книги / Остаточные напряжения в полимерных композиционных материалах

Теоретический расчет остаточного напряженно-деформирован- ного состояния цилиндра проводился методом конечных элементов (разд. 4.4). Коэффициент Пуассона смолы в высокоэластическом состоянии, в соответствии с гипотезой о постоянстве модуля объемного сжатия, полагался равным 0,495, а в стеклообразном – 0,42 [102]. Тепловые характеристики ЭДТ-10 взяты из [83]: λ = 0,19 Вт/м2/К; С = 1000 Дж/кг/К; ρ = 1600 кг/м3. Изолинии расчетных остаточных

напряжений представлены на рис. 4.2. Как видно из рисунка, величина осевых внутренних усилий σz сопоставима с остальными компонентами тензора, поэтому необходимо учитывать влияние их исчезновения в отделенном от основного материала слое колец на перераспределение σr и σφ . Расчетная схема соответствующей задачи

представлена на рис. 5.3, б. Будем полагать, что, ввиду малости толщины отделенного от основного материала слоя (h R ), все компоненты тензора напряжений постоянны по координате z и касательные напряжения отсутствуют.

С учетом выдвинутых гипотез постановка включает следующие уравнения и граничные условия:

∂σr

+

σr

− σφ

= 0

,

∂r

r

εr

=

∂ur , εz =

∂uz , εφ

=

ur

,

∂r

∂z

r

σr =

Eg (εr (1− μg ) + (εφ + εz )μg )

,

(1+ μg )(1− 2μg )

σφ =

Eg (εφ (1− μg ) + (εr + εz )μg )

,

(5.7)

(1+ μg )(1− 2μg )

σz =

Eg (εz (1− μg ) + (εr + εφ )μg )

,

(1+ μg )(1− 2μg )

141

ur r=0 = 0, uz z=0 = 0,

σz (r) z=h = −σ*z (r), σr (z) r=R = 0,

где Eg , μg – модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала в стеклообразном состоянии; σ*z (r) – распределение расчетных осевых остаточных напряжений в средней части цилиндра (сечение А–А на рис. 5.3, а) до разрезки, полученное после решения задачи об ох-

лаждении цилиндра вида (4.1)–(4.5), (4.9)–(4.13) (см. рис. 4.3).

		r	h
A	r
			−σ*z
σ*z	2R	z
		R
	L
A	h
			z
а			б

Рис. 5.3. Задача о перераспределении напряжений в слое материала:

а– охлажденный цилиндр с вырезанным слоем;

б– схема нагружения отделенного слоя

Обозначим решение (5.7) через σrL (r) , σφL (r) , σLz (r) . Тогда расчетные напряжения в отделенном слое σiS (r) , в силу физической

и геометрической линейности постановки, найдем как суперпози-

цию решений (4.1)–(4.5), (4.9)–(4.13) и (5.7):

142

	σiS (r) = σ*i (r) + σiL (r), i = r,φ; σSz (r) = 0.
Графики	распределения разности главных напряжений
σφS (r) − σrS (r) ,	полученные методом конечных элементов, показаны

на рис. 5.4 сплошными линиями (кривые 1, 2).

Рис. 5.4. Остаточные напряжения в слое цилиндра из ЭТД-10: 1 – расчет по модели упругого приближения; 2 – расчет по вязкоупругой модели; 3 – эксперимент с применением метода разрезки колец; 4 – эксперимент с использованием поляризационно-оптического метода

На том же рисунке точками показано распределение найденной из опыта по разрезке колец разности главных напряжений σφэ (r) − σэr (r)

в слоях, вырезанных из средней части цилиндра.

Как видно из рис. 5.4, разброс экспериментальных результатов достаточно велик и составляет порядка 50 % от значений на среднестатистической кривой. Кривая 1 показывает распределение разно-

143

сти напряжений, рассчитанных по модели упругого приближения (3.3), (3.4). Хорошее совпадение теоретического графика с экспериментом объясняется в том числе и тем, что при решении квазистационарной задачи теплопроводности (4.6)–(4.9) коэффициент теплоотдачи αT подбирался по принципу максимального соответствия

теории и эксперимента. В результате подбора найдено следующее его значение: αT = 480 Вт/м2/К.

На том же рисунке приведен график (кривая 2) распределения напряжений, полученный с применением вязкоупругих соотношений (3.13), (3.14). Учет вязкоупругости смолы в стеклообразном состоянии позволил, в отличие от упругого приближения (кривая 1), описать эффект снижения уровня остаточных напряжений на внешнем радиусе слоя, наблюдаемый экспериментально.

Наличие произвола в определении αT снижает достоверность полученных результатов. Кроме того, большой разброс экспериментальных точек в сочетании с относительно малым числом слоев может привести к значительному отклонению опытной кривой от истинных значений напряжений. Поэтому для проверки был проведен дополнительный эксперимент по определению остаточного напряженно-де- формированного состояния поляризационно-оптическим методом.

