книги / Линейная алгебра
..pdfПри А = a+i/3 = | + i ^ |
система (А —\Е)Х = 0 имеет, например, |
|||
решение |
|
|
|
|
w = ( - 1 - iV 3 |
| = х + iy = |
( - 1 |
| + i ( —л/3 |
1 |
\ - i + iV*J |
1 |
V V3 |
с действительными векторами x = (2, —1, —1)т и у = (0, —\/3, л/3)т Нормируя векторы х н у , получим еще два ортонормированных век тора:
х_ _ ( Уё |
V6 |
\/б, т |
е' |
- |
— - |
(0 |
— ) Т |
1*Г 1 3 |
6 ’ |
|
|||||
6 ' ’ 3 |
" |
Ы “ |
(° ’ |
2 ’ 2 } |
|||
Базис, составленный из векторов е^, е^, |
является искомым, так |
как в нем оператор (р имеет каноническую матрицу
В = Т~гАТ =
где |
% £ |
|
|
|
|
« |
\ |
||
Г — (е1 > е2» ез) “ |
1 |
Уб |
\П |
|
•УЗ |
3 |
2 |
|
|
|
1 |
_ ^ 6 |
^ . |
|
|
V 3 |
3 |
2 |
/ |
— матрица перехода от базиса е к базису е'.
Примечание. Для ортогональной матрицы А векторы х и у с действительными координатами в решении w = х + iy системы (А — Ai?)Af ^ 0 при А = а + i/З всегда одинаковой длины, орто гональны и удовлетворяют условиям tpx = ах - /?у, = ах + /Зу. Простое доказательство этих утверждений содержится, например, в решении задачи N 1569 в [22]. Векторы х и у можно находить также по формулам X — + w)> у = - й7), где w и w - решения системы (А — АЕ)Х = 0 соответственно при А = а -f г/? и А = а — i/3.
В заключение отметим, что любой линейный оператор, действую щий в евклидовом пространстве, разлагается в произведение симме трического и ортогонального операторов.
6.8.Линейные оп ераторы в унитарном п ростран стве
Все сказанное в третьей главе о линейных операторах в комплекс ном линейном пространстве сохраняет силу и для линейных опера торов в унитарных пространствах. В то же время наличие в уни тарных пространствах скалярного произведения векторов позволяет выделить важные классы линейных операторов. Обычно здесь рас сматривают сопряженные, самосопряженные (эрмитовы), унитарные и нормальные операторы.
Линейный оператор ср*у действующий в унитарном пространстве Un) называют сопряж енны м с линейным оп ератором если для любых векторов х и у из Un выполняется равенство
(<рх,у) = (х,<р*у). |
(6.36) |
Для любого линейного оператора у?, действующего в унитарном про странстве, сопряженный оператор (р* существует и единственный. Операторы (р и (р* являются взаимно сопряженными операторами. Из определения сопряженного оператора непосредственно вытекают следующие его свойства:
1. (<р*У = ъ 2. (<р + * У = Р + Р ,
3.(оир)* = оар* при любом комплексном числе а,
4.(<рФУ = ф*(р*
Матрицы А и А\ соответственно операторов (р и <р* в произволь ном базисе е унитарного пространства Un связаны соотношением
~Ai = Г_1АТГ, |
(6.37) |
где Г — матрица Грама базиса е. В частности, если базис ортонормированный, то
А1 = АТ = А ', |
(6.3Г) |
т.е. в ортонормированном базисе матрицей сопряженного оператора (р* является матрица, сопряженная к матрице оператора ip.
Приведем пример применения этих формул.
П ример 1. Линейный оператор (р в базисе е\ = (1, 1)т , e'2 = (О, 1)т имеет матрицу
1 i
Найти матрицу А\ сопряженного оператора <р* в этом же базисе, если векторы е^, е2 заданы координатами в ортонормированном базисе е.
Решение. Векторы е[, е2 заданы координатами в ортонормирован ном базисе. Поэтому по формулам (6.25) и (6.26) из п.6.6, получаем
(«1, 4 ) = 2» (ei I ег) = (е2>е1) = (е2.е2) = !•
Следовательно, можем составить матрицу Грама
базиса |
е2 и по формуле (6.37) найти матрицу |
|
3 , = |
r - v r = ( _ ; |
2; ) ( 2 ; ) = ( 21. ; ) |
для матрицы А\ оператора <р* в базисе е,1) е2. Остается провести в полученной матрице замену элементов на комплексно сопряженные. В результате получим матрицу
оператора (р* в базисе |
е2. |
Задачу можно решать иначе следующим образом. Выпишем ма трицу перехода
г = |
0 |
|
от базиса е к базису е! и найдем |
матрицу |
|
|
О |
|
л = т а г - ' = ( ; ; ) ( * |
; ) ( Л ? ) |
оператора <рв базисе е.
Теперь по формуле (6.37') выпишем матрицу
М
оператора ip* в базисе е. Возвращаясь к базису е1, получим матрицу
л , = т - л 1т = ( д ; ) ( н ! _ ?,•)(} ! ) = ( - и
оператора <р* в базисе е'.
