книги / Механика трещин
..pdfобычную точку проходят две линии скольжения, пересекающиеся под прямым углом. (На этих линиях касательное напряжение по модулю максимально и достигает предела текучести на сдвиг.) Это следует непосредственно из формул преобразования компонент тензора напря жений при повороте координатных осей.
Таким образом, имеются два семейства линий скольжения, обра зующие ортогональную сетку. Определим направления на этих линиях так, что если в данной точке линия первого семейства наклонена к оси х х под углом ф, то вторая - под углом ф + л/2. Отнесем к первому семейству те линии скольжения, на которых напряжение орр = Ас(р, р - локальные полярные координаты, ось р направлена вдоль линии скольжения первого семейства). Обозначим орр + Орр = о + (на линиях скольжения орр - Орр = 0). При этом компоненты напряжений в прямо угольных координатах х 19 х 2будет определяться формулами
° 1 1 + 0 2 2 = ° + . |
2 о 12+ / ( о 2 2 - о 41) = 2fce 2'(р . |
(2.10) |
||
Подставив эти выражения в уравнение равновесия, получим |
|
|||
1 |
до + |
дф |
дф |
|
2 |
- 2/ccos 2 ф--------- 2fcsin 2 ф-------= 0; |
|
||
dxt |
дхг |
дх2 |
|
|
1 |
до + |
дф |
дф |
|
2 |
+ 2/ccos 2 ф |
- 2fcsin 2 ф------- = 0. |
|
|
дх 2 |
дх2 |
дхх |
|
|
Введем ортогональные криволинейные координаты ctv |
отве |
чающие сетке линий скольжения. Соответствующие им параметры Ламе обозначим через Hv Н^
Нт= y/(dxjd a j 2 + (dx2/ d a j2.
Учитывая формулы
д |
cos ф |
|
д |
sin ф |
|
д |
dXj |
tfj |
да j |
tf2 |
да2 |
||
д |
sin ф |
д |
|
cos ф |
д |
|
дх2 |
Hi |
да.1 |
Н2 |
да2 |
||
уравнения (2.11) можно переписать в виде |
||||||
cos ф |
ô |
- |
|
sin |
ф |
д |
--------Hl |
-------(о |
4к(р)------------ |
--------- |
(о+ + 4£ф) = 0; |
||
dat |
|
|
Н2 |
|
да2 |
|
sin ф |
д |
- |
|
cos Ф |
д |
|
--------H1 |
-------(о |
4кф) + --------- |
|
------- (о+ + 4<сф) = 0. |
||
dat |
|
|
Я2 |
|
да2 |
Отсюда получаем |
|
да, ■(о+ —4fc<p): да. (о+ + 4/сф) = О |
(2. 12) |
и,следовательно, |
|
o+(«i. « 2) = 4fcl/i(a i) - / 2(а 2)]; |
|
Ф(а1т а2) = / 1(а 1) + /2(а2), |
|
где f v / 2 - некоторые функции.
В соответствии с последним равенством разность между значения ми угла ф на двух линиях первого семейства (а 2 = а*, а 2 = а* J
ф(«!, а*) - Ф(аг, «**) = / 2( « * ) - /2( 0
постоянна (не зависит от а 1). Из этого следует вывод: если на отрезке а < а х < b какая-либо линия первого семейства прямая, то на том же отрезке все линии первого семейства прямые.
