книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики
..pdfУравнение (2.5) есть интегральная форма уравнения тепло проводности. Оно имеет смысл при относительно слабых огра ничениях, накладываемых на входящие в него функции. В нем интегралы существуют, если функции k, с, р, F только кусочно непрерывны, а функция и непрерывна и кусочно дифференци руема. Как будет видно из изложенного ниже, переход к диф ференциальной форме уравнения теплопроводности связан с бо лее жесткими требованиями гладкости, предъявляемыми к функциям k, с, р, F, и.
Применим в равенстве (2.5) к поверхностному интегралу
формулу Остроградского — Гаусса. В результате |
преобразова |
|
ний получим |
|
|
да |
—diV (k gràd ii) — F\ dx = 0. |
(2.6) |
di |
|
|
Обозначим подынтегральную функцию в этом равенстве че рез Ф(М, /). Пусть Ф(Л1, t) непрерывна в любой точке М рас сматриваемого тела D в любой момент времени t. Тогда ра
венство JJJ Ф (М, t)d x = 0 в силу произвольности выделенного
%
объема т возможно лишь в том случае, .когда Ф(М, / ) = 0 в те ле D при любых t. Действительно, если предположить, что в некоторый момент времени to в некоторой точке Mo подынтег
ральная |
функция отлична от нуля, например Ф(М0, fo )> 0 , то |
||||
в силу |
непрерывности |
Ф (М, |
t) |
найдется |
окрестность то точки |
Mo, в которой функция Ф (М, |
to) |
также положительна. Отсюда |
|||
следует |
неравенство |
<нм, t0)d x > 0 , |
противоречащее ис |
ходному равенству JJJ Ф(Л1, i)dx—0 при любых т и i. На ос
новании сказанного из равенства (2.6) в предположении не прерывности подынтегральной функции и в силу произвольно сти выделенного объема т получим
да |
di V (k grad u) — F = 0. |
(2.7) |
ср dt |
||
Здесь |
|
Урав- |
нение (2.7) есть уравнение теплопроводности в дифференци альной форме.
Заметим, что для обеспечения непрерывности Ф(М, t) необ
ходимо потребовать непрерывность функций с, р, F, непрерыв ную дифференцируемость коэффициента k и существование не
прерывных производных функции и по переменным х, у, z вто рого порядка и по переменной t первого порядка.
|
Для однородного изотропного тела |
р = const, с—const, k — |
|||
= const. Деля уравнение |
(2.7) |
на ср, полагая k /c p = a 2, F /c p = |
|||
. |
д^и |
, |
д2и |
, д2и . |
и, получим уравнение |
—f |
и учитывая, что —--J--------1------= Д |
||||
|
dxï |
|
дур |
дг^ |
|
теплопроводности в канонической форме |
|||||
|
— |
= а гД в + / . |
(2.8) |
||
|
|
dt |
|
|
|
Сравнивая уравнение (2.8) с уравнением (1.25) (см. § 1.2), за ключаем, что уравнение теплопроводности имеет параболиче ский тип.
§2.2. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
Пусть процесс распространения тепла стационарный, т. е.
температура и не зависит от времени. Тогда -“ - = 0 |
и уравне |
|
ние |
(2.8) принимает вид |
|
|
Дu = = f u |
(2.9) |
где |
f i = —f/a2. Уравнение (2.9) называется уравнением Пуас |
сона. Если в рассматриваемой среде отсутствуют источники тепла, не происходит выделения или поглощения тепла, то fi = = 0 и мы получаем уравнение Лапласа
Д й = 0 . |
(2.10) |
Покажем, что уравнением Лапласа описываются также без вихревые движения жидкости. С этой целью выделим в прост ранстве, заполненном движущейся жидкостью (вязкой или идеальной, т. е. лишенной вязкости), произвольный объем т, ограниченный замкнутой гладкой поверхностью S (см. рис. 2.1).
Пусть v=Viï-\-V2]-\-v3k — поле скоростей частиц движущейся
жидкости, р — плотность жидкости, переменная в случае сжи маемой жидкости (газа) и постоянная в случае несжимаемой. При отсутствии в потоке источников и стоков поток жидкости через замкнутую поверхность 5 равен изменению за единицу времени массы жидкости в объеме т, т. е.
