книги / Микромеханика композиционных материалов
..pdfТ а б л и ц а !
Материал |
р.кгс/см1 |
а6.|0*. |
Я-10*. кгс/см1 |
КГС/см* |
|||
Стекло |
|
|
|
алюмоборосиликат- |
|
|
|
ное |
0,0025 |
350 |
7.4-Ю3 |
высокомодульное |
0,0025 |
500 |
9,5-103 |
высокомодульный |
0,0020 |
250 |
(35-7-38) •10я |
высокопрочный |
0,0018 |
250— 350 |
Е 1=1,4.Юэ |
Бор |
0,0026 |
250— 310 |
(204-25)-103 |
(404-45)-103 |
|||
Сталь (проволока) |
0,0027 |
250 |
40-103 |
0,0078 |
420 |
21•103 |
|
Бериллий |
0,0040 |
250 |
(254-45). 103 |
Органические |
|
|
|
волокна |
0,0019 |
140— 180 |
25•103 |
Гидратцеллюлозные |
0,0016 |
85-150 |
2,5-103 |
Полиэфирные (лавсан) |
0,0014 |
80— 100 |
(2,04-2,5).103 |
Арамидные |
0,0014 |
200-400 |
(10,04-15). 103 |
Полнвинилстирольные |
0.0013 |
120-280 |
(34-7). 103 |
Полиимидные |
0,00135 |
80— 200 |
(4,54-20)-103 |
0,21
со о II
у±=0, 15 0,07— 0,11
0,3
Диаметр,
мкм
7
7
7
7
50-200 100— 150 50— 100 250
100— 250
|
|
|
Табл[ и ца 2 |
|
Материал матрицы |
р кгс/см’ |
<г^10*, кгс/см* Я*10*. кгс/см* |
|
|
Эпоксидно-малеиновая |
0,0010 |
7,5 |
0,315 |
0,382 |
Зпоксидно-фенольно-бутиралевая |
0,0010 |
4,0 |
0,35 |
0,4 |
Эпоксианилино-фурфурольная |
0,0010 |
12,0 |
0,51 |
0,4 |
Сложная полиэфирная |
0,0011 |
4,1 |
0,38 |
0,3 |
Алюминий |
0,0027 |
7,0 |
7.20 |
|
Медь |
0,0087 |
25,0 |
12,50 |
|
Поликарбонат |
0,0012 |
6,7 |
0,23 |
|
Полистирол |
0,00105 |
4,6 |
0,28 |
|
Нейлон |
0,0011 |
7,0 |
0,28 |
|
Хлорвинил |
0,0014 |
6,0 |
0,30 |
|
Метакрилат |
0,0014 |
7,2 |
0,28 |
|
ваются асимптотические решения, близкие к длинноволновым возму щениям.
Для предварительных расчетов и оценок эффективных упругих постоянных армированных материалов в табл. 1 и 2 приводятся при ближенные данные для наиболее распространенных компонентов [3, 11, 32, 42, 77].
Г Л А В А 1
МАТЕРИАЛЫ С ОДНОРОДНЫМИ ВОЛОКНАМИ
В данной главе рассмотрены модели, ограничения и методы ме ханики упругих тел, необходимые для получения количественных оценок эффективных упругих постоянных и внутреннего поля на пряжений в волокнистых материалах с однородными изотропными волокнами. Классическим примером таких материалов являются стек лопластики при кратковременном нагружении или в условиях низ кой темпер атуры,ткогда не проявляются неупругие свойства матрицы.
Детальное исследование упругого состояния в задаче о продоль ном сдвиге материала необходимо для получения в явном виде связи эффективных упругих постоянных композиционной среды с упаков кой волокон в ее структуре, а также выявления сущности предлага емого метода усреднения и учета взаимодействия многих тел, избе жав при этом громоздких выкладок, возникающих в других состоя ниях.
