книги / Микромеханика композиционных материалов
..pdf§ 3. СРЕДЫ СО СПЛОШНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
Пусть сплошное сферическое включение находится в изотропной неограниченной матрице, испытывающей вдали от включения равно мерное всестороннее растяжение напряжениями
сг4 = сх2 = о3 = а0, |
(6.17) |
где а»— неизвестное однородное напряжение между включениями. Включение идеально связано с матрицей, поэтому на межфазных по верхностях выполнены условия (6.16). В сферической системе коор динат (6.5), начало которой совмещено с центром сферы, смещения и напряжения во включении согласно (6.10) и (6.12) будут
«“ = - 2 В ( 1 - 2 ^ ^ ± ^ - г . „? = 0.
(6.18)
|
^ = - 6 В ( 1 - 2 ^ ) А а - | ± ^ - . « * - 0 . |
|
|
|
а 1 |
Состояние матрицы согласно (6.13) и (6.15) |
||
„г ------2 < 1 |
- 2 т ) В ' + 6 ( 1 - 2 т ) - ^ = ^ в - ^ - , |
|
«в- 0 , |
<г„ = |
- 2 5 6 - 2 4 0 ( 1 - 2 ^ 4 К п о В -^ > |
ав «=аф = |
_ 2 Ш |
+ 1 2 С ( 1 - 2 у ) - 4 ^ В ^ , <гг0 = 0. |
|
|
(6.19) |
Упругая энергия при всестороннем растяжении изотропного тела вы ражается через поверхностный интеграл (5.21). Деформируя по верхность 50 в концентрическую равновеликую сферу радиуса К, получаем
и = а,.и,я*5т 6<ОДф = 4 <0>(в). (6-20)
Средние деформации изотропной среды при всестороннем растяжении напряжениями (о)
(е]) = (е2) = (еэ) = ( е ) = 4 ^ - -
где Ко— эффективный объемный модуль композиционной среды. Ра диальные смещения следует выразить через средние деформации
ит=(ё,ёг) и, + (ё2ег) иг + |
(ё3 г) и3 = |
«= (е) Г (11х С05 0 + и г 51П 0 С05 ф + |
и3 51П 0 5Ш ф). |
101
Вычисление интеграла с использованием первого представления энер гии (6.20) приводит к формуле
о |
_ _ ( о > ____________ 3*а + |
40 |
° ~ |
6(1 — 2V) 3к к + А^0ка + |
4 (1 - О Ок ‘ |
Выражения (6.17) и (6.19) позволяют найти напряжения между включениями
пА(3*а + 40)<о>
а~ ЗЛаЛ + 4 ^ а + 4 (1 - О О к '
Модуль объемного сжатия определяем путем замены правой части
равенства (6.20) |
вторым |
представлением |
энергии и |
напряжений |
о> |
||||
в подынтегральной функции на средние значения: |
|
|
|
||||||
где |
аг = ег-ег-Т = |
(а), |
|
|
|
|
|||
Т = |
(ехех + |
~е2ё2+ |
ё3ё3) (а), |
|
|
|
|
||
далее |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<а>* |
3 ^ + |
3 ( 1 - ^ ) Л а + |
40 |
|
||
ж - = # П |
“^ з!пе^ ' р = |
2 |
|
З к к + |
Ц О к |
+ 4 ( 1 |
- 0 Ой |
• |
|
откуда эффективный модуль объемной упругости |
|
|
|
||||||
|
_ |
ЗАаЬ + 4С^а + 4 ( 1 - а С * |
|
|
(621) |
||||
|
|
3 ( 1 - ^ ) й а + |
3 ^ |
+ 4С? |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Такая формула для модуля Ко другим путем выведена в [451. Упругие свойства изотропной среды определяются двумя незави
симыми постоянными. Для определения второй постоянной упругости найдем модуль Юнга при простом растяжении композиционной среды вдоль оси Охх. В качестве допустимых решений для включения при нимаем функции (6.10) й (6.12); состояние матрицы определяем реше ниями (6.13) и (6.15), котсрые дополняем функцией, характеризую щей однородное взаимодействие включений. Удовлетворяем условиям совершенного контакта (6.16) и находим для включения
