книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики
..pdf1°. Потенциалы простого слоя (6.98), (6.96) непрерывны во всем пространстве R3 (соответственно на плоскости R3).
2°. Потенциалы двойного слоя (6.97), (6.99) и нормальные производные потенциалов простого слоя терпят разрыв первого рода при переходе через поверхность S (кривую L).
Т е о р е м а о с к а ч к е п о т е н ц и а л а д в о й н о г о слоя .
Пусть
Я0е 5 ( 1 ) , и1(Р0) = Нш ^(Ж ),иДЯ0) = Пт и(М),
где и |
(М) — потенциал двойного слоя (6.97) в R3 (соответст- |
венно |
(6.99) в R2). Тогда для потенциала двойного слоя в R3 |
имеем |
|
Щ(Ро)=и(Ро) — 2лР(ро)> |
tie(PQ)=ti(PQ)+2n9(PQ), |
(6.100) |
а в |
R2 |
|
|
|
Ui(P0)=u(Po) — n9{P0), |
М Я0)=и(Я0)+яр(Р0), |
(6.101) |
где |
через и(Ро) в равенстве |
(6.100) обозначен интеграл |
а в равенстве (6.101) — интеграл
L
Докажем справедливость равенства (6.101) в случае по стоянной плотности р(Р) = р о —const. Согласно (6.99), имеем
(6. 102)
L РМ
Пусть Mœ D, P œ L. Проведем окружность радиуса \МР\ с цен тром в точке М. Пусть а — угол между этой окружностью и кривой I в точке их пересечения Р (рис. 6.15). Тогда, очевид
но, а+ {РМ, п7)=п. Пусть — угол, под которым видны из
точки М элемент dl дуги L и элемент ds=|AlP|d<p окружности. Очевидно, элемент ds, как проекция dl на дугу окружности, ранен d s = d l cos а. Отсюда
или
dl cos {PM, np) = —dy.
|
|
|
|
PM |
|
|
|
|
|
Подставляя это выражение в (6.102), получаем |
|
||||||||
|
|
|
|
р —2лр0 при M œ D> |
|||||
|
и(М)=р0J ( —с?(р)=. |
— лр0 |
при |
|
|
||||
|
|
|
L |
I |
|
0 |
при MçfcD, |
||
|
|
|
|
откуда следует, что |
|
||||
|
|
|
|
|
|
tti{P0) = |
2ярд, |
U {PQ)=Z |
|
|
|
|
|
|
|
= |
^PQ, и(Р0)= 0 , |
||
|
|
|
|
|
|
U i ( P Q) = u { P 0 ) - n p Q, |
|||
|
|
|
|
|
|
^ e { P o ) = t t ( P 0 ) + n p Q. |
|||
|
|
|
|
Сформулируем без доказатель |
|||||
|
|
|
|
ства теорему о скачке нормальной |
|||||
|
|
|
|
производной |
потенциала простого |
||||
|
|
|
|
слоя. |
|
|
|
Пусть P0i=S(L). |
|
|
|
|
|
Т е о р е м а . |
|||||
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
||
du | _ |
|
Ит |
|
, |
_*LI |
= |
Пт |
SSÛL=£ÜQ, |
|
дл+ IP , |
M |
+ P O |
|
г M P , |
|
d n ~ l^o |
|
M - + P , |
r M P |
|
MÇD |
|
|
|
|
|
MÇD |
|
|
|
P , A î i \ n p 0 |
|
|
|
MPÏHnPo |
||||
/з(P0)= |
ff |
H P )™ < .P » P .« p .l_ dSt |
|
/ г(Ро)= rtfflgLCPfPTSft)d L |
|||||
|
J oJ |
|
' гр р . |
|
|
|
■} |
|
r P P . |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в R3: du |
P•=/.(/>о)+2яР(Р0). |
~ |
= |
/ 3(P0) —2яр (P0), |
|||||
|
dn~ |
PQ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.103) |
|
|
p, |
= / 2(/5о)+яр(/>о). |
-P r |
— l i i P 0) |
Яр (PQ). |
|||
|
|
|
|
|
an+ |
P» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.104) |
Используя теорему о скачках, можно решение краевых за дач для уравнения Лапласа свести к решению интегральных уравнений. Рассмотрим это на примере внутренней задачи Ди
рихле на |
плоскости: найти функцию u^C2{D)Ç[C(D) такую, |
|
что |
|
|
|
Аи=0 в D, |
|
|
U \L=V, |
(6.105) |
где L — граница области D. |
в виде потенциала |
|
Будем |
искать решение задачи (6.105) |
двойного слоя, плотность которого следует определить. Соглас
но (6.105), |
имеем |
jx(Po) =Ui(Po)VPoŒL. По теореме |
о скачке |
|||
потенциала |
двойного |
слоя согласно равенству (6.101) |
имеем |
|||
|
|
|
|
р ( Р ) С 0 5 ( Р , Р „ , ~ П р ) d l _ „ f ( P o ) |