J J (№ * № — |
£ JJJprft, |
S |
т |
где Я — единичный вектор внешней нормали к S.
На основании теоремы Остроградского — Гаусса отсюда сле дует, что
J f f ( ( d,v ( W > + - F ) * = 0 "
1
В силу произвольности объема т при условии непрерывности подынтегральной функции отсюда получаем
d iv ( p ïj + 4 f = 0 . |
(2.11) |
ОС |
|
Уравнение (2.11) в гидродинамике называют |
уравнением не |
разрывности. |
|
Рассмотрим теперь безвихревые движения жидкости (что возможно только в идеальной жидкости), т. е. такие, для кото рых rot 6 = 0 . Из курса математического анализа известно, что безвихревое поле потенциально и что оно является полем гра диентов некоторой скалярной функции и(х, у, z, t), называемой потенциалом (в данном случае потенциалом скорости) :
v = —grad и,
|
du |
du |
du |
|
так что vx= — — , v2= — — , |
vA= — — |
• |
||
|
dx |
dy |
dz |
|
Подставляя в |
(2.11) вместо ü = —grad и, получим равенство |
|||
|
|
div(—pgrad и)-\—^ - = 0 , |
|
|
|
|
|
Ot |
|
которое |
в случае |
несжимаемой |
жидкости |
(т. е. в случае р=* |
= const) |
представляет собой уравнение Лапласа |
d ivgrad«=0 или Ди=0.
Таким образом, потенциал скорости любого безвихревого те чения идеальной несжимаемой жидкости при отсутствии в по токе источников и стоков удовлетворяет уравнению Лапласа.
В соответствии с введенной классификацией линейных урав нений второго порядка [ср. уравнения (2.10) и (1.23)] уравне ние Лапласа является уравнением эллиптического типа.
§ 2.3. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Волновое уравнение описывает колебательные процессы различной физической природы.
Выведем уравнение малых (акустических) колебаний уп ругого газа. Предварительно получим уравнения, описывающие любые движения идеального газа. Выделим мысленно в прост ранстве, заполненном движущимся газом, произвольный объем т с границей 5 (см. рис. 2.1)'. На граничную поверхность S вы
деленного объема действуют в направлении внутренней норма ли силы давления />, результирующая которых выразится по
верхностным интегралом f f pads, |
|
где п — орт внешней норма- |
s' ‘ |
' |
\ |
ли (в идеальном газе тангенциальные напряжения не возника ют). Кроме того, на выделенный объем действуют массовые си лы, плотность F распределения которых будем считать извест ной (F— сила, приходящаяся на единицу массы; например, ес ли массовые силы — силы тяжести, то F = g , где g — ускорение силы тяжести). Результирующая массовых сил выразится объ
емным интегралом |
JJJ pFdx, где |
р-“—массовая плотность газа. |
|
|
* |
» |
|
Применяя к выделенному объему второй закон Ньютона, по |
|||
лучаем |
|
|
|
- Я |
p F d x ~ |
W р ^ Л = 0 - |
(2Л 2) |
S |
x |
х |
|
В последнем интеграле, соответствующем инерционным силам,
v=x'(t)ï-\-y'{t)]’\-z'{t)fc— вектор |
скорости |
частиц |
движущего |
||||||
ся газа, т. е. v = v (x (t), |
y(t), |
z (t), |
t) |
и, следовательно, ускоре |
|||||
ние движущейся частицы |
|
|
|
|
|
|
|||
d v __ ди ■ dv |
d x |
■ d v |
d y . dv |
d z |
dv |
+ (V Û , V), |
|||
dx |
~ d |
t ' |
dy |
d t |
' |
d z |
dt |
dt |
где
„6 -r ,
v = ÂTl + dy J ' d z
Отметим, что величины p, p, Ft входящие в равенство (2.12), также являются функциями координат х, у, z и времени tt т. е.
