книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

Рис. 4.10. Анализ процесса с корреляционной функцией:

К <т) = ехр (—100т*)

О	20	40 Ш,С~7 О	0,1	0,2 т,с
Ф		5)		Ф

~0,5 О 0,5

1,5.

2,5 6

г)

е)

ж)

Рис. 4.11. Анализ процесса с корреляционной функцией:

К (т }! «= ехр (—100т!) cos 30т

б A. Si Гусев

161

Рис. 4.12. Анализ процесса с корреляционной функцией;

К (Т) = е х р ( — 100та) соз 100т

мулам (4.121) и (4.122), плотности распределения амплитуд (по­ ловин размахов) — по формулам (4.118).

Проведенный анализ случайных процессов показывает, что решение ряда важных задач можно получить достаточно точно без привлечения специальной вычислительной техники. Эти при­ ближенные решения получают для использования их в расчетах прочностной надежности и усталостной долговечности, где тео­ рия разрушения в настоящее время еще далека от своего полного завершения. Отсюда следует, что приближенные решения задач анализа случайных процессов вполне технически реализуемы, а их точность адекватна точности теории разрушения, где они используются. Проведенный анализ позволяет также сделать следующие выводы: а) с увеличением сложности структуры про­ цессов уменьшается статистическая зависимость между соседними экстремумами, что значительно облегчает их приближенный совместный анализ и, в частности, упрощает получение оценок для распределения приращений процессов между двумя их со­ седними экстремумами; б) значение абсолютного максимума су­ щественно зависит от длительности реализации случайного про­ цесса. Поэтому возможность получения для него теоретической оценки, соответствующей ожидаемой долговечности конструкции (измеряемой обычно несколькими тысячами часов) при исходных данных о реализации процесса, полученных во время эксперимента

162

(длительность его не превышает нескольких минут), является одним из наиболее важных результатов теории случайных про­ цессов, который может быть непосредственно использован для оценки прочностной надежности конструкций.

Рассмотренные случайные процессы являются примерами про­ цессов, имеющих относительно несложную структуру. Отношение

числа экстремумов к числу нулей для них не превышает Однако реальные процессы могут иметь и более сложную струк­ туру. Для математического описания таких процессов удобно воспользоваться моделированием их в виде суммы двух, трех и т. д. случайных процессов, каждый из которых имеет относительно несложную структуру.

6*

Г л а в а 5

Основы расчета надежности и усталостной долговечности механических систем при случайных воздействиях

29. Общие положения и постановка задач расчета

Расчет механических систем и элементов конструкций на прочность заключается в сопоставлении их потенциальных проч­ ностных возможностей с теми требованиями по прочности, которые предъявляют к ним при эксплуатации. Прочностные возможности элементов конструкций характеризуются такими понятиями, как разрушающая нагрузка, разрушающее число циклов нагружения и т. п. Суждение о прочностных характеристиках натурных элементов строится обычно по результатам изучения механиче­ ских характеристик материалов, из которых эти элементы выпол­ нены. Затем учитываются особенности технологии их изготовле­ ния, геометрические размеры и условия эксплуатации.

Различают статические, динамические и усталостные харак­ теристики материалов. Первые из них определяются диаграммами растяжения и устойчивости. Вторые — поверхностями и кри­ выми усталости. Под кривыми усталости понимают графики за­ висимостей числа циклов до разрушения N от амплитуды дей­ ствующих напряжений а (рис. 5.1, а). Характерной особенностью этих кривых является наличие асимптоты при N -> с». Соответ­ ствующее ей напряжение при симметричных циклах нагружения называется пределом выносливости и обозначается a_t. При рас­ четах часто используют условный предел выносливости, пред­ ставляющий собой напряжение, при котором образец материала (или натурный элемент конструкции) выдержит заданное число циклов нагружения N 0. Обычно ЛГ0 = (2 ... 10) 10е циклов.

Кривую усталости можно аппроксимировать различными спо­ собами. Наиболее часто для нее используют следующее уравнение:

\o mN = <J 4 \N Q при сг » o_i;	|
[N — оо при о <Ссг_ъ	^ ' '
где т — константа материала.

В логарифмической системе координат lg а — lg N (рис. 5.1, б) кривая усталости переходит в прямую, наклоненную к оси lg N под углом а, определяемым из уравнения

ctg а = т = (lg N 0 — lg N )/(lg cr — lg o_t).

164

Рис. 5.1. Кривые усталости

При аппроксимации кривой усталости уравнением (5.1) по­ лучаем кривую, имеющую точку перегиба при а — а_х и, строго говоря, не имеющую асимптоты, характерной для опытных дан­ ных. Эта особенность устраняется, если вместо уравнения (5.1) использовать для кривой усталости следующее выражение:

(tf — 0Li)m N = (ст* — G_i)m N* при а » о_г;		(5.2)
N = оо при а <	о_1?
где о+ — некоторое амплитудное напряжение,	соответствующее числу	циклов
до разрушения N*.