§ 1. СТРУКТУРА II ПРОСТЕЙШИЕ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНО-АРМИРОВАННОЙ СРЕДЫ
Основу волокнистых материалов составляет прядь более, или ме нее выпрямленных волокон. По технологическим причинам пряди предварительно закручиваются на некоторый угол вокруг продоль ной оси и объединяются в нити, содержащие несколько тысяч волокон. Нити в свою очередь являются основой для создания ровниц, лент или тканей с двумерными или пространственными схемами переплете ния. Технологии, в которых волокна не подвергаются ткацкой обра ботке, менее распространены1.
Важно отметить, что ткацкая переработка вследствие появления локальных напряжений при изгибе и кручении волокон ведет к не избежному снижению эффективности в использовании прочности и жесткости волокон в изделиях. Основным конструктивно-технологи ческим элементом любой структуры волокнистых композиционных ма териалов является прядь волокон, связанных между собой в монолит ное тело с помощью матрицы из полимеров, металлов, керамики. Поэтому исследование эффективных характеристик и внутреннего по-
1 Примером такого материала являются стеклопластики СВАМ, предложенные А. К. Буровым и Г. Д. Андриевской.
12
соотношения упругости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
61 |
|
1 |
|
р |
(СТ12 |
^13); |
712 — ^12* |
|
|
|||
|
|
|
р |
|
|
|
||||||||
|
|
гг = |
Ё' |
|
~Ё |
У |
„ . |
713 = |
^18! |
|
(1.2) |
|||
|
|
|
Е |
а 23> |
|
|||||||||
|
|
ез — |
р |
(^1 “Ь ^г) "Ь |
1 |
|
7гз = |
^°23* |
|
|
||||
|
|
р ^зз» |
|
|
||||||||||
Здесь Е и О— модули |
Юнга и сдвига; V — коэффициент |
Пуассона; |
||||||||||||
|
|
|
|
дх1 |
* |
|
ди2 |
|
|
ди3 |
|
(1.3) |
||
|
|
|
|
|
дх2 |
|
|
дхя |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
_ |
дну |
+ |
ди« |
’ |
V |
- |
ЛШ- + ЛИз. ■ |
|
ди2 |
|
диа |
|||
7,2 _ |
дхг |
Эл.', |
713 _ |
Эд'з |
1 |
Эх, |
’ |
7гз — дха |
|
дх2 |
||||
ик (к = |
1,2,3) — компоненты |
вектора |
упругих смещений, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
и = |
е&х + е2и2-г е3и3, |
|
|
|
(1.4) |
||||
ек (к = |
1,2,3) |
— единичные |
орты |
декартовой |
системы |
координат. |
||||||||
Тензор напряжений, согласно диадному представлению [47], будет |
||||||||||||||
Т = |
|
+ \ ё 2о2 + |
е&°а + (*А + |
*А) а1? + |
0 % + ^ " 1) |
+ |
||||||||
|
|
|
|
|
+ |
(е2е3 + |
е9е2) сг23. |
|
|
|
|
(1.5) |
||
Обозначим |
через |
$ тп |
(т, п = 0, ± |
1, ± 2,...) |
цилиндрическую по |
|||||||||
верхность т , я-го волокна. Если между каждым |
волокном |
и |
матри |
|||||||||||
цей существует |
совершенный контакт, то |
на 5тл выполняются усло |
||||||||||||
вия непрерывности поля смещений и напряжений |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
йа = |
й; |
п-Та = п-Т, |
|
|
|
(1.6) |
где п — вектор нормали к 5 ШП; в дальнейшем величины, относящие ся к волокну, отмечаются индексом а, к матрице — без индекса. Уравнения, справедливые для обоих компонентов, не отмечаются индексами.
В идеализированных линейно-армированных материалах структу ра определена взаимным расположением волокон, что оказывает вли яние на характер взаимодействия компонентов в поле напряжений и объемное содержание связующего и заполнителя. В реальных струк турах, например стеклопластиков, наблюдаются разброс диаметров волокон и хаотичное расположение их центров. Распределение рас стояний между смежными волокнами в стеклопластиках, изготовлен ных с помощью метода непрерывной протяжки, представлено на рис. 2 в виде ступенчатой гистограммы. Эти данные получены путем обработ ки около 2000 замеров расстояний под микроскопом [11]. По оси ор динат отложены плотность вероятности Р (х), а по оси абсцисс — рас стояния между волокнами х. Вблизи оси ординат результаты не дос товерны из-за недостаточной разрешающей способности микроскопа.