Собственные значения сопряженных операторов являются ком плексно сопряженными числами. Область значений сопряженного оператора р* является подпространством, ортогональным к ядру опе ратора <р.
Основное свойство сопряженного оператора состоит в следующем.
Бели |
н ек отор ое |
п одп р остр ан ство |
L |
||
инвариантно относи тел ьн о оп ератора |
т о ортогон ал ь |
||||
ное дополнение |
э т о г о п одп ростран ства инвариантно |
||||
относи тел ьн о сопряж енного оп ератора р* |
|
Линейный оператор р } действующий в унитарном пространстве, называют самосопряж енны м или эрм и товы м , если он совпадает со своим сопряженным оператором, т.е. если р = р*, или, что то же самое, для любых векторов х и у
(<рх,у) = (х,<ру).
Если р — самосопряженный оператор, то при любом векторе х скалярное произведение (<рх, х) является действительным числом. Ма трицей самосопряженного оператора в ортонормированном базисе является эрмитова матрица, т.е. матрица А = А = А* Все соб ственные значения самосопряженного оператора являются действи тельными числами. Все собственные векторы самосопряженного опе ратора, принадлежащие различным собственным значениям, ортого нальны.
Для любого самосопряженного оператора, действующего в уни тарном пространстве, существует в этом пространстве одномерное инвариантное подпространство. Если L — инвариантное подпро странство относительно самосопряженного оператора р, то ортого нальное дополнение ь х этого подпространства также инвариантно относительно (р.
Основным свойством самосопряженного оператора является то, что в унитарном пространстве существует ортонормированный ба зис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Это озна чает, что самосопряженный оператор является оператором простои структуры, а среди матриц Г, приводящих эрмитову матрицу А к действительной диагональной матрице А, т.е. удовлетворяющих со
отношению
Т~1АТ = Л,
есть унитарная матрица или, что то же самое, эрмитова матрица А обладает каноническим разложением
А= Т А Т "1
сунитарной трансформирующей матрицей Т.
Правило построения унитарной матрицы Т остается таким же, как в случае симметрических матриц (см. п. 6.7). Поясним его на примере.
Пример 2. Построить каноническое разложение эрмитовой ма трицы
с унитарной трансформирующей матрицей Г.
Решение. Характеристический многочлен
|А- \Е\ = |
1 - А |
1 + i |
= А2 - А - 2 |
|
1 — г |
—А |
|||
|
|
матрицы А имеет корни Ai = 2 и Аг = — 1. Поэтому искомой диаго нальной матрицей Л является
Л =
О
- 1 ) '
При А = 2 система (А —АЕ)Х = 0, т.е. система
Г —*i + (1 + *)*2 |
= |
0) |
\ (1 — i)x 1 — 2x2 |
= |
0 |
имеет ФСР, состоящую из одного решения, например, из решения &1 = (1 + >, 1)т Нормируя это решение, получим
При А = — 1 также построим вектор е'2 = у |
т ! ) |
Из столб |
|||
цов координат векторов е[ и |
строим матрицу |
|
|
||
Т = |
1 |
= 2_ |
I |
|
|
|
7з |
у/6 |
/ |
|
|
(положительно определенная) тогда и только тогда, когда все ее ха рактеристические числа неотрицательные (положительные).
А ри ф м ети чески м корнем m-й степени из неотрицатель ной эр м и товой м атрицы А называют такую матрицу В, что Вт = А. При вычислении у/А следует построить каноническое разложение А = = ТЛТ-1 матрицы А и положить
V A = T V £ T -\ |
|
где |
\ |
Al/m |
|
л/Л = |
о |
|
|
\Ут |
|
о |
о / |
Линейный оператор <р, действующий в унитарном пространстве, называют унитарны м, если он не изменяет скалярного произведения векторов, т.е. если для любых векторов ж и у
{<рх, <ру) = (х, у).
Отсюда следует, что унитарный оператор сохраняет длины векторов. Унитарный оператор любую ортонормированную систему векторов переводит в ортонормированную систему векторов, ортонормированный базис — в ортонормированный базис.
Линейный оператор <ртогда и только тогда является унитарным, когда
<р*<р = ipip* = е .
Отсюда следует, что унитарный оператор ip — невырожденный и
<р* = <р~1-
Действительный унитарный оператор является ортогональным (см. п. 6.7).
Собственные значения унитарного оператора по модулю равны единице; собственные векторы унитарного оператора, принадлежа щие различным собственным значениям, ортогональны. В ортонормированном базисе пространства матрицей унитарного оператора является унитарная матрица, и обратно, если в ортонормированном базисе оператор имеет унитарную матрицу, то этот оператор уни тарный. Произведение унитарных операторов является унитарным оператором.
