книги / Механика трещин
..pdfНайдем распределение напря жений в малой окрестности особой точки x t = /, х 2 = + 0, где напряжение, действующее на бе рег трещины, разрывно:
° И = - |
Р, |
°2 2 |
= 0 ( * ! = / - 0), |
|
°12 = 0 ^ |
= / ± 0), |
|
||
а11 = 2 к -р , |
о22 = 2к > 0 |
|||
(лгА= / + 0). |
|
|
(5.26) |
|
Приведенные |
здесь |
выраже |
||
ния для о 1Х вытекают из следую |
||||
щего. Если на данное поле на |
||||
ложить |
равномерное: " |
0 ^ = 0, |
°22 = |
то получим задачу, где напряжения на бесконечности равны |
||||
. нулю. При этом, как показано в § 2.1, о 11 = о22 (х2= 0). |
__________ |
||||
____Для |
определения асимптотики |
напряжений |
при |
г = у/ (хх- |
/)2 + |
+ х\ -►О |
можно воспользоваться |
формулами |
(4.24), |
опустив |
там |
звездочки и положив вследствие ограниченности напряжений а1 = 0.
Подчиняя выражения (4.24) условиям |
(5.26), где "равенства x t = l± 0 |
|||
отвечают значениям 0 = 0, |
0 = л, находим остальные постоянные |
|||
а2= к/(2Ц) - р/(8ц) ; |
bt = к/(2пц), |
с2 = p/(4|i), d2 = - к/(2пц). |
||
Таким образом, напряжения в окрестности указанной точки выра |
||||
жаются формулами |
|
|
||
|
к |
|
|
|
olt -------- (20 + sin20) + 2fc—*р; |
|
|||
|
л |
|
|
|
о22 |
к |
|
|
|
= ----(2 0 - sin20) + 2fc; |
|
|||
|
л |
|
|
|
|
к |
|
|
|
о 12 = — (cos 2 0 - 1). |
|
|
||
|
л |
|
|
|
Квадрат экстремального значения касательного напряжения |
||||
2 |
1 |
|
Р |
|
^ ( ° 1 1 *“ ° 22)2 + ( ,12 = /с2 |
||||
т 1 ” |
----- sin 20 - |
|||
|
|
|
л/с |
|
------- cos 20 |
|
|
||
л |
2 |
|
|
достигает максимума при
tg 20 = tg 20о = - |
а |
- |
L |
|
|
|
|
2 |
к |
и равен при этом |
|
|
|
|
1 2 |
а2 |
2 |
,---------\ |
[‘ = \ ~л2 + “л2 + “л2 ^ а2 + 1/Г а
Состояние пластичности наступает при xf = к2, чему соответствуют значения
— = — = — а = 2 д/ l -2/л «= 1,2056; 0О« 1,0283 «59°.
кк и
Таким образом, при рД = р0/к = 2 y/ l- 2/п возникают „усы” - ли нии скольжения, ориентированные под углами ± 0 Ок оси (на кото рой при В = л находится трещина). После этого, т. е. при больших зна чениях отношения p/к, приведенное выше решение не годится, так как оно в некотором секторе определяет экстремальное значение каса тельного напряжения тх > Ас, что запрещено условием пластичности. В эксперименте, действительно, появляются указанные линии сколь жения, а при дальнейшем увеличении нагрузки пластическая область расплывается [45].
§ 4.6. Растущая трещина при антиплоской деформации упругопластического тела
Как было показано в § 4.5, при нагружении упругопластического тела с фиксированной трещиной концентрация деформаций оказывает ся большей, чем при прочих равных условиях в упругом теле. Рассмот рим теперь стационарную задачу о растущей трещине. В отличие от пре дыдущего, когда при пропорциональном нагружении пластичность (необратимость деформаций), по существу, не проявлялась и тело вело себя как нелинейно-упругое, при росте трещины путь нагружения усложняется, возникает разгрузка, необратимость пластических деформаций становится существенной. В результате роль пластично сти в формировании поля деформаций у края трещины оказывается противоположной: концентрация деформаций в упругопластическом теле получается меньшей, чем при прочих равных условиях в упру гом теле.
