книги / Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов
..pdfРис. 8. Зависимость приповерхност ного раскрытия трещины от величи ны нагружения.
На рис. 8 построены графи ки изменения раскрытия тре
щины h2 = 2uz , Oj на ее
внешнем контуров зависимости от внешней нагрузки Р . Здесь £-й номер кривой соответствует е = 0, И,
= |
я (1 — v) o0d |
(11.126) |
|
|
Предельное значение внеш ней нагрузки Р = находим на основании соотношения (1.5). Для этого определим перемеще-
, положив в равенстве (11.111) р = е. Тогда будем
= |
—у) а0 (У & — Щ+ |
J L arcsin |
^ |
+ |
||||
(1 — V) Р |
(1 - у) а0Р |
Г А М |
sh (су) |
|
, (еу)] [e/i (гу) — |
|||
2\idi |
|
Л\1 |
|
.) yh(y)~ |
су |
|
|
|
|
|
С |
оо |
|
|
|
|
|
— с1г (су)] dy + -£ - j ср (х) j |
ch (ху) J/ 0 (гу) — - ^ - s h (су)j х |
|||||||
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
X dydx + ^ ^ < p (x) у = = = |
(1 — V) а 0Р |
_______ dtdx_______ |
||||||
n\i |
|
|
|
— t2x* ' |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.127) |
В соотношении |
(11.127) |
сделаем |
замену |
х = |
eg, а |
функции |
||
sh (су), sh (с%у), |
10 |
(еу), |
1г (еу), 1г (су) представим в виде рядов. |
Затем, производя необходимые вычисления соответствующих интегралов, аналогично предыдущему, а также используя зави симости (II.33), (11.100), приведем равенство (11.127) к такому виду:
и2 |
(1 - V) (too |
[iV i у а (0)7071 _ |
о,2391е3 — 0,0959е8 — |
— 0,0641 е7) + |
N & V а (0,7661 — 0,0199е3 + |
0,1362еБ+ 0,1802е7) + |
|
+ Nja2 У а (0,7792 + |
0,0593е3 - 0,0296е8 — 0,1834е7) — |
— се (0,6366 + 0,0135еБ+ 0,0160е7) + a V a (0,0046е5 — 0,0039е7) -
— а? (0,8488+0,0382е5 + 0,0383е7) — а2 У а (0,0017е5 + 0,0011е7) —
— а3 (0,7922 — 0,0917е5 — 0,1653е7) + 0 (а3 ]/« )], (11.128)
На основании соотношений (1.5), (11.107) и (11.128) для опре деления величины предельной нагрузки Р = P# получим формулу
6К= (1 ~-v) da° |
[TVi. (0,1964 — 0,1328е3 — 0,0576е6 + 0,0224ев — |
||||
|
М’ |
|
|
|
|
— 0,0405е7) + |
TVi. (0,0504 - |
0,0273е3 + |
0,0084е5 — 0,0069ев + |
||
+ |
0,0191е7) + |
JVf, (0,0243 - |
О.ОЮОе3 + |
0,0056е5 - 0,0054ев + |
|
|
Nu -- 4Р* |
+ 0,0051е7) + 0(Л1.)], |
(11.129) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
n d 2o 0 |
|
|
|
|
По формуле (11.129) на рис. 9 построены графики изменения |
|||||
предельных значений внешних усилий Р = Р% в |
зависимости от |
||||
величины 8К в безразмерных координатах бк\ |
где г-й номер |
||||
кривой соответствует значениям е = 0, 1 г, |
|
||||
|
|
б(ко)= |
(1 — v) G0d |
|
|
Как видно из этих графиков, материалы, обладающие большими значениями характеристики ак, т. е. имеющие большую трещиностойкость, имеют и большую разрушающую нагрузку при прочих равных условиях. Физически это можно объяснить так: чем боль ше 8К, тем больше преграда (предразрушающая область) на пути распространения магистральной трещины.
Рис. 9.-, Зависимость предельного значения внешнего нагружения от критического раскрытия трещины.
4. Определение предельного значения внешней нагрузки для квазихрупкого цилиндра с внешней кольцевой трещиной
1. Постановка задачи иметод ее решения.
Рассмотрим длинный квазихрупкий цилиндр диаметром D, кото-
рый ослаблен внешней кольцевой трещиной [~D2 - j (см. рис. 5).