1 |
3*4-40 |
|
|
|
|
|
|
9* |
3к 4-40 <2/- + |
(7 — 5\*) о + (8 - |
10у)О |
|
^ гР г (С03 0) ’ |
|
|
|
а ’ |
1—V |
|
в Р 2 (соз 0) |
|
||
|
5 |
|
(6.22) |
||||
|
|
От |
ао |
||||
|
2 (7 — 5у) 0 + (8 — 10у) О |
|
|
|
|||
Ьа |
3*4-40 д , |
10 __ ^ |
|
°д__ |
|
п р (С05 0) |
|
Ж |
3*а440 Ц + |
(7 - 5у) О4- ( 8 - 1 И 0а |
<С° 3 |
|
|
|
_ |
|
|
5 ( 1 - у ) Са |
р |
Л Р , ( СО5 0) |
|
|
|
'0 |
(7 — 5“у) (7 4~ (8 — 10л>) 0Д **I |
|||||
ст2 = |
I |
ЗА + |
40 |
0 |
5 ( 1 - у) 0Д |
Л Г4 Р / со, б ) 1 |
||
3* |
з* 4 - |
40 |
V |
(7—5у)0 4- (8 - |
1(Ъ0 0Д * ^ 2 (С05 ^ + |
|||
е |
102
|
|
|
|
|
|
|
+ |
4Ра (соз 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ав |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
к |
|
з* + 40 |
0 |
|
|
5(1- V ) 0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
°ф |
|
ЗА |
ЗА |
+ |
4 0 ^ ^ |
(7 — 5у) С? + |
(8 — 10у) 01<3х |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2р2(созщ+ —2^д059) с^е е]; |
|
|
|
|
||||||||||
для матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" г = Ж «Г- |
1 |
*а~ * |
|
С д3 |
I |
I |
1 г |
I |
‘° |
- 8у |
у |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ЗА |
ЗАа + 40 |
4 г* ^ |
] ЗС |
^ |
120 |
Х |
|
||||||
|
5 ( 0 - 0 ) |
|
|
|
|
|
|
0 - 0 л |
|
|
|
|
|
||||||
V, _____ 01^—V |
|
|
в* |
3 |
|
|
|
|
в Ч л п / |
пх |
|||||||||
|
|
|
|
0 — |
Оа |
|
|
||||||||||||
(7 — 5у) 0 + ( 8 — |
КЬ>)0 |
га |
20 |
|
(7 — 5у) О + |
(8 — Юг) Оа |
г4 ] ^ г (С03 0;, |
||||||||||||
|
|
~ |
["Г г + |
|
|
(! — 2у) (О — С ) |
|
а3 , |
|
|
|||||||||
|
|
|
3 (7 — 5у) 0 + (8— |
10г)0а |
г* |
|
|
|
|||||||||||
|
+ |
|
|
|
° — |
|
|
а6 I |
(2 |
4Ра (со5 6) |
|
|
|||||||
|
(7 — 5у) О + |
(8 — 10у) Сл |
|
20 |
|
40 |
• |
|
(6.23) |
||||||||||
л |
1 |
40 |
|
|
^ —А |
**27^г3 +^ |
[4| 3 ~ |
5 |
|
(Ю — 2V) (О — О ) |
|
||||||||
аг = |
х3 <хг +1 ' |
ЗА |
|
ЗАв 4 ” 40 |
3 |
(7 — 5у) 0 + |
( 8 — Ю \)О й X |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 (0 — О ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
V ___ |_____________________ |
*]<ЗР2 (С08 0), |
|
|
|||||||||||||||
|
|
гЗ |
^ |
(7 «— 5у) О4- (8 — 10у) О |
|
|
|||||||||||||
|
стге |
-0 |
+ |
|
(1 + V) (С -С |
) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
(7 — 5V)0 + |
(8— |
10у) Оа |
Г3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
4 ( о - с а: |
|
|
а5*] п |
4Р2 (соз 0) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(7 — 5у) 0 + |
(8 — 10у) О |
гь ]У |
|
40 |
|
|
|
|
||||||||
в« = |
т « - |
20 |
|
А„ — А |
га |
|
+ |
|
|
|
(1 — 2у) (О — Од) |
|
|||||||
ЗА |
ЗАа + |
40 |
|
3 |
|
|
|
у |
|
|
10у)0а |
||||||||
|
|
0 |
(7 — 5 ) 0 + (8— |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9 ( 0 - 0 ) |
|
|
г»а5 |
<2Рг (соз 6) — |
|
|
||||||
|
* 7 Г + - (7 — 5у) О + (8 — 10у) Оа |
|
|
||||||||||||||||
|
Г 5 / . |
о.л |
|
а3 |
, |
в Ч |
|
|
° - ° а |
10У)0С <3 |
^ |
(; 905б) с (§ 9 , |
