ(x,t) |
|
|
|||||
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
где σ, ε – тензоры напряжений и деформаций с компонентами σij |
||||||||
и εij |
соответственно; |
u,n – векторы перемещений и внешней еди- |
ничной нормали к поверхности S с компонентами соответственно Ui ,ni ; x – радиус-вектор произвольной точки тела, имеющий ком-
поненты xi ; U – заданный на части Su границы S вектор перемещений с компонентами Ui ; P – заданный на части Sσ границы S вектор поверхностных сил с компонентами Pi ; Su Sσ ≡ S ; i, j = 1, 2, 3.
Система уравнений задачи механики замыкается определяющими соотношениями, которые, в зависимости от условий задачи и свойств конкретного материала, записываются либо в упругом приближении вида (3.3)
|
|
|
|
s |
(x,t ) = |
2G1 (T (x,t ))e(x,t ) + |
||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
+2G2 |
|
|
T (t ) |
e |
(x,t ) − e(x, τ) dN (T (x,t )); |
|
|
|
(T (x,t )) |
||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
TH |
|
|
|
|
|
σ(x,t ) = B1 |
(T (x,t )) θ(x,t ) − 3εT |
(x,t) + B2 (T (x,t ))× |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T (t ) |
{ θ(x,t ) − 3εT (x,t ) − |
θ(x, τ) − 3εT (x, τ) }dN (T (x, τ)), (4.6) |
||||||
× |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
TH
либо в более полной форме, с учетом вязкоупругих свойств в стеклообразном состоянии (3.16)–(3.17)
|
|
|
s |
(x,t ) = G1 |
(T )e |
(x,t ) + |
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
N(t ) t |
|
|
|
|
|
|
+ |
R |
G |
(T ,t − ω, τ− ω)de(x, τ) dN (T (x,ω)); |
|||
|
ω |
|
|
ˆ |
|
|
0 |
|
|
|
|
115
|
σ(x,t ) = B1 |
(T ) θ(x,t ) − 3εT (x,t ) + |
|
|
|
|
|
N(t ) t |
|
|
|
+ |
RB (T ,t − ω,τ− ω)d (θ(x, τ) − 3εT |
(x, τ)) dN (T (x,ω)). (4.7) |
|
0 |
ω |
|
|
Если в застеклованном состоянии материал проявляет термореологически простое поведение в опытах на сдвиговую и на объемную релаксацию (или ползучесть), то по аналогии с одноосным напряженным состоянием возможно использование принципа темпе- ратурно-временной аналогии с двумя независимыми функциями температурно-временного сдвига (для функции объемной релакса-
ции aT(RB ) и для функции сдвиговой релаксации aT(RG ) ) и, как следствие, введение двух различных модифицированных времен
t′ |
t |
a(RB ) |
( |
T ( |
τ |
) |
) |
d |
τ |
, |
′ |
τ |
a(RB ) |
( |
T ( |
τ |
) |
) |
d |
|
B |
= |
T |
|
|
|
|
τB |
= |
T |
|
|
τ |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t′ |
t |
a(RG ) |
( |
T ( |
τ |
) |
) |
d , |
′ |
τ |
a(RG ) |
( |
T ( |
τ |
) |
) |
d |
τ |
||
G |
= |
T |
|
|
|
τ |
|
τG |
= |
T |
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
для уравнений (4.7). В этом случае соотношения связи напряжений и деформаций преобразуются к виду
sˆ(x,t ) |
= |
1 |
(T )eˆ(x,t ) |
N(t ) t |
|
|
|
G − |
τG |
|
|
|
|
τ |
) |
|
|
( |
T (x, |
ω |
) |
) |
|
|||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
G |
|
|
ω |
RG |
(t′ |
′ )deˆ(x, |
|
|
dN |
|
|
|
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
σ(x,t ) |
= B1 |
(T ) |
θ(x,t ) |
− 3εT |
(x,t ) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N(t ) t |
B |
− τB |
|
(θ |
|
|
τ |
|
− εT |
|
τ |
|
|
|
|
|
( |
|
|
ω |
|
) |
|
|
|
|
|
|||
+ |
|
)d |
(x, |
) |
(x, |
) |
) |
|
|
|
T (x, |
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ω |
RB (t′ |
′ |
|
|
|
3 |
|
|
dN |
|
|
|
. |
|
|
|
(4.8) |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приэтом зависимость N(T) задается однимиз законов (2.7)–(2.9). Уравнения (4.1)–(4.7) содержат зависимость от времени, кото-
рая возникает за счет возможного изменения во времени внешних
116
силовых и кинематических воздействий, а также нестационарного температурного поля T (x,t ), определяемого из решения краевой за-
дачи нестационарной теплопроводности [47]: |
|
||
c(T )ρ(T ) |
∂T (x,t ) |
= div(λ(T )gradT (x,t )), x Ω , t (0,t* ), |
(4.9) |
|
|||
|
∂t |
|
|
с начальными условиями |
|
||
|
|
T (x,0) = TH |
(4.10) |
и граничными условиями вида |
|
||
λ(T )n gradT (x,t) = αT (T (x,t) − Tcp (t)) , x S3 ; |
(4.11) |
||
|
n gradT (x,t) = 0, x S0 , |
(4.12) |
где c(T ), ρ(T ), λ(T ) – удельная теплоемкость, плотность и коэффициент теплопроводности материала; αT – коэффициент конвективного теплообмена с окружающей средой, имеющей температуру Tср ; S3 – граничная область с условиями конвективного теплообмена; S0 – с отсутствием теплообмена.