При этом будем считать, что материал цилиндра идеально упруго пластический, подчиняющийся условию пластичности Треска — Сен-Венана. Нагружение цилиндра аналогично, как и в предыду щих случаях. Задача состоит в определении такого значения внеш них усилий Р = Р*, при достижении которого произойдет разру шение цилиндра.
Решение задачи осуществляем на основании расчетной схемы, представленной в п. 3 параграфа 2 гл. I. В рамках этой модельной постановки считается, что в процессе деформации тела в окрест ности контура трещины возникает область предразрушения, где материал тела деформирован за пределом упругости, т. е. образует ся пластическая область, представленная на рис. 10.
Будем считать, что характерный линейный размер |
Z* (см. |
рис. 10) пластической области, локализированной около |
контура |
трещины, является малым по сравнению с размерами трещины, т. е. выполняются условия
г * « 4 ; |
(Ц.130) |
Предельное значение внешнего нагружения Р = р^ находим на основании соотношений (1.9), (11.52) и (11.53) так:
(11.131)
где е = d/D, а функция / (е) определяется соотношением (11.53).
I |
О |
. |
а |
5 |
Рис. 10. Схематическое изображение сечений цилиндра с тре щиной плоскостью, совпадающей с плоскостью трещины (а) и проходящей через ось цилиндра (б).
|
|
В соответствии с |
формулой |
|
|
|
(11.131) на рис. 11 построены |
||
|
|
графики изменения предельных |
||
|
|
значений внешних усилий Р = |
||
|
|
= Р* в зависимости |
от величи |
|
|
|
ны 6Ки введены следующие обо |
||
|
|
значения: |
И6к |
|
|
|
6<о> = |
|
|
|
|
V) daT |
||
|
|
(1 - |
||
|
|
М°.} = |
nd2ff4Р* - |
’ |
Рис. 11. |
Зависимость предельного |
а г-й номер кривой отвечает зна |
||
значения внешней нагрузки от кри |
чениям е = 0,2 i. |
Согласно этим |
||
тического |
раскрытия трещины. |
графикам, а также |
формулам |
|
|
|
(1.10) и (1.11) трещиностойкость |
квазихрупких материалов возрастает с увеличением протяжен ности пластической зоны Z*. Следует подчеркнуть, что формула (11.131) имеет смысл только для тех значений D и d, при которых справедливы соотношения (11.130).
2. Определение размеров цилиндрического образца, а также приповерхностного раскрытия трещины. Условия (11.130) опре деляют только в общих чертах размеры d и D цилиндрического об разца, который может быть использован в экспериментальных исследованиях при нахождении значений К\с и бк. Однако для упро щения технического проведения экспериментов необходимо уста новить оптимальные значения величин d и/?, при которых справед ливо соотношение (11.131) с допустимой погрешностью. Для этого поступим следующим образом. Если в формулу (11.22) подставить
выражение (11.35), то после интегрирования получим |
|
|||
о, (г, 0) = - |
- ± r |
4 p [l - |
(1,3528е3 + |
0,4064еБ+ |
+ 0,1852е7) — |
(0,5376еБ+ |
0,6112е7) — 0,3904е7 |
+ 0 (е8)]} . |
|
|
|
|
|
(11.132) |
Продифференцируем выражение в фигурных скобках соотноше ния (11.132) и разделим на г. После группирования членов находим
oz (г, 0) = |
—— 7Ж====- [1 + 0,6763е3 + |
0,2033еБ+ |
0,0926е7 — |
||
|
ndУ~сР— 4га |
|
|
|
|
— ~ |
(4,0584е3 + 0,6816еБ— 0,0576е7) |
d1 |
(2,6880еБ+ |
||
|
|
|
|
|
|
|
+ 2,4576е7) — 2,8672е7 |
+ 0 (е8)j . |
(11.133) |
Выделим возле контура трещины прямоугольную область Slt включающую область предразрушения (см. рис. 10, б). Условия
