книги / Основы проектирования турбин авиадвигаделей

циальных уравнений. Далыиейшие исследования в этом направлении позво­ лили существенно модернизировать метод. В частности, Томасом и Миддлкоффом был Предложен подход, позволяющий эффективно управлять распределением внутренних узлов сетки, однозначно определяющимся за­ данием распределения узлов вдоль границ области. Такой подход особенно целесообразен при решении задачи расчета течений в межлопаточном кана­ ле, так как достижение локальных сгущений и разряжений сетки в местах больших и малых градиентов течения является одним из основных средств повышения точности получаемых результатов за приемлемое время счета ЭВМ. Кроме того, в этом случае отсутствует искажение разбиения в окрест­ ности входной и выходной кромок профиля. Основываясь на подобном подходе к решению поставленной задачи, можно осуществить эффектив­ ный способ построения конечных элементов внутри рассматриваемой рас­ четной области течения.

Получение декартовых координат узлов сетки в физическом простран­ стве в данном случае сводится к решению системы эллиптических диффе­ ренциальных уравнений в частных производных, рассматриваемых в прямо­ угольной области { /, qJ . Обычно для этой цели привлекается пара урав­ нений Пуассона

^XX ^ ^УУ	PQi Я) 9
Яхх ^ Ууу	Я) 1

которая в результате обращения роли зависимых и независимых перемен­ ных преобразуется к системе координат \1>я} и сводится к следующему:

<ххц-2Р x lq +yxqq = - J 2{Pxt + Qxq);

ауп -	2fiy,	+уу	=	- J 2 (Pyj + Qyq) ;
				(5.17)
а = х 2	+ y q ; Р = x txq			+ y ty q\
У=х)	+y}	,
				Ъ{х,у)
где J якобиан преобразования J = ---------- .
				Э (/,*)
Граничные		условия	представляют собой координаты узловых точек
в физической плоскости				, соответствующие каждому из узлов
сетки	qj j-	на границе прямоугольной области. Таким образом, реше­

ние поставленной задачи сводится к решению задачи Дирихле для системы эллиптических уравнений (5.17). Управление распределением внутренних узлов сетки достигается выбором вида Источниковых членов Р и Q в этих уравнениях. Томасом и Мидцлкофом [21] был применен подход, согласно

181

которому исгочциковые члены Р и Q вычисляются через граничные условия и, следовательно, распределение узлов во внутренней обцасти одназначно определяется распределением узлов на ее границе. Истрчниковые члены

задаются в виде /

I

P = g Q , q ) ( ! i + / ; ) ;		/
Q = '!'(!, я) (Ях +Яу)>	;	(5-18)

где g и ф —неизвестные функции, подлежащие определению. Система урав­ нений (5.17) с учетом (5.18) принимает вид

a ( x u +gxi) — 2j3x jq + y ( x qq + ipxq) = 0 ;

<*O'// + gy{) - IQyiq + y(yqq + ФУЯ) = 0-

(5-19)

Рассмотрим уравнение для одной из искомых функций (например, g) вдоль любой из горизонтальных границ q =q * = const. Исключим из уравне­ ний (5.19) параметр ф и, преобразуя полученное выражение, придем к од­ ному уравнению

a [yq(xU + Sx l) ~ xq(yil + gyi)] =yq [2j3 ( —	), +	) q ] . (5.20)
yq		yq
x Q	d.x
Очевидно, что отношение—— характеризует наклон	-----семейства коорди-
Vq	dy

натных кривых / = const, поперечных границе q = #*. Не нарушая общности потребуем локальной прямолинейности линий / = const в окрестности гра­ ницы, что можно записать как

( — ) а = 0 при q =q*.

