книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

Т а б л и ц а	5.1
Результаты решения системы уравнений					(5.61)
к	а	ь		с	к	а	Ь	а.	С
1.25	16,91	2,72	1,55	0,835	2,75	6,484	8,19	0,93	0,693
1,50	10,65	3,51	1,37	0,750	3.0	6,30	9,25	0,88	0,694
1,75	8,61	4,34	1,25	0,715	3,5	6,10	11,5	0,79	0,704
2,0	7,63	5,25	1,14	0,702	4.0	5,96	13,87	0,72	0,721
2.25	7,08	6,19	1,06	0,697	10.0	5,77	48,75	0,36	0,815
2,5	6,72	7,17	1,0	0,697

Подставляя соотношения (5.58)—(5.60) в уравнения (5.55) и (5.56), получаем следующую систему алгебраических уравнений для определения неизвестных параметров а и Ь:

= ‘ {1 - г г г т з д ( 1 - А_(“+зда))-

<5-61>

Решения системы уравнений (5.61) при различных значениях k t полученные с помощью ЭВМ, приведены в табл. 5.1.

При подстановке соотношений (5.58) и (5.59) в уравнения (5.57) получаем следующее искомое выражение для плотности распре­ деления амплитуд при схематизации процессов по методу пол­ ных циклов:

k?o exp ^ —~~Y ~а2) ПРИ 0 < я <

(5.62)

£_1ссгехр(— -у-) при а > а * .

где а =

- а -^~ ■; e = k а>ь exp

.

Заметим, что функция (5.62) является непрерывной. Условие ее нормирования требует выполнение равенства

J Но) da = 2 ( ^ г щ (1 - k ~ ^ lb) + k-«+»lb= 1. (5.63)

о

Подстановка в соотношение (5.63) значений а и 6 из табл. 5.1 показывает, что это соотношение выполняется. При подстановке в соотношения (4.37) и (5.35) выражений (5.62) и (5.1) получаем

191

формулу для расчета долговечности при схематизации процессов по методу полных циклов:

	HfP'h I [п 02п,/г Г		при o_i <	ст*
	сР (о ,, пг + 2) +
Т =		/г1—'”оГ"(т + 2) X		(5.64)
	X {Р (kaа_!, m - f- 2)	— Р (k a o m + 2)}
		Р	при <т_1> а !1с)
	cn02 m/2 Г		п + 2 )
где S = 1	принято для упрощения	записи формулы.

Метод размахов с учетом среднего. При широкополосных про­ цессах сложной структуры, когда среднее число экстремумов зна­ чительно превышает среднее число нулей, влияние средних на­ пряжений циклов может быть значительным. Учет этих напряже­ ний сводится к построению совместного распределения амплитуд­ ных оа [равных полуразности соседних экстремумов (Oj — а2)/2 ]

и	средних ат	[равных полусумме соседних экстремумов (ах +
+	а3)/2] напряжений. Коэффициент корреляции между этими на­
пряжениями равен			нулю.
	Поскольку	для	Гауссовских процессов совместное распреде­

ление амплитудных и средних напряжений мало отличается от нормального, то совместную плотность распределения амплитуд­ ных и средних напряжений можно записать в следующем виде:

f(<Ja, ат) ^	f К ) f (вт),
где f (оа) — плотность распределения	амплитуд, f (сгга) — плотность распре­
деления средних напряжений циклов.

Сделаем еще одно упрощение и примем в качестве средних на­ пряжений циклов значения процесса, соответствующие точкам перегиба, где вторая производная равна нулю. Плотность этого распределения определяется соотношением (4.105).

Усталостное повреждение за один цикл может быть теперь подсчитано по формуле (5.35). Принимаем, что уравнение поверх­ ности усталости описывается соотношением (5.3), а влияние сред­ них напряжений циклов одинаково как при положительных, так и при отрицательных их значениях. Тогда усталостное поврежде­ ние за один цикл

ООС00

■V= - “ j /	(п’а) | j f (<Ут ) (Оа -{- ф |ц т |) d c m doa.	(5.65)
Л,0а—1О	I—ев

Внутренний интеграл в этом соотношении

(5.66)

где Нп {х) — полиномы Эрмита; i — V — 1, R = 1 — 1/Л*«

192

Для различных т имеем:

/3 = Од 4- 3£аЛф2;

/ 4 = ^ + 6 / ? ^ 2 + 3i?V;

h = ol + lORolxp2+ 15 Я У ;

Дальнейшую специализацию формулы (5.65) запишем для слу­ чая схематизации процесса по методу размахов, когда плотность распределения амплитуд напряжений описывается соотноше­ нием (5.46).