В логарифмической системе координат lg (а — а_х) — lg N кривая усталости (5.2) также переходит в прямую, наклоненную

коси N на угол а, определяемый из уравнения

ctg сс = т = (lg ЛГ* — lg N)![\g (о — ог—1) — lg (а* — a_j)].

Под поверхностью усталости понимается зависимость числа циклов до разрушения N от амплитуды напряжений аа и среднего напряжения^,от (рис. 5.2). Для большинства применяемых в ма­ шиностроении материалов для построения этих поверхностей экспериментальных данных недостаточно. Поэтому появляется необходимость схематизаций поверхностей усталости.

Перепишем уравнение кривой усталости (5.1) в следующем виде:

Л/ - N0 ( a j a ayn.

Отношение, стоящее в скобках, представляет собой коэффи­ циент запаса прочности при симметричных циклах напряжений. Полагая, что таким свойством будут обладать кривые усталости и при асимметричных циклах, получаем следующее выражение для уравнения поверхности усталости:

JV	ЛГ0 [or_x/(cra -h	(5.3)
где 1]) — коэффициент, учитывающий снижение предела выносливости		при на­
личии среднего напряжения.

165

Рис. 5.2. Поверхности усталости

Построенная таким образом поверхность усталости (рис. 5.2, а) обладает следующими особенностями:

1) при напряжениях, близких к пределу текучести, не выпол­ няется необходимое условие аа + от <. ат;

2) не отражается известный экспериментальный факт, заклю­ чающийся в том, что при напряжениях, достигающих предела текучести, если не удается получить разрушение за один цикл нагружения, то его не удается получить и при числе циклов Л Г*<3-104.

Первая особенность устраняется, если поверхность усталости, описанную формулой (5.3) (см. рис. 5.2, а) ограничить плоскостью, перпендикулярной к плоскости (ат , ога) и наклоненной к плоскости (<Ут, N) под углом в 45° (см. рис. 5.2, б). Для устранения второй особенности поверхность усталости ограничим плоскостью, про­

	ходящей		через точки		\N = N 0; <та =		0),	{N = N 0;	аа =
	и	=	огт; ва — 0}.		Теперь	параметры поверхности			усталости
	°-im, ф> NQm будут линейными функциями							среднего	напряже­
	ния	ат :				Nс — N % От \ .
				Nо, т
						N0	о,	j ’
				Ф = Фо — (Фо — 1)СТт<У*
				П_1, от === (нТ		Пот) П—	■
		В этом случае уравнение поверхности усталости будет сле­
	дующим:			No—- N * от \ (I		(оТ - о т) а _ 1о ~ 1			1т
	N = -Л Ц 1									• (54)
				No	Or / I <га + {% -		(г|>0-	I)ото~х) ап

Эта поверхность усталости показана на рис. 5.3.

166

Рис. 5.3. Поверхность усталости по уравненикГ(5.4)

Помимо кривых и поверхностей усталости при расчете уста­ лостной долговечности необходима информация о закономерно­ стях накопления усталостных повреждений. Введем в рассмотре­ ние меру повреждения v, равную нулю для начального состояния материала и единице для момента полного разрушения. Законо­ мерности накопления усталостных повреждений зависят от физи­ ческих свойств материала и могут быть выражены различными функциями. В общем случае эти функции нелинейны и зависят от уровня напряжений. Этим условиям отвечают, например, уравнения накопления вида

где п — число циклов		v„ =	& (о) п? (tf),	(5.5)
		нагружения;	vn — накопленное	повреждение за п цик­
лов;	о — напряжение;	р (а) — коэффициент, зависящий от уровня напряже­
ний;	k (о) — нормировочный коэффициент.

Нормировочный коэффициент k (а) определяют из условия, что при разрушающем числециклов N мера повреждения vN =

=1.

Отсюда имеем

k (а) = N-v- <а>.

Первое упрощение зависимости (5.5) можно сделать, предпо­ ложив одинаковую закономерность накопления повреждений при различных уровнях напряжений, т. е. предположив, что р (ст) =

=р = const. . Тогда

^ — (пШ)*.

(5.6)

Эксперименты показывают, что для большинства применяемых в машиностроении материалов р = 0,75 ... 1,25, поэтому зави-

167

симость (5.6)	можно	упростить, допустив ц = 1. Это	приводит
к линейной	гипотезе	накопления повреждений:
		v„ = nIN.	(5.7)

Вычислим величину единичного усталостного повреждения v0 за один цикл. Поскольку функция v„ является медленно изме­ няющейся функцией числа циклов нагружений, то эту величину можно определить как производную vn по п. Дифференцируя соотношения (5.5) и (5.7), получаем для нелинейного накопления повреждений:

Vo.

Л/М<П

’

(5.8)

для линейного накопления повреждений

Vo — UN.

(5.9)

Из полученных соотношений видно, что при нелинейном на­ коплении повреждений усталостное повреждение за один цикл зависит от числа накопленных циклов нагружения (или тем самым от величины накопленного усталостного повреждения) и, следо­ вательно, долговечность зависит от истории нагружения. При линейном накоплении повреждений усталостное повреждение за один цикл не зависит от числа накопленных нагружений и дол­ говечность не зависит от истории нагружения.

