книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов

методом	характеристик.		Характеристики системы		(4.12)	запишем
в виде			dx =	dt,
			dx = ± c s dt,			(4.13)
			dx =	0,
где Ci =	■/E/p, cs =	/ GAs/pA.
Соотношения вдоль		характеристик
	dM = E l dn =		—(M — Ms) dt, вдоль dx = 0,
dQ — GAS dy = —аг (Q — Qs) dt вдоль dx =					0,	(4.14)
	dM =F plct dto — ± C/Q — ax(M — Ms)dt
вдоль			d* =	С/ d^,

dQ =F Pi4csdt; = pAcs<o— a2 (Q — Qs)d/

вдоль dx = cs d^.

На головных характеристиках x = ctt и x = cst между шестью

искомыми величинами М, ш, х,			Q, v,	у	существуют		зависимости
	AM = —рIci Aw = EI Ах,
	AQ =	—pAcs Av = GAS Ay.					(4-15)
Из уравнений (4.14) и (4.15) следует
м	dM	_ J _ .	Q	dQ	_	1
Г			Г
J fll( M - M s) ~		2	J	a2	(Q — Qs)	~ 2	h
Mo			Qo

где M0 = —р/сго)0 и Qo = —pAcsv0 — соответственно изгибающий момент и перерезывающая сила при х = 0 и t = 0. Граничные ус­ ловия задачи примем в виде: М (0, /) = 0 и v (0, /) = v0.

На рис. 4.15, б представлены результаты расчетов (сплошная линия) и экспериментальные данные (кружки). Для сравнения при­ водятся данные расчетов по элементарной теории изгиба балок (штриховая кривая) без учета скоростной чувствительности матери­ ала. Из рисунка следует, что наиболее близкого совпадения с экспе­ риментальными данными можно добиться на основе модели, описы­ вающей скоростные свойства материала.

4.4. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В МЕТАЛЛАХ С ФАЗОВЫМИ ПЕРЕХОДАМИ

Интенсивное развитие исследований, связанных с физикохими­ ческими процессами на фронтах сильных ударных волн в твердых телах, обусловлено возможностью получения аномально высокого упрочнения металлов и получения веществ с новыми важными свойствами, например, боразона, алмаза, новых полимерных мате­ риалов. Сюда следует отнести и широкие перспективы создания сов­ ременной технологии обработки металлов давлением.

i l l

Здесь рассматривается вопрос о распространении сильных удар­ ных волй в твердых телах, испытывающих при этом полиморфные превращения.

Эксперименты по упрочнению ряда металлов взрывом, сводящиеся к повышению характеристик прочности (например, твердости) об­ разца, после прохождения по нему ударной волны, выявили две группы металлов в зависимости от распределения твердости по глу­ бине образца. Первая группа характеризуется плавным падением твердости по глубине до исходной величины в соответствии с затуха­ нием интенсивности ударной волны. Сюда относятся никель, медь и др. Вторая группа металлов (железо, титан) после обработки удар­ ной волной достаточной интенсивности характеризуется наличием узкой зоны на некотором расстоянии от поверхности соударения, в которой твердость резко падает, после чего плавно стремится к ис­ ходному значению до обработки. Вторая группа имеет фазовый пере­ ход 1-го рода при высоком давлении (например, Fe претерпевает пе­ реход Fea -►Fee при 13 ГПа). Анализ экспериментов, который про­ водился выше, совместно с оценками интенсивностей ударных волн позволяет сделать предположение, что упрочнение второй группы ме­ таллов связано с фазовым переходом на ударной волне. Указанная узкая зона разделяет области, где фазовый переход имел место (дав­ ление на фронте ударной волны превышало давление фазового пере­ хода) и где он не происходил, так как давление на фронте стало меньше давления фазового перехода. Это один из примеров, когда при расчете распространения ударной волны необходимо учитывать физико-химические превращения, происходящие на фронте ударной волны и, в свою очередь, влияющие на структуру течения. Кроме этого примера, можно указать на такой факт, что почти все лонные кристаллы, в частности NaCl, КС1 и многие другие твердые тела при высоких давлениях испытывают фазовые переходы, очень часто ярко выраженные, сопровождающиеся более значительным изменением объема, чем железо.

Р. И. Нигматулиным разработана модель двухфазного твердого тела с учетом возможных физико-химических превращений в усло­ виях достаточно высоких давлений (р « 10 ГПа), но когда еще про­ являются эффекты прочности, осложняющие исследование.

