книги / Машинный анализ и моделирование электрических цепей
..pdfблизких по точности и сложности разностно-квантованных фор-г мул (14) и (21), Окончательный выбор формулы возможен только на зтапе структурного, проектировашш после сравнитель ной оценки аппаратурных затрат. В связи с этим допустим возможность построения алгоритмов МИА на основе обеих раз ностно-квантованных формул численного интегрирования по Стилтьесу, но для сокращения изложения все рассуждения бу дем вести только применительно к формуле (21).
В соответствии с разностной схемой (4 ) приращения
УдM it t ) вычисляются суммированием приращений 7$ j ( i + j y Для расчетов целесообразно пользоваться неквангованньши А/-разрядными слагаемыми, так как это приводит к сущест венному повышению точности суммы. Для обеспечения высокой
точности вычислений квантованных значений переменных |
укц+1) |
||||
необходимо использовать отбрасываемые остатки Oif/rf |
• |
||||
С этой целью величины |
Ук( i t ? ) |
следует рассчитывать по |
|||
известному из теории |
цифровых интегрирующих машин ЦИМ (2 3 |
||||
.алгоритму |
|
|
|
|
|
jk ( i - t t ) “ |
|
|
Bïk i * |
|
|
Что же касается переменных, |
являющихся функциями fa |
'(ÿ^t |
|||
у} , •••/ За •Уан.,'" ’ Уй * |
» то ддя определения их значений ис |
||||
пользуются различные |
алгоритмы |
|
|
||
^к ( Но * h |
( i t ! |
Ь а |
t ! ) > У(a t!) *• ** fiJ’ |
|
каждый из которых включает в своей последовательности опе раторы квантования .
На основании приведенных рассуждений система интерпо ляционных разностно-квантованных уравнений, моделирующая
решение базовых уравнений ( I ) , |
представляется |
в |
виде |
||
У |
( 9ki + °!fki + V y |
R • |
|
|
|
|
* ° h i * VSH M Â R > |
|
|
|
|
Vyùîtl) = ? Уk j{ P-M [2 |
) (ÿ a (itf) |
* f |
^ |
J * * |
(y p (itf - fi) ~ÿ p d - / 3 ) ^ J R |
J * |
' j ~ P a |
, 3>kj £ { 0 , ! } |
II Если ( j ~ v a r ) , то (S
ïk(i*-t) ” |
£ÿo>ÿf(i+j), |
|
Уff(i+V>ÿ(arJ)> |
УдJ> |
|||
k - 2 , 3 |
a ; |
p |
= 0 , 1 ,..., a t a |
+ f , |
..*\Ь ; |
|
|
|
к / |
= PonsÊ |
( p — a f f - f - 2 1...r f i); |
||||
|
|
|
i p ( * e > |
= i 0 |
|
|
|
Система экстраполяционных разностно-квантованных yj |
|||||||
нений образуется |
в результате |
замены значений переменньи |
|||||
У р ( i И ) |
9 к ) |
экстраполированными величинами [Ъ ] |
|||||
|
|
m+t |
|
|
|
|
|
|
\ ^ g G« У я а + а -т ; |
( |
P* Ч У, |
О |
которые вычисляются с погрешностями квантования второго
рода
я*1
f l i d + f j * * ^D‘6я O jfiH i+n-m j ( |
(2 |
|
|
||
Поскольку коэффициенты /£<*/>/ |
(a~û,7, |
) резонно npt |
положить, что погрешности AjU v/y (25) |
оказывают сильное |
|
влияние на точность вычисления |
значений |
интегралов Sj(X) |
Для выяснения этого обстоятельства оценим величину погре ности интегрирования, определяемую влиянием погрешностей
(25), |
, |
|
|
f i j d W |
flp(e+t? VУç (С+Пt J ( !fp (e + ifУ ре ^РасеФ * |
|
|
я -t |
|
|
|
|
~Pp(e+î? |
«r tr -'p p l |
(^ |
Выполняя преобразования, аналогичные используемым при в» воде условий (8 ), (1 3 ), найдем соотношение
G t< 0,2 8 S R V(1+4,25к Ь 5 û*i. W
/т я-о
Сравнивая (27) с (8 ) и (15), констатируем, что экстраполй' ция значений переменных приводит к образованию погрешноС (20), многократно превосходящей погрешность квантования второго рода (6 ), обусловленную погрешностями квантован^ значений переменных рр .у (/^ _ у} ( р « у- О,!,..., *-/) Для компенсации этой погрешности ^необходимо существенно увеличить разрядную сетку. Например, для того, чтобы обе-
спечить условие |
G*<WR~N |
ПРИ ингегрирова^ци по формуле |
|
|
J) 2 |
” |
|
^=•3 с шагом |
10~2 |
на протяжении i ~ 10^; шагов интегриро |
вания, потребуется к N раарядам добавить 6 двоичных раз рядов.