(5.21)

, уЧ

Кроме того, потребуем ортогональности линий / = const границе д*. Усло­ вие ортогональности записывается исходя из обычных методов векторной

алгебры. Пусть г (х, у) —радиус-вектор. Вектор, касательный к коорди­ натной линии

? = const, "г, = (*/,_)>,),

а вектор, касательный к линии / = c o n s t , = ( x q, y q) . Условие ортогональ­ ности, как известно, заключается в равенстве нулю соответствующего ска­ лярного произведения (г£ г^ ) , т.е.

x lxq + У1УЧ = 0 при я =Я*-

(5.22)

182

Рассматривая уравнение (5.20) на границе, учитывая наложенные условия (5.21), (5.22) ^вспоминая,что (3 = + УгУд, получаем

\'

а[Уц О// + & /) “ x q О // + &У1)] = °-

Таким образом, для предельного соотношения на границе с учетом условия

(5.22)	\
x lx ll + У№1		при	q = q	(5.23)
g = -	-У)
А
Из уравнения	(5.23) исходя из заданных на границе значений			{ х/, у/}

с помощью конечно-разностной аппроксимации при задании Д/ определяет­ ся значение £ в каждой узловой точке на границе. Совершенно аналогично определяются значения ф вдоль границы l = l * = const. Значения парамет­ ров g и ф во внутренних узлах определяют путем линейной интерполяции вдоль линий / = const и q = const соответственно, используя их значения, найденные на горизонтальных и вертикальных границах. После определения введенных параметров g и ф, решая численно систему уравнений (5.19), получаем искомое разбиение области течения на элементы в физическом пространстве. На рис. 5.3 представлена сетка, полученная описанным ме­ тодом.

Приведенный метод разбиения области на элементы обладает достаточ­ ной гибкостью, позволяя, например, варьировать значение угла пересечения между линиями. В этом случае условие ортогональности (5.22) заменяется очевидным условием

<7/ ?q) = \Ъ 1I^|COS0,

где в — угол пересечения между границей q = q* и поперечной линией I = const. Раскрывая скалярное произведение, получим

x lxq + ytfq = (х 1-УЯ ~ У1хя ) с1&в -

Далее с помощью ранее описанных Приемов можно получить соответст­ вующие выражения для параметров

8*Ф-

Ряд расчетов, проведенных авто­ рами, показал, что при решении зада­ чи о течении газа в межпрофильных каналах введение дополнительного

Рис. 5.3. Разбиение расчетной области на элементы

183

/

условия для пересечения координатных линий	практически не сказывается
на точности получаемых результатов. Однако	само по себе наличие такой
возможности может оказаться существенным	при дальнейшем развитии

метода.	'
	/
5.5. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ МЕТОДА РАСЧЕТА	/
	I

При итерационном решении вариационного уравнения для потенциала скорости необходимо задаться первым приближением, которое, естествен­ но, должно быть достаточно близким к искомому решению. При его зада­ нии могут применяться самые разнообразные подходы. В частности, прак­ тика проведения расчетов показала, что эффективным является использо­ вание в качестве первого приближения решения уравнения (5.15) для несжимаемого потока, т.е. при условии р = const. В этом случае не требует­ ся создания специального модуля для расчета потенциала течения в началь­ ном приближении, так как минимизация функционала (5.15) при р = const осуществляется по уже имеющимся алгоритмам. Для оценки сходимости используется общепринятый критерий, согласно которому итерационный процесс считается завершенным, если для всех узлов сетки выполняется условие

пп +1

пп +1

где Фi и Фг- —значения потенциала в i-м узле на двух соседних итера­ циях, а е —задаваемая при расчете погрешность вычисления. При практичес­ ком проведении расчетов достижение значения е = 0,001 позволяет прер­ вать итерационный процесс и получить хорошие результаты. На рис. 5.4 и 5.5 приведены результаты расчета распределения скоростей вдоль наруж­ ных обводов профиля для двух плоских решеток, исследованных экспери­ ментально на различных режимах обтекания. Как видно из рисунков, ре­ зультаты расчета имеют вполне удовлетворительное согласование с экспе­ риментальными данными во всем диапазоне приведенных скоростей на вы­ ходе из решетки. Для достижения сходимости процесса требуется обычно от четырех до восьми итераций. Программный модуль, реализующий разра­ ботанный алгоритм, занимает от 200 до 300 Кб оперативной памяти ЭВМ типа ЕС, что позволяет получать результаты на достаточно густых сетках, полностью удовлетворяющих требованиям, предъявляемым инженерной практикой к точности проводимого расчета. Время работы модуля состав­ ляет от 5 до 10 мин.