Основное свойство унитарного оператора состоит в том, что в унитарном пространстве, в котором он действует, есть ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Это означает, что унитарный оператор является оператором простой структуры, а среди матриц, приводящих унитарную матрицу к диатональному виду с диагональными элементами, равными по модулю единице, есть унитарная матрица или, что то же самое, унитарная матрица обладает каноническим разложением с унитарной трансфор мирующей матрицей и диагональной матрицей с диагональными эле ментами, равными единице по модулю.
Схема построения унитарной трансформирующей матрицы оста ется такой же, как в случае любого оператора простой структуры (см. п. 3.8 и п. 6.7) с той лишь разницей, что базис из собственных векторов исходной матрицы здесь еще ортонормируют. Поясним это на примере.
П ример 3. Построить каноническое разложение унитарной ма трицы
( 4/5 |
- 3 i /5 \ |
Л - \ - К / 5 |
4/5 ) |
с унитарной трансформирующей матрицей Т.
Реш ение. Характеристический многочлен
\A-\E\ =
4/5 - А —Зг/5 —Зг/5 4/5 - А
матрицы А имеет корни Ai = (4 + Зг)/5, Аг = (4 — Зг)/5. Поэтому искомой диагональной матрицей Л является матрица
При А = (4 + Зг)/5 система (А - АЕ )Х = 0, т.е. система
{ |
3 • |
3 • |
л |
- p x x - p x i = |
О, |
-|**1 - |**2 = О
имеет ФСР, состоящую из одного решения, например, из решения
т
6i = (1, — 1)т Нормируя это решение, получим
При А = (4 — 3*)/5 также получим вектор
е'2 = С л ’ 7 й )
Из столбцов координат векторов е[ и е2 составим матрицу
т= (
\~уЛ’ •/2 \Дл/2 /
ивыпишем искомое каноническое разложение
-1 |
1 |
1 |
' 4+3i О |
|
1 |
_ ( 7г |
^2 |
' Ф |
.72 |
||
А = ТАТ-1 |
= |
7 ? |
4—3i |
х |
|
|
” 71 |
5 |
<уД |
\/2 |
В приложениях наиболее часто используют элементарные уни тарные м атрицы
( |
\ |
COS ip |
—е1^ sin у? |
Tij —
6 |
sin tp |
cosy? |
1 /
являющиеся обобщением матриц вращений в плоскости евклидова пространства, и матрицы отражения, определяемые, как в евклидо вом пространстве, равенством
Н = Е- 2vv*
W
где v — столбец координат определяющего вектора отражения. Ма трица отражения Н не только унитарная, но и эрмитова, т.е. удовле творяет условиям Я = Я " 1 = Я*
Матрицы и Я применяются так же, как матрицы вращений и отражений в евклидовом пространстве. Например, чтобы с помощью
отражения обратить в нуль вторую и третью координаты вектора
х = (0,3г,4г)т , найдем (см. |
п. 6.7) |
|х| = 5 и положим z = (1, 0, |
0)т , |
||||||
v = х —\х\z = (—5, Зг, 4г)т |
Далее найдем \v\2 = 50, составим матрицу |
||||||||
отражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
/ |
- 5 |
\ |
|
, / |
0 |
— 15г |
—20* |
\ |
Н = Е - - \ |
3* |
( - 5 , - 3 1 , - 4 0 = 55 |
15* |
16 |
-1 2 |
|
|||
50 |
I |
4* / |
|
25 \ |
20* |
-1 2 |
9 |
) |
|
и подсчитаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х' = Нх = _1_ |
0 |
1 СЛ «а. |
-20* |
0 |
|
5 |
|
||
15* |
16 |
-1 2 |
Зг |
|
0 |
|
|||
|
|
25 |
20* |
-1 2 |
9 |
4г |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Примеры на применение матриц Tij и Н см. в п.6.9 и п.9.2. Важнейшим свойством унитарных и эрмитовых операторов явля
ется то, что любой линейный оператор разлагается в произведение эрмитова и унитарного операторов. Такое утверждение имеет место и для матриц.
Линейный оператор <р называют нормальным, если он переста новочен со своим сопряженным, т.е. если (р<р* = <р*<р.
В ортонормированном базисе матрицей нормального оператора является матрица А , перестановочная со своей сопряженной матри цей А*, т.е. удовлетворяющая условию АА* = А*А. Такие матрицы называют нормальными.
Основным свойством нормального оператора, действующего в унитарном пространстве, является то, что в этом пространстве су ществует ортонормированный базис, состоящий из собственных век торов этого оператора. Верно и обратное утверждение, т.е. если в унитарном пространстве существует базис, состоящий из собствен ных векторов оператора, то этот оператор нормальный.
Если оператор <р — нормальный, то всякая ортонормированная система собственных векторов оператора <р является ортонормированиой системой собственных векторов оператора <р*, и наоборот.
Если оператор (р — нормальный, то собственные значения опера торов (р и <р* усоответствующие общему собственному вектору, ком плексно сопряжены.
Примерами нормальных операторов являются эрмитовы я унитар ные операторы.
Из сказанного следует, что нормальный оператор является опера тором простой структуры. На матричном языке это означает, что