14
Наибольшее число замеров, как это следует из поведения гистограм мы, приходится на область в пределах до одного микрона, поэтому подавляющее количество волокон равноудалено друг от друга. От метим, что такая равноудаленность волокон является одним из важ нейших факторов для построения моделей структуры. В плоскости взаимное размещение центров волокон определяется двухмерной функцией распределения, поэтому другим таким фактором будет рас пределение углов между тремя смежными волокнами. Ступенчатая гистограмма на рис. 3 получена по результатам предыдущего опыта. По оси абсцисс отложены значения углов % между центрами трех смежных волокон, а по оси ординат — плотность вероятности. Наи большее число замеров падает на область %= 2л/6, соответствующую равным расстояниям между волокнами гексагональной структуры простейшего вида. Существенное число конфигураций, как видно из гистограммы, наблюдается также при %= 2л/7 и %= 2я/8. Отметим, что число конфигураций с % = 2л/4, соответствующей тетрагональ ной упаковке, весьма незначительно.
Рассмотрим геометрию простейших регулярных упаковок, когда элементарный объем содержит только одно волокно. Элементарная
площадка в |
поперечном |
сечении среды |
ограничена векторами ©! и |
со2 = щЬе‘а, |
где Ь > 0, |
0 < а < л/2. |
Такие модели структуры |
обладают свойствами трансляционной симметрии, согласно которой при
15
*3
э - |
« Г |
{ |
> |
X |
Г. \ |
■ |
У ч |
У |
К у |
о-Л |
|
> |
« > |
■€> |
*
о■€V* /ф|
г|л |
с |
ф |
Nу н Ф ** |
■ ф |
■? |
Рис. 8 |
Рис. 9 |
1. Структура, образованная косоугольной решеткой, при Ь ф 1 уГо, Ф л/2, называется моноклинной (рис. 4). Она обладает наимень шим числом плоскостей симметрии и порождает наибольшее среди рассматриваемых упаковок число независимых упругих постоянных для армированных сред, т. е. общий случай анизотропии.
2. Случай Ь Ф 1 и а = л/2 соответствует орторомбической струк туре (рис. 5). Другая, эквивалентная рассматриваемой по числу упругих постоянных упаковка получается при Ь = 1 и а Ф я/2, а ф л/3. Она называется центрированной орторомбической, и вмес
то |
и (о2 можно выбрать новые взаимно перпендикулярные базис |
|
ные |
векторы |
и <о2> равные геометрической сумме и разности |
и со2 (рис. 6). Введенные структуры соответствуют среде с ортотропной анизотропией.
3. |
Тетрагональная, или |
квадратная, упаковка получается |
при |
Ь = 1 |
и а = п!% В этом |
случае взаимно перпендикулярные |
глав |
ные направления в среде эквивалентны, и получается частный слу чай тела с ортотропной анизотропией (рис. 7).
4. |
Наивысшей |
симметрией обладает |
гексагональная структура при |
Ъ = |
1 и а = л/3 |
(рис. 8). Эта упаковка |
соответствует среде с транс |
версально-изотропной анизотропией с наименьшим числом сущест венно независимых упругих постоянных.
Определим предельное объемное содержание волокон в приведен ном элементе для двух последних структур. Относительное объемное
содержание волокон с радиусом |
а будет |
|
Ъ — |
9, |
* |
|
5111 ОЬ |
|
где Р = (0*651п а — площадь параллелограмма.
Наиболее плотная упаковка в волокнистой среде простой струк туры достигается при касании волокон сторон ячейки, когда Ь = 1 и 2а = ©!*,
откуда для гексагональной (ос = 2л/6) |
и |
тетрагональной (а = |
2л/4) |
структур следует |
|
|
|
- 0.92 и |
^ |
= -5- « 0.78. |
(1.7) |
т. е. в гексагональной структуре, можно поместить волокон на |
15 % |
больше, чем при тетрагональной упаковке. Отметим, что при равном ^ расстояния между волокнами в тетрагональной структуре почти на 10 % меньше, чем при гексагональной упаковке. Поэтому взаимо действие между волокнами при тетрагональной структуре будет наи большим по сравнению с другими упаковками армированной среды при фиксированном объемном содержании заполнителя.