автомодельности зоны предразрушения будут выполняться, если напряженное состояние в зоне 5 Хполностью описывается коэффи циентом интенсивности напряжений К г. Выберем декартову си стему координат O&iZtf начало которой находится в точке контура (см. рис. 10, б). Предполагается, что если на промежутке [0, х0] напряжения az (zl9 0) описываются коэффициентом интенсивнос ти напряжений K lf то этот коэффициент описывает напряжен ное состояние во всей области 5 Х. В связи с переносом начала
координат в точку ^---- 0j введем обозначения |
|
||||||||
г — |
а |
5 |
- |
— |
2х< |
К — |
2*i |
_____к . |
(11.134) |
|
|
D — d |
d ’ |
#v° “ * %i + K2 |
и после подстановки выражений (11.134) в (11.133) и перегруппи
ровки членов получим |
|
|
|
|
“ ■ <*>■ |
°) - 1 7 Щ - { „ Д ц , |
[1 + ** (2'0292Й + |
1'0028« |
+ |
+ 0.6865XS + 0,8544X2) — Xl (1,0146X2 + 1,1784X2 + 0,3432X2 |
+ |
|||
+ |
1,5792X2) + Х| (0,6720X2 + |
1,5104X2) — Х| (0,1680X2 + |
|
|
|
+ 0,8256X2) + 0,2688X2X1—0,0418X2x2]} , |
(11.135) |
где х± — абсцисса в прямоугольной системе декартовых координат
Таким образом, определение условий автомодельности зоны предразрушения сведено к установлению зависимостей между ве личинами d, D и х01 при выполнении которых напряжения аг (х^ 0) приближенно описываются в промежутке 0 < хг < х0 коэффи циентом интенсивности напряжений Кг при условии, что выраже ние в фигурных скобках соотношения (11.135) при хг = х0 прибли женно равно единице. Если провести численный анализ этого вы ражения, то можно найти, что при
х0 < 0,035d; z0 < 0,015 (D — d) |
(11.136) |
его численное значение отличается от единицы не более чем на 9%. Следовательно, соотношения (11.136) с достаточной практи ческой точностью описывают условия автомодельности зоны пред разрушения. Учитывая, что Z*=cos—1 72ох0, условия (11.136) запи сываем еще в таком виде:
8,695Z* < d; 3,73Z* < D - d. |
(11.137) |
На основании соотношений (1.8) и (11.137) определяем размеры d и D цилиндрического образца с внешней кольцевой трещиной
d > l ,6 *1с |
Д > 2 , 3 |
к 1с |
(11.138) |
|
|
|
Следовательно, при |
проведении |
|
|
|
экспериментальных исследований по |
|||
|
|
определению К\с или КРТ (6К) на |
|||
|
|
цилиндрическом образце с внешней |
|||
|
|
кольцевой трещиной размеры образ |
|||
|
|
ца должны |
удовлетворять условиям |
||
|
|
(11.138). В противном случае найден |
|||
|
|
ные величины К\с и 6Кбудут являть |
|||
|
|
ся |
характеристиками |
трещиностой- |
|
|
|
кости не исследуемого |
материала, а |
||
Рис. 12. |
Схематическое изо |
только рассматриваемой конструкции. |
|||
|
Прямое |
измерение |
критического |
||
бражение раскрытия трещины |
раскрытия трещины бк в ее тупико |
||||
на поверхности образца и в ее |
|||||
тупиковой |
части. |
вой |
части связано со значительными |
техническими трудностями и в боль шинстве случаев при экспериментальных исследованиях практиче ски не осуществимо. Обычно измеряют величину h2 раскрытия трещины в приповерхностных точках (рис. 12). Поскольку для разных размеров образцов и трещин эта величина будет различ ной, для обработки экспериментальных данных по определению КРТ необходимо иметь аналитическую зависимость между 8К и,
например, |
величиной h2. Для установления |
этой зависимости на |
||
основании соотношения (11.45) находим |
|
|||
h2= |
|
[1 — 0,9198е — 0,0387е3 — 0,0461е5 + 0,0281е6 - |
||
|
|
— 0,0327е7 + |
0 (е8)]. |
(П.13Э) |
Используя соотношения (11.131), |
(11.139) и производя необхо |
|||
димые вычисления, выражаем 8К через h2* таким образом: |
||||
6 = |
^ |
[1 + 1,8396е +2,5381ег + |
2,4751е3 + 2,4062е4+ |
к4 (1 — v) oTd
+ 2,0904еб + 1,7814ев + 1,2109е7 + 0 (е8)], |
(11.140) |
где h2* — значение h2 при Р = Р*.