При расчете сверхзвуковых режимов течения изложенный метод расче­ та несколько усложняется. Прежде всего, как уже было сказано, при сверхзвуковых скоростях нельзя применять метод линеаризации для урав-

184

Рис. 5.4. Результаты расчета распределе­	Рис. 5.5. Результаты расчета распределе­
ния скорости вдоль наружных обводов	ния скорости вдоль наружных обводов
экспериментально исследованной плос­	экспериментально исследованной плос­
кой рабочей решетки I ступени турбины	кой решетки 2 ступени турбины венти­
вентилятора	лятора

нения потенциала и, следовательно, решение задачи в конечно-элементной постановке сводится не к минимизации функционала (5.15) для линеари­ зованных уравнений, а к соответствующему решению уравнений (5.9) в постановке Галеркина. Если для конечно-разностных методов проблема расчета течений в сверхзвуковых областях достаточно изучена и использова­ ние, например, метода установления с применением схемы Годунова либо различных релаксационных методов позволяет уверенно получить характе­ ристики потока с выделением скачков уплотнения, то для метода конечных элементов подобные расчеты находятся в стадии становления. Сравнительно недавно на решение задач гидродинамики методом конечных элементов был распространен известный способ введения искусственной сжимаемости для сверхзвуковых потоков газа. В результате незначительной модифика­ ции выражения для плотности, фактически эквивалентной введению искус­ ственной вязкости, задача расчета для трансзвукового течения превращает­ ся в задачу, для которой можно применять обычные методы решения. Хафез с соавторами несколько преобразовал выражение для плотности, приведя его к виду

Р = Р	- р ( —— )Д5,			(5.24)
Эр	^	и	Эр	v Эр
* ( _	) « -	_ ( _	) Д ,	Д,;

(л —коэффициент искусственной сжимаемости.

185

Решение, получаемое путем введения искусственной сжимаемости, естественно, зависит от параметра д, который выбирается в зависимости от типа используемых элементов, вида расчетной сетки, размеров элемен­ тов и т.д. В качестве первого приближения для различных узлов сетки сле­ дует выбирать приближение, зависящее от местной скорости потока, при­ чем значение д должно равняться нулю в дозвуковых областях, т.е. для узла сетки (/,/) величина коэффициента д оценивается по формуле

	2
Vij = m ax[0, (1	г - ) 1 •

vi,i

Вслучае неудовлетворительной сходимости величина параметра д подби­ рается путем умножения найденного значения д/ j на специально выбранный

постоянный коэффициент.

Для аппроксимации производных плотности рх и ру в соотношениях (5.24) применяются, как это чаще всего делается, односторонние разности против потока, составленные по значению плотности на предыдущей итера­ ции для центральных точек двух соседних элементов.

При расчете распределения скорости в межпрофильном канале с мест­ ными сверхзвуковыми зонами течения сходимость итерационного процесса, естественно, достигается медленнее, чем в случае полностью дозвукового потока. В частности, при получении результата для одной и той же решетки профилей с наличием развитых сверхзвуковых зон и без них время расчета возрастает в среднем от 5 ... 10 до 15 ... 20 мин при использовании ЭВМ типа ЕС. Тем не менее, благодаря высокой точности получаемого численного ре­ шения поставленной задачи применение такого подхода полностью оправда­ но и весьма эффективно. Кроме того, время расчета может быть существен­ но сокращено путем соответствующего подбора коэффициента в выраже­ нии для искусственной плотности и применения ряда специальных приемов. В частности, большой эффект, как отмечается в ряде работ зарубежных ав­ торов, может дать использование переменных размеров сеток и экстрапо­ ляции по Ричардсону. Необходимо отметить еще такое преимущество метода расчета течений в лопаточных венцах с помощью конечных элемен­ тов, как модульность структуры и универсальность отдельных програм­ мных секций. Как будет показано, они, в частности, широко используются для решения задачи о нахождении характеристик потока при течении в ме­ ридиональной плоскости проточной части турбины. Применение такого единого подхода позволяет значительно упростить и решение задачи получе­ ния параметров квазитрехмерного течения в элементах проточной части.

