книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

2 (fit) — aie <<*П> + fl2022)(^+ °C6 (CT12) +

f2

+j r Im ^ (апМтп — 2a]6(Хщ+ a12) ccm. m-i

При выводе последней формулы в (7.2) мы использовали выте­ кающее из характеристического уравнения (3.1.8) равенство

	2	2			2
a„ Re	2 -ЛтМя» — 2а10Re 2 -^тМт — 2а2с Re 2					+
	711-1	7П=1		т = 1
	+	2ч	Лт рт +		2	А		0-	(7-3)
		(2а12 + aG0) Re ^		а22 Re 2		гр =
		тп=1			т-1
Введем стандартные решения			to<ft(t)	уравнения			(3.2.14)		по
формуле (1.5). Соответствующие им функционалы							«1	и а\	из
(2.3)	определим так:
	с4'1 =	\ [« » (1) di, -	©-(*) Л , -		со- (0^x1,
		L							(7.4)
	“ “ =	2 5 f l<“ >“ W -	<“*•
Очевидно,					(^ = 1, 2).				(7.5)
	am= <Ои> ССт + <^22> «т + <<*12> <*т

Формулы (7.2) с учетом (7.4), (7.5) и условия (3.2.6) дают закон связи между средними напряжениями и средними деформа­

циями в решетке
<еи) =	<an><on> +		<ai2><o22> +		<ai6><Ci2>,
<е22> =	<а21><Оц> +		<а22><022> +		<а2б><<Л2>,	(7 .6)
2<е12> =	<а«,1><ац> +		<аб2><022> +■ <Ябб><012>,
ГДе		/		*	\
<0П> =		— X		Im 2 /	ma"*J’
		4яa,.		2	22
<а,2> =				v 1
		а12----— Im2^
<а10> =		4яа„ _		v	is
		о10---- JT~Im2d Итаж»
		ina	г	V

<а22> = а 22^1 +

11 Э. П. Григолюк, Л. А. Фильштннскнй

	<С2в> = fl26 + - ^ М ш 2				^ '
			2
<ав1> =	®16 + ~~р		iL	(апИт	2а1СЦт) а т ,
			т=1
			2
(ав2> =	с26 +	"7г ^т	2	(аиИт — 2<l10flm) а71»1
			2
^аво) =	Св6 +	“j " I m 2		(°иИ*»	2^ 0^1,11) 0^».
			т = 1

Так же как и в § 1, можно показать, что макропараметры об­ разуют симметричную, положительно определенную матрицу.

Ниже приведены результаты расчетов эффективных модулей (1.13) для ортотроппых, симметричных решеток из текстолита и стеклопластика АГ-4С (см. табл. 3.1.1).

Вычисления проводились для решеток с эллиптическими от­ верстиями (i?i, i ?2 — горизонтальная и вертикальная полуоси эл­ липса /?1 > R 2) в зависимости от параметра ^ = 2ffi/©i при раз­

личных значениях	= R 2/R v
Порядок расчета	таков: сначала определялись стандартные

решения ©fft(i) интегрального уравнения (3.2.14), затем по фор­

мулам (7.4) функционалы a™ (ni = 1, 2). После этого по соотно­ шениям (7.6), (7.7), (1.13) рассчитывались эффективные модули

упругости <l?i>, <Е2У и коэффициенты Пуассона.
На рис. 4.7.1—4.7.4 даны графики величин <Еi>,	<Е2У, <V2t>
и <vj2> соответственно для квадратной решетки из	текстолита

с эллиптическими отверстиями. Кривые тех же величин для пря­

моугольной решетки (©1 = 2, ©2 = 4i) из текстолита	с круговы­
ми отверстиями радиусом R приведены на рис. 4.7.5,	4.7.6.

На рис. 4.7.7—4.7.10 показаны зависимости эффективных па­ раметров для прямоугольной решетки (сог = 2, <02 = £) из тексто­ лита с эллиптическими отверстиями. В этом случае существует зависимость между параметрами Ятах и Я*, отмеченная в § 2 гл. 3.

Изменение соответствующих эффективных параметров для квадратной решетки из стеклопластика АГ-4С с эллиптическими отверстиями дано на рис. 4.7.11—4.7.14, а для прямоугольной решетки (©1 = 2 , ©2 = 4i) из того же материала — на рис. 4.7.15, 4.7.16.

Осреднение vпрутах свойств анизотропной решетки с отвер­ стиями, подкрепленными абсолютно жесткими ядрами. Очевидно, уравнения состояния макромодели такой структуры имеют вид

(7.6), однако входящие сюда функционалы определяются^ теперь из решения второй краевой задачи для решетки.