5.2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ

НАПРЯЖЕНИЙ В КРУПНОГАБАРИТНЫХ ЭПОКСИДНЫХ ЦИЛИНДРАХ. ПОЛЯРИЗАЦИОННО-ОПТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Эпоксидные смолы, как и ряд других оптически проницаемых полимеров, обладают свойством двойного лучепреломления [21]. Это означает, что при воздействии на оптически изотропный однопреломляющий материал внешнего усилия он превращается в двоякопреломляющий, причем величина и направление изменения свойств пропорциональны разности главных напряжений. Перепад напряжений на двух соседних полосах σ0 , называемый ценой поло-

сы, определяются по формуле [21]

144

σ0 = σ0 b,

где σ0 – удельная цена полосы – константа материала; b – толщина

просвечиваемой пластинки. Согласно формуле значение обратно пропорционально изменению толщины. Это означает, что для одного и того же напряженно-деформированного состояния более толстая пластина содержит большее число изохром, что позволяет точнее восстановить картину распределения напряжений. С другой стороны, при утолщении возрастает расход материала, падает оптическая проницаемость. Поэтому эмпирическим путем выбиралось оптимальное значение b. Для ЭДТ-10 оно составило 7 мм. Эксперимент по определению остаточных напряжений в цилиндре проводился на установке ППУ-7. Образцы в виде дисков (семь экземпляров) вырезались из средней по оси части цилиндра и просвечивались поляризованным монохроматическим светом ртутной лампы. Полученные после пропускания через анализатор изохромы фотографировались на фотопленку «микрат» с выдержкой 15–20 минут. По увеличенным фотографиям (рис. 5.5) строились графики разности главных напряжений отдельно для каждого слоя.

Рис. 5.5. Картина изохром при просвечивании образца

145

Для определения значения удельной цены полосы σ0 был про-

веден эксперимент на чистый изгиб балки из ЭДТ-10. По формулам сопротивления материалов для ЭДТ-10 получено σ0 = 1,29 кг/мм.

Статистический анализ результатов исследования проводился в последовательности, приведенной в пердыдущем разделе. Осредненная кривая с указанием доверительного интервала показана на рис. 5.4 (график 4). Экспериментальная кривая имеет максимум вблизи поверхности образца. Это означает, что слева от точки максимума (dσr dr − dσφ dr ) больше 0, а справа – меньше 0. Расчет

по упругому приближению дает только положительные значения разности градиентов, хотя, как видно из рисунка, у поверхности ее величина заметно уменьшается. Расхождение теоретических результатов с экспериментальными можно объяснить тем, что в эксперименте по определению температуры и интервала стеклования (см. разд. 2.5) исследовался сравнительно узкий диапазон скоростей разогрева (от 0,6 до 10 град/мин). В расчет остаточных напряжений для скоростей, выходящих за пределы данного интервала, закладывались значения Tg и γ, соответствующие его ближайшему

концу. Между тем при интенсивном охлаждении в проточной воде, как показал расчет, температура вблизи поверхности цилиндра изменяется на порядок быстрее. Это приводит к росту температуры стеклования Tg . В результате более «раннего» затвердевания по-

верхностных слоев по сравнению с внутренними происходит перераспределение напряжений, появляется максимум на кривой σr − σφ

(см. рис. 5.5). Невязка расчета уменьшается от периферии к центру цилиндра и на большей части объема не выходит за доверительный интервал. Таким образом, проведенные эксперименты подтверждают адекватность физической и численной моделей.

146

ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ВОЛОКНИСТОГО КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА В УСЛОВИЯХ СТЕКЛОВАНИЯ

ИРАЗМЯГЧЕНИЯ СВЯЗУЮЩЕГО

Вглаве получены физические соотношения для полимерных волокнистых композитов с использованием различных подходов.

Вразделе 6.1 приведен вывод, основанный на применении удельной свободной энергии композита в качестве скалярной меры состояния стеклующегося материала, конкретизирован смысл всех параметров уравнений и дана методика их определения через эффективные свойства композита. Далее физические уравнения получены по методике, в которой стеклование рассматривается как процесс наращивания жесткости связующего. Следующий раздел посвящен идентификации эффективных характеристик композиционного материала в застеклованном и размягченном состояниях на основе численных экспериментов.

6.1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

ДЛЯ ВОЛОКНИСТОГО КОМПОЗИТА

Волокнистые полимерные композиционные материалы (ПКМ) широко используются в авиастроении, машиностроении, судостроении, в электро- и радиотехнике и других отраслях. Основу волокнистых ПКМ составляют армирующие волокнистые наполнители, объединенные в монолитный композиционный материал полимерной матрицей. При изготовлении волокнистых ПКМ реализуются температурные режимы нагрева и охлаждения, которые могут сопровождаться релаксационным переходом связующего, а следовательно, и композита. Для прогнозирования технологических и остаточных напряжений в волокнистых ПКМ необходимо построение математичес-

147

ких моделей деформирования композитов с учетом стеклования и размягчения. Рассмотрим обобщение изложенного ранее подхода на случай описания волокнистого ПКМ со стеклующимся связующим.