Пусть трещина расположена на оси х г при x t < l(t), причем ско рость ее роста / = dl/dt > 0 и настолько мала, что силы инерции можно не учитывать. Рассмотрим точку тела, координата х 2 которой
положительна, но достаточно мала. Если вначале данная точка находи лась далеко впереди трещины (хх /(0)), то в некоторый момент t = tt она попадает в пластическую область. При дальнейшем продвижении трещины пластическая область, движущаяся вместе с ее краем, ока жется впереди рассматриваемой точки. Следовательно, в этой точке должна происходить разгрузка. А так как материал неупругий, то в некоторой области, примыкающей к берегам трещины, после разгруз ки сохранятся остаточные деформации. Этот факт играет решающую роль в уменьшении концентрации деформаций у края трещины.
Найдем асимптотически точные решения для линейно упрочняю щегося и идеально упругопластического материалов. Основываясь на соотношениях (1.8) - (1.11) и учитывая, что вследствие неограничен ности деформаций в окрестности края трещины начальный участок диаграммы т(у), где т = 2ру, можно не принимать во внимание, запишем
°тз = 2М1Ет з (*<*°), |
0 <Ц 1 <Ц, |
т=1,2; |
(6.1) |
||
°тз = °тз + M t m3 ~ |
з) (V < Т>°, |
t> t°), |
|||
|
|||||
где интервал 0 < t < t ° - |
период нагрузки |
(монотонного увеличения |
|||
максимального сдвига У <У°; У°= У при |
t= t°; о^3, |
е£,3- достигну |
|||
тые к этому моменту напряжения и деформации. |
|
||||
Для области разгрузки представим перемещение |
и3 суммой (4.1). |
Тогда „напряжения” 0*3, о*3, определяемые формулами (4.2), будут удовлетворять уравнениям равновесия так же, как и напряжения о 13, о23, а перемещение и3, через которое компоненты 0 j 3, о*3 выражают ся обычными формулами теории упругости, будет гармонической функцией (см. § 4.4).
Итак, предполагая, что окрестность края трещины разделена гра
ницей 101 = 0 Хна области нагрузки и разгрузки, можно положить |
|
u3 = .Aim |
(101 < 0j); |
U3 = Im(B^-) |
(101 >0^, |
z=ri+«2> |
0= * i _ !(l); |
(6.2) |
1т А = 0 (ti3 = 0, 0 = 0), |
B=a+ibr, Im A, b, À = 0. |
|
Кэтому следует добавить требование непрерывности деформаций
инапряжений на границе 101= 0 А (г > 0), а также условие
o23 = 0 (101 = n). |
(6.3) |
В соответствии с представлением (6.2) в области нагрузки
и3 = АЛ sin À0 ,
|
1 |
ди3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
С23 |
---------- - = |
— АХгк- 1 cos [(À - 1)6] ; |
|
||||||
|
2 |
дх2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
°т з ~ |
|
1егпз • |
|
|
|
|
|
|
|
На границе 0 = 0! |
|
|
|
|
|
|
|||
2е° 3 = ДЛг>1"1sin[(A. - |
l)0 1] = i4A.(x2/sin6 1) x_1 X |
||||||||
X sin[(X - |
1)0 J ; |
2e^3 = i4Àrx_lcos[(A. - |
1)0 J = |
||||||
= 4À(x2/sin01) x_1cos[(À - 1)0 J ; |
|
||||||||
1 |
|
Ц. |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
)° |
= — |
2e0 |
|
|
|
|
|||
; 13 |
|
^ c 13 > |
|
|
23 * |
|
|||
|
|
Ц |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда с учетом формул (4.1), (6.2) в области разгрузки |
|||||||||
«3 = u 5 + (1~ « И 2t°23dx2 = rk |
asin(À0) + |
||||||||
+ bcos(A.0) + Д(1 - |
a)cos[(l - |
|
/ |
sin 0 \x |
|||||
A.)0 ,]sin0 , |
--------- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
sin 0 x / |
|
|
du* |
o° |
|
\ |
|
|
|
|
o 13= ^ |
— - + —— - |
2eJ3 |
= pÀrx_1[ - |
asin[(l - A.)0] + |
|||||
|
|
ôxx |
ц |
|
/ |
|
|
|
|
+ bcos[(l - |
À)0] + A(1 - |
|
|
/ |
sin 0 \ A.-i |
||||
a)sin[(l - À)0 J |
-------- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
sin 0 j / |
|
|
du* |
|
|
|
|
|
|
|
° 23 = H — — = |
|
[acos [(1 - |
A.)0] + bsin [(1 - À)0] ] , |
||||||
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
a = Mi/Ц.
