книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

Для рассматриваемого случая матрица (10.8) принимает сле­ дующий вид:

К(0)	0			к (0)		...............	. . . .	K ( x k)	к ( xh)		k ( x h)
0	-	к	(0)	0		...............	. . . .	к(х„ ) - k ( x h)		- K ' v (xh)
*(0)	0			K1V(0		) ...............	. . . .	k ( x h) K	i n (xk)	K l v (xh)
				K ( x j - x t)			k ( x t - x t)	K ( x j - x t)
				—к	(Xj—Xt)		- k ( x j - x {)	- K l,I( x j - x t)
				к	(XjXt)		К111 (xj Tj)	K l v (xjXi)
K ( x h)	- K ( x k)				K	f a ) ..................	..................* ( 0)		0		k ( 0)
* ( Xh)	— к		(xk)	K m		( 4 ) ..................	.................	0	- / C ( 0 )		0
k ( x H)	-- K	lu (Tft)				(xk) ...............	..................k ( 0 )		0		* l v (0)

(10.9)

Из матрицы (10.9) как частный случай получим матрицу мо­ ментов совместного распределения процесса и его первых двух производных в совпадающие моменты времени:

	■ *(0)	0	К ( 0 ) ~
M Xxx ---	0	- * ( 0 )	0
	_*«>)	0	/с,у(0)_

Матрицы моментов двумерных распределений процесса и его первой производной, а также первой и второй производных принимают следующий вид:

	~*(0)		0	1
	_	о
			- * (0 )_ |’
	1	1 >!:	3
	1	О	K ,V<O> ]'

(10.11)

(10.12)

Приведем еще матрицы моментов совместных распределений процесса и его первой производной, а также первой и второй про-

82

изводных для двух моментов времени							0 и	т. Соответственно
имеем		~К(0)			о	/С(т)		*(т)
Мх (0) X(0) X(т) X(т) =		о		К ( 0)		/С (т)		Я »		; (10.13)
								О
		т		- к	(г)	К(0)
								—/с (0) J
		к(х\		— К (г)			О
		- К ( 0)			о		—К (г)		- K l u ( x f
Mjt (0) X(0) * (т) х (т) =			О		Klv(0)		/Сп ,(т)			# 1У(т)
		- /((т )			К т (т)		- #	( 0)		О
		- #	ш (т)		# 1V(*)		О			/C1V(0)	_
										(10.14)
Рассмотрим теперь нестационарный гауссовский процесс, ко­
торый представим соотношением
		*(/)	= * ( < ) * ! (*) + *•(*).							(10Л5)
где	х0 (/) — гауссовский		стационарный			процесс с корреляцион­
ной	функцией К (т); хг (t)			и	х2 (t) — детерминированные						или
квазидетерминированные			нестационарные				процессы,			задаваемые

в виде усеченных степенных или тригонометрических рядов со случайными статистически независимыми или детерминирован­

ными коэффициентами		ahi	bh, ch (k =	0, 1, 2,	n):
		n	(9 = *=o		(ю ле)
	x1)2 (/) =		(bhcos Ш +	ch sin Ш),	(10.17)
		2
		k = 0
где © = 2n/T	(T — время		реализации	процесса).	статистически
Процессы	х0 (t), хг (/)		и хг (t) будем считать

независимыми со средними значениями, равными нулю. Тогда корреляционная функция процесса, определяемого соотношением

(10.15), будет иметь следующий вид при х0 (t)						= х х (t) =	хг (t) = 0:
	#* (t, t +		т) =	([х0 (0 X! (0 + дга (/)] X
	х [*о (* +		*)*! (* + *) +*2 (* +			*)]> =
	= К (т)/Cl(t,			t + x) + Ki(t,		t + т),	(10.18)
где	корреляционные	функции			нестационарных составляющих
хг (0	и х2 (t) определяются			соотношением
	# 1,2 (t,	t + x) =			(х1л (t) xll2 (t + т)).		(10.19)

В формуле (10.19) и далее запятая в нижнем индексе означает, что вид формул для процессов хг (t) и хг (t) аналогичен.