186

5.6. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В МЕРИДИОНАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

ПРОТОЧНОЙ ЧАСТИ ТУРБИНЫ

Важной задачей при расчете аэродинамических характеристик потока

влопаточных венцах является задача определения параметров течения в ме­ ридиональной плоскости проточной части турбины. На стадии проектиро­ вочного расчета при выборе формы и основных размеров проточной части

вконструкторских организациях, занимающихся турбостроением, исполь­ зуется, как правило, расчет турбины по среднему диаметру, который впос­ ледствии распространяется на все сечения по высоте лопатки путем введе­ ния полуэмпирических зависимостей для параметров потока, полученных,

восновном, на основании обобщения результатов практики проектирова­ ния (см. гл. 3). Такой подход, несмотря на приблизительное моделирова­ ние физической картины реальных процессов, имеющих место в лопаточных венцах, тем не менее позволяет получать лопатки турбин, имеющие удов­ летворительные аэродинамические характеристики, что объясняется, глав­ ным образом, многолетним практическим опытом, накопленным при ре­ шении аналогичных задач. Однако задача детального численного исследова­ ния процессов, происходящих в проточной части турбины, является весьма

актуальной. Прежде всего, результаты расчета течения в меридиональной плоскости дают возможность в пределах используемой математической модели с достаточной степенью точности определить значение вектора скорости на выходе из лопатки в каждом сечении по ее высоте, что играет существенную роль при прогнозировании характера течения в лопаточных венцах и оценке аэродинамического качества проектируемой ступени. Кроме того, как было сказано в гл. 3, гипотеза о равенстве нулю радиаль­ ной составляющей абсолютной скорости и полученное в результате ее применения упрощенное уравнение радиального равновесия не позволяют получать реальное протекание линий тока вдоль пера лопатки. Наконец, решение подобной задачи необходимо для моделирования пространствен­ ной картины течения в лопаточных венцах. Даже при принимаемом обычно предположении о невязком и нетеплопроводном газе задача о трехмерном течении в проточной части турбины является чрезвычайно сложной. Для создания упрощенной модели, допускающей численное решение задачи, необходимо принять дополнительные допущения. Фактически такая модель существует и используется на практике, однако теория, обосновывающая применение этой модели, была разработана лишь сравнительно недавно. Согласно этой теории, основы которой были заложены By, трехмерное течение получается в результате суперпозиции двух плоских течений:

осесимметричного течения в меридиональной плоскости; течения газа по цилиндрическим поверхностям тока в межпрофильном

канале.

Расчет параметров пространственного потока по такой квазитрехмерной модели с помощью современных отечественных ЭВМ может быть про­ веден за время, приемлемое для инженерных расчетов, при удовлетвори­

тельной точности получаемых результатов.

187

Задача о течении газа в меридиональной плоскости так же, как и задача о течении в межпрофильном канале лопаток турбин, решается методом ко­ нечных элементов, об основных достоинствах которого говорилось ранее. Применительно к специфике решения этой задачи следует еще учесть и то, что использование при расчете элементов с криволинейными границами поз­ воляет непосредственно учесть форму проточной части с произвольными изменениями ее обводов вдоль втулки и корпуса.

Будем рассматривать установившееся адиабатическое осесимметричное течение невязкого сжимаемого газа. Уравнение энергии, записанное в виде общей формы первого закона термодинамики, имеет вид

T V S = V h -	(5.25)
	р

где S —энтропия потока, h —его энтальпия. Используя уравнения Эйлера (5.2) и учитывая, что

( V X V ) V	V V 2
	= -------------F X ( V X F ) ,
	2
уравнение (5.25) легко преобразовать к виду
- F X ( V	X V ) = T V S -	V tf,	(5.26)
		V2	. Для лопаток рабочего колеса
где Н —энтальпия торможения Н = h + -----
скорость в относительном движении W = V			+ CJ XR , где со — угловая
скорость ротора, и уравнение (5.26) принимает вид
- W X ( V X W ) = T V S -		VHR ,	(5.27)

где HR - энтальпия торможения в относительном движении (ротальпия),

W2	OJ2R 2
HR = h + --------------------	.
2	2

Можно показать, что в предположении адиабатичности и стационарности потока уравнение сохранения энергии для лопаток ротора и статора имеет, соответственно, вид

( W X V ) H R = 0;

( V X V ) H = 0,

что означает постоянство энтальпии торможения и ротальпии вдоль линии тока. Предположение о стацшнарности потока, очевидно, эквивалентно

188

предположению о пренебрежимо малом влиянии закромочных следов каж­ дого предыдущего лопаточного венца на последующий. Предположение об адиабатичности в данном случае показывает, что рост энтропии вдоль линии тока обусловлен влиянием диссипативных сил и равен производимой ими работе.