162

Рис. 4.7.1. Графики макромодуля

<£i> дли квадратно» решетки (сй| =

=2, (о2 = 2i) из текстолита с эллиитнчсскими отлерстиямц в функции

от ). =	2Н\/<й\ для различных значе­
ний	а* = Л2/Л ] (Л 1 п Л2 — боль­

шая и малая полуоси эллипса, ори­ ентированные вдоль осей Ох\ и Ох2 соответственно)

с эллиптическими отверстиями

Ряс. 47.2. Графики макромодуля </?_>> для квадратной решетки из текстолита с эллиптическими отвер­ стиями

И *	163

<£,■>■ 10^

		<М?7>
		0,32
		0,28
		<Vt f >
		0,20
Рис. 4.7.5. Зависимость величии <£|>,		Рис. 4.7.6. Зависимости <Vi2> п <v21>
<£2> для прямоугольной решетки		для прямоугольной решетки из тек-
(ш, = 2, ©2 = 4i)	из текстолита с	столита с круговыми отверстиями от
круговыми отверстиями радиусом Я		^ = 2Я/©1
от X =	2Я/©|

<b1>-10's

< Е г > - 10'5

		0,6
\ < Р		0,4
Ф Ф \\		0,2
Ф Ф	L .	О
О 0.2 0,4 0,6 Я

Рис. 4.7.7. Зависимость	<£i> для -Рис. 4.7.8. Зависимость <Я2> Для
прямоугольно!! решетки		(o>i = 2,	прямоугольной решетки из токстолп-
©2 = [) из текстолита с	эллиптиче-		та от % = 2Я|/©1
сними отверстиями от Я =		2fli/©i

164

<v2}>

Рис. 17.9. Изменение волнчппм <\'2i> дли прнмоугольпон решетки из текстолита с эл­ липтическими отверстиями

Рис. 4.7.11. Измепенне <£г> Для квадратной решетки из стеклопластики ЛГ-4С с эллиптическими отверстнямп

Рис. 4.7.10. Измспенио <V|2> для прямоуголыюй решетки из текстолита с эллиптически­ ми отверстиями

Рис. 4.7.12. Измепение <£2> Для квадратной решетки лз стеклоплас­ тика АГ-iC

165

О

0,2

0,4

0,6

0,8

А

Рпс. 4.7.13. Изменение <V2i> Для стеклопластика АГ-4С. Решетка квадратпая

Рис. 4.7.15. Кривые <Z?i>, <#2> Для прямоугольной решетки (ш i — 2. Ш2 = 4f) на стеклопластика АГ-4С

скруговыми отверстиями радиу­

сом R

Рис. 4.7.14. Зависимость <v,z> от X для квадратной решетки на стекло­ пластика АГ-4С

Рис. 4.7.16. Кривые <v2i>, <Vi2> для прямоугольной решетки из стеклопластика с круговы­ ми отверстиями

Порядок расчета осреднепных параметров следующий: на пер­ вом шаге определяются стандартные решения интегрального уравнения (3.5.11) ю‘*(0 . затем вычисляются соответствующие им функционалы а-т по формулам

i.

«4* - т J

(0 - 4 . ^ 1 л . -

L

Поело этого по формуле (7.6) определяются макропараметры решетки

Расчеты проводились для гексагональной решетки из стекло­ пластика АГ-4С с эллиптическими отверстиями' (R\ и —

Рис. 4.7.17. Зависимость <£i>/£, для				Рпс. 4.7.18. Изменение <Е2у/Е2 для
гексагональной решетки пв стекло­				гексагональной решетки с жесткими
пластика АГ-4С с жесткими эллип­				эллиптическими ядрами
тическими ядрами от Я =			2/?i/coi и
Я* =	Л2/д 1	(большая R\	п малая
Л2	полуоси	ядра ориентированы

вдоль осей Е\ □ Е2 соответственно)

167

<612 >/61г

пластика с жесткими эллиптически-	ними эллиптическими ядрами
ми ядрами

большая и малая полуоси эллипса). На рис. 4.7.17—4.7.20 пред­

ставлены графики величии (E ^ IE lt	<Мг>1Е2, <(7|2>/G12 и <Vi2>
в зависимости от Я= 2i?i/coi и Я* =	R j R ..

§ 8. Проблема осреднения упругих свойств регулярно перфорированных пластин. Обзор результатов

Раппие работы по проблеме осреднения густо перфорированных пла­ стин, трубных решеток основывались на простейших соображениях строи­ тельной механики п сопротивления материалов. Обзор соответствующих работ содержится в [9, 13].

Точиые постановки этих вопросов стали возможны после разработки методов решения соответствующих краевых задач теории упругости для регулярных структур.