Из условий непрерывности напряжений, определяемых фор и (6.4), (6.6), находим
а = 4[1 - (1 - |
a)cos2 [(1 - |
À)0J] ; |
1 |
a)sin[2(l - |
X)0 J. |
b = - — J4(1 - |
При этом перемещения и деформации (6.2), (6.5), (6.6) также оказывают
ся непрерывными, |
а напряжения в области разгрузки выражаются |
||
в виде |
|
|
|
о 1Э = - АцХг^-1 |
{ acos[(l - X.)0 t] sin[(1 - À)(0 - 0 t)] + |
||
+ sin [(1 - X)0 J cos [(1 - À)(0 - |
0 J ] - |
||
- (1 - a) sin[(l - |
À)0 j(s in 0 1/sin0) 1'^} ; |
||
. |
|
À.)0J |
(6.7) |
o23 = АдА.Л-1 { acos[(l - |
cos[(l - A.)(0 - 0 t)] - |
||
- sin[(l - À)0 J |
sin[(l - |
X)(0 - |
0 J } . |
Предположим, что область разгрузки простирается до края трещи ны. Тогда, подчиняя второе из равенств (6.7) граничному условию (6.3),
получаем уравнение |
|
|
t g [(l- X)0 j t g [ ( l - |
А.)(л — 0 1)] = и = ц1/ц. |
(6.8) |
Так как в данной |
стационарной задаче |
ô/ôf = - od/dxt, и > 0 , |
то условие нагрузки, т. е. монотонного роста максимального сдвига, имеет вид
ду |
д |
,----------------- |
U I |
|
~7 |
= “ |
V ^ 1з + ^23 = “ |
г г |
"" M cos8 ^ 0 |
См j |
(м j |
|
у 2 |
|
(0 < ^ < 1, |
101 < 0 Х). |
|
|
Таким образом, нагрузка возможна в секторе 101 < л/2. С другой стороны, в области разгрузки должно выполняться неравенство У < 7 °.
Используя приведенные выше зависимости для области разгрузки, определяем производную
а? 2 |
х 2 |
— — = — |
— (1 - A.) {Im(nz^_1)Im (Bz^'2) + [Re(Bz^_1) + |
+ 2(1- a)eo3]Re(Bz^-2)} = - i - \ 2 ( 1_ ^ 2 r2\-3 х
X {(a 2 + b2)cos0 + (1 - |
a)e 23[ocos((2 - |
A.)0)+*sin((2- A.)0)]} = |
|
||||
1 |
, |
. |
sin[(l — A.)0,1 |
ф . |
|
||
= — \ 2( j _ |
^ЧД2Г2\-3 |
---------- *------- |
U i |
----- |
(6.9) |
||
2 |
|
|
cos2 [ ( l - |
А.)(л- |
0 J] |
’ |
|
|
|
|
/ sin0 , \i-*.
Ф = ( ---------1 cos[(l - A.)n]sin[(2- A.)0 - (1 - А.)л] -
\sin 0 /
-sin [(1 - X)0 j]cos0.
При 0 = 0 1 рассматриваемая производная с учетом равенства (6.8) приводится к виду
1
ду2/0зс1 = — À2ot(l - |
\)А2г2Х- э Ф0; |
|
2 |
|
|
cos[(l - \)0 1]sin[0 l - |
(1 - Х)л] |
|
s in [(l- |
À )(n - |
0 J] |
Отсюда следует, что она обращается в ноль в одной точке:
0 i = e* = (1 - |
^)л- |
(6.10) |
При этом |
|
|
ду2 |
|
ду2 |
— - < 0 (0 = 02 < 0Д |
> 0 (0 = 0 4 > 9J. |
|
|
|
дк1 |
Следовательно, |
разгрузка |
может начинаться при значении 0 = 0!, |
удовлетворяющем неравенствам (1 - А.)л ^ 0 Х^ л/2.
Примем нижнее значение 0j в (6.10), которому при фиксированном параметре а соответствует максимальная концентрация напряжений. Тогда, как можно установить, рассматривая равенство (6.9), ду2/дхг > 0 при 0 > 0*, а значение показателя К определяется уравне нием (6.10) - следствием уравнения (6.8) при 0 t = 0*
tg[(l - \)2n]tg[Ml - Х)л] = ос = [lj/p. |
(6.11) |
Уменьшение максимального сдвига при разгрузке может привести к вторичной пластичности в том случае, если будет превзойден уро вень максимальных касательных напряжений. В рассматриваемой задаче вторичная пластичность возникает у края трещины, если пре дел отношения
Л° = Ц т-^ |
’ * ^ |
(т = V o 23 + o23 , ^ < 0) |
*г-0 |
Т°(х2) |
|
окажется больше единицы. Из формул (6.4), (6.6) следует, что при
* 2 - + 0
sin 0 Х\i-X
т° = AUjA.
sin 0 j \i-A.
