книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов
..pdf+ c K |
+ f , + i + K _ i . /+ * ) j |
|||||||
|
|
|
|
|
/ + ± + C i . . , + ± + |
|
||
+ ' ( w ; + j . ( + r c |
i , , i | |
|
||||||
|
если |
x = c t> 0, |
x — e t c 0; |
(8.11) |
||||
vz — (vz)n., l |
i i |
|
т |
= |
T" I |
i , |
если |
x - c i > 0 ; |
M - |
2 • / -I- 2 |
|
t + у |
|
7 + T |
|
||
Vz = (Vz)n_\_ |
J_, |
+ |
T |
= |
Tn i |
1 , |
если |
* + c /< 0 . |
1 |
2 ’ 7 |
2 |
|
|
~~ 2‘ T |
’ 7 |
|
Подставляя (8.7) — (8.11) в (8.6) и обозначив полученные величины
через |
k = 1, 2, ..., 6, получим |
|
|
|
|
C |
i - |
f i - |
(8. 12) |
|
|
|||
Аналогично определяются |
величины (Й)" + Т Л = 1.......6; i = |
|||
= 1, 2, |
..., М; / = 1 ,2 .......L — 1. |
В этом случае решается следую |
щая одномерная задача о распаде произвольного разрыва в линейно упругой среде: в плоскости t, х в момент времени t = 0 заданы сле дующие величины:
°‘ = K + - L . / + 2- ’ |
|||
|
2 ’ |
' т |
2 |
«г = («г)" 1 |
. , |
1 » |
|
‘-I- 2 |
• '+ 2 |
|
|
II |
т |
т |
|
|
|
||
^ = K + - L , I - L ' |
|
||
+ 2 |
’ 7 |
2 |
|
^ |
= |
К |
+ ± |
|
, + j_> |
|
|
|
|
+ 2 ’ |
7 + 2 |
||
т = |
т" |
1 |
|
1 |
, |
X> 0, |
|
£+т* 7+ т |
|
|
|||
ог = {аг)п , |
’ |
7 |
1 , |
|||
|
|
|
2 |
2 |
||
т = т" |
1 |
7 |
1 |
|
Л' < 0. |
|
|
*+ 2 • |
2 |
|
|
Требуется найти функции ц2, vr, <JZ т при / > 0, —ОО < X С < + оо. Ввиду очевидности дальнейших преобразований они не приводятся.
„ + JL |
п+ _!_ |
|
Для определения величин ($) |
i |
(/з). i2 . в ячейках, ле- |
* + |
Т * 7 |
, + Т * 7 |
жащих на границе расчетной области, используются известные в за даче граничные условия. Опуская промежуточные выкладки, выпи шем окончательные выражения:
/ = 0, t = l , 2 ......... М - 1 (z = 0, 0 < г < /?а);
, = < < + ■ . . 4 . +
241
|
|
( Ч |
+ |
4 |
- . |
о |
='* |
2 K |
+ |
4V -' |
i |
+ |
(° z)" + |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т" |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п + Т |
|
|
|
л |
I Т = 0; |
|
л |
|
|
||||
|
|
|
< 4 + i . = 0 ' |
|
*+-5-. 0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
>'.-4 |
- » = 0 ' |
|
Т(+т - |
|
|
|
|
|
|
||||
1 = |
М !, |
/ = |
0, |
1 ,2 , |
. . . . |
L |
— |
1, |
(г = |
#1, |
о < |
z < |
# i ) ; |
|
||
|
п+4- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' + т |
|
|
||
|
ГЧ . / + -5* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
' Т |
|
|
|
|
|
|
- сх |
|
1 |
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ + -а- |
|
|
|
|
|
|
"+ т |
|
|
|
|
|
|
1 = |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
< ч , , . ; + ± = ° ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
/ _ 1 » |
i = 0 , 1 , 2 |
|
Ма — 1, |
(z = //, + |
*/,,, |
|
0 < r < R ,) |
|
||||||||
|
( ч + { , , = к + ± . |
|
|
|
|
t , _ ± ; |
|
|
||||||||
|
н |
+7 . , , = к + ' , , _ , - ( Ч + ' |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Л+ т |
|
= |
0, |
|
« + Т |
= |
0. |
|
|
|
|
||
|
|
(ff2) |
I2 |
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
VZ/i+ 4-. L, |
|
|
|
*•+4-. |
|
|
|
|
|
|
Д л я расчета точек, лежащих на оси симметрии, принимается: Vr = 0, т — 0. Расчетные формулы имеют вид:
о |
1 |
(г = 0, 0 < Z < H X + H 2)
х 2 1 = 0 ; 0 ./+ 4 -
= « 1 . |
; + х> |
(Ч . / + 4- = ^ Т * / + т |
2 ’ |
2 |
Выписанных выше соотношений достаточно, чтобы по известным в момент времени t = п А/ значениям
К |
+±. , 4 ’ |
K V -i-. /+4-’ |
К + 4 - . ,+ |
К |
+4, /+ i-> |
(аф)"+-|-. /+4-’ |
т"+4- /+■ |
242
вычислить те же величины
В момент времени t' = (п + 1) At при i = О, 1, .... М2 — 1, / =
=О, 1, 2, .... L2 — 1.