Идея использования квазипернодического характера перемещений в структуре для построения ее макромодели была предложена и частичпо реализована в работах [7, 26, 27]. В наиболее общей форме она развита

в[30] для изотроппых и в работах [6, 20] для анизотропных сред. Предложенные процедуры дали возможность построить точные форму­

лы для эффективных параметров упругости в виде некоторых функцио­ налов, определенных на решениях соответствующих краевых за^ач. При этом микроструктура ячейки может быть весьма произвольной.

Иа этих путях в работах [4, 8, 11, 12, 16— 19, 26, 27, 29] были построе­ ны .макромодели изотропных и анизотропных решеток в условиях растяже­

ния	и изгиба. Аналогичные результаты для тел с разрезами содержатся
в [5,	31, 32].

Осредиеннс свойств конечных тел, наделенных регулярной структурой, рассматривалось Н. С. Бахваловым :[2], В. Л. Бердичевским [3], И. А. Ку­ ниным [21] и др.

168

Г л а в а

5

ТЕОРИЯ РЕГУЛЯРНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

ВАНИЗОТРОПНЫХ СТРУКТУРАХ

Врегулярно перфорированных пластинах, линейно армирован­ ных средах помимополей напряжений и упругих смещений мо­ гут иметь место и гармонические поля различной физической природы (стациопарпые тепловые плп электрические, поля на­ пряжений продольного сдвига).

Всилу аналогии между указанными полями целесообразно рассматривать абстрактное гармоническое поле в плоской состав­ ной области регулярной структуры.

Для большей общности предполагается, что компоненты пос­ ледней анизотропны в том или ином смысле и наделены собствен­ ной структурой с той же группой симметрия Т (z) = z + Р, что и основная структура.

Вопрос об однозначном определении поля сводится к построе­ нию решеиия однородного эллиптического уравнения второго порядка в каждой из составляющих областей, удовлетворяющих условиям сопряжения на границах раздела сред п некоторым дополнительным соотношениям.

Далее, с использованием построенного алгоритма развиваются вопросы, связанные с моделированием кусочно-неоднородных ре­ гулярных структур однородными анизотропными средами.

В качестве приложения рассматривается проблема осреднения механических, теплофпзичеекпх и электрических свойств лппеппо армированных к о м п о зи ц и о н н ы х материалов с анизотропными (изотропными) компонентами структуры.

§ 1. Постановка основной задачи')

Пусть ом и 0)2 (Im 0i = 0, Im (02/01) > 0) — основные периоды кусочпо-пеодпородной среды, разбивающие ее на совокупность конгруэнтных фундаментальных ячеек Пт„ (тп, п = О, ±1.

± 2 ,...) . Будем считать, что структура всех конгруэнтных ячеек тождественна, поэтому достаточно описать структуру основной ячейки Поо в По (рис. 5.1.1).

') При изложении материала этой главы мы следуем в основном ра- боте-[7].

169

Основную структуру ячейки По образует группа из различных инородных анизотропных включений 3 )к, ограниченных 'замкну­ тыми кривыми Lk (к = 1, 2, ..., г). Субструктуру ячейки создает неоднородность областей 2Ьк, т. е. наличие в них своих анизотроп­

ных включений ' dhm, ограниченных замкнутыми					кривыми 4т
(тп = 1, 2, . .	гк) .		1кт— не
Будем предполагать, что Ьк,				имеющие	общих точек
простые гладкие кривые Ляпунова.
Пусть
L — (J	rf/t =	U d]tm,	Ih = U	Ikmi В и. =	(1-4)
>1=1	m =1		7П-1
и iZ) — неограниченная		область,	занятая основной		однородной

анизотропной средой (матрицей).

«}г>

Рис. 5.1.1. К описанию регулярной структуры

Рассмотрим скалярное поле, описываемое в каждой пз обла­

стей функциями	W (z )= w {z)	при	z e ig ), wk(z)		при
wKm(z) при z е dhm.
Под потоком поля q в каждой точке области, занятой каким-
либо компонентом среды, будем понимать вектор
где	q =* ?i + iq2,					(1*2)
?. = K ndiW + KirfzW ,		q2 = KndxW +		K 22d2W,
КааФО, K a t-K fr, А(К) = KnK22— K\2>				0	(a, p =	1, 2).
Здесь qa и Kat принимают значения			qa, q& Qa* H		^«3» -^-aP
в областях 2D, B h и c4m соответственно.					и представить
Уравнения состояния в (1.2)		можно обратить
в виде
д\W =	хц?1 +■«12q2,	dflV = X2i?i +		N22S2,		(1*3)]

170