В сложных структурах каждый приведенный элемент содержит несколько волокон различных или одинаковых диаметров (рис. 9). Взаимному расположению волокон в такой ячейке может соответст вовать определенная группа симметрии.
17
§ 2. ПРОДОЛЬНЫЙ с д в и г
Объем среды, удаленный от граничной поверхности или торцов волокон так, что возмущение в напряженном состоянии от них затух нет, будет находиться в двухмерном (плоском) напряженно-деформиро ванном состоянии. В этом случае принятое разделение состояний (см. рис. 1) будет строгим в пределах допущений, согласно которым на границах приведенного элемента могут быть заданы только осредненные компоненты тензора напряжений.
Рассмотрим случай, когда объем находится в состоянии чистого сдвига в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих параллельно волокнам, при действии касательных напряжений <т1а и ст13. Остальные напряжения положим равными нулю. Три уравнения равновесия (1.1) в любой точке матрицы или волокна сводятся к ра венствам
|
|
|
^ |
Г |
+ ^ Г |
= °> |
|
|
|
(18> |
|||
|
|
|
дхг |
= |
о , |
|
дхх |
= 0. |
|
|
|
|
|
Из |
трех компонентов |
вектора |
перемещения |
среды останется щ. |
|||||||||
Углы |
сдвига, согласно |
закону |
Гука (1.2), |
будут |
функциями |
только |
|||||||
|
|
У12 = 2еи = |
- § - . |
7« = 2 .„ = |
-§Ь- |
|
(1-9) |
||||||
Выражая напряжения а12 и а13 через смещение |
и1 с |
учетом |
формул |
||||||||||
(1.2) |
и |
(1.9), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д2111 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В новых |
переменных, |
вводимых согласно преобразованиям |
|
||||||||||
|
|
2 = Хг + |
«*3; |
|
2 = |
Х2 — 1ХЯ (I - |
У |
~ |
.), |
|
|||
при учете зависимости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
— __ |__ $!!- = |
4 — |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
дх% |
|
дх% |
|
дгдг |
|
|
|
|
||
решением уравнения Лапласа |
будет функция |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
п = |
ф(г) + |
ф(2), |
|
|
|
|
|
||
где чертой сверху обозначена сопряженная функция |
и принято и =■ |
= иг. Касательные напряжения определяются через введенную функ цию согласно формуле
= 0 Щ — 1 шт) = 20<»' <2>- |
<110> |
Здесь и везде в дальнейшем знаком «штрих» отмечается производная по аргументу; напряжения на наклонной площадке, нормаль к кото
18
рой образует угол # с осью х2> выражается |
через функцию <р (г) сог |
|
ласно формуле |
|
|
= «12С051? + аа 31П1> = —Ю |
[ф(г) — ф(2)], |
(1.11> |
где (Ийв — производная по дуге 5, перпендикулярной к введенной нормали. При дифференцировании г используется равенство
Формулы (1.8) — (1.11) относятся к обоим компонентам волок нистой среды, поэтому индексы опущены.
В условиях совершенного контакта (1.6), выражая смещения и напряжения через функцию ср (г), получаем бесконечную систему функциональных уравнений
Фа (*) + Фа О) = ф (Т) + ф(г) (Т 65гап).
Ос [Фа (т) — ф„ <т)] = О [ф (т) — ф1т)1.
