книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры
..pdfИскомые аналитические функции получаем из (6.1) с учетом указанной выше геометрической и силовой симметрип (полагаем <012> = 0)
Ф (2) = cp'(z) |
<qn> +<q22> |
aor- + |
2 |
a2fc+2\2,l+-2 |
S>(2ft)(z) |
|||||||||||
|
|
|
4 |
|
+ |
|
|
I)-1’ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k-0 |
|
|
|
(2A+ |
||||
|
Im oc2;t = Im р2Л = |
0 |
(к = |
0. 1, . .. ) , |
|
|
|
|
||||||||
V W - '!>'W = <Ji8>7 <°">+ РД* + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.1 0 ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
+ |
2 |
Paft+2^2,t+2 |
|
( 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|p(2ft+l)(^ |
|||
|
|
- |
2 |
< |
|
w |
afc+2 |
|
|
|||||||
|
(24 + |
1)! |
|
(24 + 1)! • |
||||||||||||
|
|
ft=0 |
|
|
|
|
fc=0 |
|
|
|
|
|||||
Постоянные его, |
Po |
определяем из (6.5), |
принимая |
|
во |
впима- |
||||||||||
пно, что в пашем случае А = аоХ2, |
В = $$.2, |
А0 = агк2, |
В 0 = |
|||||||||||||
Имеем |
ею — ЛГоаг + ^Рг, |
Ро = К.2<Х2 + ЛГ0Р2, |
|
|
|
(6.11) |
||||||||||
где |
|
|
|
|||||||||||||
v |
|
п |
тг |
|
|
|
|
2я |
|
„ |
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
Vi — б, |
+ |
|
= |
, . . |
|||||||||
7 - |
К 1= |
2 7 ’ |
К * = |
^ 7 |
" |
Т ' |
|
7 |
coi |©21sin а, |
|||||||
Правую часть в силу силовой симметрии представим в виде |
||||||||||||||||
ряда Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (* ) - |
S |
Aihe*m , |
Im А2и = |
0. |
|
|
|
(6.12) |
|||||||
Подставляя в краевое условие (6.9) ряд (6.12) и |
|
соответст |
||||||||||||||
вующие ряды Фурье функций (6.10), |
приходим |
к |
|
соотноше |
||||||||||||
ниям *) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р2 [1 - (1 + е) ХЧС,] = |
(1 + |
е) Х2а 2К , - А ' 0 + |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
+ |
(1 + е ) 2 |
€ы +2 ( у ) |
|
« 2* 4-2. |
(6.13) |
|||||||
Р2Я-4 = (У + 3) C*2j+2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
у |
(2/ + |
24 + |
3)1 g2i+2ft+4 I х |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+ |
£ |
0 |
(2/ + 2)1 (24 + 1 )1 |
( д ) |
|
|
|
*к+я |
|
А - ъ - * ' |
||||||
^ ; = |
л - ( 2 + 1) <|,и>^ -<1,?г> |
</=о, |
|
1, . . . ) |
|
|
|
и к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений от носительно коэффициентов ач\
a 2j+2 = 2 a5tha 2fc+2 + bj (/ = 0,1, . . . ) , |
(6.14 |
fc- 0 |
|
!) Ряды Фурье функций ® (z), ¥ (z) на контуре отверстия легко выпи
сываются с учетом разложений (П.1.11) и (П.2.24).
