книги / Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов
..pdfсимируем функцию Ф (X) полиномом третьей степени и проинте грируем дифференциальное уравнение (IV.72) при начальных усло виях (IV.73). В результате получим, что
з |
А |
"• |
(IV.74) |
Nr: = 2 |
J V (R) dR, |
||
2=1 |
|
|
|
где коэффициенты А% должны быть определены на основании экспериментальных данных, а величину X находим по формуле
X(R) = l ------ |
(IV.75) |
Коэффициент интенсивности Кг (R) для рассматриваемого слу чая вычисляем по формуле (III.92), полагая в ней d = 2R. При этом отметим также, что для удобства вычислений в соотношении (IV.74) целесообразно перейти к безразмерным величинам, прини
мая R = 2 |
Тогда равенство |
(IV.74) будет иметь вид |
|
Nт |
(IV.76) |
где е0 = 2R0D *; ет= 2RmD \
Определение коэффициентов А\ на основании эксперименталь ных данных испытания цилиндрического образца с кольцевой тре щиной по указанной на рис. 32 силовой схеме осуществляют сле дующим образом. В результате упомянутого испытания нахо дят значения радиусов контуров трещин Rm (т = 1, 2, 3) после трех продвижений кольцевой трещины в результате нагружения Nmциклов (пг = 1, 2, 3). Используя эти данные, а также соотноше ния (IV.76) для каждого т-то продвижения трещины, можно запи сать уравнения
j?,c1mAi = Nn {m = 1 , 2 , 3 ) , |
(IV.77) |
2=1 |
|
где коэффициенты cimв соответствии с (IV.76) вычисляются по фор мулам
_ |
D |
&т—1 |
|
0,3988ftm.E Y D |
|
Ctm — |
2 |
|
lm |
|
|
|
|
|
|
LKic(i - v * ) |
|
|
D |
t'm—1 |
8т |
O j m h nE V D F lm |
+ |
£2т — ~~2 ~ |
LKic{1 — v*) |
||||
+ |
0,1590ft;, E-DF2m |
|
(IV.78) |
||
L*K\C(1 - |
v*)“ |
|
|||
|
|
|
O j m h ^ E W ISK\C(1 — V*)* m2
i,ir n h mE V D F lm
+
LK ic(1 - v * )
0,063Ah'n E*D4‘
(1 — v2)3
hm — стрела |
прогиба при каждом m-м |
продвижении трещины |
|
(т = 1, 2, 3); |
|
|
|
е7П—1 |
|
|
|
К (1 — е); (1 — е-1 )2> [ у р г = т |
+ / в п ^ |
ч , Г * . |
|
|
У (е-1 — 0,8012)* |
|
(IV.79) |
|
|
|
|
Интеграл |
(IV.79) в элементарных функциях не |
вычисляется |
и его необходимо определять для конкретных значений ет и em- i с помощью ЭВМ. Представим величины ет и em_i так:
|
|
|
ет — 0,1п; |
Вт—1= ОДА |
|
|
|||
|
|
(ге> А; |
А = 1, |
2, . . . , |
8; |
и = |
2, 3, |
9) |
(IV.80) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 1 |
|
h |
п |
Flm |
F2m |
F3m |
h |
n |
flm |
F2m |
f3m |
|
2 |
0,0779 |
0,0620 |
0,0505 |
|
7 |
0,1452 |
0,0536 |
0,0201 |
|
3 |
0,1312 |
0,0906 |
0,0659 |
3 |
8 |
0,1734 |
0,0616 |
0,0224 |
|
4 |
0,1742 |
0,1090 |
0,0740 |
|
9 |
0,1981 |
0,0677 |
0,0239 |
1 |
5 |
0,2116 |
0,1232 |
0,0792 |
|
5 |
0,0374 |
0,0140 |
0,0053 |
6 |
0,2454 |
0,1346 |
0,0831 |
|
|||||
|
0,0254 |
0,0091 |
|||||||
|
7 |
0,2764 |
0,1442 |
0,0861 |
|
6 |
0,0712 |
||
|
4 |
7 |
0,1021 |
0,0350 |
0,0121 |
||||
|