6*

83

Из соотношения (10.18) при т = 0 получим дисперсию про­ цесса х (t)

o2x = K ( 0 ) o l + о2х,,

(10.20)

где

aXl. x,(t) = {xЫ 0>

—дисперсии нестационарных составляющих ха (t) и ха (t). Взаимная корреляционная функция процесса х (t) и его пер­

вой производной имеет вид

Кх* (t,

t + x) = К (т) Кх,*, (t,

t + *) +

где

+

K(x)Ki(t,

t + 4) + Kx,*,(t> * +

т)>

(Ю.21)

Кх1Л*1Л(t, t-f

T) = <*1.2(0 xh3 (t +

т » .

(10.22)

Из соотношения

(10.21)

при

т =

0

получим

коэффициент

корреляции

между

процессом х

(t) и

его первой

производной

в совпадающие моменты времени:

Кх* =

К (0) Кх,*, +

Кх.х,-

(10.23)

Аналогично

запишем другие

корреляционные

функции при

= 0:

К х* (0) =

К

(0) К х,х, +

К (0) К х,х, +

К х,* ,,

К** (0) = К (0) К*,*, — К (0) Кх,х, +

к*,*,,

Кхх (0) =

К (0) Кх,*, (t) -

К (0) Кх,*, -

2/С (0)

Кх,*, + к*,*,,

(10.24)

К** (0) =

К (0) К*,*, + 2 К (0) Кх,*, -

-

4 к (0)

К*,*, - f

K 1V(0) Кх,х, + к*,*„

Кх1< *1л =

К *1ЛХ1Л =

<*1.2 (0 *,.2 т

К х 12х1л =

<*1.2 (0 *..2

(0 ). (10.25)

Запишем корреляционные моменты нестационарных состав­ ляющих хг (t) и ха (t), а также их первых двух производных для случая, когда эти процессы заданы в виде соотношения (10.16):

Кх„х, (0		= Оо +	й 1<2 +			' • • +	5 п*2п>
Кх,*, (0 =		в?/ -f- 2а! +					,2а2п—1.
						+ п т 1
К*„х, (t) =		a2-f- 4йг/2 +			■. + n 2a2nt2n~2;				(10.26)
Кх,*, (t) =	2 аУ* - f 6a!t* + . • •			+		п (я	-	1) a2nt2n~ 2;
К*,. *, (!) =	4 а! +	36a2t2 -\-----------h п2( п -						l)2a2nt2n~ i ;
К*,х, (0 =	4йг< +	186з(3	I	+	i	я 2 (я — 1) a„t2			3 ,
	I	-----				x		"

где чертой сверху обозначена операция вычисления среднего значения.

84

Случайные процессы можно описать не только с помощью корреляционных функций, но и с помощью энергетических спек­ тров [63]. Для стационарных процессов эти спектры определяются соотношением

S ( « , ) = ^ r ] к ( г ) е - ‘^йх.	(10.27)
— 00

Обратное преобразование Фурье определяет корреляционную функцию по энергетическому спектру

К (т) = J S (со) еШхdco.

(10 .28)

В технических приложениях энергетический спектр часто определяют только для положительных частот. В этом случае

S(co) = - L j К (T)e-faxdr;	(10.29)
К (т) = J s H ^ d c o .	(10.30)

Ряд полезных соотношений можно получить, дифференцируя формулу (10.30) и оставляя при этом только действительную часть:

К (т) =		[ S (со) cos сот dco;
		о
		СО
К (т) =	—jcoS (to) sin сот dco;		(10.31)
		00
К (т) =	—	| соа5 (со) cos сот dco

и т. д.				0 получаем, что все нечетные
Из соотношений (10.31) при т =
производные равны нулю,	а	четные			определяются	формулами
		00
/С (0) =		J 5		(со) dco;
		О
К (0) =		оо
	—	|	со* S		(со) dco;
		о
		00
K IV (0) =		|	со45 (со) dco;			(10.32)
КУ1(0) =		Осо
	— J co6S				(со) dco

и т. д.