Другим способом компенсации влияния погрешностей кван тования второго рода (25) является использование в первом слагаемом формулы численного интегрирования (21) вместо
величин |
y çtf+ f) , у ç i |
их экстраполированных значений |
|||
f a i l ) |
' f a i |
® этом случае погрешность интегрирования, |
|||
зависящая от |
погрешностей J»*p (e H >’ f i l t e w |
A b |
|||
составляет |
|
r- |
7 |
* |
/*f(i+rf*I£o Ррсе+пУре+п * 1 kfpci+t?^HpiPfifcéf-î)"
9 p t |
) À ç o ~ ^ c^ i (У р с е + t) * У р *( |
Л |
i a -} |
|
|
t f *е*о р*1 |
( yp(e+*-fi P § (e+ i)~ ??(*+*> |
? |
а ее среднеквадратичное значение удовлетворяет неравенству
|
|
m i |
|
G r± 0,407R'Ny l ( ! 12,125h 2+2,625h2iJ |
I C * . |
( 20) |
|
J |
w |
a*a |
|
В данном случае погрешность значительно меньше погрешности (27), поэтому, для ее компенсации потребуется меньше допол
нительных разрядов. Например, условие G j< |
10R~N |
|
ft~W~2; |
У ‘выполняется при введении не |
более одного |
дополнительного двоичного разряда. Таким образом, предложен ный способ снижения погрешности интегрирования при экстра поляции переменных является довольно действенным, хотя и связан с усложнением организации выполнения операций инге-_ грирования. Для уменьшения этой сложности в случаях, когда необходима экстраполяция значений переменных, можно реко мендовать использовать в формулах численного интегрирования по Стилтьесу ( 21 ) только экстраполированные значения пере менных jj ;<х~0,1, .~тт -1 ) . Точность вы числений при этом не ухудшается благодаря компенсации по-
грешностей |
■ |
С учетом “этого |
споооба организации вычислений система ( |
экстраполяционных разностно-квантованных уравнений принима ет вид
f j k r t t p * Р- « Ф * + |
/ |
' |
93 |
„-М +О - -
!° U ( ( t P ~ р-м
rj, /s (Г*
^Hk( i t î ) 'fitted'2
t h e * ]* *fl~0
r‘ff(f-pP~^P(t'*,~& Ÿp(*-A)XŸf(i+r-A> ÿçff-jÿpJ+jP MJff},
j = p a + Ÿ , |
Bkj e { O |
j } * |
|
|
|
|
||
Если |
Vkj ~ 0 |
( j = W ) • |
то |
|
|
(aol |
||
fk (itl)~ |
£k tS f |
|
|
|
>$*(б+0‘- ->&{£н)>9т » - -,§ъ], |
|||
|
ü(f> |
|
Г У H iP -rifi)/ |
(& |
K |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ÿ$ (i+I-/») |
1 |
-fi) |
{ * * * > > |
||||
|
|
|
|
|||||
|
* = Р ’ 9 ; |
л - р, г, 2 , |
|
|
||||
|
|
—W" |
|
|
|
|
|
|
|
to d * n |
=aî 0 C* Ï M |
+ * -*> 2 |
|
|
|||
i c = |
Z |
, 3 p |
= |
|
a + f t „ . , d ,• |
g *\f9z , \ . . , a ; |
||
fr"C 9 PS t (P ~ a + ï ,a + 2 t... ,i);y r |
t; |
ÿ r x ; g (Xg)s*ÿ 0, |
Полученная система экстраполяционных разностно-кванго ванных уравнений составляет основу для выбора гибкого набо ра операций интегрирования и разработки компактных и высо* котонных алгоритмов их реализации в ннтегро-арифметическш модулях ЦИАС. При этом обеспечивается более высокая ско рость решения задач, чем на ЦВМ и системах арифметико-ло гического типа, более полное, чем в ЦИМ, использование ско ростных возможностей метода интегрирования, высокая эффек тивность эксплуатации вычислительной аппаратуры в составе управляющих и моделирующих комплексов [ 4 ] ,
Литература
1.Каляев А,В., Пьявченко О.Н. Цифровые интегро-арифметич» ские структуры. - Однородные цифровые вычислительные и интегрирующие структуры, 1975, вып. 5, г. 55 - 67.