|
|
|
|
|
|
ГРРш |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
f { p a ) = |
± |
Г |
Р(Р)соз(РР„Яр) |
а _ ± |
|
|
|
|
Л |
<1 |
' ГРРо |
31 |
|
/
Таким образом, внутреннюю задачу Дирихле удалось све сти к нахождению плотности р из интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Для внешней задачи Дирихле ана логично получим следующее интегральное уравнение относи тельно плотности потенциала двойного слоя
p(Po)= - - L С и и у . д + 1 ^
РРо
Решение внутренней и внешней задач Неймана ищем в ви де потенциала простого слоя, для плотности которого в соот ветствии с теоремой о скачке его нормальной производной по лучаем соответственно интегральные уравнения
Р ( Р 0 ) - - - - - - - - - f |
p ( p |
> c ° s ( p p t " ', p .> r f / + - L [ i . ( p>0 ) |
|
|
п у |
г р р » |
rt |
|
Г |
|
|
р ( Р „ ) = — |
f ■ |
^PP |
■(il— Ln(/>o). |
^ |
y |
^ |
Аналогично сводят к интегральным уравнениям задачи Ди рихле и Неймана в пространстве R3.
§ 6.7. РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ГИДРОАЭРОДИНАМИКИ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
В § 2.2 было показано, что безвихревые установившиеся движения несжимаемой идеальной жидкости в области, свобод ной от стоков и источников, описываются уравнением Лапласа Д ц = 0, где и— потенциал скорости. В плоском случае потенциал скорости — гармоническая функция только двух координат и = = и ( х , у) и его можно рассматривать как действительную часть аналитической функции комплексного переменного. Таким образом, для изучения указанного класса течений жидкости можно использовать аппарат теории функций комплексного переменного. В этом параграфе будет изложено решение пло ской задачи полного обтекания профиля с помощью конформ ных отображений. Предварительно рассмотрим геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функ ции, конформные отображения, гидромеханический смысл про изводной аналитической функции, комплексный потенциал.
Пусть в области D комплексного переменного z определена комплекснозначная функция w = f ( z ) , т. е. каждой точке z =
= x + i y ^ D поставлено |
в соответствие комплексное число w = |
= u + iv. Эту функцию |
можно представить в виде f(z) = |
—u{xt у) +iv(x, у ), где и{х, # ) = R e/ (*+«/) и v{x, y ) = I m f(x+
+ iy) — действительные функции действительных переменных
х и у.
Понятия предела и непрерывности функции f(z) (в точке, области) вводятся так же, как и для действительных функций действительных переменных, поэтому мы на них не останавли ваемся. Отметим лишь, что для существования предела
l i m w ( z ) = w Qt
где-£о=*о+11/о, Wo—tio+ivo, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы
lim |
и (х ,у )= и 0 и |
lim |
v(x, y ) = v Qt |
|
||
(Х,у)-*{Х0,у0) |
|
|
{Х,у) -К-ГоУо) |
|
|
|
а для непрерывности w (z) |
в точке zо необходимо и достаточно, |
|||||
чтобы функции и(х, у) и v(x, |
у) |
были |
непрерывны |
в точке |
||
(хо, Уо). |
|
|
|
в точке z называется предел |
||
Производной функции w = f ( z ) |
||||||
J Ë L = /'(z )= H m |
/( « + * * ) - / ( « ) — lim -^L |
(6.106) |
||||
dz |
z+z0 |
|
Дг |
AZ-уО AZ |
|
|
в предположении, что он существует и конечен. |
|
|||||
Существование предела |
(6.106) |
означает, что он не должен |
зависеть от способа стремления к нулю приращения Дz, в част ности, не должен зависеть от направления, по которому Az-*-0.