|||||||
|
[ 3 ^ |
|
|
г3 |
|
т\ ] |
(7 — 5V)0 + (8 — |
||||||||||||
|
|
|
20 |
Аа — А |
аз |
|
г 5 |
|
|
|
|
аз |
|
аБ |
1 |
|
|||
|
а ф - — Ж |
1Г+40™ <275' + [ т |
(5 |
|
|
8л>) 7 з |
|
3 Ж |
| х |
|
|||||||||
Х |
(7 — 5у)0 + |
|
(8— 10у)Оа |
(С08 ^ |
+ ["3 ^ |
|
Ж + |
7» |
|
||||||||||
|
|
л |
|
|
|
|
0 - О л |
|
|
4Ра (соз 0) с1§0. |
|
|
|||||||
|
|
|
(7 — 5*у) С -Н (8— |
107) Оа |
|
40 |
|
|
|
|
|
||||||||
Постоянную 0, устанавливаем на |
|
основе первого |
представления |
энер |
|||||||||||||||
гии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(агиг + |
ОгеЫе) г2зш №№ф = |
|
~ |
|
|
|
|
(6.24) |
103
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
иг = |
{е^гсоз2©; |
ие = |
— (е ^ г с о зб зт б ; |
иф = |
0. |
|||
Связь между внутренним полем и средними напряжениями |
||||||||
0 = ____________________ <^!>- |
(7— 5V) (О |
— О) |
(6.25) |
|||||
|
4№ |
к |
— к |
2С . |
|
|
||
|
1+ 3к |
Зйа + 4С |
' 3 |
(7 — 5V) О + (8 — 1(IV) Са |
||||
Модуль при |
растяжении |
Е0 среды легко определяется |
подстановкой |
в правую часть (6.24) второго представления энергии, полагая под интегралом
а г = |
(о ^ СОЗ2 0, |
Оге = |
— (С^) СОЗ 0 51П 0. |
|
(6.26) |
||
Окончательно запишем |
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
4^0 |
— к |
|
2Ь |
( 7 - М (0 - 0) |
|
|
36 |
ЗАа + 4 0 ■ +‘ |
3 |
(7 - 5у) 0 + (8 — |
10у) Од |
(6.27) |
||
|
|
к - к |
2ЪЕ |
( 4 - 5 ^ ( 0 - 0 ) |
|||
|
|
|
|||||
|
36 |
36 + 4 0 |
30 |
(7 — 5V)0^-(8— |
10^)0а |
|
Эффективные постоянные Ко и Е0 в принятом |
приближении поз |
воляют найти другие характеристики среды: |
|
V - |
( ^ ) |
3 —ЗКо |
|
Результаты вычислений полного комплекта упругих постоянных среды приведены на рис. 50, где штриховая кривая 4 определяет изменение
|
VI) с ростом |
объемного содержа |
|||||||
|
ния |
? (верхняя |
шкала), а кри |
||||||
|
вые |
1 — 3 |
подсчитаны |
соответ |
|||||
|
ственно |
для |
К о Е о ! Е , Оо/О |
||||||
|
(нижняя шкала). Расчеты про |
||||||||
|
ведены применительно к компо |
||||||||
|
зиционной среде из |
эпоксидной |
|||||||
|
матрицы |
и |
стеклянных микро |
||||||
|
сфер |
с |
характеристиками: V = |
||||||
|
= 0,382; Vа = |
0,2; |
0а/6 = 25. |
||||||
|
При |
одинаковых |
микросферах |
||||||
|
предельное |
значение объемного |
|||||||
|
содержания |
|
(см. § |
1) |
0,52 ^ |
||||
|
< С тах< 0,74. |
|
|
значений |
|||||
|
Вблизи указанных |
||||||||
|
в зависимости от упаковки зна |
||||||||
|
чения Е0, Ко существенно от |
||||||||
|
клоняются |
отточных. Для гек |
|||||||
|
сагональной |
упаковки |
область |
||||||
Рис. 50 |
применимости соотношений (6.21) |
||||||||
и (6.27) будет выше. Концент |
|||||||||
|
|||||||||
|
рация напряжений |
на |
межфаз- |
104
ной границе, как и следовало ожидать (см. гл. 1), в этом прибли жении снижается с ростом объемного содержания сфер, что указы вает на справедливость найденного решения только для малых
Для получения верхней оценки эффективных упругих постоянных в приближении однородного взаимодействия необходимо при опреде лении постоянной (? в (6.24) принять