В плоской задаче, так же как и в антиплоской, при условии х\ = к2 возможны, в частности, равномерное и центрированное поля напря жений. Если каждое из семейств линий скольжения образовано парал лельными прямыми, то во всей области ф = const и из формул (2.10), (2.12) следует, что компоненты напряжений постоянны. Пусть теперь линии первого семейства - прямые, пересекающиеся в одной точке. Тогда можно положить Hlda1 = dr, ф = <х2 = 0 (ог0 = к), где г, 0 - поляр ные координаты. Из формул (2.10), (2.12) определяем напряжения
Оц + о22 = 2С — 4Ас0, 2о12 + /(о22- |
о 11) = 2ке210 ; |
|
(2.13) |
|||
С= const. |
|
|
|
|
|
|
Если |
же ог0 = —Ас, |
то положим |
Н1 = г, |
= |
0 (ф = 0 + л/2), |
|
H2da2 = - |
dr. |
находим, |
что |
напряжения |
по-прежнему |
|
Из тех |
же соотношений |
будут выражаться формулами (2.13), если в последних изменить знак параметра к. В отличие от центрированного поля в антиплоской задаче здесь, помимо прямых, проходящих через полюс, линиями скольже ния являются ортогональные им дуги окружностей. Заметим, что в плоской задаче линии скольжения, проходящие через полюс, могут и не быть прямыми.
При плоской деформации компонента о33 определяется с учетом того, выполняется или нет наряду с условием т\ = к2 условие пластич ности (1.2) в отношении напряжений т2 (или т3). Если т| 3 <к2, то пластическое течение - скольжение - происходит в плоскостях,
перпендикулярных плоскости х хх 2. Поэтому пластическая деформа ция е£3, а следовательно, и упругая е| 3 равны нулю. Из закона Гука (1.5) находим
°33 = v(0ii + 022) = V0+ . |
(2.14) |
Подставляя это в выражение для напряжений т23 (2.9) и учитывая, чтот2 = к2, получаем
к2 |
1 - 2v |
(2.15) |
т2 |
1 ± ---------- |
|
4 |
2к |
|
Если среднее напряжение ограничено, то ограничено и напряже ние о+ (компоненты девиатора напряжений ограничены условием пластичности). Тогда, как видно из равенства (2.15), условие т| 3 < к2 выполняется, если коэффициент Пуассона v достаточно близок к 1/2, в частности для несжимаемого материала, где v = 1/2. В противном слу чае может оказаться, что условие пластичности (1.2) выполняется одновременно в отношении и т2(т3). Этот случай будет рассмотрен
вследующем параграфе.
§4.3. Деформации в неподвижных
идвижущихся пластических областях
Начнем, как и при анализе полей напряжений, с наиболее простого случая - рассмотрим антиплоскую деформацию. С учетом законов течения (1.6) и упругой деформации (1.5), получаем
è3m= Лозш+7 - 0зш . |
(Л >0, т - 1 ,2 ) . |
(3.1) |
Пусть напряжения в пластической области не меняются: после того как данная точка тела попала в пластическую область (вследствие расширения последней при увеличении внешней нагрузки), напряже ния в этой точке сохраняются постоянными. Тогда обе части равенства (3.1) можно проинтегрировать по времени t, в результате чего оно принимает вид
e3m=(/V0 + v ) ° 3'n |
(а °^ А Л > о|, |
(3.2) |
||
где время f*(x1} х 2) |
соответствует |
началу пластического |
течения |
|
в данной точке. |
(3.2), |
очевидно, |
сохранится, если компоненты |
|
Вид соотношения |
s3m, озт заменить соответствующими компонентами в произвольной ортогональной системе координат. Возьмем в качестве координатной сетки линии скольжения (прямые) и ортогональные им кривые. Каса тельные напряжения на линиях скольжения по модулю равны пределу текучести на сдвиг, т. е. экстремальны. Следовательно, касательные напряжения на координатных кривых - на координатных линиях, ортогональных линиям скольжения, - равны нулю. Отсюда и из соот ношения (3.2), записанного относительно компонент в указанной систе ме, получаем
|
|
àu3 |
|
|
±к |
|
|
2RÔQ |
|
|
(3.3) |
U3= из(0). |
1 |
±Ц'з(6) |
Л° = |
(°ez= ±к), |
|
|
2ц ~ 2kR |
где R - радиус кривизны координатной кривой, проходящей через данную точку; 0 - угол наклона линии скольжения, отсчитываемый от оси х г
Если пластическая область ограничена упругой, то производную ôu3/dQ можно выразить через расстояние до указанной границы, изме ренное вдоль линии скольжения, проходящей через данную точку. На границе с упругой областью, где по предположению напряжения и деформации непрерывны, е$2 = ± к/{2ц). Отсюда и из выражения (3.3) для этой компоненты находим
«з(е)=±я*(е)к/и, |
(3.4) |
где Я*(0) = R + L - радиус кривизны координатной кривой, пересекаю щей линию скольжения (на ней находится рассматриваемая точка)
на границе |
пластической области; L = L0 > 0 (R* > Я), L = - L0 |
(Я* < Я), L0- |
указанное расстояние до границы. |
Снова обращаясь к выражению для компоненты e0z (3.3), опреде |
|
ляем функцию |
|
1 |
(3.5) |
Л° |
Поскольку Л° ^ 0, должно выполняться неравенство R^> R.