Последнее обстоятельство накладывает весьма жесткие огра ничения на функцию /(г), подчиняет ее действительную и мни мую части определенным связям. А именно, пусть в точке z су ществует /'(г). Выражая приращения Aw и Az через их дейст вительные и мнимые части, запишем равенство (6.106) в виде
— Нш |
+ а*>у +Ьу)-и(х, у) . |
||
Д хио |
Ь х + 1 Ь у |
”* |
|
Ду] |
|
|
|
-L/lirn |
"(* + А*. у + Ау)- « ( * , » ) |
(6.107) |
|
Дх)_^о |
Ад: + /Ду |
||
|
Ду)
Пусть сначала Ay=Q, Az—Ax (рис. 6.16). Тогда выражение (6.107) принимает вид
|
/ ' ( * ) = Нт |
«(* + А*,у)-<.(дг.у) |
|
, |
|
i\ |
Ах->0 |
|
&Х |
|
|
|
+ i Пт »(* + **■>)-»(*■») |
. |
(6.108) |
||
|
&х-*0 |
Ад: |
|
' |
|
Так как f'(z) |
существует, |
то существуют и конечные пределы |
|||
в правой части равенства |
(6.108), т. е. |
|
|
||
|
/ ' < * > = £ + ' - £ • |
|
<6Л09> |
||
Пусть теперь |
в равенстве |
(6.107) |
Алт=0, Az=iAy (рис. 6.17). |
||
Тогда получаем |
|
|
|
|
|
f ' ( Z ) = i Н т |
и ( х , y - f - A a ) - u ( x , у) . |
v ( x t y + à y ) — v ( x t y) |
|||
Дг->0 |
iày |
|
&у-*0 |
|
iày |
откуда, рассуждая аналогично предыдущему, имеем |
|||||
|
/ ' < * > = - ' - 5 - + - S - |
|
С6.1Ю) |
В силу независимости предела (6.106) от выбора направления, по которому Az-й), из (6.109) и (6.110) получаем
да |
. . |
д и |
dv |
. |
да |
дх |
* |
дх |
ду |
|
ду |
и, следовательно, |
dv |
|
|
„ |
да |
да |
|
dv |
|||
дх |
дУ |
|
дх |
|
(6. 111) |
|
|
ду |
Соотношения (6.111) называются условиями Коши — Римана и устанавливают отмеченную выше связь между действительной и мнимой частями дифференцируемой функции комплексного переменного. Можно доказать, что существование производных
да |
du |
du |
ди |
в |
окрестности |
. |
. |
и их непре- |
|
---- , |
------, |
------, ------ |
точки (х, |
у) |
|||||
дх |
ду |
дх j |
ду |
|
|
|
|
|
|
рывность |
в этой |
точке |
вместе |
с условиями |
Коши — Римана |
||||
(6.111) являются достаточными |
условиями дифференцируемо |
||||||||
сти функции f(z)= u (x , y)+iv(x, |
у) |
в точке z = x + iy . |
|||||||
Функция w —f(z) |
называется аналитической в точке z, если |
||||||||
она однозначно определена и дифференцируема |
в некоторой |
||||||||
окрестности этой |
точки. Функция, однозначно |
определенная в |
области D и аналитическая в каждой точке этой области (т. е. просто дифференцируемая в каждой точке), называется
аналитической в области D.
|
Так, для |
функции |
w —z имеем: |
и=х, |
v ——у, |
-^-==1: |
||
ди |
Л |
да |
, dv |
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
(6.111), |
||||
— |
= - 1 , откуда — ф — и условия Коши — Римана |
|||||||
ду |
|
дх |
~ду |
функция w = z |
|
|
|
|
не |
выполнены. Следовательно, |
не дифференци |
||||||
руема ни в одной точке комплексной плоскости. |
|
|
||||||
|
Для функции w = z 2 имеем: w = ( x —iy)2= x 2—у2— 2ixy, |
|||||||
v = |
— 2xy, и—х2 — у'2, |
du = 2x, |
du = — 2x, |
du |
— 2y, |
|||
|
|
|
дх |
|
ду |
|
dy |
|
дх |
= —2y |
и условия Коши |