4.2. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО ПОШАГОВОГО
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Пусть каким-либо известным способом, например, методом конечных элементов [76], получено решение задачи (4.8)–(4.11), т.е. найдено изменение во времени поля температур в области Ω . Рассмотрим формулировку метода конечных элементов для решения краевой задачи (4.1)–(4.6) в случае упругого приближения.
Используем некоторый конечный элемент, перемещения любой точки которого характеризуется вектором-столбцом перемещений
u |
(x,t ) |
|
|
|
1 |
|
, |
{ f (x,t )} = u2 |
(x,t ) |
||
u |
(x,t ) |
|
|
|
3 |
|
|
117
|
e |
|
[76] с век- |
связанным с помощью матрицы функций формы N |
|
(x) |
|
тором узловых перемещений {δe (t )} : |
|
|
|
{ f (x,t )} = N e (x) {δe (t )}. |
|
|
|
Вектор-столбец деформаций элемента {εT } = {ε11, ε22, ε33, γ12, γ23, γ13} выражается через {δe (t )} известным образом [76] через матрицу гра-
( )
диентов B x :
{ε(x,t )} = B(x) {δe (t )} .
Представим в матричном виде физические соотношения (4.6) (см. (3.5)), введя в рассмотрение вектор-столбец напряжений
{σ}T = {σ11, σ22 , σ33 , τ12 , τ23 , τ13} :
{σ(t)} = D(1) (t) ({ε(t)} − {εT (t)})+ {D(2) (t)}({ε(t)} − {εT (t)})N ((t)) −
|
|
(2) |
|
N(t ) |
({ε(τ)}− {εT |
(τ)})dN (τ), |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(4.13) |
||||||||||||
|
− D |
|
(t ) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T (t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
{εT }T = {I}T |
α(τ)dT (τ), |
{I |
}T |
= {1, |
1, 1, |
0, |
0, 0}; |
|||||||||
|
|
|
|
T0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а отличные от нуля компоненты матриц |
D(1) , |
D(2) |
равны |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Dkk(i) = Bi (T ) + |
4 Gi (T ), |
|
k = |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1,3; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dmn(i) = Bi |
(T ) − 2 Gi (T ), |
m, n = |
|
|
m ≠ n; |
|
||||||||||
|
1,3, |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dkk(i) = Gi (T ), |
k = |
|
; |
i = 1,2. |
|
|
||||||||||
|
4,6 |
|
|
118
Представим |
отрезок времени [0,t] в виде набора отрезков |
|||
M |
|
|
|
, т.е. на оси времени введем в рассмотрение сетку |
[0,t] = |
tm − 1 |
,tm |
||
m = 1 |
|
|
|
|
с узловыми точками t0 , t1, , tM . Тогда возможна аппроксимация
интеграла в (4.13) конечной суммой с использованием правосторонней формулы прямоугольников:
D |
|
N(t ) |
({ε(τ)}− {εT (τ)})dN (τ) ≈ D |
(2) |
(tM ) × |
|
|
||||||
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
M |
({ε(tM )}− {εT (tm )})(N (T (tm )) − N (T (tm−1 ))) . |
|||||
× |
||||||
m = 1 |
|
|
|
|
|
После вынесения неизвестного вектора текущей деформации {ε(tM )} из-под знака суммирования и подстановки в (4.13) физические соотношения принимают вид
{σ(tM )} = D(tM ) {ε(tM )} + {σ0 (tM )}, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(t |
|
) = D(1) (t |
|
) |
+ D(2) |
(t |
|
) N (T |
(t |
|
−1 |
)); |
|
|
M |
|
|
M |
|
|
|
M |
|
|
M |
|
|
|
|
{σ0 (tM )} = − D(tM ) |
{εT (tM )} − |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M −1 |
|
|
|
(tm )})(N (T (tm )) − N (T (tm−1 ))), (4.14) |
||||||||
− D(2) (tM ) ({ε(tm )}− {εT |
|||||||||||||
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, численное решение краевой задачи (4.1)–(4.7) сводится к пошаговой процедуре, в которой на каждом шаге по времени tM решается краевая задача теории упругости относительно уз-
ловых неизвестных {ε(tM )} с некоторым начальным для данного шага полем напряжений {σ0 (tM )}, которое вычисляется с помощью
119
соотношений (4.14) по найденным к моменту времени tM значениям узловых неизвестных {ε(tm )}, m = 0, M − 1.
Векторы узловых сил конечного элемента определяются обычным образом [76]:
– вектор узловых сил от начальных напряжений:
{F e |
(t |
M |
)} = − |
B(x) T {σ |
0 |
(x,t |
M |
)}dΩe |
, |
|
σ0 |
|
|
|
|
|
( x ) |
|
Ωe
– вектор узловых объемных и поверхностных сил:
e |
(tM )} = |
|
e |
T |
{P(x,tM )}dS |
e |
(x), |
{Fp |
N |
|
(x) |
|
|||
|
Se |
|
|
|
|
|
|
где Ωe – объем конечного элемента; S e – часть его поверхности, принадлежащая границе Sσ области Ω .
В результате построения традиционным способом [76] глобальных матриц системы конечных элементов приходим к алгебраическому аналогу системы интегродифференциальных уравнений
(4.1)–(4.7):
K (t |
M |
) |
{δ(t |
M |
)} = {F |
(t |
M |
)} + {F |
(t |
M |
)}, |
|
|
|
p |
|
σ0 |
|
|
(4.15)
{Fσ0 (t0 )} = 0.
Вычисление вектора {Fσ0 (tM )} связано с подсчетом суммы
(4.14), учитывающей деформационную историю. Сумма будет равняться нулю для моментов времени, соответствующих температурам T > Tg1 , и некоторой постоянной величине для моментов времени,
соответствующих T < Tg2 .
120