41
a).h = |
|
|
|
1V.- 1 q j f + К г + |
+ e у |
(2m + d)g| |
^ |
1 - 0 + е)ХЯд |
j i |
j w |
T - ----- |
(1 + e)x 2^ . . |
|
|
|
'№аЛ J 2»«-rz
|
+ 6 2 |
. £ + !" + < )' ъп и -& т^ |
, . ^4m+2 |
|
|
|||||||||
|
"«**1 |
|
(2ft+A 1)!(2m)IW |
2”h+im+4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
- - ^ ± i |
«Ф. |
, |
f2* + |
4)! g2b. |
|
|
|
|
||||
„ , Н В « И В Я * |
|
|
|
|||||||||||
t " " i r ^ s ^ b 5 a i _ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
l 1^ (1 + ^ 3 t 5J?#+a + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
«о1 |
-I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-f e&2 |
|
2w |
|
^2т+а^2т4-йj+s . M J -I |
|
|
|
||||||
|
m -x |
|
(2/ -f1)| (2m)122j+4m+4 |
Л |
|
~ |
|
|
||||||
|
|
— Af + 2 |
(x) |
|
(2 /+ |
4)! ^ai+4X,2 |
_ |
|
|
|||||
|
|
|
22j+a |
*J +3 |
2i (2/ -f 2)! 2aj+4 |
^ |
|
. |
||||||
~ Vj.fc = |
7—— H- в)^X ^Tgaj+2g2h+a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
[1 —./4 _i. „г p- » 21 л«^Ьо., |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
l* |
H(1-+t-e;е)/crГ1Х2]2.j _2?+аЛ+4 ~ |
|
|
|
|
|
|
||||||
~ (2j ^ T ~ + 2)1 g^ |
+a |
|
I |
(2/ + 2fe + 4)1 28i+afc+4A.« |
+ |
|
||||||||
(2/ + |
1)1 <2fc + |
D> 22>+2Л+а + l 2T -r2)l(2fc + 2)l22i+ ^+ 4- |
|
|||||||||||
+ |
в V |
M |
± ± + i ) l |
(2^c + 2m + |
1)! gai+am+ag2h+awt+3 |
|
||||||||
|
m=x |
(2/ + |
l)l(2 * + |
l)!(2 m + l)l(2 m )I2 a' +2h+4m+4 |
Л |
• |
||||||||
ebc = л ; _____ _ |
у |
e 2k+^ |
h+i |
2afc+4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||
|
|
|
1—(1+e) K J ? |
|
9.3 t |
~ -<4—aft—a> |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Л2Я-2 |
_ (2/ + l) < g2;.+aM \2j +2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1-(1 + е)Л:1Йа \г) |
|
- |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
I |
|
"хЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ V |
(2> + |
2fc + |
3)1 g2j+afe+4 /^ \2?+2ft+4 |
|
|
. |
|
|
||||||
Д |
|
(2ft + |
3)1 (2/)I |
|
V?/ |
- 4 -2fc-a |
(/ = lt2 , |
|
Постоянные g2* определены в (П.1.11), giV+i — в (П.2.23). Квазирегулярность систем уравнений типа (6.14) доказана,
например, в [61]. Поэтому для приближенного решения здесь можно применить метод редукции [19].
42
Вычислив коэффициенты |
aih |
(А:= 1, 2, |
N) |
из |
(6.14), |
||
находим затем .{Ьь из (6.13), |
после чего искомые |
функции опре |
|||||
деляем по формулам (6.10). |
|
|
|
|
|
||
|
§ 7. Напряжения в правильных решетках |
|
|||||
Под |
правильными |
понимаем |
гексагональную |
(ш1= 2, со2 = |
|||
= 2е<я/3) |
и квадратную |
(«и = 2, |
0J2 = 2t) решетки |
(рис. |
1.7.1). |
1.Всестороннее растяжение гексагональной решетки. Пусть
отверстия свободны от сил и <Ом^ = (022) = 1> <012) = 0. В этом
ф - ф
- ф ^ - ф
Рис. 1.7.1. Схема расположения расчетных точек в правильных решетках
случае функции (6.10), определяющие решение задачи, имеют вид
ф (s )" Т + д т г р* + 2 |
|
W = W ’ |
|
|
(7.1) |
(6ft+ |
1)1 |
(6ft - 1)1 * |
|
Из расчетов видно, что при 0 < Я ^ 0,6 решение задачи с до статочной для практики точностью определяется функциями
Ф (в) « 0 ,5 + -2 £ = р2, У (z)« Р * ^ (z)- |
(7-2) |
41/3 |
|
На рис. 1.7.2 представлены эпюры распределения окружных напряжений с 0 вдоль контура отверстия для различных значе нии Я.