р = р (х , у, z, /), р=р (л:, у, г:, /), |
у , г, t). |
Положим tb—lcosin, /)-J- у cos (л, ~j)-{-kcos(n, k)\ |
тогда |
JJ ptids=l j^J p cos ijiy Î)efe+7JJ p cos (л, ~j)ds-\-
_ 1
+ ь JJ pcos(«, k)ds=ü JJ (p7, n ) d s + j JJ (p]t n )d s+
S S S
+ Ï J j*(pk, n)ds.
Применяя формулу Остроградского — Гаусса к каждому из по следних интегралов, получаем
JJ p n d s = l J jJ div(/>7)flhr-f7Jf f dlv(p7)rft+
+ ï f f i d iV (^ ) '/ T = 7 f f l |
t dX+ |
dx,
T. e.
J j pads= JJJ grad pdx.
Подставляя это выражение в равенство (2.12), находим, что
JÎKp^-p17~grad^t=0'
откуда в силу произвольности объема т при непрерывной подынтегральной функции получаем
- ~ = — - g ia d /»+/*. at р
Это уравнение движения идеального газа в векторной форме. Оно называется уравнением Эйлера, в нем v, р, р — неизвест ные функции. Присоединяя к уравнению Эйлера уравнение не разрывности (1.11) и уравнение состояния р—р(р), соответ ствующее адиабатическим или изотермическим процессам тече ния, получим замкнутую систему уравнений, описывающую дви жение идеального газа:
dt |
— р-g ra d p + F , |
at—|-dlv(p®)=0, р=р(р). (2.13) |
Рассмотрим малые (акустические) колебания газа в отсутствие массовых сил (F = 0 ) и в предположении адиабатичности про цесса колебаний, когда уравнение состояния р —р{р) имеет вид
— |
= Г — |
Y*. к |
= ^ |
, |
Ро |
' Ро |
/ |
cv |
|
где и — показатель адиабаты, |
равный |
отношению удельных |
теплоемкостей при постоянном давлении ср и постоянном объ еме Су\ величины ро, ро — значения давления и плотности в не возмущенном газе. Малость колебаний математически будет выражаться, во-первых, в малости скорости v движения газа и,
во-вторых, в малости изменений всех входящих в систему вели чин, так что произведениями указанных величин и их степеня ми выше первой можно пренебречь. В этих предположениях имеем
|
|
dv |
dv |
+ (V®, ’O) |
ï |
|
|
|
||
|
|
~di |
~dt |
|
|
|
||||
div(p‘ü )= -^ (p 'n 1) + ...=^p |
|
+ |
|
|
|
|
div-zT, |
|||
и система |
(2.13) |
перепишется так: |
|
|
|
|
|
|||
- ~ - = — -g r a d р, |
—(-рdiv т>=0, |
— = ( — |
Y*. |
(2.14) |
||||||
d t |
p |
|
dt |
|
|
|
p 0 |
\ po |
/ |
|
Введем вместо |
плотности |
p |
малую величину |
относительной |
||||||
плотности газа г— р ~ Ро- . |
Тогда |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = B o ( l + * ) . - g — Л - J - . |
|
|
|
|||||
i grad р = — |
grad p ~ |
— |
(1 — е) grad p æ — |
grad p , |
||||||
p |
Ро |
1 + e |
/ |
|
Ро |
|
|
Ро |
|
|
|
|
p div *0 = |
Ро ( 1 -f-e) div v ^ |
p0 div v , |
|
|
|
|||
|
|
— |
= ( 1 + |
e)H ~ |
î + « s , |
|
|
|
||
|
|
Po |
|
|
|
|
|
|
|
|
и система (2.14) принимает вид |
|
|
|
|
|
|||||
at |
-----— grad/?, |
- ^ - + d i v ^ = 0 , |
p = p Q(l+*e). |
(2.15) |
||||||
pQ |
|
at |
|
|
|
|
|
|
Если выражение для давления из (2.15) подставить в первое уравнение (2.14), то система сведется к двум уравнениям
J l L = —a2gîade, |
div<ü = 0 , |
(2.16) |
Ot |
OÙ |
|
>где а2=хро/ро. Применяя к обеим частям первого из уравне ний (2.16) операцию div и учитывая, что div grad е= А е, имеем
div — —а2Де.
d t
Но с учетом второго уравнения (2.15)
div - ^ - = |
d*t |
(div т»)= |
d t |
d t |
дР |
д ч |
ь ч |
I |
д ч ; |
д2г |
) |
д& |
[ дхЪ |
'Г |
ду* ^ |
дгг |
) * |
Полученное уравнение называют волновым уравнением или урав нением колебаний. Как видим, при акустических колебаниях относительная плотность газа удовлетворяет волновому урав нению. Очевидно, что и относительное давление (р—р0)/р 0 при акустических колебаниях удовлетворяет волновому уравнению.