На основании полученных здесь результатов (см, формулы (11.54), (11.138) — (11.140)) в гл. VI сформулирована методика экс периментального определения значений К\с и 6К на цилиндри ческом образце с внешней кольцевой трещиной.
Г Л А В А
РАЗРУШЕНИЕ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОБРАЗЦА С ВНЕШНЕЙ КОЛЬЦЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ ПРИ ИЗГИБЕ
При механических испытаниях образцов
стрещинами важно подобрать такие схемы нагружения, которые не только правильно реализуют требуемые условия хрупкого раз рушения, но и легкодоступны для их технического осуществления.
Силовая схема осевого растяжения цилиндрического образца
скольцевой трещиной, рассмотренная в предыдущей главе,
достаточно полно реализует условия автомодельности зоны предразрушения в окрестности контура макротрещины, т. е. при уста новленных размерах образца и трещины область предразрушения вдоль всего ее контура находится в состоянии плоской деформа ции и напряжения в ней описываются коэффициентом интенсив ности напряжений К г. Однако при определении трещиностойкости достаточно пластичных материалов необходимо испытывать об разцы больших сечений, для разрушения которых по этой силовой схеме необходимы испытательные машины большой мощности и жесткости. Другие силовые схемы, например рекомендованные в британском стандарте [9, 145], более доступны для осуществле ния эксперимента на пластичных материалах. Вместе с тем эти силовые схемы неточно реализуют условия автомодельности рас пространения макротрещины (состояние плоской деформации в области предразрушения) вдоль всего ее контура. Причиной этого является выход трещины на поверхность тела, что приводит к ви доизменению области предразрушения. Правда, для ликвидации такого явления иногда на свободной поверхности делают боковой надрез, который жестко локализирует пластические деформации вдоль контура трещины. Однако для такой силовой схемы отсут ствуют теоретические решения какой-либо определенной точности, что создает дополнительное затруднение.
В настоящей главе исследуется силовая схема изгиба цилинд рического образца с кольцевой трещиной. Эта силовая схема, как и для образца с боковым надрезом, жестко локализирует плас
тические деформации |
в |
окрестности |
контура трещины |
и вместе |
с тем легкодоступна |
в |
техническом |
осуществлении. |
В основу |
излагаемого материала положены результаты работы [861,
1. Постановка задачи и метод ее решения
Рассмотрим квазихрупкий цилиндр дли ны 2L, ослабленный в центральном сечении внешней кольцевой трещиной. Диаметры внутреннего и внешнего контуров трещины соответственно равны d и.0. Цилиндр нагружают силой Р согласно схеме, указанной на рис. 13. При этом считается, что длина ци линдра 2L намного больше диаметра его поперечного сечения Z), т. е. выполняется принцип Сен-Венана относительно влияния уси лий на опорах и в точке приложения силы Р . Задача состоит в опре делении такого значения внешней силы Р = Р при достиже нии которого цилиндрический образец разрушится.
При решении задачи будем считать, что для зоны предразрушения в окрестности наиболее напряженной точки контура трещины выполняются условия автомодельности, т. е.
d; I* 4 D |
— d, |
(III.l) |
где Z* — величина пластической зоны |
(см. рис. |
10, б) в окрест |
ности наиболее напряженной точки контура трещины при Р =
В этом случае предельно-равновесное состояние цилиндра опре деляется на основании критерия Ирвина (см. параграф 2; гл. I) и задача сводится к нахождению коэффициента интенсивности напряжений Кг в наиболее напряженной точке контура трещины.
Введем цилиндрическую систему координат г, <p, z с началом О в центре перешейка трещины, а ось Oz направим вдоль оси ци
линдра. При изгибе цилиндра по схеме, указанной на |
рис. 13, |
в окрестности точки А будет напряженное состояние |
сжатия, |
а в окрестности точки В — растяжения. Поэтому наибольшее зна чение коэффициента интенсивности напряжений К г будет в окрест ности точки В. Значение коэффициента интенсивности напряжений Kim&x в точке В определим путем обобщения для задач теории тре щин интерполяционного метода Нейбера [74]. При этом рассмотрим два граничных случая:
1) глубокая трещина, когда величина е = |
->■ 0, а коэффи |
циент интенсивности напряжений |
|
K Z ах = cC ma0; |
(III.2) |
2) мелкая трещина, когда величина е ->■ 1, а коэффициент ин |
|
тенсивности напряжений |
|
Мша* = 0(nlL<X1. |
(Ш.З) |
Здесь Опот, Стпот — номинальные напряжения (напряжения, вычисленные на основании простых формул сопротивления мате-
+ А
,__ А
•Т -
т & г |
2L |
7^ 7 |
Рис. 13. Силовая схема нагружения цилиндра с кольцевой трещиной при трехточечном изгибе.