85

Рис. 10.3. К анализу процесса случайных колебаний

Анализ случайных колеба­ ний. Как при анализе пото­ ков статистически независи­ мых воздействий (см. § 9), так и при анализе случайных колебаний основной задачей является отыскание для них распределения абсолютного максимума. Однако при ана­ лизе случайных колебаний возникает и ряд других за­ дач, решение которых, свя­ зано с необходимостью по­ лучения таких характерис­ тик процессов, которые можно непосредственно ис­

пользовать в расчетах на выносливость и живучесть конструк­ ций.

Для постановки задач по анализу случайных колебаний рас­ смотрим некоторую графическую реализацию случайного про­ цесса х (t) и отметим на ней характерные точки и соответствующие им значения процесса нагружения и интервалы между ними (рис. 10.3):

точки пересечения случайного процесса со средним (нулевым) уровнем, которые называются нулями процесса;

точки, соответствующие экстремальным (максимальным и ми­ нимальным) значениям процесса и называемые экстремумами процесса;

точку А, соответствующую наибольшему для данной реализа­ ции максимуму процесса и называемую абсолютным максимумом процесса;

точку В, соответствующую перегибу процесса (где вторая производная равна нулю) и называемую точкой перегиба;

точки пересечения случайного процесса с некоторым уровнем, определяющие число превышений (выбросов) за этот уровень (см. рис. 10.3);

интервал времени т0 между двумя соседними нулями процесса, называемый интервалом времени между нулями; два таких интер­ вала определяют период случайных колебаний, т. е. период про­ цесса по нулям;

интервал времени тэ, соответствующий двум соседним экстре­ мумам процесса и называемый интервалом времени между экстре­ мумами; два таких интервала определяют период колебаний пер­ вой производной от заданного процесса, т. е. период процесса по экстремумам;

отрезки Хпих или лст1п между нулевой линией и некоторым экстремумом, называемые экстремальным (максимальным или минимальным) значением процесса;

86

отрезок х* между нулевой линией и абсолютным максимумом процесса, называемый значением абсолютного максимума;

приращение процесса хр между двумя соседними экстрему­ мами, называемое размахом процесса.

Получение вероятностной информации о количестве указанных точек за некоторый промежуток времени и о величинах указанных выше отрезков по заданным вероятностным характеристикам процессов (по корреляционным функциям или энергетическим спектрам) будем называть задачей по структурному анализу слу­ чайных процессов.

Отметим некоторые вероятностные характеристики параме­ тров процессов, которые могут быть определены при структурном анализе:

распределение числа нулей, экстремумов и точек перегиба процесса при заданной его длительности (частные характеристики этих распределений — среднее число нулей «<,, среднее число экстремумов йэ и среднее число точек перегиба па в единицу вре­ мени, дисперсия числа нулей D {га0}, дисперсия числа экстрему­ мов D («а} и дисперсия числа точек перегиба D (пп) в единицу времени);

распределение числа превышений некоторого уровня (выбро­ сов) при заданной длительности t процесса (частные характе­ ристики этого распределения — среднее число превышений неко­ торого произвольного уровня х, обозначаемое через п (х, t), и дисперсия числа этих превышений D {п (х, 0);

распределение интервалов времени между соседними нулями, экстремумами и точками перегиба (частные характеристики этих распределений — среднее значение интервалов времени между соседними нулями т0, экстремумами тэ и точками перегиба т„ и дисперсии интервалов времени между соседними нулями D {т0}, экстремумами D {т9} и точками перегиба D {т„});

распределение значений процесса, соответствующих его макси­ мумам и минимумам, — распределение максимумов и минимумов; распределение приращений процесса между двумя его сосед­

ними экстремумами — распределение размахов; распределение значения процесса, соответствующего его абсо­

лютному максимуму, — распределение абсолютного максимума процесса;

совместное распределение нескольких (в общем случае — про­ извольного числа) следующих друг за другом экстремумов;

распределение суммы нескольких (в общем случае — произ­ вольного числа) следующих друг за другом интервалов времени между соседними нулями или соседними экстремумами про-' цесса.