иг = (в!) г (соз2 0 — V з т 2 0), ив = — (е^ г {1 + V) з т 0 соз 0. (6.29)
Эта подстановка приводит к следующей связи ф со средними напря жениями:
0 = |
4^0 <1- |
2^ (*„ -*) |
! |
^ |
(1 + V) (7- |
5») (о - в ) ' (6'30) |
|
3к |
ЗАа + 40 |
■*" |
3 |
(7 — 5\) О+ |
(8— 1(7у) 0 а |
Формула для модуля (6.27) принимает |
вид |
|
|
|||||
1 + |
Ц С |
(1 — 2 у ) ( а — к) |
|
2^ |
(1 + V) (7 — 5V) (Са — |
0) |
||
^ |
Зк |
|
ЗА?а Н-4О |
+ |
3 |
(7 — 5\>) <3+ |
(8— 1<Ь*) 0 а |
|
Е° = Е |
: |
1Е |
Ьа - к |
% |
|
(4 -5 ^ (0 о-С > |
• |
|
|
|
ЗЛ |
ЗЛа + 4 0 |
30 (7— 5у) 0 + (8— |
10у)0а |
|
(6.31)
Значения эффективных постоянных, полученных по этой формуле, на несколько процентов выше, чем у найденных по соотношениям (6.21) и (6.27). Область применимости (6.31) ограничена указанными выше замечаниями. Для построения следующих приближений необ ходимо воспользоваться методами из гл. 5.
Существующие в литературе приближенные формулы для модуля Юнга или сдвига [45] весьма приближенные, так как предполагается линейная зависимость эффективных модулей от параметра
§ 4. СРЕДЫ С ПОЛЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
Полые микросферы из стекла в полимерной матрице образуют легкий и малопроницаемый для жидкости материал. В постановке за дачи об осесимметричном состоянии включения с полостью в однород ной матрице вводится дополнительное краевое условие — отсутст вие напряжений в полости волокна при г = е:
о? = 0, о?е = 0. |
(6.32) |
На межфазной границе г = а выполняются условия совершенного контакта (6.16) и приложены к матрице равномерные равносторонние напряжения растяжения согласно (6.17). Решение задачи для пусто телого включения строим из комбинаций возрастающих (6.10), (6.12) и убывающих (6.13) и (6.15) функций. Смещения и напряжения во включении после удовлетворения всех краевых условий будут
= — 2(1 — 2V0)Вг — (1^-Vа)В■^-, и“ = 0 ,
105
|
о? = - 2 Б 0в ( 1 - ^ ) , |
с?е = 0. |
|
|
|
(6 .3 3 ) |
||||||||
|
|
о° = 0 ; = - 2 Е вв ( ц - - | + ) . |
|
|
|
|
||||||||
Смещения и напряжения |
в матрице |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Цг — — 2(1 — 2ч)Сг |
— ^ |
|
4( * - * с ) О а + « ? Ч (3*,+ |
40а) |
|
|
||||||||
|
(ЗАв + 4 0 ) 0 о + 3?>Ао ( 0 |
- 0 |
<1) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
«е = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.34) |
|
|
|
|
|
4 ( |
Л |
- у |
Оа + |
цЧа (Зк + АОа) |
|
|
|
|||
«г |
— 2 Е С + |
2 Е - ! |
|
|
|
|
||||||||
(ЗАа + |
4С)0о + |
3?»Аа ( С - е о) |
° |
г» |
> |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
сге = |
о<р = — 2Е С — |
В |
4 {к - |
Аа) Са + |
(3к + 4<За) |
„ |
а. |
|||||||
<Зйо + |
40) Оо + |
3?»Ав ( в — Са) |
Ь |
г5 ’ |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
о,в = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Между постоянными существует связь |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ь Г Е |
|
3к + 40 |
|
|
|
|
° - ° а 1 |
С, |
|
|
|||
|
р _2_ _а |