8 |
0,3046 |
0,1522 |
0,0883 |
|||||
|
|
8 |
0,1304 |
0,0430 |
0,0143 |
||||
|
9 |
0,3293 |
0,1583 |
0,0899 |
|
||||
|
|
9 |
0,1551 |
0,0491 |
0,0159 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
0,0533 |
0,0286 |
0,0154 |
|
6 |
0,0338 |
0,0114 |
0,0038 |
|
4 |
0,0964 |
0,0472 |
0,0235 |
5 |
7 |
0,0647 |
0,0210 |
0,0068 |
|
5 |
0,1338 |
0,0612 |
0,0287 |
8 |
0,0930 |
0,0290 |
0,0091 |
|
2 |
6 |
0,1675 |
0,0726 |
0,0326 |
|
9 |
0,1176 |
0,0351 |
0,0106 |
|
7 |
0,1985 |
0,0822 |
0,0355 |
|
7 |
0,0309 |
0,0096 |
0,0030 |
|
8 |
0,2267 |
0,0902 |
0,0378 |
|
||||
|
9 |
0,2514 |
0,0963 |
0,0393 |
6 |
8 |
0,0592 |
0,0176 |
0,0052 |
|
|
|
|
|
|
9 |
0,0839 |
0,0237 |
0,0068 |
|
4 |
0,0431 |
0,0186 |
0,0080 |
7 |
8 |
0,0283 |
0,0080 |
0,0023 |
3 |
5 |
0,0805 |
0,0326 |
0,0133 |
9 |
0,0529 |
0,0141 |
0,0038 |
|
|
6 |
0,1142 |
0,0440 |
0,0171 |
8 |
9 |
0,0247 |
0,0061 |
0,0015 |
|
|
|
|
|
и для различных значений г, гг, к вычислим интеграл Fim с помо
щью ЭВМ «Мир-2», положив v = 0,3 и 2LD~~i = 10 (табл. 1). Таким образом, если величины Cim определены на основании
экспериментальных данных и соотношений (IV.78), то коэффици енты Ai характеристической функции Ф (X) вычисляются из си стемы алгебраических уравнений (IV.77).
Условия автомодельности (IV.71) зоны предразрушения в ок рестности контура усталостной трещины только в общих чертах описывают параметры нагружения и размеры образца, которые необходимо соблюдать в процессе эксперимента и для которых пра вомерно уравнение (IV.72). Для конкретизации этих условий по ступим аналогично, как и в случае предельно-равновесного состоя ния цилиндрического образца с кольцевой трещиной при изгибе (см. параграф 5 гл. III). Так как зона предразрушения в случае усталостного распространения трещины определяется не величи ной К 1с, а меньшим значением коэффициента интенсивности напряжений К г, то условия (III.98) и (III.104) для данного случая запишутся в виде
к\
К |
(IV.81) |
|
|
к\ |
(IV.82) |
D — d > 0 ,6 9 - у - . |
Величина нагрузки, действующей на образец в процессе про движения усталостной трещины (и в результате этого уменьше ния его жесткости), меняется, однако величина стрелы прогиба k остается постоянной. Поэтому для определения коэффициента ин тенсивности напряжений К г в этом случае воспользуемся форму лой (III.92). Подставляя значение К г из соотношения (III.92) в неравенства (IV.81) и (IV.82), а также производя необходимые преобразования, для нахождения оптимального значения величи ны стрелы прогиба получаем условия
(1 + , ^ |
Г |
+ V M ( l - v 4 ] |
(IV.83)
ь С У Ъ , * « - У )К е -‘ - 0 .Ш 2 |
I 1 / |
«Ц |
Г |
(IV.84)
Условие (IV.83) используется для определения оптимального значения h в случае средних и глубоких трещин, для случая мел ких трещин — условие (IV,84).