Римана' выполнены |
лишь при |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х=0, у = 0, т. е. только в точке z = 0 . Следовательно, |
функция |
|||
z2 дифференцируема лишь в точке z = 0 |
и не является |
анали |
||
тической функцией ни в одной точке. |
|
|
|
|
Рассматривая функцию 'zy=ez= e -rco sy -|-/ex siny, |
получаем |
|||
# = e xcos*/, |
'y = ex siny., - ^ - = e x cosу, |
- ^ - = e xcosy, |
|
du _ |
|
ду |
|||
|
du |
ду |
|
|
= —exsin yj |
|
|
выпол |
|
— = e xslny и условия Коши Римана |
дх
нены в любой точке комплексной плоскости. Следовательно,
15&
функция ez является |
аналитической во всей комплексной пло |
|||||
скости. |
|
|
|
|
справедливы |
те же правила |
Для аналитических функций |
||||||
дифференцирования, |
что |
и для действительных |
функций дей |
|||
ствительного переменного. |
|
не |
|
|||
Рассмотрим |
на плоскости XY |
|
||||
которую гладкую кривую Г, заданную |
|
|||||
параметрическими |
уравнениями |
х = |
|
|||
= х ( 0 , y = y { t ) , |
|
|
где |
x(t), |
|
|
y(t) — непрерывно дифференцируемые |
|
|||||
функции, х2+ у 2ф 0. |
Полагая |
z(t) — |
|
|||
=rX(t) +iy{t), |
получаем |
комплексно |
|
|||
параметрическое уравнение кривой Г. |
|
|||||
Например, параметрические |
уравне |
|
||||
ния окружности радиуса R с центром |
|
|||||
в точке (хо; у о) имеют вид |
|
|
|
|||
JC= |
JC0+ /? COS^, |
|
|
|
||
* /= /0-f/? sin /, |
0 < / < 2 я . |
|
|
Комплексно-параметрическим уравнением этой окружности яв ляются
z = z Q-\-Re“, 0 < / < 2 я , z0= x 0+ iy 0.
Так как существуют производные х, у, то существует производ ная
г '( 0 = — |
— Üm g(f + A9-.l< l> = H ni |
*(<+*<>-*('> |
, |
|||
dt |
At+0 |
At |
|
д/-*-о |
At |
|
|
-(-Urn |
«V + |
- (О |
= x + t ÿ , |
|
|
|
д/ - 0 |
|
At |
|
|
|
причем z'(t)=£0, поскольку |
\z{t) \2—х2-\-у2ф^. Геометрически |
|||||
это означает |
следующее: |
вектор |
, |
коллинеарный |
хорде |
|
|
|
|
|
At |
|
|
Az, стягивающей дугу (2, z+Az) кривой Г (рис. 6.18), при
At->-0 стремится занять положение вектора, касательного к кри вой Г в точке z. Тогда argz'(t), равный углу между вектором zf(t) и положительным направлением оси Ох, также равен углу между касательной к кривой Г и положительным направлением оси Ох.
Выясним теперь геометрический смысл аргумента и модуля производной функции комплексного переменного. Пусть w== —f(z) — аналитическая в области D функция и f'(z) фО. Пусть также в области D через точку z проходит произвольная глад
кая кривая Г, уравнение которой z= z(t), |
где z(t) — непрерыв- |
но дифференцируемая функция и — ^ 0 |
на [a, 01. Функция |
w = f ( z ) отображает область D в D' и кривую Г в Г: w =
= ги[г(0]= ® (0-
Согласно правилу дифференцирования сложной функции имеем
|
dw |
|
dw |
dz |
(6. 112) |
|
dt |
|
d z |
dt |
|
|
|
* |
|||
и так как по условию |
dw |
|
d z |
непрерывны и отличны от |
|
|
■ и — |
||||
dw |
|
dw |
|
. „ |
Следовательно, Г' — |
нуля, то —^-непрерывна и |
dt |
ф о . |
|||
dt |
|
|
|
|
гладкая кривая.