На основе квазигидродинамической модели далее рассмотрена одномерная нестационарная задача о плоском соударении пластин, в частности, применительно к упрочнению и описана теоретико­ экспериментальная методика исследования кинетики фазовых пере­ ходов, использующая указанные расчеты и результаты определения остаточных эффектов в твердом теле после соответствующей ударноволновой обработки (упрочнения).

Рассмотрим движение среды, представляющей собой смесь двух фаз одного вещества или гетерогенную смесь двух различных ве­ ществ, когда каждая составляющая занимает часть объема смеси. При этом предполагается, что размеры неоднородностей существенно меньше характерного линейного масштаба движения, чтобы можно было воспользоваться представлениями механики сплошной среды.

112

Еще раз отметим, что здесь рассматриваются негомогенные смеси (сплавы, растворы), а гетерогенные, т. е. смеси, внутри которых имеются микрообъемы, ограниченные поверхностями раздела фаз, на которых терпят разрывы какие-либо макроскопические параме­ тры (например, плотности).

Ниже будет использована одиоскоростная и однотемпературная модель, когда можно считать, что скорости, а соответственно и пере­ мещения фаз совпадают. Это обусловлено тем, что, как правило, силы взаимодействия (сцепления) и интенсивности теплообмена ме­ жду фазами в твердых телах настолько велики, что смещением фаз друг относительно друга и несовпадением их температур можно пре­ небречь. Кроме того, в двухфазных средах, образующихся при удар­ ном воздействии, плотности и теплоемкости составляющих не отли­ чаются но порядку величии и достаточно близки друг к другу, а это также уменьшает возможности многоскоростных и многотемператур­ ных эффектов.

Здесь рассмотрен случай смеси двух фаз. Каждая фаза характери­ зуется истинной плотностью р? и объемным содержанием а г, причем

Р£ =	Р°аь	(i =	1, 2),
ах + а2	= 1, р	=	pi -г р.2,	(4.16)
где р{ — средняя плотность	фазы;	р —■плотность		смеси.

В зависимости от конкретной задачи и расчетной схемы могут потребоваться уравнения движения или в лагранжевых (связанных с материальными частицами) или в эйлеровых переменных. Поэтому следует рассмотреть уравнения сохранения массы, импульса и энер­ гии двухфазной смеси как в лаграижевом, так и в эйлеровом пред­ ставлениях.

Выделим материальный объем V двухфазной среды, ограниченной поверхностью 2 и движущийся вместе со средой. Рассматривая его состояние в моменты времени t = 0 и t, запишем -интегральные уравнения сохранения масс первой и второй фаз.

fPiodV = f Гр,/ —J Jlildt\dV, Ja = J a (r,				/).
V	v L	о	J
fPndv = J		Ip,/ +	J JaIdt \dV, / = /(г,	(4.17)
				t).
V	V	L	0

Здесь r — лаграижева координата, характеризующая положение частицы при t = 0, индекс 0 внизу относится соответственно к на­ чальному состоянию при / = О, У12 — скорость фазового перехода, равная массе, перешедшей из первой фазы во вторую (или наоборот, с обратным знаком) в единице объема смеси в единицу времени,

I (г, t) — степень расширения среды пли Якобиан преобразования от лагранжевых к эйлеровым координатам.

113

Складывая уравнения (4.17), имеем уравнение сохранения массы смеси

\ p t d V = \ p l d V .

VV

Врамках односкоростной и однотемпературной модели достаточно рассмотреть только уравнения движения и энергии всей смеси, кото­ рые при отсутствии внешних массовых сил и притоков теплоты имеют

вид

t

Jp o [o -ao )d y = j \ F W d t d y „

V			O S
£ ( P i ^ i ~Ь Р а ^ г )] —	(P lo t/10 +		Paot/го )	P o ------ 2~ ^	~
V L
	t
=	Г	f ? (") •	v d £ d t.		(4.18)
	0	s

Здесь v — скорость среды; Vi — удельная внутренняя энергия i-й

фазы; F{n) — вектор напряжения Лагранжа (отнесенный к началь­ ному положению поверхности 2) в рассматриваемой сплошной среде.

Дифференцируя (4.18) по t, имеем

| ( d p j / d t ) d V - \ J t i I d V = О,	J (дра//й) d V + \ JKI d V = 0.
J po(dv/dt) d V =	s
V
j [(Piyi + PM 1+ ®r] dV= J F<»> -V dS-
V	s

Заметим, что здесь дифференцирование но времени ведется при фиксированных лагранжевых координатах, т. е. вдоль траектории материальной частицы и следовательно, d/dt здесь субстациональная производная.