Г Л А В А
ДИНАМИЧЕСКОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОБРАЗЦА С ВНЕШНЕЙ КОЛЬЦЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ
Эксплуатация конструкций в условиях динамических нагружений требует разработки новых методов рас чета их несущей способности, отличных от методов расчета на статическую прочность. Это объясняется тем, что при динамиче ских нагрузках изменяется не только абсолютная величина на пряженно-деформированного состояния в теле, но и степень лока лизации в окрестности различных концентраторов напряжений.
Вместе с тем скоростное деформирование конструкционных ма териалов, в частности с выраженной пластичностью, изменяет их некоторые механические (прочностные) свойства, в особенности их трещиностойкость. Так, при больших скоростях нагружения квазихрупкого тела с трещиной интенсивность напряжений в окрест ности ее контура возрастает быстрее протекания дислокационных процессов и соответственно пластических сдвигов разгрузки в зоне предразрушения. Это приводит к охрупчиванию материала и, таким образом, к унижению его трещиностойкости. Поэтому для оценки прочности конструкций при динамических нагружениях необходимо располагать динамическим значением трещиностой
кости материалов, в частности значением величины |
= |
= К $ (vp), в зависимости от скорости vp деформирования мате риала.
Динамическое значение характеристики трещиностойкости материалов определяется аналогично ее статическому эквиваленту на основании экспериментальных исследований динамического разрушения образцов с трещинами по соответствующим силовым схемам. Наиболее эффективной для этого следует считать силовую схему динамического растяжения цилиндрического образца с внешней кольцевой трещиной. Преимущества ее перед другими силовыми схемами изложены в гл II.
Настоящая глава посвящена разработке теоретических средств
для определения динамической характеристики К $ трещино стойкости материалов (см. гл. VII).
1. Постановка задачи
Рассмотрим цилиндр длиной 2L и диамет ром D , ослабленный внешней кольцевой трещиной с внутренним контуром диаметра d (см. рис. 5). Пусть такой цилиндр растягива ется усилиями Р, которые изменяются со временем t по закону
р = vpt, |
(V.1) |
и пусть далее эти усилия направлены по оси цилиндра и приложе ны на значительном расстоянии от места расположения трещины (2L D). Задача состоит в определении предельного значения внешних усилий Р = Р* (или времени £ = £*), по достижении ко торых при заданной скорости нагружения vp наступит разрушение цилиндра.
Выберем систему цилиндрических координат г, ср, z таким об разом, чтобы ось Oz совпадала с осью цилиндра, а начало коорди нат О — с центром трещины. Аналогично, как и в статической теории хрупкого разрушения (см. гл. I), растягивающие напря жения о (г, 2, t) в окрестности контура трещины будут иметь
£118] сингулярность порядка (d — 2г)~1/г, т. е.
О* (г, 0, t) = |
к[п) (Гр, и d, D) |
(V.2) |
+ 0 (1 ). |
||
|
У n(d—2r) |
|
Здесь К 1Д) (Ур, t, d, D) — коэффициент интенсивности динами ческих напряжений в окрестности контура трещины; 0 (1) — ве личина, ограниченная при 2г d.
Задачу решаем на основании обобщения критерия Ирвина (см. гл. I) на случай динамических задач теории трещин. При этом уравнение (1.1) запишем так:
|
|
К[ю (иР1 **, d, D ) = K $ ( v p)1 |
(V.3) |
|
где /£(1Д) (ур, |
d, |
D) — значение коэффициента интенсивности |
||
напряжений |
(vp, t, d, |
D) в момент наступления предельного |
||
равновесия |
при |
t = t%; |
К{$ (ир) — динамический |
эквивалент |
характеристики трещиностойкости материала К ic, зависящий от скорости деформирования материала vp и определяемый экспери ментально (см. гл. VII).