риалов [ИЗ]), установленные для каждого конкретного случая; а0, аг — геометрические части коэффициентов интенсивности на
пряжений соответственно для #inLx» ^imax> зависящие от формы элемента конструкции и типа напряженного состояния.
Рассуждая аналогично, как и в работе [74] при определении коэффициентов интенсивности напряжений, геометрическую часть коэффициента интенсивности напряжений ос для кольцевой тре щины произвольной глубины находим в виде
_ |
OQCTI |
|
(III.4) |
|
- |
v ^ + ц |
* |
||
|
||||
При этом номинальные напряжения |
апош будем |
вычислять из |
||
соотношения |
|
|
|
|
0^1 = (o<?L)w + {5, |
(Ш.5) |
|||
где |
|
|
|
|
Р = (айш Г - (°nL)Zu |
(Ш.6) |
а наилучшее приближение (как свидетельствуют эксперименталь ные данные, приведенные в гл. VI) дает показатель степени т = 0,5.
Величина интенсивности напряжений для кольцевой трещины произвольной глубины вычисляется по формуле
T^lmax ~ Onoma - |
(Ш*7) |
Следовательно, решение задачи свелось к определению следую щих величин: ^пош и oti (i = 0, 1).
2.Случай глубокой трещины
Если считать диаметр внутреннего контура трещины d =7^=0, то диаметр внешнего контура D —►- оо и рассмат риваемый цилиндр превращается в пространство с внешней кру говой трещиной диаметра d, которое изгибается моментами конеч ной величины М = РЬ/2.
Когда величина диаметра D ограничена, то первый граничный случай (е — 0) соответствует конструкции, состоящей из двух цилиндров длины L и диаметра соединенных по торцам в
Рис. 14. Схематическое изображение деформированного при изгибе цилиндра с глубокой кольцевой трещиной.
центральной точке О и изгибаемых силой Р (рис. 14). При этом из условия равновесия можно определить величину результирую щего усилия, которое возникает в точке О:
Яо = |
PL |
(III.8) |
D |
||
Так как диаметр перешейка |
трещины d |
D, то при изгибе |
цилиндра перешеек будет полностью находиться в зоне растяже ния (см. рис. 14). В этом случае величина б упругого перемещения перешейка трещины (см. рис. 14, отрезок ОС') относительно плос кости ее поверхностей считается достаточно малой, так что направ ление результирующей силы Н0 практически перпендикулярно к поверхности трещины. Поэтому распределение напряжений в перешейке трещины будет такое же, как если бы такой перешеек вытягивать силой R0 из упругого полупространства. Упругая задача для этого случая состоит в определении напряженного со
стояния в полупространстве |
z >. О, |
на |
границе |
которого z = О |
|
заданы такие смешанные условия: |
|
|
|
||
тГ2 (г, 0) = |
О, |
г < |
оо; |
(III.9) |
|
иг (г, |
0) = |
— б, |
2г < |
d; |
|
oz (г, |
0) = |
0, |
2г > |
d. |
|
Здесь г, ф, z — координаты цилиндрической системы Orq>z с нача лом в центре кругового перешейка диаметра d и направлением оси Oz перпендикулярно к поверхности полупространства; перемеще ние перешейка трещины б определяется из уравнения равновесия
d/2
2я ^ |
а2 (г, 0) rdr = R0. |
(III.10) |
6 |
|
|
Решение этой вспомогательной упругой задачи осуществляем методом интегральных уравнений. Так как касательные напряже ния на поверхности полупространства равны нулю, решение урав нений равновесия представим через одну гармоническую функцию X (г, z) в виде (1.21). Гармоническую функцию X (г, z) зададим ин