а 1 |
4 - б ? 3 (1 + \ а) |
|
|
|||||||||
|
° Е [ ка Зк + 40 |
|
|
|
|
3 6 + 4 0 ] |
|
|
|
|
||||
где <7= |
е/а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оставшуюся неизвестной постоянную С определяем через первое представление упругой энергии (6.20)
<сг> к |
|
Оа(3ка+ 40) + |
(О - |
Оа) |
|
2В |
Са [ЗАЛа+ 4^0Аа+ 4 (1 - С) Ок] - |
<7а*о 14^ а 0 + 3«?а - |
3(1 - О кО]’ |
||
Однородные напряжения |
в структуре связаны со средними |
||||
|
Оа (3йо + 40) + 3 ^ а ( 0 - 0 в) |
|
|
||
{ } Оа [3кка + 4^0Ла + |
4 (1 -5 ) Ок\ - ЯЧа [4500д + |
3кОа - |
3 (I -+)А0] * |
Эффективный модуль объемной упругости среды с полыми сферичес
кими включениями |
К0 находим через |
второе представление энергии |
||||||||
- |
_ 12к к 1(1 - |
<73) Оа + |
(1 - О дЮ] + 160а0 [ 5 ( 1 - Я3) ка + |
(1 - |
5) *] |
|||||
Д о |
%Я*как + |
12дЮка + 1250аЛ + |
12 (1 - |
5) (I - |
Я•) Ов*в + |
1б0о° |
‘ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.35) |
Рассмотрим предельные |
случаи. |
Если |
<7= |
0 |
и полости |
во вклю |
||||
чении |
нет, получаем зависимость (6.21). |
Если |
7 = 1, включение вы |
|||||||
рождается в полость и К0= 4 |
• Этот же результат полу |
|||||||||
чается |
при ка = 0, |
Са = 0. |
Для абсолютно жестких включений |
0а = |
||||||
= оо, |
ка = оо имеемКо= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Результаты расчетов /<"„ для стеклопластика, рассмотренного вы ше, с ростом объемного содержания полых сфер при различных д
106
представлены на рис. 51, а. Кривые 1 — 5 иллюстрируют изменение для соответствующих коэффициентов капиллярности ^ : 1; 0,9; 0,7;
0,5; |
0. Практический интерес представляет интервал = 0,4 н- 0,5 |
для |
Т, <С 0,5, где полученные формулы имеют меньшую погрешность. |
Подобным способом, привлекая решение § 2 и метод последователь ной регуляризации, находим эффективный модуль объемной упру гости среды со сферическими включениями, внутренняя полость кото
рых (сердцевина) |
заполнена средой |
с упругими |
характеристиками |
|||||
ко, С0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3*0 + |
4Са) [3к к + |
40 & а 4-40 (1 — |
О *] — |
4?» (*0 - |
к) [3*Од - |
|||
|
|
|
— 3 (1 — |
I) ЛО 4- 4^00с] |
|
|
|
|
К » = (ЗА + |
4 0 ) [ й « |
(3 * 0 + |
40 а ) + |
5 ( 1 - 9а) (ЗА0 + |
4 0 ,) ] |
+ |
(1 - О X ' < 6 ,3 б ) |
X [12«3(Аа -А 0) (О — 0о) +(ЗАа+40) (ЗА0 + 4Оа)]
Из (6.36) в случае к0= О, О0 = О приходим к соотношению (6.35). Вторую интегральную характеристику среды определяем при простом растяжении. Допустимые решения выбираем по формулам (6.10), (6.12) и (6.13), (6.15). Функции смещений и напряжений для
включения строим в виде
«? = |
— А Л [2 (1 — 2у„) г + (1 + V.) |
+ |
]^\ЪаАг3+ 2Вг + |
||
|
+ (10 - |
8*) С -2 — |
тг- В] Р, (соз 0), |
||
и%= |
[ ( 7 - 4ч.) А* + |
Вг + ( 2 - |
4Vа) |
+ |
• |
о‘,а = _ |
40а(1 + г0) А<Э+ 40а (1 + |
ча) АД |
|
+ 20а' - 6уаЛ^ + |
107
|
|
|
+ 2В - |
2 (10 - |
2 ^ |
-^-С + -^-‘ с [ Рг (соз 0), |
(6.37) |
|||||||||||
°?в = |
2 0 ‘ [<7 + |
2уа) А г* + |
В + |
(2 + 2га) - ^ С |