Рассмотрим теперь вопрос о суммировании усталостных по­ вреждений при двух, трех и т. д. уровнях нагружения. При ли­ нейном законе накопления усталостных повреждений суммарное повреждение

т

V/, TJT*

где п — число циклов нагружений; гц — число циклов нагружений на I'-TOM уровне; Ni — предельное (разрушающее) число нагружений для t-ro уровня напряжений; г — число уровней. ?

Для получения условия суммирования при нелинейном законе накопления усталостных повреждений перепишем уравнение (5.8) в следующем виде:

J l . *= E M VI MOT .

d n N (о)

Получили дифференциальное уравнение относительно меры усталостного повреждения v. Произведем разделение переменных

1	vl/Ma,-ldvt=!	dn	(5.10)
ц(<т)		N(o) *
Рассмотрим процесс	нагружения,	состоящий из k	этапов
с постоянными напряжениями ог и числом циклов пи			где i —
= 1, 2, ..., k-

168

Интегрируя уравнение (5.10) для первого этапа, получаем

Н л п Ь П ’-

(8П)

где стг — напряжение первого			этапа нагружения; пг — число циклов нагру­
жений.
	Если нагружение состоит из одного первого этапа, то условие
разрушения примет вид
где	=	Vi = n jN (ох) =		1,
		N (оО-	нагружении в	условие разрушения не
	При	одноуровневом

входит параметр р, характеризующий нелинейность накопления повреждений.

Пусть на втором этапе нагружение продолжается с напряже­

нием аа. Тогда,		интегрируя			уравнение (5.10),			получаем
			1/и (*2>|Vs _		п — щ _		п2
				|v,	N (ст2)	N	(сг2)
Отсюда для определения суммарного усталостного поврежде­
ния с учетом (5.11) имеем
		(7	«1	\|Л (01)/Ц'(0,а)			п2	1И (02)
						+ Т Г м }			•
Если нагружение состоит из двух этапов, то условие разруше­
ния примет вид		/	Щ	\И (а2)/Ц (<т.)		Пг	_	,	«	19ч
	Л N{CH) )				+	Щъ) ~~
При	р (о2) =	р (<т2)		условие разрушения				принимает тот		же
вид, что	и для	линейной гипотезы				накопления			повреждений.

Из соотношения (5.12) также следует, что из испытаний на двух уровнях нагружения может быть определено лишь отношение параметров нелинейности р (ах)/р (ст2), но не их абсолютные зна­ чения.

Пусть на третьем этапе нагружение продолжается с напряже­ нием а3. Тогда из уравнения (5.10) получаем

v»/i* <<ь>) V.	«3
■V,	N (сгз) *

Суммарное усталостное повреждение в конце третьего этапа

П7	«1 \М «Ч )/М 01)	,	щ 1 Мста)/М<1,)	,	п3 1 М<М
3 — \ L^ ^	^	^	/V(a3)J	'	N (вв) |

Если нагружение состоит из трех этапов, то условие разру­

шения примет	вид			п3
rti	\М <з,)/ц (<т„)	.	па ^М- (<7а)/м. <сга)		1.
{( N(oi))		+	N (о*))	+ Щрз) =

169

1При р, (ах) = р, (а2) = р, (а3) опять возвращаемся к условию разрушения, характерному для линейной гипотезы накопления усталостных повреждений.

Проведенные рассуждения можно продолжить на любое число этапов нагружения. При этом условие разрушения примет вид

где р г = р (pi)\ Nt = N (щ ); i = 1, 2......... k.

Появление усталостной трещины еще не означает немедленного разрушения конструкции. На развитие трещины и на достижение ею опасного размера требуется время, иногда значительное.

Так, по данным Государственного союзного тракторного на­ учно-исследовательского института (НАТИ), отношение наработки после появления трещины к наработке при полном завершении испытаний для сварных металлоконструкций рам автомобилей и тракторов составляет 0,23—0,70. Допуск к работе конструкций с трещинами часто вызван производственной необходимостью и почти всегда (при соответствующей оценке надежности) эконо­ мически целесообразен. Уже новые изделия могут иметь трещины, поэтому определение времени работы деталей с трещинами яв­ ляется актуальной научно-технической задачей. Не решение может быть основано на линейной механике разрушения. Основные ее результаты можно сформулировать следующим образом: живу­ честь элементов конструкций с трещинами зависит от напряжен­ ного состояния в зоне трещины и скорости ее развития; напряжен­ ное состояние в зоне любой трещины и при любом способе на­

гружения может быть описано с помощью лишь трех парамет­ ров — коэффициентов интенсив­ ностей напряжений Ki, Ки и /Сш (принцип микроскопа).

В обозначениях-, принятых на рис. 5.4:

2лг %уу =

	— • Klfx y (0 ) + K n f x y l l (0 );
Рис. 5.4. Напряженное состояние в зоне	KLII/JKIII (0);
трещины	KlllfyzUl (0)>

170