2.Растяжение-сжатие гексагональной решетки. Пусть отвер
стия свободны ОТ СИЛ, <Оц> = — <022> = 1» <CTi2> = 0. В этом случае имеем
а»Р(а* - 2)(*) Ф (г) = 2 a *h^ (2ft- 1)1 ’
43
£>(2fc-2) (г)
^ М = 2- ^ а г - 1 + 2 М . 2‘ 123ГП )Г |
(7.3) |
|
|
о . - Ь м . - 0 ( * - 1, 2. . . . ) . |
Рис. 1.7.2. Распределение нормальРяс. 1.7.3. Распределение Ое вдоль
ного напряжения |
ое вдоль контура |
контура кругового отверстия в гек- |
||
кругового отверстия радиусом R в |
сагопальной решетке при |
<Оц> — |
||
гексагональной |
решетке |
(<о2 = |
= — <сг22> = 1, <о]2> = |
О |
= ©1 ехр (йг/З)) |
при |
<оп> = |
|
|
= <022> = |
1, <<Ji2> = |
О |
|
|
отношения диаметра отверстия к шагу перфорации. Здесь же приведена кривая ат = <J/(1 — Я ).
44
3. |
Всестороннее |
растяжение |
квадратной |
Предпола- |
|||
|
|
|
|
|
|
решетки. |
|
гая, что отверстия свободны от сил, |
<о,.>.= <022^ = 1, |
^0|2^ = О, |
|||||
получаем функции (6.10) в виде |
|
|
|
||||
|
ф « |
= |
т + |
+ 2 ■ |
|
|
|
|
|
|
|
VUh) (*) |
|
|
(7.4) |
|
ЦТ М |
= |
У ft . . |
V |
,4Ь^(14Ь_1)(2) |
||
|
Г ( ) |
|
|
|
|
-W = T )г |
На рис. 1.7.5 показано распределение напряжения Оо на кон туре отверстия для различных значений относительного радиу са А.
Рис. 1.7.4. Йзмепенпе коэффициентов |
Рис. 1.7.5. Распределение <х0 вдоль |
|||||||
концсптрации напряжении в гекса- |
контура кругового отверстия в квад |
|||||||
топальпон решетке с |
круговыми от |
ратной решетке |
(шг = |
при |
||||
верстиями радиусом |
Д |
в функции |
<Оц> = <022> = |
1, <<Ч2> = |
О4 |
|||
от Я = |
2Л/со|. |
Кривая |
1 — Oo>do: |
|
|
|
||
■2— всестороннее |
|
|
растяжение |
|
|
|
||
(<СГП> = |
<022>, |
<<Х|2> |
= |
0); |
3 — од |
|
|
|
ноосное |
растяжепие |
вдоль |
оси хг |
|
|
|
(<ст22> Ф 0, <0ц> = <0i2> ~т. ^)* ^ чистый сдвиг под углом 45 к коор-:
дшштпым осям (<оц> = — <022) Ф
ФО, <<Т,2> = 0)
4.Растяжение-сжатие квадратпои решетки. Пусть вновь от верстия свободны от СИЛ, ^Оц> = —<022) = 1, . <Ol'2^ — 0. В этом
случае имеем
.45
|
|
4ft{?(4ft-2)(z) |
|
|
|
т< *)' = ( т + т ) а^ - 1 + 2 |
р ^ ' |
(4ft - |
1)! |
|
|
V |
„ |
I 4ft+*^i4fc+1>'(*) |
„ |
5 |
|
Z l |
a 4ft+2^ |
(4A + 1}, . |
Tl — |
2я |
На рис. 17.6 даны графики изменения коэффициентов кон центрации напряжений в квадратной решетке в функции от от носительного радиуса отверстия X.