Таким образом, расстояние между двумя произвольно выбран ными линиями скольжения при приближении к границе пластической области не может уменьшиться. Этот вывод довольно прозрачен. Действительно, в противном случае, поскольку на каждой из прямых линий скольжения перемещение постоянно, деформация сдвига при приближении к границе пластической области по модулю растет и, следовательно, при удалении от границы в пластическую область -
падает. Но это противоречит основному постулату теории пластического течения: пластическое скольжение направлено в ту же сторону, что и действующие на данной площадке напряжения сдвига (Л° ^ 0), в результате чего при постоянных напряжениях пластическая дефор мация арифметически суммируется с упругой деформацией.
Заметим, что в случае центрированного поля напряжений в форму лах (3.3)- (3.5) R = r - расстояние от полюса до рассматриваемой точки, R* - расстояние от полюса до границы пластической области, измеренное вдоль той же линии скольжения.
При равномерном поле напряжений и3 = u3(s)9где s - прямолиней ная координата, перпендикулярная линиям скольжения. Так как в этом случае линии скольжения параллельны, деформация сдвига на каждой из них постоянна. Отсюда следует, что пластическое тече ние возможно лишь на тех линиях скольжения, которые не пересе каются с границей раздела между пластической и упругой областями.
Рассмотрим вопрос о непрерывности напряжений в пластической области. Пусть напряжения претерпевают разрыв на некоторой линии. Направим ось х 1 по касательной к этой линии в данной точке. Тогда, как следует из условия пластичности (2.1), компонента напряжения
о 13, если она |
разрывна (компонента |
023, очевидно, непрерывна), |
определяется следующим образом: |
|
|
о ± з = ± ^ |
2 - о ! з , |
(3.6) |
где верхние индексы ± относятся к пределам при х 2= ± 0 (или х 2= + 0). Но вследствие непрерывности перемещений деформация сдвига плоскости х хх 3 непрерывна [см. формулы (3.2), (3.6)]:
Поскольку сумма Л° + 1/(2ц) положительна, равенство e j3 = e"13 (3.7) выполняется лишь в том случае, когда о23 = fe2. Однако при этом компонента о 13 непрерывна. Таким образом, напряжения в пласти ческой области непрерывны.
Что же касается деформаций, то они могут быть разрывными. Как видно из формулы (3.5), деформации разрывны, если разрывно отноше ние R jR , в частности если разрывен радиус кривизны криволинейной координатной линии. Деформации могут быть разрывными также на любой линии скольжения в равномерном поле напряжений, если эта линия не пересекает границу между пластической и упругой областями.
Определим теперь деформации в движущейся пластической области (пластическая область перемещается при росте трещины). Рассмотрим стационарную задачу 03m = 03m( * i - vt, х 2), и3= и3(х1- - и f, х 2), где скорость и > 0 настолько мала, что силы инерции несу щественны. При этом зависимости для поля напряжений те же, что и для неподвижного поля.