т ~ ДцА(1 - a)sin[(l - A.)0 J
Для „критических” значений a = ос*, À. = À.* получаем уравнение
R ° = R O = 1 - «* sin [(1 - À J0J = 1. |
(6. 12) |
«* |
|
Подставляя сюда выражение параметра а (6.11), приходим к равенству sin[A.*(l - А.*)л] = cos [(1 - À.*)л]. Отсюда и из формулы (6.11) находим
cos / 2л |
|
(6.13) |
|
1 - cos / |
0,211. |
||
2л |
|
|
|
При уменьшении параметра а, как следует из формул (6.12), (6.13), |
|||
R0 растет и, следовательно, при |
а < а* |
возникает вторичная пла |
|
стичность. |
|
|
|
Граница 0 = 02, отделяющая |
область |
вторичной |
пластичности |
(0 > 02) от области разгрузки (0 < 02), так же как и симметричная ей граница в нижней полуплоскости, определяется условием R° = 1 (а < а*). К нему следует прибавить граничное условие (6.3), которое при а < а* должно выполняться в области вторичной пластичности.
Для этой области перемещение и |
напряжения |
можно выразить |
||||
в виде, |
аналогичном |
представлениям |
(4.1), (6.1), |
а именно можно |
||
записать |
|
|
|
|
|
|
'з = “ з* |
'23 |
-----п°® \dx |
* |
|
|
|
и23 1иЛ2> |
|
|
||||
|
|
|
I |
|
|
|
°т з |
^ ^ i( em3 ““ етз) + °шз > |
171 |
^ 2, |
|
||
где |
= е2з(х 2)>- ••““ значения соответствующих компонент на гра |
|||||
нице 0 = 02; и** - гармоническая функция. |
|
Поступая так же, как и выше, но рассматривая три области - наг рузки, разгрузки и вторичной пластичности, можно определить гра ницы областей и распространение деформаций у края трещины. Оказы вается, что область вторичной пластичности, возникающей при а < а*, занимает очень узкую зону, прилегающую к берегу трещины [95]. Зависимость показателя к, определяющего концентрацию деформа ций, от отношения модулей а показана на рис. 4.7. Видно, что с уменьшением отношения модуля упрочнения к модулю разгрузки
Рис. 4.7. Рис. 4.8.
|i концентрация деформаций у края трещины также уменьшается. Особенность для деформаций em3 " '/ m(0)/r1~?lздесь, как и в линей но-упругом теле, того же порядка, что и для напряжений. Однако при p 1/| i< l показатель 1 - к < 1/2, поэтому произведение oduJdxt на контуре, окружающем край трещины (о - напряжение, действующее на контур со стороны внешней области), стремится к обычной, локаль но интегрируемой функции, когда контур стягивается к точке. В ре зультате поток энергии в край трещины при ее росте оказывается равным нулю - вся энергия, выделяющаяся из упругой части тела,
поглощается в пластической области.
Рассмотрим теперь ту же задачу, но для упругопластического мате риала без упрочнения. Выражения для полей напряжений и деформаций в областях пластического течения и разгрузки получены ранее [см. формулы (2.8), (3.15), (4.9)- (4.11)]. Возьмем для определенности в формулах (2.8), (3.15) верхние знаки. Как уже отмечалось, при антиплоской деформации тела впереди трещины должно располагаться центрированное поле линий скольжения, для которого функция Л (3.16) положительна при 101< л/2 и обращается в нуль на линии сколь жения 101= л/2. Поэтому в соответствии с утверждением, доказанным в §4.4, граница между областями пластического течения и разгрузки может проходить лишь вдоль прямых 101= 0 j < л/2.
Если у берега трещины возникает вторичное пластическое течение (101 > 83), то в соответствии с граничным условием (6.3) там может быть лишь равномерное поле напряжений. При этом на верхнем бере гу трещины при удалении от ее края деформация е 13 по модулю убывает, а так как она отрицательна (при выбранных знаках в фор мулах (2.8), (3.15)), то ô e 13/df >0, и, следовательно, о 13 >0. Учитывая граничное условиеДб.З) и условие пластичности (1.2), имеем
° 2з = 0, ° 1з=к (0 2 < 0 ^ л ). |
(6.14) |
Условия непрерывности напряжений на границе |
0 = 0 х приводят |
к уравнениям [см. формулы (2.8), (3.15), (4.10)] |
|
ц[а(1пг+ 1) - b0 t + c] = - fcsinGj ln
- n[b(lnr+ l) + a0 1 + d] = fccos0 1.