- - ^ Р ] . ^ |
с°*е) , |
||||||||||||
°% = - |
4С . (1 + |
V .) Д < ? - |
20а (1 + V .) А Д ^ |
+ |
20 . [ - |
(14 + |
2г.) X |
|||||||||||
X ЗАг2—4В +2— (1 + |
2»„) |
|
С - |
|
2>] Р2 (соз 6) - |
20 . | (7 - |
4Vа) х |
|||||||||||
|
X Аг2 + В + (2 - 4 ^) ^ - С + |
|
В ] ^ Г |
с^ 6’ |
|
|||||||||||||
о; = - |
40. (1 + V,,) А Д - 2 0 . (1 + |
V.) Л0<2-^- + |
20 . [ - |
ЗОг.Лг* + |
||||||||||||||
+ 2В + 2 (5 - |
1Ог.) ^ |
|
С - |
|
О) Рх(соз 0) + |
2 0 . [(7 - 4V .) Лг2 + |
||||||||||||
|
|
+ |
В + (2 |
|
4у.) |
С + |
|
о | |
|
|
|
с(§0. |
|
|||||
Смещения и напряжения в матрице |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
И, = |
ж |
<* ~ Т Г е |
7Г - |
[2 (! - |
2г.) + |
(1 + |
V.) <73] Л0<? |
+ |
||||||||||
|
|
+ |
| ж |
<г + |
|
( Ю |
|
~ 8 « ) - ^ * - 3 ^ - < Р ] - ^ ^ , |
(6.38) |
|||||||||
|
|
|
|
— \1 В . |
. |
|
2 ~ 4у |
езе |
I |
_5?_ с', |
4Ра (С05 9) |
|
|
|||||
|
|
|
“в — [60 |
+ |
|
|
л2 |
е ® + г 1 ^ | |
|
|
|
|
|
|||||
^ = -3- + Ж <г75- + |
4 0 [2 (1 - |
2'’«) + |
(1 + |
' ’« ^ 3] Л^ - ^ |
+ |
|||||||||||||
|
+ |
20 |
0 - |
|
(20 - |
*>) |
|
2 + 2 2 - |
Р, (соз 0), |
|
||||||||
|
с,е = |
20 [ - ^ - <3 + |
(2 + 2у) |
|
|
|
5] |
аР* |
9) , |
|
||||||||
ае = |
Т |
(2 |
- ! г <Э 7 Г - 2С[2<1- |
2г.) + |
(1 + |
V .) 9»] А Д |
- |
|||||||||||
|
- |
20 |
<2 + |
(2 - |
4у)4 |
8 + |
|
Т2] Р2 (соз 0) - |
|
|||||||||
|
|
|
- |
20 |
|
|
|
|
е3§ + |
^ |
Р |
) |
^ |
— 1 с4б е, |
|
|
||
с , — |
|
^ |
4 - 2 |
|
0 |
1 2 ( 1 - 2з>.) + |
(1 + |
V.)?3] Л00-^- + |
||||||||||
+ 20[ 10 — 20у еэ(е_ |
|
|
/г| р 2 (с03 0) + |
20 |
|
е3Ц+ |
*) X |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й Р 2 (соз 0) с!&0. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
йд |
|
|
|
|
|
|
|
|
108
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л®- “ ( 4 + |
1у) (Т+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
\ ) |
[(1 - |
д3) Са + дЮ ) |
+ 2 (1 - 2уд) О • |
|
|||||||||||||
С = |
25 |
(8 - |
|
|
|
|
|
|
( 1 - у)3 |
5Vо + |
(8- |
10Уа) <р] С * |
||||||
4 |
Юу) (7 — 5у) (1 — д3) (?д + (7- |
5V) [7- |
||||||||||||||||
|
5<2 |
|
|
(7 - 5Уа) [0 - |
(1 - |
д3) Оа] + (8 - |
10уд) |
|
|
|
||||||||
|
12 09» (8— Юу) (7 — 5ул) (1 — |
<?*) Ос + |
(7 - 5у) (7— 5уд + (8— |
10уд) д^О ; |
||||||||||||||
А = |
12С |
|
|
|
|
(1-<73) ( С - С ) |
|
5Уа) д* (Оа - |
б) |
’ |
||||||||
|
|
а® |
(28 - 40Уа) (Са - |
О) - |
35 (1 - |
Уа) + (7 + |
||||||||||||
|
|
|
п |
- |
7+ 5л,« |
А*1 | |
!2 с °2 |
• |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
^ |
|
1П |
П |
оЬ |
1Г |
Щ ^ р5 |
’ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
5 = |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
10 |
° |
0 —0 ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По установленным |
выше правилам |
находим связь |
между <2 и сред |
|||||||||||||||
ними |
напряжениями |
|
|
|
|
|
(<*!> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
< 3 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.39) |
||||
где |
|
|
|
|
|
1+ |
96 |
|
|