Покажем, что представленная выше разностная схема устойчива,
если выполняются условия
В пространстве сеточных вектор-функций
Рц={(Рг)и. (Vzhj, (or)tj> (Ъ)и> К Ь > ъц\
введем норму
I Р |2 = 2 S \.{Vrfij + (V zfij + (ffr)i/ — (G zfij -Г (СГфf i j -+- T f/].
*/
Для устойчивости разностной схемы достаточно показать, что норма сеточной вектор-функции FtJ в момент времени f = (п 1) А/ не превосходит нормы Fti в момент времени t = n-At. Уравнение (7.10) можно записать в виде
Выражения в фигурных скобках можно рассматривать как одномер ные разностные операторы Нг и Нгу действующие в пространствах г, t и г, t соответственно. Перепишем последнее выражение, исполь зуя операторы Нг и Нг\
Из этого выражения следует, что разностная схема будет устойчива, если
1 - АЦА1ГAt/Atz> 0 , |
1 HrI< 1, |
I Н21< 1. |
Следовательно, вопрос об устойчивости двумерной разностной схемы сводится к исследованию устойчивости «одномерных» разностных схем, определяемых операторами Нг и Нг.
243
Запишем одномерную разностную схему, определяемую операто ром Нг, в переменных vr, vZ) аг, а2, оф, т:
(о,)?+‘ = |
ы ? + |
4 г |
t w + i |
- |
+ |
(!'г)‘+| ~ |
2 (tv)?+ |
(£V)“- |J; |
|
(»,)7+1 = |
(«,)? + |
-| ‘f |
[т?+1 - |
т?_| + 2 (Ы |
“+1 - |
2 ы ? + |
(о .)? -|)]; |
||
(a,)!+l = (ft,У! + 4^- [(»г)7+1 - («г)? + |
М ж - |
2Ы? + (0Г)?_,]; |
|||||||
(®г)”+1 = Ы? + 4 г Ы7+1 - |
|
(»,)?-. + Ы?+. - |
2(о,)7 + Ы?_,) х |
||||||
|
|
|
х (1 - 2С2); |
|
|
|
|
||
Ы ?+ ' = (оф)“ + 4 r |
[(»,)?+, - (о,)?-. + |
Ы7+. - |
2 (а,)! + |
М ? -.] х |
|||||
|
|
|
X (1 — 2С2); |
|
|
|
|
||
.я-И ___я I |
ST " |
/*>2 I / \Я |
|
/ \Я |
I |
^H -l |
г |
—I |
|
t — Т , -j |
С (l'z )j - f 1 |
1 |
" Г |
|
|
Устойчивость полученной разностной схемы будет обеспечена при выполнении условия Д/2 < hx. Аналогично устанавливается устойчивость «одномерной» разностной схемы, определяемой опера тором Hz : Atz < h.
Окончательно достаточное условие устойчивости разностной схемы можно записать следующим образом:
u , < h , A t , < k .
8.4. МЕТОД ЛАКСА—ВЕНДРОФФА
Схема числового расчета динамических задач, предложенная П. Лаксом и Б. Вендроффом, широко используется для решения задач газовой динамики и твердого деформируемого тела как для ма лых, так и для больших деформаций. Для случая малых деформа ций схема Лакса—Вендроффа существенно упрощается и становится весьма удобной для расчета упругопластических течений в твердых телах.