Распределение напряжения Се при двухосном растяжении квадратной решетки представлено на рис. 1.7.7.
Рис. 1.7.6. Коэффициенты концентра |
Рис. 1.7.7. Распределение ов вдоль- |
||||
ции напряжений в квадратной ре |
контура кругового отверстия в квад |
||||
шетке. Кривая 1 — OSKB/O; 2 — всесто |
ратной |
решетке |
при |
<сги> = |
|
роннее растяжение; |
3 — одноосное |
= |
— <o»> = |
1, <о12> = О |
|
растяжение вдоль оси хг; 4 — чистый |
|
|
|
|
|
сдвиг под углом 45° к координатным |
|
|
|
|
|
осям; 5 — чистый сдвиг [81] |
|
|
|
|
|
5. Всестороннее |
растяжение |
гексагональной решетка |
со впа |
янными в отверстия абсолютно жесткими шайбами. В этом слу
чае |
имеем вторую основную задачу (й г= К 2= 0 ). Средние на |
||
пряжения <0ц> *= <022> ■= 1» <012> ^ |
0 . |
|
|
|
Аналитические функции Ф (я), |
^ (z) определяются формула |
|
ми |
(7.1). Коэффициенты аз*, Цл,, входящие в (7.1), вычисляются |
||
из |
(6.13), (6.14), где необходимо положить г — —х. |
||
|
6. Растяжение-сжатие гексагональной решетки со впаянными |
||
абсолютно жесткими шайбами. В этом случае й\ = |
йг '= 0, <Дц> *= |
||
= —<022> = 1, <ai2>e 0, г = —х. Представледия |
функций Ф (г), |
||
Ч' (z) имеют вид (7.3). |
|
|
46
7.Всестороннее растяжение квадратной решетки со Впаянны ми в отверстия абсолютно жесткими шайбами. Функции Ф (z) и 4*“(z) определяются в этом случае формулами (7.4).
8.Растяжение-сжатие квадратной решетки со впаянными в
отверстия абсолютно жесткими шайбами. Здесь функции Ф (z) и V (z) определяются формулами (7.5).
§ 8. Растяжение пластины с двоякопериодической системой упругих круговых включений
Рассмотрим симметричную относительно координатных осей х\ и Хг решетку со впаянными в отверстия одинаковыми круговыми шайбами из другого материала. Будем считать, что в решетке действуют средние напряжения <оц>, <022> (<Oi2> = 0).
Под действием средних напряжений <о,*> в структуре возни кает двоякопериодическое, симметричное относительно коорди натных осей поле напряжений. В частности, на каждую шайбу действует со стороны пластины некоторая самоуравновешенная
система усилий N — iT. |
|
|
|
|
Поместим начало координат в центре включения |
с |
гра |
||
ницей L , находящегося в основном параллелограмме периодов По |
||||
Предполагая, что неизвестная пока нагрузка N — iT на L |
разла |
|||
гается в ряд Фурье, запишем |
|
|
|
|
N — iT = |
A2he2kie. |
|
(8.1) |
|
Функции ®i(z) и V i (в), |
определяющие напряжения в |
|
обла |
|
сти £D\, занятой шайбой, представим рядами Тейлора |
|
|
||
® i (г) = S |
% » - |
S |
|
(8 .2) |
fc= 0 |
|
fc- 0 |
|
|
Подставив ряды (8.1) и (8.2) в граничное условие первой |
||||
основной задачи на контуре шайбы |
|
|
|
|
® i(() + $ r W - [ i ® ;( i ) + |
'*ri(0 ]« MO = |
f f - i r , < -W > , |
(8.3) |
иприравняв коэффициенты при одинаковых степенях е1° в левой
иправой частях, найдем
а 0 = - Т 4>. = A - 2h% ~2h (ft = 1, 2, ...) ,
a2h — — (2ft + 1) A -ih -2 ^ 2ft—А 2и+2% afc (ft = 0,1, ...) .