2.Каляев А. В. Теории цифровых интегрирующих машин и стрУ
тур. - М.: Сов.радио, IÔ70. - 292 сГ
3.Пьявченко О.Н; Экстраполяционные формулы численного интегри тования по Стилтьесу на основе значений переменны*
Однородные цифровые вычислительные и интегрирующие структуры, 1974, вып. 1, с. 45 - 5-\
4.Пьявченко О.Н. О возможностях применения цифровых шгге- гро-ариФметических машин и систем для целей моделирования. - Однородные цифровые вычислительные и интегрирую
щие структуры, .1976, выл. 7, с. 195-215,
УДК 681.325.5
А.И.Стасюк
О ПОСТРОЕНИИ РАЗРЯДНО-АНАЛОГОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ С ТРУК ТУР НА ОСНОВЕ СКАЛЯТОРНЫХ БЛОКОВ
Основные принципы организации обеспечения высоких по казателей эффективности средств вычислительной техники, та ких как живучесть, производительность, надежность и т.д., изложены в работах f l - A J .
Принцип параллельной обработки информации реализуется одновременной работой процессоров и параллельного управле ния ими. Благодаря параллельной работе вычислителей возни кает принципиальная возможность получения сколь угодно большой производительности.
Принцип конструктивной однородности решающих элемен тов заключается в наращивании вычислительной мощноотн на
основе однородных вычислителей путем подключения дополни
тельных процессоров, а также в существенном сокращении сро
ков и средств на разработку и изготовление вычислительных
систем, облегчении их эксплуатации.
Принцип программируемости структуры позволяет в каждый момент времени объединять решающие элементы в конфигура цию, соответствующую математической модели конкретной за дачи, либо в случае необходимости ориентировать вычислитель ную структуру, наиболее полно отражающую алгоритм решения, на заданный класс задач. Кроме того, программируемость вы числительной структуры позволяет получить заданные уровни показателей эффективности, таких как надежность, живучесть, и реализовать всевозможные режимы функционирования и спо собы организации вычислительного процесса, известные в вы числительной технике.
В зависимости от способов распределения вычислительной мощности, организации вычислительного процесса и т.д. на ба зе коллектива вычислителей вычислительные средства можно дифференцировать на вычислительные структуры, вычислитель ные среды, мультипроцессорные системы на основе БИС мик
ропроцессорного комплекта /2-4/и др. Следует подчеркнуть, что этап программирования при решении задач на перечислен-» ных вычислительных средствах характеризуется существенным! трудностями. Для упрощения программирования при решении задач на многопроцессорных вычислителях, синтезированных на основе указанных выше принципов, весьма перспективно использование в качестве основного вычислительного устройстве процессора, который реализовал бы одну достаточно крупную типовую операцию (назовем ее основной). Очевидно, что если исходную математическую модель решаемой задачи предста вить в виде совокупности основных операций, то этап програм мирования задачи сводится к заданию топологии информацион ных связей Между процессорами. В качестве основной опера ции используем операцию определения скалярного произведе ния двух векторов /1,57
О)
i=î * '
где Xj t Yj - компоненты векторов X, Y соответственно. Onpt деление любой компоненты X{ , Уi векторов X, Y сводится к выполнению условий ортогональности последних, т.е, J - 0:
( 2).