Большинство из указанных задач не имеют точного эффектив­ ного решения даже для случая гауссовского стационарного про­ цесса. Поэтому при решении этих задач ограничиваются обычно получением приближенных оценок.

87

X	С о в м е с т н о е				р а с ­
	п р е д е л е н и е			э к с т р е ­
	м у м о в .		Задача		отыскания
	совместного распределения про­
	извольного		числа	следующих
	друг за другом экстремумов от­
	носится	к	наиболее		трудным
Рис. 10.4. Последовательность двух	задачам		теории	случайных
соседних экстремумов	функций,	которая		не имеет до
	настоящего времени точного эф­
фективного решения. Рассмотрим принципиальную				возможность

построения такого распределения на примере совместного рас­ пределения двух соседних экстремумов. Более общая задача рас­ смотрена в работе [12].

Пусть дана совместная плотность распределения процесса х (0 и его первых двух производных для двух произвольно вы­ бранных моментов времени f (х0, х0, х0, т0, xlt x lt xlt Tj). Для гауссовских процессов эта плотность определяется соотноше­ ниями (10.7) и (10.9).

Вероятность того, что если случайный процесс х (/) в некотором малом интервале времени Дт0 имеет максимум с величиной в ин­ тервале значений (х0 — Дх0, х0), то в другом малом интервале времени Дтх обнаружится минимум с величиной в интервале значений (xlf хг + Д*х) (рис. 10.4):

Р{х0— Ах0< х < х 0, —Ак0< х < 0 ,				к < 0 ,		дг1< х < х 1 +Ддг!,
			х0—Ах0 —Лх0 0 Xt+Axg Axt
0 < i < A x u * > 0 ) =			j	{	j	J	J x
			X0	0	—00	xt	0
х { / (*о, *0. *о. То,		x1dx0dx0<Ut0dx1dx1dx1 =
О
О	оо
= ДХоДххДтоДтх f	f XoJcJ (х0,		0, х0, т0, хи			0,	Ti)dx0d*i-
—оо о		•

(10.33)

В частности, вероятность обнаружения в произвольно вы­ бранном интервале времени Дт максимума Хщах в интервале зна­ чений (х—Ах, х)

Р{х — А х < х шх< х ,			— Ах < х < 0 ,			х < 0 } =
-Д*о —Ах0		О
- 1	J	-Jооf(x,	к,	х,	x)dxdkdk =
		О				(10.34)
	= Дх0Дт j xf (х,			0,	х, т) dx,
		—00

88

где f (х, 0, x, т) — совместная плотность распределения процесса

и его	первых двух производных для момента времени t = т и
при х	= 0.

Вероятность обнаружения в интервале времени Дт максимума произвольной величины

Р {— оо < х < о о , Д * < к < 0 , х < 0 ) =

ооО

= Дт J j х/ (х, 0, х, т) dx dx —

		СО
		= Дт |	Xf (0,	х, т) dx,		(10.35)
где / (0,	х,	т) — совместная	плотность		распределения	первой	и
второй	производных процесса х (t)			для	момента времени t =		т
и при х =		0.

Полагая, что в малом интервале времени Дт можно обнаружить не более одного максимума, получаем следующее соотношение для определения среднего числа максимумов за время t:

t о

nmax(t)= l	J */(о, X, т) dx dx.	(10.36)
О	—оо

Для стационарных процессов среднее число максимумов в еди­

ницу времени
о
Оmax = J X f ( 0 , X) d x .	(10.37)
—00

Среднее число минимумов в единицу времени для таких про­

цессов
«min = l*f(0, X) dx.	(10.38)
о

Введем в рассмотрение плотность распределения максимумов /шах (*). Так как вероятность обнаружения максимума в области (Дх, Дт) равна произведению вероятностей обнаружения макси­ мума в интервале значений Ах и в интервале времени Дт, то

о

Ах Ах J Jif (х, 0, х, т) dx =

— IfwaxW Д*]	x/(0, X, т)dx	}	(10.39)

89

Отсюда для стационарных процессов получим плотность рас­ пределения максимумов

О		I—оо
fmax (X) = J X f ( x ,	О, X ) d x l	j */(0, *) dJc.	(10.40)
— 00	/	о

Для нестационарных процессов плотность распределения мак­ симумов

/max («*» 0 ^

*	О	I/O
= J	J xf(x, О, JE, x)d£dr	j	J х/(0, Jc, z)dxd%. (10.41)
О	—оо	/ 0	—оо

Для определения плотности распределения минимумов можно записать аналогичное выражение.