Учитывая, что в данной стационарной задаче d/dt= - ид/дх1г равенство (3.1) можно записать в виде
L |
д2цз |
л |
J _ |
а°зт |
(т= 1, 2), |
(3.8) |
|
2 |
дхгдхт |
Зт |
2р |
dxt |
|||
|
|
где Л/и заменено на Л. Исключая из этих уравнений функцию Л, получаем
|
дцэ |
|
д2и3 |
1 |
/ |
d o 13 |
до23 |
|
|
ÔXJ |
|
dxtdx2 |
|
\ 23 |
dxj |
|
(3.9) |
|
13 |
(1 |
13 |
àXj |
||||
Учитывая |
формулы (2.7) |
и то, |
что на линиях скольжения (р = 0 |
|||||
(<р = 0 + л), уравнение (3.9) можно привести к виду |
|
|||||||
д |
I ди3\ |
ysin 9 |
|
|
|
к |
(3.10) |
|
dR \ dxt / ~ |
R |
|
|
^ |
ц ’ |
|||
|
|
|
||||||
где 0 - |
угол наклона линии скольжения, отсчитываемый от оси x v |
|||||||
Из (3.10) находим |
|
|
|
|
|
|
||
е13 |
1 |
ди3 |
ysin 0 |
|
|
|
|
(3.11) |
2 |
ÔXJ |
(In i? + Д0)), |
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||
где X9) - произвольная функция. Если ввести расстояние до границы |
||||||||
пластической области, то вместо (3.11) получаем |
|
|||||||
|
ysin 0 |
.R |
|
|
|
|
(3.12) |
|
е13 = + |
2 |
I n --------1 |
|
|
|
|
||
|
|
R*. |
|
|
|
|
|
Теперь можно найти производную де23/д х 1 и функцию Л. Учиты вая, что dR/dx2= sin 0à(ln R)/d0, где (1/R)dR/dQ- производная по дуге криволинейной координатной линии, имеем
^ 2 3 |
ае1з |
У I |
ÔXj |
|
« , , ь < * ■ « ♦ |
(3.13)
+ cos 20 + [Я'*(0)/(2Д)] sin 20 -[sin 2 0/(2ft)]
|
1 |
1 |
1 |
^ 0 2 з |
<Эе13'L |
1 |
|
Я* |
+ 1 |
cos 8 + |
|||
|
|
|
|
In — |
|||||||||
|
° 2 3 |
'1 2(1 |
д х у |
àx2 i1 |
2 |iR |
Я |
|
|
|
||||
|
« ’*(6) |
|
1 |
dR\ |
|
|
|
|
|
|
|
(3.14) |
|
|
—-- |
----- |
sin 0 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
а д |
|
R |
d 0 / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, в центрированном поле |
линий |
скольжения, |
где R = г, |
||||||||||
dR/dQ = 0, соотношения (3.12) - |
(3.14) принимают вид |
|
|
||||||||||
|
_ ysin 0 |
/ |
Я* |
\ |
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ь |
т |
* 1 |
|
|
|
|
|
|
|
<^23 = _ |
|
|
|
|
Я* |
|
|
Я'*(0) |
sin20 |
; |
|
||
|
У_ cos2 0 In-----+ cos 2 0 + ----------- |
|
|||||||||||
ÔXJ |
|
2г |
|
|
r |
|
|
2i?*(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.15) |
|
1 |
! я* |
|
|
|
а д |
|
|
|
|
|
|
|
Л |
2 (ir |
In-----+ 1 |
cos 0 + |
я*(0) |
sin 0 . |
|
|
|
|
||||
Видно, что, по крайней |
мере, при |
малых |
значениях |
отношения |
|||||||||
r/Я*, когда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 0 |
Я* |
|
|
/ г |
|
|
л \ |
|
(3.16) |
|||
0 < Л ----------- In— |
|
|
I --------►0, 101 Ф— |
, |
|
||||||||
|
2цг |
г |
|
|
\Я* |
|
|
2 / ’ |
|
|
пластическое течение возможно лишь в секторе 101 < л/2. Следователь но, поскольку поле движется вдоль оси х 19 в некоторой области должна происходить разгрузка.
В случае равномерного поля напряжений обе части равенства (3.8) можно проинтегрировать по x t (от некоторой точки х\ , х 2 в пласти ческой области до точки х\ > х \ , х 2в упругой). Тем самым мы возвра щаемся к соотношениям для неподвижного поля.