Для решения поставленной задачи применяется метод, разработанный Хиршем и Варзе. В работе [19] ими были получены уравнения для осредненного в окружном направлении движения при предположении осесимметричности потока. При получении этих уравнений учитывалось, в частности, загромождение области течения в проточной части лопатками ротора и ста­ тора конечной толщины. Осредненное уравнение неразрывности в цилинд­ рической системе координат {Л, 0, Z J можцо записать в виде

4	(p R b V R ) + - 1 (p R b V z) = 0,	(5.28)
ок	oZ

где b - коэффициент загромождения, определяющийся через толщину про­ филя спр и текущую ширину межлопаточного канала fкан,

Ь = 1 -

.

(5.29)

*кан

Уравнение неразрывности тождественно удовлетворяется путем введения функции тока ф:

д ф

—- p R i , V t ;

Э ф	(5.30)
j - = - p R b V R ,

вкоторой все физические параметры представляют собой уже осредненные

вокружном направлении величины.

Уравнения количества движения также осредяются при условии осе­ симметричности. Основным уравнением, подлежащим решению, является осредненное уравнение количества движения в проекции на радиальное нап­ равление, записанное для введенной функции тока ф и полученное в пред­

положении об отсутствии массовых и диссипативных сил. Это уравнение имеет вид

д	1	Э ф	д	(	1	дф
------ ( ------------	pRb	_ )	+ -----		---------------pRb	_ ) =
д R		ЭR	3Z			ЭZ
1	ЭЯ	Т	Э S		у±		(5.31)
= -----	[ ---------		-------ЪR		R	ЭR ■(ДГ„)]
vz	ЪR

189

Допущение об отсутствии массовых и диссипативных сил при получении уравнения радиального равновесия (5.31) в основном незначительно сказы­ вается на точности получаемых результатов. Некоторая погрешность наблю­ дается лишь в районе ступицы рабочих лопаток и в их периферийных сече­ ниях, но ее величина вполне приемлема для инженерных расчетов. Наличие осевой составляющей скорости Vz в знаменателе правой части уравнения (5.31) приводит к тому, что, например, для машин радиального типа, когда Vz может быть весьма малой, уравнение (5.31) становится непригодным.

В этом случае велика радиальная составляющая VR и можно перейти к рас­
смотрению уравнения движения в проекциях на осевое направление
Э	1 д\р	Э	1	дур
ЭЯ	p R b ^ Г ) + ^ Г ( p R b 0Z

	[Т	Э S	э*	+ Ув	az	(5.32)
		az	Эz	я
	В дальнейшем	будем	рассматривать		уравнение (5.31). Заметим, что это

уравнение описывает течение в межлопаточных каналах статора. При тече­ нии в осевом зазоре, где нет лопаточных венцов, необходимо в уравнении

(5.31) положить Ъ =		1. Для лопаток ротора в уравнении (5.31) следует за­
менить энтальпию торможения Н на ротальпию HR , а соответствующие
проекции абсолютной скорости на проекции относительной скорости W .
Перепишем уравнение (5.31) в более компактной форме
а	\ра	az	а
эя	эя +		az	+Я	а д	= 0,	(5.33)
1
где к —
p R b
		as	ая	в	ая
f ( R , z ) =	[ Т	----------------эя	ая +	я		( R v e)]	(5.34)

Граничные условия на границе S некоторого замкнутого объема V задают­ ся уравнением

а\р

* — + <*!«'- 1 Ы =0 . (5.35)

ап

На части поверхности	где ф определена, ф = ф0 и oci °°. На части по-
аур		= Ои Si US2 = S. Поделим уравнения (5.33)
верхности S2>где----- = 0,
Э п

190