Схема Лакса—Вендроффа весьма эффективна при решении ги
перболических систем, |
записанных в дивергентной |
форме: |
™ . + |
^ - L ( W ) + - ! L M (W)=*0. |
(8.13) |
Решение в момент времени (п + 1) At, где At — шаг по времени, ищется в виде ряда Тейлора по степеням At
w i t ' = W1I + +
<814>
где А =1! w H ’ В = II1 W7 I ~ матРиДа Якоби.
244
Для уравнений теории упругости н пластичности с малыми де формациями матрицы А и В — постоянные, так что схема (8.14) существенно упрощается.
Рассмотрим далее метод Лакса—Вендроффа применительно к ре шению осесимметричных задач. Пусть в области В введена равно мерная сетка В п с шагом по пространственным переменным h и вре
мени Дt. Пусть |
Гл — множество |
граничных точек сетки (?л, W = |
|||||||
= {IP, |
W2, .... |
IP} — вектор, компоненты |
которого |
равны |
W1 = |
||||
= ur, |
W2 = иг, |
Wz = р, |
= |
е2, W5 = |
е, W* = |
еф, Р 7 |
= |
<о. |
|
Пусть |
W |
— |
значения |
W в узлах сетки г = /Л,г= |
/А, |
вмомен |
|||
времени / = |
/г-Д/, п = 1,2, |
.... W. Примем в качестве нормы сеточ |
|||||||
ных функций, определенных |
на Bh, следующее выражение |
|
|
||||||
|
|
|
|| W ||/, = |
max |
max \W n\. |
|
(8.15) |
||
|
|
|
|
h < N |
i, j £ Bh |
|
|
|
|
Для определения приближенного решения сформулированной выше краевой задачи воспользуемся следующим методом. Рассмот рим вопрос о сходимости по норме (8.15) приближенного решения к точному решению краевой задачи. Запишем полную систему урав нений движения среды в следующей форме
d\V , |
л 3W , |
„ dw , , |
Л |
(Л |
-ЗГ + |
Л - д Г + В -аГ "<-/ = |
0. |
(8.16) |
|
где А и В — известные матрицы, |
зависящие от вектора |
W. На оси |
симметрии при /' = 0 0 < z < t f 1 + / / 2 выполняются условия иГ = = т = 0. Условие т = 0 эквивалентно е = 0 и из (8.16) можно по лучить диг1дг = 0. Предполагая, что иг имеет вторую производную
по г при г = 0, нетрудно показать, что для |
осесимметричных дви |
|
жений должно выполняться |
равенство |
|
^ |
= 0 при г = 0. |
(8.17) |
С учетом (8.17) получим дополнительные условия на оси симме трии r = 0 0 < z < : t f i - j -# 2
|
dp |
_ |
dez |
_ |
деф |
__ |
да) |
__ п |
|
|
(8.18) |
|
|
дг |
~ |
дг |
~ |
дг |
~ |
дг |
~ |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
Нетрудно видеть, что т = 0 во всех точках, |
принадлежащих |
ГЛ. |
||||||||||
Определим |
значения |
векторной |
функции |
W при |
г = |
0, |
№7/, |
|||||
/ = 1, 2 |
п = |
1, |
2, ..., |
N, следующим |
образом |
W'!j |
= |
|
Последнее равенство аппроксимирует (8.9) с первым порядком по А
и I W'ij | = | W$j | для любого п < |
N, / |
= |
1, 2, |
..., |
J. Во |
внутренних |
|||
точках сетки Bh значения векторной функции |
W определяются по |
||||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wl+I = - L О П н . , + |
w |
u . , + |
П |
ж |
+ |
г |
/ |
. |
- |
- [А («7?+,., - W U . /) + |
В |
( П |
- |
« 7 |
7 |
, |
- |
|
/"Д(. (8.19) |
245
Покажем, что (8.19) аппроксимирует любое решение системы дифференциальных уравнений (8.16) с первым порядком. Подставим решение (8.19) W в (8.16) и воспользуемся формулой Тейлора
W t i - - 5 - ( # ? + .. / + W U . , + # ? . / + 1 + W1, |
|
+ |
||||||||
+ г м + [а (#?+,., - |
|
, ) + |
в (# г . /+. - |
т |
. |
4 г = |
||||
= 4 * (-г + л - з г + в - 1 Г + / ; + - 5 Г — - |
|
|||||||||
i ал2 |
^ |
\ |
/г2 |
_ |
д*\У |
А/2 |
[ д2ЦУ |
d*W \ |
h2 . |
|
аг2 |
/ |
4 |
~ |
а/2 |
2 |
\ аг2 |
а^2 |
/ |
4 “■ |
|
|
|
|
+ о(Д*2) + о (П |
|
|
(8.20) |
Из (8.20) следует справедливость утверждения. Для случая постоян ных матриц А и В и / = 0 для выполнения необходимого условия устойчивости Неймана достаточно, чтобы h и At удовлетворяли ра венству
\f2ciAt |
< 1. |
(8.21) |
h |
|
|
Для определения значений Wfi в граничных точках сетки Bh воспользуемся граничными условиями т = 0 и ап = 0, где оп — напряжение по нормали.