Используя теорему Гаусса—Остроградского для перехода от по­ верхностных интегралов к объемным, получим после* некоторых преобразований следующую систему дифференциальных уравнений движения двухфазной среды в лагранжевых координатах:

% £ + / / „ = <>, % ^ - / У 12= 0 ,

(4.19)

т [plJT + ^ - У>)А2] = О*' -g - •

114

Кроме того, эту систему следует дополнить уравнением, связывающим эйлерову координату х и лагранжеву (материальную) коор­ динату г частицы

дх {?, t) = v. dt

Из первых уравнений (4.19) следует

(4.20)

Аналогичным образом можно получить дифференциальные урав­ нения движения двухфазной сплошной среды в эйлеровых перемен­ ных

(4.21)

Из первых двух уравнений (4.21) следует

(4.22)

Запишем полученные уравнения в лагранжевых и эйлеровых переменных для нестационарного движения, определяемого одной пространственной координатой г (лагранжева координата) или х (эйлерова координата), т. е. для плоского движения (v = 1), с ци­ линдрической (v = 2) и сферической (v — 3) симметрией.

Для этого класса течений уравнения (4.19) односкоростного дви­ жения в лагранжевых переменных (г, t) имеют вид

(4.24)

д!_ dt

115

Главные напряжения лагранжева тензора ак1 связаны с главными напряжениями эйлерова тензора okl следующими соотношениями

(V—2) (V—1)

°г = о - ( - г Г 1;

Соответственно уравнения (4.21) в эйлеровых переменных (*, О имеют вид

		dpi .		dpго .				(у — 1) pio
		dt	"г		дх	^			х
		dps	,	др2у		,		(V— 1) P&V .— --Л-2.
		dt	~г	дх		"г			х
dv	,	dv			dar		,	,	, ч	-
р	+ Ри			= -5 Г + <v -						— 1
		aut .			au2dU2		|	„ „	дигay,	. „	ей,
	P*-Г + P2"ar + P‘°I T + P2tl“af =
	=	о: ^		+	(v~ f ° e° -+ (Уг -						у,) л,.

Отметим, что при решении задач, связанных с упругопластическнм течением, необходимо следить за историей частицы, чтобы вы­ явить переход из упругого в пластический режим деформации. С этой точки зрения лагранжево представление имеет определенное преимущество. Кроме того, при решении плоских задач (v = 1) лаг­ ранжево представление имеет другое преимущество, обусловленное тем, что в этом случае нет необходимости определения эйлеровой координаты х точек среды, т. е. интегрировать первое уравнение. Для цилиндрических и сферических задач последнее преимущество лагранжевых переменных отпадает.

Напряженное состояние элемента первой фазы определяется не только смещением внешних границ этого элемента, описываемого

полем скоростей v (х, t), но и смещением межфазных границ при од­ ном и том же внешнем воздействии и зависит как от свойств, так и структуры обеих фаз смеси. Таким образом от свойств второй фазы зависит реакция первой фазы. В качестве примера рассмотрим такой изотропный композиционный материал какэлконит (медь—вольфрам), когда сжимаемостью вольфрама в широком диапазоне давлений можно пренебречь, а с другой стороны — пористую медь. Очевидно, что одна и та же деформация среды приведет к существенно различному напряженному состоянию материалов и, в частности, несущей фазы.

Таким образом, в общей теории (даже односкоростной) много­ фазного движения должны фигурировать условия совместного пове­ дения или деформирования фаз, которые в случае проявления эф­ фектов прочности существенно усложняются по сравнению с гидро­ динамической моделью.

При распространении сильных ударных волн, вызывающих фа­ зовые переходы в твердых телах, уровень напряжений, связанных

116

с прочностью, существенно меньше гидростатической части (шаро­ вой) тензора напряжений. Дело в том, что прочность материала, хотя и растет с давлением, ограничена, и при высоких давлениях свойства твердого тела в некоторых отношениях приближаются к свойствам жидкости, хотя прочностные эффекты приводят к боль­ шим скоростям распространения возмущений, что можно учесть и в рамках квазижидкой модели. Кроме того, сжимаемости фаз и их истинные плотности обычно величины одного порядка. Указанные два обстоятельства позволяют воспользоваться условием равенства давлений фаз, как одним из условий совместного деформирования фаз в смеси, что вместе с уравнением состояния, связывающим пер­ вый инвариант тензора напряжений с первым инвариантом тензора деформаций (или истинной плотностью) фазы и температурой, при­

водит к гидродинамической модели.	представить
Таким образом, если эйлеров тензор напряжений
в виде суммы гидростатической и девиаторйой частей

akJ = — pb^ - f -

то значение р будем считать зависящим только от истинной плотности фазы и температуры (уравнение состояния), полагая, что обе фазы имеют одинаковое давление

P = Pi(pi> Т) = р2(р°2		Т).
Соотношение р = рг (р°, Т)	служит для	определения давления,
а равенство pt (pj, Т) == р2 (р°,	Т) — одно	из условий совместного

поведения фаз, определяющее их объемные содержания. Эти два соотношения представляют гидродинамическую сторону предлагае­ мой модели.