Выясним вопрос о существовании потенциала скорости при акустических колебаниях. Интегрируя первое из уравнений (2.15) по / в пределах от ^ =0 до текущего /, получаем
v ( x t У, г, t)—<v{x, у , z, 0) = — — grad |
Г р(х, у , |
t)dt |
Ро |
J |
|
|
о |
|
и если в начальный момент t = 0 потенциал скорости ио сущест вует, т. е. v(x, у, z, 0 ) = —grad«0(*, у, а), то
v(x, у , аг, / ) = —grad |
р(х, y, z, t)dt |
= —grad а,
откуда видно, что при акустических колебаниях газа существу ет потенциал скорости
|
t |
и = и й(х, у , z )-\— — |
f р(х, у , г, t ) d t + 4 (t)=u(x, у , аг, 0.+ ?(0. |
Ро |
J |
|
о |
определяемый с точностью до произвольной функции ф(^). Под ставляя выражение v = —gradw в первое из уравнений (2.16), получаем
-------- (grad# ) = —a2grade или |
— |
я2е |= 0 , |
||
т. е. |
|
|
|
|
да |
û 2e = |
/ ( 0 , |
|
|
dt |
|
|
||
|
|
|
|
|
где / ( / ) — произвольная функция, |
или |
учитывая, |
что й = и + |
|
+ Ф (0, имеем |
|
|
|
|
да
f ÿ — a h — f .
I t
Если произвольные функции f, q> связать соотношением <p'=f, то
ди
Б = ■
Д2 ~дГ
Подставляя это значение в и выражение и= —grad и во второе из уравнений (2.16), получаем
<?2и |
2( ^2а |
I |
&2и |
| |
д*и \ |
(2.17) |
|
а |
1 дх* |
‘ |
дуг |
1 |
дг* ) * |
||
|
|||||||
Таким образом, акустические |
колебания — движения потенци |
альные, описываемые волновым уравнением (2.17), которому
удовлетворяют потенциал »скорости движения, |
относительные |
давление и плотность газа. |
радиус сечения |
В случае колебания газа в тонкой трубке, |
которой мал по сравнению с длиной трубки и вдоль оси кото рой расположена ось Ох, получаем, что и есть функция только одной пространственной переменной х и времени t Уравнение (2.17) тогда принимает вид
X X '
К такому же уравнению приводит и задача о свободных малых поперечных колебаниях струны.
Струна — это гибкая упругая нить, т. е. нить, не сопротив ляющаяся изгибу и сопротивляющаяся растяжению. Поэтому
|
в каждой _точке струны сила |
на |
||
|
тяжения Т направлена |
по каса |
||
|
тельной к струне, а ее величина |
|||
|
подчиняется закону Гука: увели |
|||
|
чение силы |
натяжения |
пропор |
|
|
ционально |
удлинению |
струны. |
|
|
Предположим, что |
струна |
в |
|
|
положении |
равновесия находи |
||
|
лась на оси Ох и что вектор сме |
|||
|
щения ее точек при поперечных |
|||
Рис. 2.2 |
колебаниях располагается в пло |
|||
скости Охи перпендикулярно оси |
Ох.
Поставим задачу: составить уравнение свободных колебаний струны, когда действие внешних сил отсутствует.