3 ^ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
, |
(46 + |
36) [2 (1 - |
2у ) + (1 + |
Уа) ?3] |
|
|
|
||||||||
|
|
1 = 1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4 (1 |
4" уд) [(1 — |
<73) (?а + |
<73С] +2(1 — 2уо)0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
(7 - 5у) (7- |
5уя) [0 - |
(1 - |
д3) 0 1+ |
(7 - |
5у) (8 - |
Юу |
) д30 |
|
||||||||
Р =: -(8_ |
Юу) (7 - 5Уа) (1 - |
д3) 0 а + (7 - 5 у) (7-5Уа + (8 - 10ус) д3] 0 |
* |
|||||||||||||||
Модуль Юнга среды будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.40) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
р _ р |
|
96 + |
4 ^ |
— 6^6(7 — 5у) Я |
|
|
|
(6.41) |
|||||||
|
|
|
^ |
96 — |
|
|
12СА (1 + у) (4 — 5у) Я |
* |
|
|||||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(7- |
5уо) [О— |
(1 — дэ) Оа] + (8- |
10Уа) дЮ |
|
|
|
||||||||||
# |
= «(8- |
|
|
|
|
|||||||||||||
Юу) (7 - |
5уа) (1 - |
д3) Оа + |
(7 - |
5у) [7- 5уа+ (8- |
10ул) д3] О ' |
|||||||||||||
Остальные обозначения в (6.41) приведены выше. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
В предельном случае ц = |
0 от формулы (6.41) приходим к равенст |
ву (6.27). Если учтем поперечные эффекты в соответствии с предло жением (6.29), то получим значение эффективного модуля с превы шением на несколько процентов:
п- |
С.96 + 4& (1 - 2у) 0 1 - 6^6 (I + V) (7 - 5у) Я |
(6.42) |
|||
0 |
9 6 - ^ / . + 12^6(1 + |
у) ( 7 - 5 |
у)Я |
||
|
109
Характер зависимости упругих Ч> постоянных от объемного содер жания I для композиционной
05среды с полыми сферическими включениями иллюстрирует рис.
0Л |
51, |
б, |
где |
0аЮ = |
25; |
уа= |
0,2; |
|||
V = |
0,382. Кривые |
1 — 3 |
опре |
|||||||
|
деляют изменение Со!О, где О0— |
|||||||||
|
эффективный модуль сдвига рас- |
|||||||||
|
сматриваемой |
среды для |
ц, |
рав |
||||||
0.2 |
ного |
0; |
0,5; |
0,9; |
кривые |
Г — |
||||
3'~: Ео1Е для тех же ц. |
моду |
|||||||||
|
Изменение |
объемного |
||||||||
0,1 |
ля |
К Л |
с |
ростом |
I |
(нижняя |
||||
шкала) |
и |
коэффициента |
|
Пу |
||||||
|
ассона V0 (верхняя шкала; кри |
|||||||||
|
вая 4) показано на рис. 52. |
|||||||||
|
Кривые |
1 — 3 соответствуют |
||||||||
|
равному 0; 0,5; 0,9. |
|
эффектив |
|||||||
|
|
Вид |
зависимости |
|||||||
|
ных модулей от объема заполне |
ния для сред со сферическими сплошными и полыми включениями имеет в первом приближении монотонный характер.
Как видно, с помощью рассматриваемого метода удается доста точно просто решить задачу об определении интегральных пара метров композиционных сред с различными видами включений в первом приближении. Последующие приближения, учитывающие взаи мовлияние смежных включений для конкретной микроструктуры сре ды, требуют введения решений, удовлетворяющих условиям цикли ческой симметрии. Такие решения векторного уравнения Ляме относи тельно упругих смещений строятся двумя путями — введением раз решающих функций, например Папковича — Нейбера [50, 58], Галеркина и др. [59], либо путем построения собственных вектор-функ ций [52, 721