Из соотношений (5.65) и (5.66) следует, что для рассматривае­ мого случая долю усталостного повреждения, связанную только1 с наличием средних напряжений циклов, можно вычислить по формулам:

при т = 3
v	=	^	-	(5.67)

при т = 4

v = ф2(к2

при т = 5

, ,	ЗР {Ac.i,	4}	.,.43 (k2- l)2 Р			2} .	(5.68)
4	2P{ka_lt	б)	™	8k*P{ko_i,	6}

	р	(*0-1. 5)	,	4 - | / 2	(А2	— I)2 Р	2}	(5.69)
	v = 2ф2(£2- 1) Р	7}	'	т у	я	A4p {йа_lt 7}
И	т, д.,
где	Р {х, п} — функция	Пирсона, описанная соотношением (5.42).
	Результаты вычислений по формулам (5.67)—(5.69) представ­
лены в виде графиков на рис. 5.8 и 5.9:
	а — k = 1,5; б — к = 2,0; в — к — 2,5; г — к — 3,0; д — k —
= 3,5; e — k = 4,0		(s =1).		позволяет		сделать вывод о том,
	Анализ полученных данных

что с ростом параметров ф, к и т доля усталостного повреждения,

обусловленная		наличием	средних напряжений, увеличивается,
а с ростом	а_!	уменьшается. Сравним результаты расчета дол­
говечности,	получаемые		при различных способах схематизации

процессов. Эти результаты зависят от расчетной частоты процесса и расчетного распределения амплитуд напряжений. Для удобства сравнения приведем все расчетные распределения амплитуд к од­ ной частоте — среднему числу максимумов процесса в единицу времени. Тогда для плотности распределения амплитуд при схе­ матизации процесса по методу пересечений (5.37) появится мно­ житель 4k, для плотности распределения амплитуд при схема­ тизации по методу укрупненных размахов — множитель 1Ik*.

7 А. С. Гусев

193

Рис. 5.8. Влияние средних напряжений на величину усталостного поврежде­ ния при т = 3

Плотности распределения амплитуд при схематизациях по мето­ дам максимумов, размахов и полных циклов не изменяются. По­ лученные таким образом расчетные распределения амплитуд при различных схематизациях процессов с различными значениями параметра сложности структуры k приведены на рис. 5.10: а —

— k = 1 , 5 ; б — k — 2,0; в — k = 2,5; г — k ~ 3,0; д — k — 3,5; е — k = 4,0. Полученные результаты показывают, что в области больших значений амплитуд, которые являются определяющими при расчете усталостной долговечности конструкций,, графики плотностей распределения амплитуд при схематизации процессов по методу максимумов дают верхнюю, а по методу размахов ниж­ нюю границу для всех рассмотренных распределений, то есть при расчете по методу максимумов получаем нижнюю, а по методу раз­ махов — верхнюю оценку для усталостной долговечности. По мере уменьшения повреждающего действия остальные методы схе­ матизации можно расположить в следующей последовательности: метод пересечений, метод полных циклов, метод укрупненных раз­ махов. При увеличении параметра сложности структуры процесса различие в оценках долговечности при различных методах схема­ тизации увеличивается. Исключением является различие между

194

Рис. 5.9. Влияние средних.напряжений на величину усталостного поврежде­ ния при т = 4

методами полных циклов и методом превышений, которое при увеличении k от 1 до 2,75 возрастает до 50 %, а при дальнейшем увеличении — уменьшается до нуля. При k = 1 результаты рас­ чета долговечности при всех методах схематизации совпадают.

Для получения количественных соотношений были проведены вычисления на ЭЦВМ значений долговечности при различных ме­ тодах схематизации. Удобно все их сопоставить с одним из наи­ более распространенных методов —; методом превышений — с по­ мощью следующих соотношений:

Г . - ( 1 + Ы Г . = Т Т фр

+ Фу

1+ Фдч

где Гп, Тм, Гр,Ту, Тпц— расчетные значения долговечностей по методам пре­ вышений (выбросов), максимумов, размахов, укрупненным размахом и полным циклам, соответственно; <рм, Фр, Фу. Фпц — переходные коэффициенты от метода превышений к другим методам схематизации процессов.

На рис. 5.11—5.13 приведены графики	функций <рм, фр и фпц
в зависимости от параметра сложности	структуры процесса k

и для различных параметров степенного уравнения кривой уста­ лости m и x_i = a_x!s: а — m — 3; б — m = 4; в — m — 5;

7*

195

6)

В)

г)

Рис. 5.10. Плотности распределений амплитуд при различных методах схема­ тизации процессов:

; _ метод-размахов; 2 — метод полных циклов: 3 — метод максимумов; 4 — метод пре­ вышений (выбросов); 5 — метод укрупненных размахов

106

а)	IS )	8)	2;
Рис. 5.11. Сопоставление долговечностей по методам			превышений (выбросов)
и максимумов

а)

Ю

б)

Рис. 5.12. Сопоставление долговечностей по методам превышений (выбросов) и размахов

Ь1 к

г)

197

Рис. 5.13. Сопоставление долговечностей по методам превышений (выбросов) и полных циклов

г — т = 6. Коэффициент фу можно вычислить по значениям коэффициента срр путем замены заданного значения k его расчет­ ным значением k* = (1 •+■ k)/2.