Отсюда находим
к
a =— sin 0 ,; |
b = 0; |
|
И |
|
|
/с |
|
(6.15) |
с -------- sin 0 x(ln Я*(0 J + 2); |
И
cf = -------(01sin01 + COS0J.
И
Как видно из представлений (6.1), непрерывность напряжений влечет за собой непрерывность деформаций. Удовлетворяя первому из условий (6.14), т. е. полагая в соответствии с формулами (4.10), (6.15) ад2+ d = 0, получаем
02 |
= + ctg 0 t. |
|
|
И, |
наконец, |
второе |
из условий (6.14) с учетом тех же формул |
и последней приводит к уравнению относительно угла 0 1: |
|||
|
sin 0 , |
|
1 + sin 0 , |
l n -------------- --------- --------------- - . |
|||
|
sin (0 X+ ctg 0 X) |
sin 0 X |
|
Отсюда и из предыдущего соотношения находим |
|||
0 ! » 0,344, |
02 ^ л - 0,00640. |
Графики для напряжений о13/к (кривая 1), 023/к (кривая 2) и для отношения т2/к 2 (кривая 3) показаны на рис. 4.8.
Как следует из равенств (3.15), в области первоначального пласти
ческого |
течения |
(101 < 0 .) |
деформации |
можно |
представить |
в виде |
||
( г - 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
l |
k |
|
L |
1 |
к |
L |
(6.16) |
------— sin 0 In — ; |
— |
— In2— } |
||||||
13 |
2 |
ц |
■ |
г |
23 4 |
ц |
г |
|
где I - длина пластической области, измеренная вдоль оси x v Действительно, в указанном секторе отношение RJL отлично
от нуля и ограничено, поэтому замена R* на I под знаком логарифма приводит к асимптотически несущественному изменению (ограничен ному для компоненты е13), т. е. первое из асимптотических равенств (6.16) справедливо. С учетом приведенного замечания, основываясь на асимптотическом равенстве (6.16), компоненту е23 можно представить в виде
~ е* |
к |
Я* |
к 7 |
0 |
0 |
|
= -----In2------ + — In cos— + sin2— + |
|
|||||
23 |
3 4ц |
г |
ц \ |
2 |
2 |
|
|
|
|
^ 23 |
к |
R* <Эе, 3 |
|
|
|
|
dxt |
----- cos2 0 In— |
~ — - . (6.17) |
|
|
|
|
2pr |
r |
dxx |
Так как разность dt2J àx1- де231дх1 после интегрирования по х г не дает существенного вклада в значение деформации е23 по сравне нию с правой частью выражения для асимптотики этой компоненты (6.16) , то из соотношения (6.17) вытекает, что справедливо и второе из асимптотических равенств.
Приближенно можно полагать, что длина L по-прежнему опреде ляется формулами (5.11) или (5.15).
В области разгрузки (0 Х< 0 < в2) деформации претерпевают лишь ограниченное изменение [см. (4.10), (6.15)]. В области вторичной пла стичности (02 < 0 < л) компонента о23= 0. Поэтому компонента дефор мации е23 остается там без изменения. Следовательно, ее асимптотика (6.16) в этих областях (0 > 0 Х) представляется в виде
е2 3 |
к |
Ls in 0, |
к |
L |
--------In2 |
----------х 2 - |
--------In2 |
------. |
|
|
4р |
4р |
х 2 |
Таким образом, данная компонента остается бесконечной на бе регах трещины.
Компонента е 13 в области разгрузки имеет следующее асимптоти ческое представление:
к |
sin 0 . In |
Lsin 0 ! |
к |
L |
e .q -------- |
-----------г |
~ ----- |
sin 0 ,In— , |
|
13 2Ц |
1 |
2Ц |
1 г |
а в области вторичной пластичности она уменьшается при удалении от края трещины.
Поскольку в области вторичной пластичности производная ди3/дх2 остается постоянной (не зависит от л), перемещение в этой области можно представить в виде
ntg02
« 3 = « i° ( n tg 62) - s 2 e ° ° (x )c fx [!} = * ! - Щ
x2