Таким образом, задача сводится к установлению упругого по ля в цилиндре с трещиной и вычислению на основании соотноше
ния (V.2) коэффициента (г;р, t, d, D) интенсивности динамиче ских напряжений в окрестности контура трещины. Так как нагруз ка приложена не на поверхности трещины, то ее воздействие на материал в окрестности контура трещины передается не мгновен но из-за релаксации напряжений, инерционных сил частиц ци
линдра, а с некоторым запаздыванием по времени |
£1т определяе |
мым формулой |
(V.4) |
h = cT'L. |
Как и в статическом случае, разложим напряженно-деформи рованное состояние в цилиндре на сумму напряженного состояния цилиндра без трещины, который растягивается усилиями Р — = vpt, и напряженного состояния цилиндра с внешней кольцевой трещиной, на поверхностях которой приложено нормальное дав ление, равное нормальным напряжениям oz (г, 0, t) в централь ном сечении сплошного цилиндра для первого напряженного со стояния.
Упругая задача в случае первого напряженного состояния
является для центрального сечения цилиндра по |
существу одно |
|
мерной. Решение ее можно записать так: |
|
|
О. (Г. 0 , 0 = |
( * > щ . |
<™> |
В силу симметрии напряженного состояния относительно плос кости трещины (z = 0) определение второго напряженного со стояния сведется к упругой задаче для неограниченного цилиндра (z >• 0, 2г D) с граничными условиями на торце (z = 0)
oz (г, 0) = |
— q (t), |
d < |
2r < D; |
|
||
Trz (r, 0) = |
0, |
|
0 < 2r < D; |
(V.6) |
||
uz (r, 0) = |
0, |
|
0 < |
2r < d |
|
|
и на боковой поверхности (2г |
= D) |
|
|
|||
|
z) = |
о, |
0 < z < °°; |
(V.7) |
||
T-rz 2~» |
^ = |
0, |
О < |
z <С оо. |
||
|
||||||
Величина q(t) определяется |
так: |
|
|
|||
q(t) = |
4У 2 |
|
^2 — ^ |
|
(V.8) |
|
nD2 |
|
|
В дальнейшем для простоты обозначения вместо t2 будем писать t• Аналогично, как и в гл. II, для математического упрощения
решения задачи заменим граничные условия (V.7) условиями
иг ^“2 ” >2 ^= 0, |
0 ^ z <С[ оо; |
^rz i^~2~’ = |
^ z <1 оо. |
При этом по аналогии с соответствующей статической задачей (см. гл. И) следует ожидать незначительной погрешности ре шения.
Рассмотрим случай мелкой кольцевой трещины, когда величи на е = dD~x стремится к единице. Тогда упругая задача (V.6),
(V.9) будет эквивалентна соответствующей задаче упругого равно весия неограниченной плоскости с центральной трещиной длины
2а = D — d, |
|
(V.10) |
||
на берегах которой задано динамическое давление |
|
|||
q{t) |
4У |
|
(V.11) |
|
ЯД* |
* |
|||
|
|
В статическом случае, когда скорость нагружения vv доста точно мала, коэффициент интенсивности напряжений Кг в окрест ности контура мелкой кольцевой трещины описывается достаточ но точно (см. гл. II) результатами решения соответствующей плос
кой задачи при 0,8 < г ^ 1. Будем считать, |
что это имеет место |
||
и при динамическом нагружении. |
Таким образом, для |
случая |
|
мелкой кольцевой трещины задача |
сведена |
к соответствующей |
|
плоской динамической задаче теории трещин. |
|
||
2. Сведение задачи к решению |
|
||
интегрального уравнения Фредгольма |
|||
второго рода |
|
|
|
К настоящему времени решено |
сравни |
тельно мало динамических задач теории упругости для тел, ос лабленных трещинами. Это объясняется тем, что, в отличие от статических задач, здесь вводится еще одно измерение по времени, что повышает математические трудности их решения почти на поря док. Сейчас известны решения только некоторых двумерных (плос ких и осесимметричных) задач теории трещин.