Вводя теперь функции (8.2), с учетом (8.4), в граничное условие второй основной задачи в форме (6.9), получаем
fo - |
i и2) = Xj 2 |
^-afc6_2fti0 - |
as |
Л=1 |
|
|
•— |
** “ г т т ’ <8-5> |
|
fc=i . |
1 |
.47
где |л, Vi — модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала шайбы.
Величины A2k (к = 0, ± 1 , ...) мы считали заданными, но они пока неизвестны. С целью их определения привлечем решение для решетки. На последнюю со стороны шайбы действует та же
система усилий N — iT.
Аналитические функции, описывающие напряженное состоя
ние в решетке, определены |
в (6.10) и должны удовлетворять |
граничному условию первой |
основной задачи в форме (6.9), где |
f(t) —N — iT задана рядом Фурье (8.1). |
|
Считая коэффициенты |
заданными, приходим, таким об |
разом, к первой основной задаче для решетки, решение хшторой было получено в § 6. Коэффициенты агн+2 в представлениях
(6.10) определены системой |
(6.14) |
при е = |
1 и |
следующих пра |
|||||
вых частях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь0 — А2 — AQ— |
|
- 2 |
22Л+4 |
" -^1—2/—2i |
||||
bj — A 2j +2 |
(2/+l).C2j+2 |
|
|
|
|
|
(8.6) |
||
|
|
|
2 2j+2 |
1 - |
2%ГКЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
j g |
|
|
|
A—2ft—2 |
(/ = 1, 2, . . .), |
|||
|
(2/)! (2k + 3)1 2^'+2,l+ 4 |
|
|
|
|||||
A ’ |
— |
A |
<CTn > + <CT22> |
, A2 — A2 + |
<g2 2 > - < gll> |
||||
"о |
|
----------------------2 |
|
|
2 |
Л л = А2л (к = — 1, ± 2, . . . ) .
Составим теперь условие равенства перемещений решетки и шайбы на L. Из него вытекает граничное условие второй основ ной задачи для решетки. Имеем, учитывая (6.9), (8.5) и (8.6),
- хФ (*) + Ф (<) - |
[*Ф' (<) + 'F (*)] *2ie = ^ 2 B 2he*hi*, (8.7) |
где |
|
= |
В а - ^ - А а (к = 1, 2, . . . ) , |
Величины p, и x — упругие постоянные материала пластины. Указанная задача решена в § 6, коэффициенты агм.2, фигу
рирующие в (6.10), определены системой (6.44) при s = — х с правыми частями
- х Ь о = 4 - ^ - |
|
Ц щ Л ***4 Л» |
g |
22Л+4 Л “ 2) |
|
|
1 + ( х - 1)Х -^ - 2 |
|
48
— кЬ* = A2j+2 — (2/ |
+ 1) g2j +2 |
A*0l 2i+2 |
|
|
|
(8.8) |
|||||
|
|
|
|
22j +2 |
|
1) X % |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
•1 -!- (у. - |
|
|
|
|
||
|
V |
(2/ -f 2/c -f- 3)! » . |
л2,+2'|+4л*„ь |
a |
— i |
9 |
\ |
||||
--- У , ---------------- 1----Lf2H 2h+4_ |
|||||||||||
|
|
(2/)! |
(2k Л. |
3)122i+2/.+4 |
K |
А - м - г |
(1 — |
A, |
. . . ) |
||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л ! - Я „ |
+ ( х |
- 1)<Ъ > + <!!">, |
а :л - В № (4 = |
2 , 3 , . . . ) , |
|||||||
"1; |
- |
Д» + |
^ |
г>Г <°"~, |
|
( 4 = 1 , 2 , . . . ) . |
|
||||
Постоянные ct2j+2, определенные из системы |
(6.14) при е = 1 |
||||||||||
с правой частью вида (8.6), должны, |
очевидно, |
совпадать |
с со |
||||||||
ответствующими |
постоянными cs*j+2, |
найденными |
пз |
системы |
|||||||
(6.14) |
при е = —к |
с правой частью (8.8). |
|
|
|
|
|||||
Равенства ^ a 2j+ 2 |
= |
a 2j+ 2 = a 2j+2 (j = 0, 1 ,...) |
определяют уси |
||||||||
лия взаимодействия в системе решетка — шайбы. |
|
|
|
|
|||||||
Запишем системы для оса;-+2 и ос2;-+2 в виДе |
|
|
|
|
|||||||
|
|
a 2j+2 — 2 |
aj,fca2ft+2 + |
bj, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
fc=o |
|
|
|
|
|
(8-9> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2j+2 = |
S |
<4,l& 4h+2 + |
b* |
(/ = 0, 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ftsQ |
|
|
|
|
|
|
|
где |
и aj,ft определяются формулами (6.14) |
при e = |
1 и e = |
=— у, соответствепно, bj заданы в (8.6), а bj — в (8 .8).