33. Вероятностная оценка статической прочности и усталостной долговечности

при нестационарных случайных колебаниях

Нагруженность элементов машин и конструкций может быть описана различными математическими моделями нестационарных процессов. Общая методика описания и анализа таких процессов дана в гл. 1 и 4. Получаемая информация о распределениях ам­ плитудных и средних напряжений циклов позволяет произвести полный расчет усталостной долговечности. Определение числа превышений процессом произвольного уровня дают возможность оценить вероятность статического разрушения.

Нестационарные Гауссовские процессы с переменным средним.

К необходимости исследования таких процессов приходим при анализе нагруженности,, представленной в виде суммы двух про-

198

цессов, один из которых а0 (t) является квазидетерминированным медленно изменяющимся во времени процессом, а второй at (t) — относительно высокочастотным стационарным случайным про­ цессом.

Расчет долговечности сводится к определению среднего значе­ ния меры усталостного повреждения, накапливаемого к моменту времени t,

t 00 00

		*‘ = п 1 \ J			<8-70>
		О—оо—оо
где	п — частота	циклов нагружения процесса		(/); ол, от =	о0 — амплитуд­
ные	и средние	напряжения.
	Будем в дальнейшем для простоты полагать, что о0 (t) — де­
терминированная функция. Тогда
			О —оо		<5-7 |>
	Дальнейшая специализация формул возможна, если заданы
уравнение поверхности			усталости N (оа , crm) и плотность рас­
пределения		амплитуд	/ (а„, t). Пусть,	например,	поверхность

усталости описывается уравнением (5.3), а распределение ампли­ туд является Рэлеевским, описанным соотношением (5.38).

Тогда
Д	о2	j	j	К	+		еХР ( —	d°a dt.	(5.72)
iV 0°—		Оcr_1—TbCFm					'	/
При малых ф		имеем приближенное равенство
	(аа + ф<тт )ш				о'а .+		imainGa~l.
В этом случае
=	nSr		2mJ3T ( - ^			)	\ Р (х0, т + 2) dt +
	V - i,						о
			т—1			t
+			Г			J атР (хо, т +		1) dt,	(5.73)
						о
где Р (х, п) — функция			Пирсона;	*0 =		(ст_г —фстт ) 5 -1.
Интегралы, входящие в формулу (5.73), поддаются только чи­
сленному определению. При ф =						О приходим к		уже известному
соотношению (5,40).

Соотношение (5.73) можно записать и в более удобном для ана­ лиза виде, в котором среднее напряжение ат будет входить в него

199

в	явной форме. Рассмотрим с этой						целью внутренний			интеграл
в	соотношении			(5.72):
		J =		1	аа (<V+ Ф<*тГ ехр				do л*
			a-i-Wm					оо
	J	0гт+1ехр ( —				do--\-m$am		J	а"*ехр(—		х
	^ат							” -1 ’13<Тт
							т—1
	х do = 2т/0- Г				х)	S m+2 +	2~/т|)сгт Г (^ L + i,				S'ri+1,
	а _1	— ф от		\ 2
	(		— J ;		Г (а, .V) — неполная			гамма-функция , определяемая
	—
соотношением:					ОО	,-•			_2ot
						(_ П*г“+*		Г (а)	(SJA 2)	X
					S	ft! (а + ft)
					А=0
				(— I)V *		2фо_1ат			(— 1)*-
	X				^ u- i
		ft=o	ft! (a +		ft) (S J/- 2)2ft ^ (5 /		2)2ot Z j		ft! (S j/"2)2ft	’
								ft=o

Г(a) — полная гамма-функция.

Подставляя эти соотношения в формулу (5.72), получаем для среднего значения меры усталостного повреждения следующее выр ажение:

	v =			[ 2'n2^m-j-2					тт+2		X
									(S V	2)т+ 2
		A>m,S2
		ОО			( - i)VL\
	X							t + т -.- g f c L , X
		- J	ft! ( k + ^ ± ( S Y 2 ) 2k						(5 )' 2)m-J-2
		Zk=0
	oo	( -	ir				m—1			№	) -
								2
X	I ] ft! (S		] /	2) 2ft	DfM(0<« + 2			J Sm+ mi|5
	ft=0
		Tm+1				(_	l)fc0 ^
				V-Д _______ У—			Ч ц—1_______ г			om(t)dt
	(.S К 2)"г+ 1			2 i i	ft! (ft+ — г - )			(s i	j
				ft=0	4		'		Jo
				2фа_1					(;t)dt
			(s Y 2)m+1 L —l.			fti (s Y~
									0
					ft= 0

200