Заметим, что если поля напряжений в пластических областях уста навливаются по уравнениям (2.1), (2.3) и с учетом других условий за дачи для неподвижной и движущейся трещин одинаково, то скорости деформаций в нестационарной квазистатической задаче представляют собой сумму скоростей деформаций, определяемых расширением и сме щением пластической области, и приведенные выше решения для не подвижной и движущейся трещин складываются.
Вывод о непрерывности напряжений в пластической области сохра няется и для движущегося поля. Деформации, определяемые движу щимся полем напряжений, как видно, например, из формулы (3.12),
могут быть разрывными в тех же случаях, что и при неподвижном поле.
Перейдем |
к плоской задаче. Рассмотрим стационарную |
задачу |
о движущейся |
пластической области. При этом, как и выше, |
ô/df = |
= - ud/dxv В соответствии с соотношениями (1.5), (1.6), (2.9) деформа ции в плоской задаче при условии т^ = к2определяются зависимостями
ô e tl |
1 |
1 |
1 |
—= ~ — Л1 ° - " 7 Л2(о_ + 2/с) —— Л3(о_г 2к) +
I |
d / |
3 v |
+ ~2(Г |
~дх^ \ |
11 _ I T v °* ; |
de,, |
1 |
1 |
— — = — Л.о |
+ — Л,(о - 2к) + |
|
дх. |
2 1 |
4 2 |
I |
, |
|
ч |
1 |
|
д |
/ |
|
3 v |
|
|
+ — Л3(о. + 2к) +---- |
----- |
о ,----------о|; |
|
||||||||
4 |
3 |
|
2(1 |
|
дх, |
\ |
22 |
1 + v |
' |
|
|
д е 33 |
|
|
ч |
1 |
|
д |
/ |
3v |
|
(3.17) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
- — * ( л 2- л 3) + — — ° з3- — ° и |
|
||||||||||
dxt |
|
|
|
2ц |
|
ô x x \ |
1 + V |
|
|||
дг.12 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
д |
|
ах, |
~ |
л л = - 7 < л ’ * л > . * + ^ Г |
|
|
|||||||
0.= 0 .. - 0 , 2, 0 = 0 |
|
, |
|
|
Л > 0 , |
|
|
||||
|
11 |
22 |
5 |
|
тт5 |
|
|
т |
|
|
|
Л2Л3 = 0, |
т= 1,2,3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ограничимся |
случаем |
плоской |
деформации. Если |
Л2 = Л3 = 0, |
|||||||
то из условия е33 = 0 и закона Гука (1.5) находим |
|
||||||||||
°33 = V0+; |
|
o = (l + v)o+/3; |
|
|
|
|
|||||
|
3 v |
|
1 - |
2v |
|
|
1 |
о : |
|
|
|
о , , -----------o = ------------ o . + — |
|
|
|
||||||||
|
3v |
|
1 - |
2v |
|
|
1 |
|
|
|
|
°22 - |
— |
0 = — T ~ |
0+" T |
°- |
( ° ± = 0 n ± 0 22); |
(3.18) |
|||||
dut |
1 - |
2v |
|
du2 |
|
|
|
|
|
||
dxt |
2ц |
+ |
ôx2 ‘ |
|
|
|
|
|
д 2и2 |
1 |
1 |
(1 - |
|
ô o + |
<Эо_' |
|
|
дххдх2 |
= — Л.о |
+----- |
2v) |
dxt |
|
|
||
2 |
4Д |
|
|
dXj |
|
|
||
д2и2 |
д2и2 |
|
1 |
/ |
do12 |
1 - 2v |
ôo + |
\ |
дх\ |
дх\ |
|
Ц \ |
dx1 |
2 |
dx2 |
] |
Умножим обе части первого из этих уравнений на 4 0 .0 !2, второго - на оУ ч тем , что в соответствии с уравнениями равновесия
до+ |
до_ |
до12 |
до+ |
до_ |
до12 |
|
|
_ — |
дх± |
2 |
, |
= |
2 |
, |
|
dxt |
дх2 |
дх2 |
дх2 |
дх1 |
|
||
а согласно |