Уравнения записаны в локальной системе цилиндрических координат
с центром на оси каждого волокна, |
поэтому |
|
|
г — т = |
ае1®, |
где а — радиус волокна. |
Найденную систему уравнений сводим к. |
|
одному функциональному |
соотношению |
|
(1 + 0а/0) срЛ(тг) + |
(1 — 0а/0) сра (т) = 2Ф(т) (тб5топ). (1.12)' |
Для замыкания системы уравнений необходимо задать средние на! - ряжения (о12>, <<т13) или средние углы сдвига <у12>, (?1з)-
Если расположение волокон произвольно, то решение задачи сводится к бесконечной системе уравнений, зависящих не только от упругих постоянных компонентов, но и от параметров структуры. С помощью ЭВМ можно получить численные данные для более простых конфигураций волокон. Однако наибольшую ценность представляют результаты в виде замкнутых аналитических выражений.
При двоякопериодическом размещении волокон возможны даль нейшие упрощения задачи, так как смежные объемы находятся в экви валентном напряженно-деформированном состоянии. Последнее тре бование сводится к условию двоякой периодичности напряжений в
матрице с периодами структуры он и оо2 = оо^1®, т. е. |
|
|
(°12 — КПз) \г = К з |
1(т1з) I*+©/ (/ — 1» 2). |
(1-13) |
Поставленная задача впервые была решена с помощью эллиптичес ких функций 111]. В дальнейшем она рассматривалась различными ме тодами [37,,.701.
Ниже предлагается новое решение, полученное на основе мето дов усреднения и учета взаимодействия многих тел [14, 21]. Из фор
мул (1.13) вытекает |
|
Аи — и (г + ©у) — и (г) = соп$1 (/ = 1,2). |
(1.14) |
19
Составим удельную упругую энергию приведенного элемента среды. Используя формулу Стокса для преобразования интеграла и условия (1.8), получаем
I/ = |
|
(а12Т12 + |
|
|
= |
"гТ” ф и (а сА з — <Т13^2)' (1-15) |
||||||||||
где Ь — контур |
параллелограмма периодов, |
образованного |
векторами |
|||||||||||||
со4 |
и со2 = ©4е1<х. |
Разбивая путь Ь по |
сторонам параллелограмма, |
по |
||||||||||||
лучаем |
|
|
|
2+0» |
2+0»+0, |
2+0* |
|
? |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 - |
1 + |
1 |
+ |
|
1 |
+ 1 |
|
|
|
<1Л6> |
||
|
|
|
|
Ь |
2 |
2+0» |
|
2+01+0* |
2+0, |
|
|
|
|
|
||
Среднее смещение при сдвиге (и) находим с |
учетом |
условия |
(1.13) и |
|||||||||||||
(1.14): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(«> = |
(т12)-«2+ |
(?13>-«3= <Т12> |
|
|
— 1^ з) |
г ~ ^г- |
■ |
(1-17) |
|||||||
|
Учитывая |
условия |
(1.13), |
(1.16) |
и |
(1.17), |
энергию |
представляем |
||||||||
в |
виде |
|
2+0 , |
|
|
|
|
|
|
|
2+0 » |
|
|
|
||
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
« = - $ - < У |
12> |
|
у12)С05а |
+ (у13>ы па) |
|
|
|
(1. 18) |
||||||||
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
Здесь и (г + |
о>,) — и (г) = (и (г + е>})) — (и (г)). |
|
|
|
|
что |
по |
|||||||||
|
Рассматривая равновесие элементарного объема и считая, |
|||||||||||||||
его |
граням приложены |
средние касательные |
напряжения |
(<т12) |
и <сг13>, |
|||||||||||
находим |
|
2+0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\= | <о21((сг12) 51П а — <о,з>соз а),
2+ 0»
= — со, <а1Э>.
2
Поэтому энергию, согласно теореме об эквивалентных состояниях [21], представим в виде
V = |
(Т12Т12+ ^1зТ13) йХъАХз = - у (а1г)^12) + 4 " ^«з><Ти>- (1- 19) |
Это соотношение назовем первым представлением упругой энергии. Учитывая плоскость симметрии для всей среды х±= сопз1, получаем линейные уравнения связи напряжений и деформаций для моноклин ной структуры (см. рис. 4):
<7,2) = ^ < а 12} + -Ь М стц),
( 1.20)
<Т1з) = ^ - ( ^ ) + ^ Г (а1з)
20