Вводя обозначения
dz |
,т |
dw |
|
dw |
. , |
dt |
= г е 1?, |
— - = р е ^ , |
.------= Л е ,в |
||
|
^ dt |
r |
d z |
|
|
(рис. 6.19), перепишем равенство (6.112) |
в виде |
||||
|
|
ре*У— А ес*ге1г, |
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
а = ф — ср. |
|
(6.113) |
Из соотношения (6.113) видно, что аргумент производной ана
литической функции w = f(z) равен углу, на который |
повора |
чивается гладкая кривая Г при ее отображении с |
помощью |
аналитической функции w —f(z). В силу произвольности кри вой Г все кривые, проходящие через точку z, поворачиваются на один и тот же угол а. Следовательно, угол Между любыми
двумя кривыми Ti |
и Гг, проходящими через точку г, при их |
||||
отображении o>=*=f(z) |
в кривые Г / и Гг' сохраняется. |
||||
Таким |
образом, |
отображение |
с помощью |
аналитической |
|
функции |
w —f(z) |
обладает свойством сохранения углов по ве |
|||
личине и направлению в точках, где 1'(г)ф 0. |
(6.106), имеем |
||||
Далее, исходя |
из |
определения |
производной |
||
Л — llm |
, |
|
|
|
Дг-»0 | кг I
откуда
Л = Т 1 7 Г + * (Дг>'
где у (Az) — бесконечно ма лая при Az->0, или
| Aw| = А |Az |-|-у (A2) \ I-
Последние равенства можно заменить следующими приближен ными равенствами:
|
I Дг | |
V |
' |
|
|Дда|^Л|Аг|. |
(6.115) |
|
Из равенства (6.114) |
видно, что модуль производной аналити |
||
ческой функции — это |
отношение расстояния между |
близкими |
|
отображенными точками w и ьу+А о; к расстоянию |
между со |
||
ответствующими им близкими отображаемыми точками z |
и |
||
z+Az (рис. 6.20). Так |
как модуль А производной |
не зависит |
от выбора точки z+Az вблизи z, то, как следует из равенства
(6.115), все точки z+Az, отстоящие |
от точки z на одинаково |
|||
малое |
расстояние |Az|=p, перейдут |
при |
отображении ш = |
|
= w ( z ) |
в точки w+Aw, отстоящие от точки w на одно и то же |
|||
малое |
расстояние |Ддо|«Лр. |
Таким |
образом, отображение, |
|
осуществляемое аналитической |
функцией |
с отличной от нуля |
производной, обладает свойством постоянства растяжений ма лых окрестностей отображаемых точек. Модуль производной в некоторой точке является коэффициентом растяжения (сжатия) малой окрестности точки.
Отображение с помощью аналитической функции w =f(z) можно рассматривать как отображение, заданное системой функций
и=и(х,у),
(6.116)
v = v (x , у),
где н, и— непрерывно дифференцируемые функции, удовлетво
ряющие условиям Коши — Римана (6.111). Якобиан отображе ния (6.116) в силу условий (6.106) равен
|
их иу |
их |
— 'Ох |
= ^ + ^ = l / ' (z)|2 |
||
|
Vy |
Ъх |
их |
|||
|
|
|
|
|||
и при |
О 1Ф 0. Таким образом, условие f'(z)=£Q в обла |
|||||
сти D является условием взаимной однозначности отображения |
||||||
в окрестности точки z. Заметим, что условие {'(г)ф 0 |
в каждой |
|||||
точке |
односвязной |
области |
D еще |
не гарантирует |
взаимной |
|
однозначности отображения |
области |
D в D'. Например, функ |
ция w —z4 имеет в полукольце D : { 1 < | г | < 2 , 0 < a rg z< ;n } про
изводную, отличную от нуля
dw = 4 г 3ф 0,' •
й г
а отображение D на Dr= {1 < |яи| < 2 4, 0<argo><4n} не взаим
но однозначно.
Для обеспечения взаимной однозначности отображения вы деляют области однолистности функции. Область D называется
областью однолистности функции f (z), еслиУ^ь z2e D ,
f(zi)¥=f{Z2). В рассмотренном выше примере областями одно листности w = z 4 являются области D l—{\< i\z \< ^ 2}>< i - 74- <С
< a r g z < ( / - | - l ) - j J , i = |
0 ,1,2,3. |
Взаимно однозначное |
отображение, обладающее свойством |
сохранения углов по величине и направлению и свойством по стоянства растяжений малых окрестностей отображенных то чек, называется конформным отображением. Проведенные вы ше рассуждения позволяют сделать следующее заключение: для того чтобы функция w=f ( z ) реализовывала конформное ото бражение области D, необходимо и достаточно, чтобы в этой области она была: 1 ) однолистной; 2 ) аналитической; 3) чтобы
Г( г) ф0 всюду в D.
При практическом использовании конформных отображений наиболее употребительна задача отыскания функции, реали зующей конформное отображение заданной области D на за данную область А. При этом возникают вопросы, связанные с существованием искомого отображения и его единственностью. Приведем некоторые результаты, дающие, ответ на постав
ленные вопросы |
(при |
этом предполагается, |
что понятия об |
|
ласти, границы области, |
односвязной |
области |
известны чита |
|
телю) . |
|
|
w {z) — аналитическая |
|
Принцип сохранения области. Если |
||||
функция в конечной области D и w(z) #con st, |
то при отобра |
|||
жении w —w(z) |
образом области. D является область. |