Задача о дифракции упругих волн на полубесконечной трещи не была решена [210] методом Винера — Хопфа [257]. Анало гичная задача для трещины конечной длины была рассмотрена ав торами работы [162], которые использовали метод дуальных ин
тегральных уравнений. |
на трещине исследовано |
|
Рассеяние плоских упругих волн |
||
в работе [220]. Причем здесь основное |
внимание |
уделено описа |
нию качественной картины влияния инерционных |
факторов на из |
менение напряженного состояния в окрестности трещины.
В работе [206] изучено рассеяние антиплоских сдвиговых волн на трещине конечной длины. При этом оказалось, что для некото рых значений частоты таких волн наблюдается заметное увели чение (на 20—30%) коэффициента интенсивности напряжений по
сравнению с |
соответствующим статическим значением. Теми |
же авторами |
[243] рассмотрена задача о крутильных гармониче |
ских колебаниях неограниченной упругой среды, содержащей дис ковидную трещину. Численные расчеты показали, что и в этом слу чае наблюдается увеличение коэффициента интенсивности напря жений.
В работе [245] обсуждается рассеяние нормальных и ради альных сдвиговых волн на дисковидной трещине, находящейся
в бесконечном упругом теле. Задача сведена к решению интеграль ного уравнения Фредгольма второго рода. Полученные здесь ре зультаты также показывают увеличение коэффициента интенсивно сти напряжений по сравнению со статическим.
В работе [238] рассмотрена задача о дифракции высокочас тотных волн на конечной трещине. При решении этой задачи автор использовал подход [205], который был применен для исследова ния дифракции света на щели. Асимптотическое решение для ко ротких по сравнению с длиной трещины волн получается из инте грального уравнения. Отмечается, что этот метод может быть применен и для случая длинных волн.
Гармонические колебания неограниченной плоскости, состоя щей из двух полуплоскостей и содержащей на линии спая трещину
конечной длины, исследованы в работе [207]. |
Задача сведена |
к паре совместных интегральных уравнений |
Фредгольма вто |
рого рода, которые решены численно. Подобная задача исследована в работе [199], но динамический коэффициент интенсивности на пряжений находится из численного решения сингулярных интегральных уравнений.
Автором работы [249] поставлена и решена динамическая за дача для бесконечной упругой среды Коссера, ослабленной конеч ной трещиной. При этом принималось, что самоуравновешивающаяся система давления изменяется гармонически со временем. Задача сводится к четырем совместным интегральным уравне ниям, которые решаются методом последовательных прибли жений.
В работе [219] изучена дифракция высокочастотных крутиль ных волн на дискообразной трещине в бесконечном упругом твер дом теле. Получены асимптотические выражения для динамиче ских коэффициентов интенсивности напряжений. Результаты пред сказывают колебательное изменение этих коэффициентов при высоких частотах.
Исследование неустановившихся колебаний неограниченных тел с трещинами проведено в работах [231, 241]. При этом показа но, что динамический коэффициент интенсивности напряжений может увеличиваться в полтора
раза.