Возвратимся к соотношению (10.33) и введем в рассмотрение совместную плотность распределения двух (не обязательно со­ седних) экстремумов и моментов времени их появления / (х0, т0, xlt тх). Тогда для вероятности обнаружения ситуации, описан­

ной соотношением		(10.33),		можно записать равенство
	/ (*0> т0, xi,			тх) Ах0Ат0 Дхх Дтх =
		О оо
= AXj Ajtj ATJ A TJ		J	J X 0x j	( X QJ	0,	X Q,	T0,	X I , T I )	d X 0 d X i . (10.42)
		co о
Из	(10.42) получим
			О оо
/ (*о»	то ^i> ^i) =	|	| w	(*о»	0,	*o>	To	^i* 0,	Xx, Tj) dXо dX\,
		—оо о
									(10.43)

Пусть в интервале времени Дт0 зафиксирован максимум. Тогда, используя соотношение (10.35), можно записать следующее вы­ ражение для определения вероятности события, что в интервале времени Дтх будет обнаружен минимум:

f (х0, т0, хх, тх) Дт0	Дтх = / (V To, *i> Ti)	x
Лт„	J *о/(0,	(Ю.44)

где / (дс0/т0, JCx, тх) — совместная плотность распределения двух экстремумов и моментов времени их появления при условии, что в момент времени т0 был зафиксирован максимум.

90

Из (10.44) следует, что для стационарных процессов

0	оо		*о. т0, Хх, 0, *1, Т[) d£f)d£i
J	J -*’0^^ (*о.	5
f (V V *i, *x) = -=^2-------------			-------------------------. (10.45)
		|	*o/(0, x 0) d x 0

— CO

Проинтегрировав соотношение (10.45) по всем возможным значениям х0 и xt и приняв т0 = 0 и тх = т, получим для стацио­ нарных процессов следующее выражение для плотности распреде­ ления интервалов времени между экстремумами (не обязательно соседними):

О	оо
f (Т) = («мГ1 J	j W (0. *о> 0, Хх, т) dx0 dXx,	(10.46)
—00 о

где f (0, х0, 0, xlt т) — совместная плотность распределения пер­ вой и второй производных процесса х (() для двух моментов вре­ мени, разделенных интервалом т и при Л0 = Хх = 0.

Чтобы получить совместное распределение двух следующих друг за другом экстремумов, необходимо в соотношении (10.45) исключить моменты времени их появления и включить условие появления в момент времени тх именно первого нового экстремума.

Пусть р0 (х0/0, xjx) — совместная плотность распределения двух соседних экстремумов при условии, что они разделены ин­ тервалом времени т, а р (т) — плотность распределения интервала времени между соседними экстремумами. Тогда на основании свойств условных вероятностей получим выражение для опреде­ ления совместной плотности распределения двух соседних экстре­ мумов и интервала времени между ними

/о (*о/0. x l t т) = р0 (*0/0, Хх/т) р (т).

(10.47)

Для малых интервалов времени между экстремумами каждый обнаруженный экстремум будет первым новым экстремумом. Для этого случая можно принять

Ро (*о/0, xjx) да / (х0/0, хх, т),

(10.48)

где плотность f (х0/0, хг, х) определяется соотношением (10.45) при т0 = 0 и xt — х.

Для больших интервалов времени, когда каждый следующий экстремум можно считать статистически независимым от преды­

дущего, можно принять
Ро (*о/0, Хх/х) да f (*0) / {хх),		(10.49)
где / (х0) — плотность	распределения максимумов; / (лгх) — плот­
ность распределения	минимумов.	Пусть f (тх/0 <
Определим плотность распределения р (т).
< t < тх) — условная	плотность распределения	вероятности со­

91