Устройство, реализующее основную операцию, будем в дальне* шем именовать скалятором, а вычислительные средства, построе! ные на его основе, т- разрядно-аналоговыми скаляторно-вычис- лительными структурами.
Общий подход к синтезу таких структур можно предста вить в Следующей последовательности: а) математическая мо дель исходной задачи представляется в виде некоторого числа достаточно крупных участков или математических зависимо стей; б) полученные математические-, зависимости представля ются в виде совокупности основных операций (сумм парных произведений); в) скаляторные блоки настраиваются на эти операции, т,е. каждый блок настраивается на какой-либо учас ток исходной математической модели; г ) скаляторы соединяют ся между собой по тем же принципам, что и при •моделировании задач на аналоговых вычислительных машинах, т.е. щ соответствии с исходной математической моделью.
Рассмотрим изложенное выше на примере.
Допустим, имеется математическая модель y=*ÿ(X )> ко торую разбиваем на несколько слабосвяаанных участков
*!
( 3)
хз - <Pzi (хг)'*
у «
Настраивая каждый скалятор на участок и соединяя их между собой в соответствии с выражением (.3), получаем скаляторновычислительную структуру, схема которой приведена на рисун ке, а. Учитывая, что время получения решения каждого участ ка гораздо больше времени обмена информацией между скаляторами, все скаляторные блоки-соединяем на общую-разрядную шину, как это показано на рисунке, б. Следует отметить, что быстродействие разрядно-аналоговых скаляторных вычислитель ных структур благодаря параллельно работающим блокам соиз меримо с быстродействием АВМ. Поэтому для построения та ких систем не требуется сложного математического обеспече ния, ибо для постановки задачи на них необходимо знание лишь обычного математического языка; точность решения определя ется разрядностью представления информации.
Как видно из. общего подхода к построению разрядно-ана логовых скаляторных вычислительных структур, управление вычислительным процессом при моделировании различных за -
97
дач двухуровневое (условно выделим микроуровень и макроур вень). На микроуровне организуется адаптация структуры ска лятора (последняя программируется) к алгоритму решения участка исходной математической модели. На макроуровне реализуется адаптация скаляторио-вычислительной структуры (в общем случае в каждый момент времени) к алгоритму ре* шаемой задачи, что организуется путем изменения функцио нальных связей между скаляторами. Таким образом, исходя из двух уровней организации вычислительного процесса и при щтов организации показателей эффективности вычислительны! средств, скаляторные вычислительные структуры можно синге зировать на основании следующих положений.
!.. Жестко заданных макро- и микроуровнях управления вычислительным процессом (назовем условно такую скалятор- но-вычислительную структуру А -структурой).
2.Синтезе скаляторной структуры на основе жесткоэаданного макроуровня и универсального микроуровня управлени (условно В гструктура).
3.Построении скаляторно-вычислительной структуры м основе жесткозаданного микроуровня и универсального макро уровня управления вычислительным процессом (условно £-стр тура),
4.Создании вычислительной структуры с универсальным
макро- и микроуровнями управления (условно Л -структура), Очевидно, что возможен синтез скаляторных структур с
использованием модификации различных положений. Рассмотрим перечисленные скаляторно-вычислительные
структуры.
А-структура состоит из жесткого устройства управлен*
икомплекса скаляторных устройств, программа работы кото рых однозначно определяется устройством управления. А -стр! тура ориентирована на решение класса задач, допускающих представление алгоритма вычислений в виде большого числа одинаковых ветвей. К таким задачам можно отнести некоторь» задачи линейной алгебры, распознавания образов, статистиче ского анализа и т.д. Эти вычислительные структуры эффекгив’ но могут быть использованы в качестве подпрограмм проблем но ориентированных комплексов.