6.1.1. Представление удельной свободной энергии стеклующегося композиционного материала

При описании полимера полагалось, что среда изотропна. Кроме того, считалось, что ЛКТР высокоэластического и стеклообразного полимера имеют одинаковую функциональную зависимость от температуры (коэффициенты аппроксимации ЛКТР при переходе через интервал стеклования не меняются). Это существенно упрощает определение физических параметров полимера и вид определяющих соотношений. В композите, благодаря взаимодействию волокна и связующего с различными термомеханическими характеристиками, переход связующего в твердую фазу (стеклование) приводит к достаточно резкому изменению ЛКТР. Необходимо также учитывать анизотропию изменения эффективных свойств композита при переходе через интервал стеклования.

Обобщим предложенный в гл. 3 подход к описанию поведения стеклующегося композита. Обозначим через F1 удельную свободную

энергию композита с высокоэластическим связующим, через F2 –

удельную свободную энергию дополнительных связей полностью застеклованного композита. Принимаем, что степень стеклования N(T) описывается той же, что и для связующего, формулой. Повторяя рассуждения раздела 2.1, получим выражение удельной свободной энергии композиционного материала в виде

F (ε(t )) = F1	(ε(t )) +			N(t )	F2	(ε(t )		− ε(τ))dN (τ),		(6.1)
ˆ		ˆ				ˆ		ˆ
				0
где
ˆ		1	(1)			(1)		(1)
F1 (ε) =		2 Cijkl εij εkl			− Cijkl		εij	εTkl	− S1T;
ˆ	1		(2)			(2)		(2)
F2 (ε) =		2 Cijkl εij		εkl	− Cijkl εij εTkl				− S2T;	(6.2)

148

εTkl(1) = T α(1)kl (T )dT;	εTkl(2) = T α(2)kl (T )dT ,
TH	TH

Cijkl(1) , α(kl1) – компоненты эффективных тензоров жесткости и коэффициентов линейного температурного расширения композита при T ≥ Tg1 ;

Cijkl(2) , α(kl2) – те же величины для образующихся в процессе стеклования связующего связей; S – удельная энтропия. Расчет Cijkl(2) , α(kl2) через свойства композита в высокоэластическом Cijkl(1) , α(kl1) и стеклообразном

Cijklg , αklg состояниях приведен ниже.

После подстановки (6.2) в (6.1) получаем

		1		∂F			∂F		(1)
σij (t ) =					+				= Cijkl (T )εkl (t ) +
		2		∂εij			∂εji
+Cijkl(2) (T )T (t )	εkl (t ) − εkl (					τ) dN (T (t )) − Cijkl(1) (T )εTkl(1) (t ) −
TH
									T (t )
−Cijkl(2) (T ) N (T )εTkl(2) (t ) + Cijkl(2) (T ) εTkl(2) (τ)dN (T (τ)).										(6.3)
									T H
Для определения Cijkl(2) ,					α(kl2) рассмотрим поведение					композита
в стеклообразном состоянии (T < Tg2									). При этом степень стеклования

N = 1 не меняется с изменением температуры, поэтому интегралы в правой части (6.3) становятся постоянными величинами. Пусть при фиксированной температуре T материал деформируется, в результате чего компоненты тензора деформаций получают приращение εke .

Напряжения в этом случае изменятся следующим образом:

σij = (Cijkl(1) (T ) + Cijkl(2) (T ))	εkl .
Так как композит по условию полностью отвержден, коэффи-
циент пропорциональности между σij и	εkl есть компонент тен-

149

зора упругих характеристик стеклообразного материала Cijkl(2) . Следовательно,

Cijkl(2) = Cijklg − Cijkl(1) .	(6.4)
Пусть далее при той же температуре произошел подогрев на	T .

Считая, что материал остался недеформированным, запишем выражение для приращения напряжений из (6.3)

	T	(1)	(2)		(2)
	σij	= − Cijkl (T ) + Cijkl		(T )	εTkl ,	(6.5)
где	ε0kl(i) ≡ ε0kl(i) ( T ). Определим ту же величину через эффективные
характеристики застеклованного композита:
		σTij = −Cijklg	(T )	εTklg ,		(6.6)
где	εTklg = αklg (T ) T . Приравнивая правые части (6.5),					(6.6), полу-

чим систему в общем случае шести уравнений относительно неизвестных независимых компонент тензора εTklg . Для трансверсально

изотропных и ортотропных материалов число независимых компонентов тензора деформаций сокращается до трех:

3

εTii(2)C(2)jjii (T ) j=1

3	(T ) − εTii(1)C(1)jjii (T )).
= ( εTiig C jjiig		(6.7)

j=1

Решая систему трех линейных уравнений (6.7), получим иско-

мые значения	εTii(2) . Если		T = 1, то αii(2) =	εTii(2) , и свободную де-
формацию εTii(2) можно определить по формуле
			T (t )
	εTii(2)		= αii(2) (T )dT.
			TH
Для приближенных		вычислений можно		принимать α11(2) = α11g ,
α(222) = α33(2) = 0,5	(α(221) + α22g ).	Методика численного расчета входящих

150