Чтобы сохранить в модели прочностные свойства, присущие твер­ дому телу (сопротивляемость деформациям сдвига, упругость, пла­ стичность, более высокая скорость распространения достаточно сла­ бых возмущений, чем это следует из чисто гидродинамической модели) вводится девиатор напряжений skl. В случае однофазной среды его принимают изменяющимся линейно по закону Гука до определенного предела, после чего он должен удовлетворять некоему условию пла­ стичности. В главных осях тензора напряжений закон Гука можно записать в виде

£ = 2 G (e» + -i~ £ -), (А = 1, 2, 3).

где V — производная Яуманна.

Процессы перехода упругих состояний в пластические и обратно могут рассматриваться как фазовые переходы 2-го рода, когда в точке равновесия фаз (в данном случае в точке Погонно на удар­ ной адиабате) меняется сжимаемость или модуль сопротивления сдвигу, но не величина внутренней энергии или плотности как в случае фазовых переходов 1-го рода (например, в случае перехода

Fe« ^ Fec).

117

При достаточно высоких давлениях (10-М000 ГПа и выше), при которых происходят фазовые переходы за ударной волной в твердых телах и которые рассматриваются здесь, временные эффекты релакса­ ции упругих напряжений, по-видимому, не имеют существенного зна­ чения и поэтому не рассматриваются. Эффекты прочности, таким об­ разом, будут учитываться в рамках упругопластической модели типа Мизеса.

Для двухфазных .сред при наличии фазовых превращений ука­ занная выше модель упругопластического поведения, вообще го­ воря, должна существенно усложниться, так как при задании девиаторной части, как и при задании давления, должно фигурировать некоторое условие совместного деформирования фаз, учитывающее структуру фаз и упругопластические свойства. Один из простейших способов определения сдвиговых компонент напряжений для двух­ фазной смеси основан на описании некоторой гомогенной среды, причем ее свойства задаются в виде средних по.объему от соответству­ ющих параметров фаз

(s1s2)2 + (s1 - s3)2 + (s2 - s3)2 < 2Y I

sl -f s2 -f s3 = 0, р = pi -f р2,

G = а Д а2С2,

Ке = а 1К И -а 2У2.

Возможность фазовых переходов приводит к необходимости со­ гласования уравнений состояния фаз для внутренних энергий, чтобы правильно учесть энергетические переходы, связанные с разностью внутренних энергий фаз U2 — Ux. Введем оператор

0/ W. Т) = и pt (р?) + ctT + Bi (рь т\

Тогда согласованные уравнения для внутренних энергий фаз, правильно дающие разность Ux — U2, можно записать в виде

Ux (pf, Т) = Ux (р?, Т) + U0x(t/oi = const),

U2(Р2, Т) = U2(рг, Т) "Ь U02(JJ02 = const),

{U02= Ux (р1зо* То) -f lu (То) — U2 (рЕзо»То) + t/oi = const),

где р?з и р“з — плотности фаз на линии насыщения или равновесия фаз, т. е. при давлении фазового перехода рв (Т), причем p j (Т0) =

— Рш»' Рм (Т’о) = Р?зо» lu (Т) характеризует изменение внутренней энергии вещества при равновесном переходе (на линии равновесия

.фаз) из первой фазы во вторую.

Плотности р°з и Р23 определяются из уравнений

Pi (р?з, Т) = р, (Т), Рг (р°з, т) = ps (Т),

причем р) имеет вид
Р/ =	Р/.(р/, Т) = ppj (р°) +	у/ (р/) рjCfT0 -[-
+	BJ (р/) Yее/ (р?) Р°Т2,	(/' = 1, 2).