Умножая вторую систему в (8.9) на величину xp.i/(xip.) и вычитая результат из первой системы (8.9), получаем систему,, не содержащую постоянных Л_2А
( 8.10>
Для исключения из (8.10) величин оан-г прибегнем к сле дующему приему. Граничное условие второй основной задачи (8.7) преобразуем к виду
N — iT = Ф (*) + Щ ) - Г*Ф' (t) + W (t)] =
= J S ^ f c e * 10 + (1 + к) Щ ) . (8 .11)
Подставляя в левую часть (8.11) его выражение из (8.1)', а в правую часть вместо Ф(£) его ряд Фурье на L и исключая
4 Э. И. Григолюк, Л. А. ФильштипскиЙ |
49 |
затем степени s<e, находим |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Ац +2 = |
i |
|
a 2j +2 |
(7 = |
0, 1, .. .)> |
|
|||
, |
|
i + |
x |
v |
(2/ + |
2fe + |
l)lg 2j+2ft+a^ 4 2 ,t+a |
|
|||
|
" |
1 + ^ |
i |
|
|
(2;)! (2&'+ 1)! 22>'+2't+2 |
“ a;t+* |
||||
|
|
|
|
|
(7 = |
1, 2. . . . ) , |
|
|
(8 .12) |
||
|
|
- ( 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, с учетом первого равенства |
в |
(8.12), соотношений |
|||||||||
(6.11) |
и (6.13) |
при 6 = |
1, определяем |
|
|
|
|||||
|
|
А |
<РП> + |
<СТ22> |
+ 2 |
е0.А 2А+2^ 2к+2» |
(8.13) |
||||
|
|
"о — |
|
4 |
|
*0 |
|||||
причем |
|
|
|
|
|
|
к-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* + |
” |
|
в |
" ( 1 - 2^ ^ *) в ’ |
|
||
|
|
|
( 1 - 2 К |
1Хг) е ' |
00 |
|
|||||
|
|
еоЛ |
|
(1 — |х/р.д) g2fe+a |
(/с= 1, 2, ...) , |
|
|||||
|
|
( 1 - 2Л:А\2) 22Л+2е |
|
||||||||
|
|
* = |
(Х1 — *) V |
И - |
1 _и |
* + |
* |
|
|||
|
|
|
|
2^! |
|
2 |
2(1 — гт^ь2) * |
|
|||
Наконец, |
подставляя вместо |
величин « 2*+2 в (8.10) |
их выра |
жения из (8.12), приходим к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Ац+2 :
г = |
2 CjhAah+2 + |
Tj |
(/ = |
0, 1, |
.. .), |
(8-14) |
|
|
|
|
n |
- i |
, |
|
|
“ |
v™ + v ™ |
+ di‘ J T |
+ |
X |
' |
|
|
|
(c/c.) |
№ |
- 1, 2, . . . ) , , |
|
so