Динамическую задачу для плоскости с разрезом длины 2d, на берегах которого задано ди намическое давление (V.11), ре шим методом интегральных пре образований [136]с использова нием метода Каньяра — де Хупа
1 [169, 176], следуя работе [242]. 1Выберем прямоугольную систе-
МУ декартовых координат Оху таким образом, чтобы ось Ох
совпадала с линией расположения трещины, а начало коорди нат О — с ее центром (рис. 33). В силу симметрии задачи распре деление напряжений вследствие динамического приложения к бе регам трещины нормальных усилий может быть найдено из реше ния уравнений (1.28), (1.29) при нулевых начальных условиях на линии расположения трещины
oy ( x , 0 , t ) = — q(t), |
И |
С а; |
] |
|
|
1ху {х, 0 ,0 = |
0, |
0 < |
|х| < |
оо; I |
(V.12) |
иу (х, 0 , t) = |
0 , |
М > а . |
I |
|
Дополнительным условием для перемещения на бесконечности будет
lim [их (х, у, t), иу (х, у, t)] = 0. |
(V.13) |
S2-H/2-* со
Так как начальные условия нулевые, то к уравнениям (1.28), (1.29) можно применить преобразование Лапласа по переменной t, которое определяется уравнениями
7 = e - sldt;
о |
(V.14) |
|
вг
где второй интеграл берется по контуру Бромвича [30]. В резуль тате получим
d2(Pi |
, |
д2ф! |
«Pi = 0; |
|
дх2 |
|
ду2 |
||
|
(V.15) |
|||
д2Ь |
, |
|
||
дх2 |
— f t i = 0 , |
|||
ду2 |
"г |
|||
|
|
|
с2 |
где фх и яр! — трансформанты Лапласа функций фх и я]^
Для сведения уравнений (V.15) к обыкновенным дифференци альным уравнениям применим синус- и косинус-преобразование Фурье. Пара косинус-преобразований Фурье есть [30]
ОО оо
/* (а) |
= |
Г / (х) cos axdx; |
/ (х) = |
/* (а) cos ад;^а» |
(V.16) |
|
|
о |
|
о |
|
а пара синус-преобразований Фурье определяется так [30]: |
|||||
|
|
оо |
|
оо |
|
/* (а) |
= |
Г / (х) sin axdx\ |
/ (д:) = |
I /* (a) sin axda. |
(V.17) |
|
|
о |
|
о |
|
Применение какого-либо из этих преобразований зависит от того, будет ли функция четной или нечетной по х. Из рассмотре ния свойств симметрии граничных условий (V.12) можно показать,
что для этого случая |
|
|
|
Ч>1(*, г/, t) = фх (— х, у, г); i|)x (х, y , t ) = |
— г|)х (— х, у, |
t) |
|
и решение можно рассматривать в первом |
квадранте плоскости |
||
Оху. Тогда в |
уравнениях (V.15) косинус-преобразование |
Фурье |
|
применяется |
к функции cplt а синус-преобразование Фурье — к |
||
функции |
На основании этого найдем, что |
|
ду'1
ду2
а2 1 |
s2 ] ф*1= 0; |
|||
“ |
+ |
4 . |
(V. 18) |
|
, |
|
1 |
||
+ |
о II |
|||
в |
1^ |
|||
|
е» |
|
|
|
, |
|
1 |
|
где cpi и г|?1 — трансформанты Фурье по х |
от функций фх и |
||||
Решение уравнений (V.18), удовлетворяющее условиям излу |
|||||
чения Зоммерфельда [134], можно записать |
в виде |
||||
Ф1 = |
-у- A (a, s) ехр |
|
|
||
|
|
|
|
|
(V.19) |
ф! = |
\ |
В (а, |
s) ехр |
|
|
при условии, что а-плоскость разрезана так, что |
|||||
‘|/ra2 + |
s2/r f> 0 |
(— оо < a < |
оо, |
7 = 1,2). |
|
Обратное преобразование Фурье от |
(V.19) дает соотношения |
||||
|
|
00 |
|
|
|
Фх = |
j Л (a, s) exp (— y±y) cos axdx; |
||||
|
|
1 |
|
|
(V.20) |
% |
= |
^ J5 (a, 5) exp (— y2y) sin azdz, |
|||
|
|
0 |
|
|
|
где A (a, 5), 5 (a, s) — искомые функции; |
|
На основании соотношений (1.15) и (1.26) для определения дина мических напряжений аХу сгу и хху через функции фх и ^ получим соотношения
ox =
ау =
xv
f
— XcjV2ф1 + 2Яс1-|г |
{ дх
_ Х С^ |
ф1_ 2 Я с ^ ( |
j : |
|
s |
|||
|
|
||
^2 ^ |
fya |
1 0 |
|
+ " |
. |
d<pi \ , |
|
» |
|
dy ) 1 |
|
8 > | |
52<Pt |
\ |
dxdy ) *
1r (V.21)