Обозначим отклонение точки х от положения равновесия в момент t через и(х, t) и предположим, что и(х, t) — дважды непрерывно дифференцируемая функция. Выделим малый отре зок между точками х и лг-f-Ах и пусть он в момент t занимает положениe^MiM2 (рис. 2.2). Малость колебаний означает, что квадратом величины их можно пренебречь, поэтому удлинение рассматриваемого отрезка в момент / как разность длин^ЛМ^а
и отрезка Ах равно
х+ Ьх |
______ |
дг+Длг |
J |
у 1 ^-u2xdx—Lx |
Г l-dx—Ax=0. |
X |
|
X |
Следовательно, в каждой точке струны сила натяжения |7 | =
—То не зависит ни от х, ни от t. Найдем равнодействующую
составляющих вдоль |
оси Ou сил натяжения Т\ и Гг в точках |
|
Mi и М2 с абсциссами |
соответственно х и х-\-Ах (см. рис. 2.2). |
|
Имеем |
|
|
R==npouTI |
процТ^==—То sin -j-T'o sin о2, |
|
где a i = ( f b Ох), а2= ( ^ 2» Ох) |
малы в силу малости их= tga, |
|
поэтому sin ax — ïgo^=ux{x%t ), |
sin a2~ t g a 2= n A.(A:-l-A^) и |
R =z TQUX (X , 0~\~TQUX (X ~{“Длс, t)^^ToUxx(x, t) Ax.
С другой стороны,
R = Дmutt= pAxutt.
Приравнивая выражения для R, сокращая на Ах и деля на р, получаем
—хх t
где положено а 2 — Т 0/р .
В случае свободных малых поперечных колебаний мембра ны (тонкой гибкой упругой пластинки), проводя аналогичные
рассуждения, получаем уравнение |
< |
|
u t t — a 2 i,ux x -\-Ugy). |
(2.17') |
Волновое уравнение описывает колебательные процессы и иной физической природы, например распространение электро магнитных волн в однородной непроводящей среде и др. Во всех случаях множитель а2, входящий в волновое уравнение, равен квадрату скорости распространения возмущений (волн) в собтветствующих колебательных процессах. В частности, при акустических колебаниях газа множитель а равен скорости рас пространения малых возмущений в однородном газе (скорости распространения звука). Используя введенные ранее соотноше
ния р = р о(1+ к е) |
и е = (р —ро)/ро, легко привести |
выражение |
|
для скорости звука а2= и р 0/р к виду а2= - ^ - . |
|
||
|
|
dр |
|
Из |
сравнения |
волнового уравнения (2.17) с |
уравнением |
(1.24) |
следует, что волновое уравнение имеет гиперболический |
||
вид. |
|
|
|
Как указывалось ранее, уравнение с частными производны ми имеет, вообще говоря, бесчисленное множество решений, за висящих от произвольных функций.
При рассмотрении конкретного физического процесса необ ходимо из бесчисленного множества решений уравнения, опи сывающего общий физический закон, выделить единственное, для этого надо подчинить решение дополнительным условиям, или, как говорят, поставить задачу математической физики. Дополнительные условия в зависимости от их физического смысла разделяют на'начальные и граничные (краевые).
Начальные условия в случае нестационарных процессов за дают значения искомой функции или ее производных во всей рассматриваемой области в начальный момент времени. Так, в задаче о распространении тепла может быть задано распре деление температур и{М, t) в области D a R n в начальный мо мент времени t = t 0
й(ЛМ 0)=<р(М) V M œ D .
В задаче о малых поперечных колебаниях мембраны могут быть известны отклонения и(М, t) точек М мембраны от поло жения равновесия в начальный момент времени и их началь ная скорость
й(М ,/0)=<р(М), ut (M, t0)=ty(M) Y M G E œ R2. (2.18)
В задачах о процессах в ограниченных областях могут быть из вестны значения искомой функции, ее производных или соот ношения между ними на границе области в любой момент времени. Такие условия называются граничными или краевы ми. Краевое условие линейное, если искомая функция и ее про
изводные входят в него линейно. |
0}. |
Пусть Г — граница области DczRn, S = {M , /)|Л 1еГ , |
На практике часто приходят к следующим трем видам линей ных краевых условий на S:
первого рода |
|
|
“ Is=Р-. |
(2.19) |
|
второго рода |
|
|
du |
(2.20) |
|
дп 5=14 |
||
|
||
третьего рода |
|
=р, о>0 . |
( 2.21) |
s |
|
Взадаче о распространении тепла в ограниченном теле D
ккраевому условию первого рода приходят, когда в каждой