Приведем формулы, позволяющие вычислить Wq на боковой по верхности цилиндрических пластин: г = R lt 0 < z < г = /?, ff1 < z < H 1 + H t .
И7"4}1= - f (2Г?., + |
W1. ;+| + |
Г |
Г . |
- л ( г ?,, - |
W U . ,) • £ - |
||||
- В ( п ж |
- |
Г?. |
+ ГД/. |
|
|
(8.22) |
|||
Чтобы удовлетворить |
граничным |
условиям,- |
полагаем |
e«+i = О, |
|||||
а значение pjH:1 находим из равенства |
|
|
|
|
’' |
||||
Ъг (Р) = |
0Г(р, |
(ег)?+!, О, (еф)"+у) = 0. |
|
|
(8.23) |
||||
В точках z = 0, г = R lt z = Я, г = « 2, г = |
Я , + |
Я2. /- = |
ре- |
||||||
шение краевой задачи должно |
удовлетворять |
граничным |
условиям |
||||||
|
or = az = т = |
0. |
|
|
|
|
|||
Чтобы удовлетворить |
этим |
условиям, |
полагаем e"+i = 0. |
Опреде- |
|||||
лив (и,)йИ, (иг) 1 + (еф)Г/', |
0)?+', |
значения pf+‘, |
(ej)f+‘ |
|
найдем |
||||
из системы уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
Or (р» |
6z> 0 (вф)^1) = 0 |
|
|
|
|
|||
1 |
ъ (р , |
Sz, |
0, |
(еф) ? л = 0 . |
|
|
|
246
Аналогично площадь нижнего треугольника
(Ль)" = & fa ~ ri) + z4 Оri ~ г%) + *i (г2 - г4)]п/2.
Для вычисления Ва, заметаемого верхним треугольником ячейки при вращении вокруг оси симметрии Ог, проинтегрируем элемент объема в цилиндрических координатах
Ва = | rdrdzdy = 2л J |
rdrdz = 2я |
Ад J rdrdz. |
|
|
Аа |
Величина (1IAa) \ г dr dz представляет собой усреднение коорди- |
||
Аа |
|
|
наты г по площади треугольника, |
т. е. г — координату его центра |
тяжести, совпадающего, очевидно, с точкой пересечения медиан тре угольника, которая в свою'очередь имеет координату г = (г2 + г3 -f + г4)/3. Таким образом,
Ва = (2я/3) [(г2 гэ -(- г4) Аа]п.
Аналогично объем, заметаемый нижним треугольником ячейки, есть
Впь =(2и/3)[(г1-{-гъ-\-г4)А ь)п.
Поэтому объем (£){», ячейки Г в момент п At есть
№ ' = {Ва)п + Вь) \
Относительный объем ячейки V" вычисляется как
V"' = (р°/р)"'.
где р° — начальная площадь материала ячейки; р'1 = Мг/(В)" — текущая плотность материала в момент п A/; M lt = р° (£)f, — масса ячейки, не изменяющаяся со временем.
Для построения разностных аналогов частных производных по координатам воспользуемся формулой Грина
jP(T, z)<k+ Q<r, *)dr=JJ ( - |--- %)drdz,
d D D
где справа интеграл берется на некоторой области D, а слева — по ее границе dD.