В-структура представляет собой комплекс автономных скаляторных блоков, каждый из которых моделирует свою ма тематическую зависимость, и диспетчерского устройства ynptf
ления. |
g g |
Организация вычислительного процесса в каждом скаляторном блоке осуществляется его универсальным программным устройством, После реализации определенных математических зависимостей программное устройство скалятора выдает сиг нал в диспетчерское устройство, которое организует обмен информацией между скаляторными блоками и запускает цх на следующий цикл вычислений. Очевидно, что В -структура явля ется более гибкой, чем А -структура, и применима для клас са задач, допускающих распараллеливание алгоритма на боль шое число неодинаковых ветвей. Однако топология соединения скаляторных блоков жестко определена структурой диспетчер*» ского устройства либо хранится в его памяти и не может быть изменена в процессе решения задачи.
С -структура относится к числу универсальных и состоит из универсального процессора (ЦВМ ) и комплекса скаляторных устройств, работ'а которых однозначно определяется управляю щими сигналами от ЦВМ. На универсальный процессор возло жены функции набора топологии вычислительной структуры, которую в зависимости от промежуточных вычислений можно изменить в процессе решения, а также управления вычислитель ным процессом, реализуемого в скаляторных блоках. В этих вычислительных структурах достаточно эффективно применение параллельных разрядно-аналоговых скаляторных блоков.
Л -структура относится к числу однородных универсаль ных вычислительных структур, в которых все функции управле ния на макроуровне возложены на блок внешних связей (ВВС) скаляторных устройств. В принципе такая структура может быть п -мерной. К’ ВВС скалятора Л -структуры предъявляют ся достаточно жесткие требования, так как он реализует все общесистемные операции. Такая структура достаточно эффек тивна при решении различных классов задач, ибо для каждого класса задач можно построить конфигурацию вычислительной структуры, адекватную алгоритму решения. Кроме того В -структура обладает высокой эф(|»ективностью, живучестью
и т.д., так как выход |
из строя одного или нескольких |
скаляго- |
|
ров не влечет за |
собой отказа всей системы в целом, |
а ска |
|
зывается только |
на ее |
производительности. |
|
Интересным представляется подход к построению однород ных В -структур путем наращивания последних, когда в качест ве блока новой структуры применяется скаляторньгй блок либо предыдущая скапяторно-вы.числнтельная структура. В В -струк-
туре, построенной таким образом, операции управления на микроуровне распределены между основными скаляторами СК, Можно построить 3 -структуру, состоящую из универсально^ процессора и автономных скаляторных блоков. При этом ynpj ление вычислительным процессом макроуровня .распределяете! между ВВС скаляторов и универсальным процессором.
В заключение отметим, что разрядно-аналоговые вычиа тельные системы параллельно-последовательного действия, и строенные на основе изложенных выше принципов обладают: а) высокой точностью, определяемой количеством разрядов представления информации; б) высоким быстродействием бла годаря параллельно работающим блокам; в) простотой сочле нения с существующими ЦВМ. Такие вычислительные систем могут быть использованы для широкого класса задач науки i техники.
Литература
1.Пухов Г.Е. Вычислительные структуры из интегрирующих сумматоров парных произведении. - Электроника и модел! рование, 1974, вып. Г, с. 1—6!
2.Евреинов Э.В., Хорошевский В.Г. Вычислительные систем! В кн.: Проблемы электроники и вычислительной техники, Киев: Наук.думка, 1976, с. 16-18.
3. Каляев А. В, Однородные цифровые моделирующие структу ры. - В кн.: Проблемы электроники и вычислительной тех ники. Киев: Наук.думка, 1976, с. 57 - 78.
4. Прангишвили И.В. Принципы построения высокопроизводи тельных ЭВМ с перестраиваемой структурой. - В кн.:Пр(
лемы электроники и вычислительной техники. Киев, Нар думка, 1976», с. 14-26.
5. Стасюк А.И,, Еременко В.П, Решение обыкновенных диффе Зэнциальных уравнений с использованием скаляторов, -
лектроника и моделирование, 1976, вып. 12, с. 33 - 36.
УДК 62-30
В.И.Борщ
АНАЛОГОВЫЕ МОДЕЛИ МНОГОСВЯЗНЫХ РЕГУЛИРУЕМЫ* СИСТЕМ И МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
Поведение-многосвязной линейной автоматической сисИ мы весьма часто описывается матричным дифференциальным уравнением вида