118

Рис. 4.16. Ударная адиабата двухфазных ме­ таллов (схема)

При известных уравнениях состоя­ ния фаз и известной линии насыщения ps (Т), исходя из уравнения Клапей­ рона—Клаузиуса, выражающего равен­ ство термодинамических потенциалов фаз фj fa = Ui + р/р/ — TSj, где sj — энтропия /-й фазы) на линии рав­ новесия фаз, имеем

11(Т) =	1 \	dps т.
( * -	p?s )	* т

, гле I1— теплота фазового перехода или изменение энтальпии при равновесном (при р = ps (Т)) переходе из первой фазы во вторую

I = f2 — h = h(Ps, Т) — i\ (ps, Т) (ij = Uj -f- p/p/). Тогда для величины /u имеем

L (Г) - и , (р„\т) - и, (p s, Г) = U ------- и		( т -^г -	р.) •
\ Р23	Pl3 }	4	7

Вообще говоря, функция ps (Т) и уравнения состояния фаз не являются независимыми и они должны быть согласованы, чтобы на всей кривой насыщения р8 (Т) выполнялось соотношение Клапейро­ на—Клаузиуса.

На рис. 4.16 приведена возможная схема рК-диаграммы (V = = 1/р — удельный объем) в области фазового перехода. Примерно такую диаграмму имеет железо. На ней нанесены изотермы, соответ­ ствующие температурам Т = О, Т', Т". Точки на линиях АХКХВХ определяют p?s (Т), а точки на линиях А2К»В2 определяют p2S (Т). Отметим, что каждая точка внутри ВгК2КхВх может соответствовать двум или трем равновесным состояниям (чистая первая фаза, чистая вторая фаза, смесь двух фаз) при разных температурах.

Запишем систему дифференциальных уравнений в лагранжевых

координатах для одномерного плоского (v =

1) движения, переходя

к переменным р°, р", а, и, Т, р, а1, г,

где г — лагранжева координата

в направлении движения

а

др? .

Р?

да

_

, _______ Pi

dv

J12

р

dt

р

dt

~~

1 ~

Ро

дг

р ’

1 — а др%

Рг

да.

_ ,

__ _____Pa

dv

.

J12

(4.25)

р

dt

р

dt

" 2

ро

dr

р

dp°i

др°2

дТ

1/ р

Ям

-1-^2 1 Г + ?зз ~дГ -

Ьз~-

Ро

дг

.

ur2

,

_

01

_

л

dv

1

da1

« 4 1 - ^ Г - М ай “ З Г Ь « 4 3

— О,

dt

Ро dr

119

где коэффициенты системы имеют вид

„

_

pi

(fdUii\

п

_ P2

( dU2 \

a”

- T ( a pIn?

) r ’

а к - Т

[

1 4

) т’

, _

Pi

/

5£/I

\

,

_p2

„

_

/

dpi \

33 “

T

V

<эг

/ p ? +

p V

dT

Jp V

а4 1 -

^

-

— - f t )	“ ( J r ) po ( J r ) p2 *

Четвертое уравнение (4.25) получено после дифференцирования по t равенства давлений фаз. Складывания первые два уравнения (4.25), получим уравнение неразрывности

1 др _____ р dv

р dt ~~

ро дг

Для рассматриваемого случая уравнение для составляющей девиатора sl имеет вид

ds1 dt

G(a, p) = a.\G\ {p)-\-a2G2 {p), s* = ад* (p) + a2s2 (p).

Система уравнений (4.25) при заданных уравнениях состояния фаз, линии равновесия фаз ps (Т) и коэффициентах в уравнениях кинетики фазовых переходов является замкнутой в области непре­ рывного движения двухфазного сжимаемого твердого тела, обладаю­ щего прочностью. Отметим, что в случае отсутствия одной из фаз (а = О или а = 1) система (4.25) автоматически переходит в систему уравнений движения соответствующей однофазной среды.

Представленная система по существу может рассматриваться как обобщение на случай учета эффектов прочности системы гидродина­ мических уравнений трехпараметрической сжимаемой среды. Дей­ ствительно, если уравнения pi = pi (р?, Т) можно разрешить отно­ сительно р?, то из условия равенства давлений фаз рх (pj, Т) —

=(Р°> Т) можно получить

p2 = ^i(pi, Т),

р = p?a -f р° (1 — а) = Ф'2 (рь а, Т).

Если и последнее уравнение можно в явном виде разрешить отно­ сительно pj, тогда имеем

р? = ф(р,

Т).

В результате получим уравнение состояния трехпараметрической среды

Р — Pi [ф (р, «, Т), Т] = п (р, a, Т),

и = [P,£/I (P?, Т) + р JJi (р°, Г)]/р = 11(р. а, Т).

I20