условию пластичности о2 + 4о22 М /с2, 4o12do12/dx2 + |
||||||
+ o_doJdx2= 0. В результате получаем уравнение |
|
|
|||||
д2и2 |
д2иЛ |
д2и2 |
8(1 - |
v) к2 |
до12 |
(3.19) |
|
--------------------+4о |
о . , ---------------------------------- |
-------- |
|||||
дх2 |
|
дх\ J |
dxtdx2 |
|
р |
дх t |
|
Предположим теперь, что одновременно с условием \\ = к2 выпол няется еще одно условие пластичности: = к2 или т3 = к2. Тогда, как следует из выражения для т23 (2.9),
|
1 |
|
1 |
_ |
1 |
|
®зз ~~2 |
+ |
о = — о. + — fe; |
|
|||
2 |
+ |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
3v |
1 - |
2\ |
|
к |
(3.20) |
о , , ---------- о = --------------0 . |
+ -------- |
|||||
3 |
1 + V |
2(1 + v) |
|
1 + у |
|
|
и из третьего уравнения (3.17) находим |
|
|||||
|
l |
- 2v |
<Зо. |
|
|
(3.21) |
Л, 3 = + --------------- |
— - . |
|
|
|||
' |
4pfc(l + v) |
dxt |
|
|
|
Здесь и выше знак минус соответствует условию т| = к2, знак плюс - условию т1 = к2.
В дальнейшем нас будет интересовать центрированное поле, напря жения в котором определяются формулами (2.13) при 0 > 0 и теми же формулами, но с измененным знаком параметра к при 0 < 0, причем напряженное состояние таково, что т3 < к2. В этом случае, как видно
из формул (2.13), (3.21), функция Л2 оказывается отрицательной (если полагать, что она отлична от нуля):
1 - |
2v |
Л2 = - |
Isin 0 1, |
И 1 |
+ V) |
что противоречит закону пластического течения. Таким образом, при указанных условиях Л2 = Л3 = 0.
Для случая центрированного поля (2.13) уравнение (3.19) прини
мает вид |
|
|
д / du2 |
и2 \ |
(3.22) |
( — -------—)= - 2(1 - v)ysin 0. |
||
д(Г |
|
|
Отсюда |
|
|
2(1 - |
v)y г In гcos 0 + /t(r) + r/2(0), |
(3.23) |
где Д(г), / 2(0) - произвольные функции.
Обращаясь к последнему из равенств (3.18), находим выражение для производной d u jd xy
ôu t |
1 - |
2v |
(С - 2кв) - |
(1 - v) у sin 20 - Д(г) sin 0 - |
|
|||
dxt |
ц |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
- / 2(0) sin 0 - |
/ 2(0) cos 0, |
С= const. |
(3.24) |
|||||
Для равномерного поля напряжений уравнения (3.17) можно |
||||||||
проинтегрировать по x r С учетом равенств (3.18) получаем |
|
|||||||
dut |
1 |
|
|
1 - |
2v |
|
|
|
дхх |
Л® о_ + - |
|
|
|
|
|||
|
|
|
4ц |
|
|
(3.25) |
||
du, |
|
|
|
1 - 2v |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
- --------Л® о_ + - |
4ц |
|
|
|
||||
дх, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
du. |
du, |
/ |
|
|
1 , |
|
|
|
дх2 |
dxx |
|
\ |
2Л? +~ |
|
|
|
|
|
|
ц |
|
|
|
|||
|
«Î |
|
|
|
|
|
|
|
Л®= j ЛДх^ Хг) dxv |
|
|
|
|
||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 - 2v |
|
|
|
|
1 - |
2 v |
(3.26) |
|
4ц |
° +У1 + S liyà |
и 2= — |
----- 0+У2+ 52(Ух). |
||||
|
|
|
|
|
4ц |
|