Пусть функция Р (г, z) задана в узлах сетки. Выберем в каче стве области D ячейку Г расчетной сетки и положим Q = 0. По тео реме о среднем
t *
D
где(|, ^ — некоторая точка ячейки Г. Будем считать, что значе ние дР (|, т])/дг близко к значению дР/дг в центре ячейки. Интеграл —
\ Р dz разобьем на четыре интеграла вдоль сторон ячейки
dD |
[2 |
3 |
4 |
1 |
|
||||
|
f P d z + \ P d z + \ P d z + \ P d z |
|||
248 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
- ~ r K a" ~ r ) l. + ( a" 4 - ) 2. + ( ° " i r ) 3. + |
( CT~ 4 |
")«'J" : |
||||||||
P//f “ |
4 |
|[(0 ,r |
Офф) |
I' “H I(CT„ |
СГфф) ,4 /A f]3' |
|
||||
+ |
[(®rr — вщ)А1М\з- + |
[ ( o „ - |
|
® ф ф ) |
|
|
|
|||
Пользуясь соотношениями |
(8.25) — (8.29) |
для |
скоростей |
деформа |
||||||
ций, получим следующие конечноразностные соотношения |
||||||||||
(e„)i-+1/2 = (* ,I d r p '1* = - |
|[(»г)г - Ы ,] (г3 - г,) - |
|
||||||||
|
- |
[Ы з - |
(»r)]i («а - |
г4)('‘+,/2/2-47-+1'2; |
|
|
||||
Ы Р ' ,г = {dvjdz)pw = {[(о,)2 - |
(нг)4) (r3 - |
п) - |
|
|||||||
|
- |
[(»г)з - |
fe)il h - |
г,)) а+‘‘г/2 А р ''г: |
|
(8.29) |
||||
2 (е„)?.+|/2 = |
(даг/дг + dojdrp** = ([(ог)2 - |
(ty)4] (г, - г,) - |
||||||||
1(Иг)з |
(Or)ll (Т’г |
Т4) |
[(о*)2 |
(»г)4](з3 — 2j) -(- |
|
|||||
|
+ |
[(»Л - |
(ог)|] (* - |
г4)Г+,/2/244"+|/2 |
|
|
||||
Здесь д4л+1/2 = (Л"+1 + |
Ап)/2 — средняя |
|
площадь |
ячейки за вре |
||||||
мя At. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Компонента ёфф тензора |
скоростей деформаций |
вычисляется из |
уравнения неразрывности, чем достигается точное выполнение за кона сохранения массы
|
(ёФф) ^ ,/2 = [ ^ |
- ё |
„ - 4 |
гг)?;и/2; |
|
(V7K)?tl/2 At = (ДVIV)PW = |
[ ( Г +1- Г ) /К п+'/2],., |
(8.30) |
|||
где V,f,+|/2 = |
(Vn+l 4. Vn)1 /2 — средний относительный объем ячейки |
||||
за At. |
|
|
|
|
|
По соотношениям (8.29) и (8.30) вычисляются приращения де |
|||||
формаций за |
время At: |
|
|
|
|
|
(Де„)?.+|'2 = |
(е„)?.+1,2Д<, |
|
||
|
(Де»)1^'/2 = |
(егг)?Я«Д/, |
(8.31) |
||
|
(Де„) = (e„)?.+1/2 At, |
|
|
||
|
(Дефф)!'+|/2 = (AV/V - |
Де„ - |
Дегг)1'.+|/2. |
|
Приращения девиатора тензора напряжений внутри зоны упру гости в пространстве девиаторов, ограниченной поверхностью теку
чести Мизеса |
= 2Y% |
вычисляются по упругому |
закону |
||
(з„)Г-+1 = |
(s„)r. + |
2С[Де„ - |
ДУ/ЗУ]"+|/2 + |
(8„)|!, |
|
(s„)|’,+1 = |
(s«)f. + |
20 [Де« - |
ДУ/К1?.+|/2 + |
(6„)?-, |
|
(«фф)Г-+‘ = (Зфф)?- + 20 [Двфф - ДУ/У]?.+|/2, |
(8.32) |
||||
|
= (Srz)i’ "1“ 2G(Дега)?-+!/2 -|- (8»)i'- |
|
Здесь 6„, 6Я1 6rz — поправки^ на’^поворот.
2 5 0