книги / Пространственная модель турбулентного обмена
..pdfст большое число компонент, то вычисление матриц Г/ ло формуле (1.7) требует большого количества машинного времени.
В рпботах автора [4, 6) был предложен проси»! и достаточно эффектив ный метол решении раэлосшых уравнений типа (1.3), (1.4) - метод не полной факторизации, являющийся сочетанием весьма простой вектор ной прогонки типа (] .6) и последовательных приближений. Вычисление коэффициентов прогонки здесь сводите» к обращению лишь диагональ ных матриц.
| 1.2. Метод разностной факторизации
Идея факторизации разностных уравнений была впервые высказана ИМ. Гельфандом к 0 .6 . Локуцнсвскнм [25, 59] для реш етм одномер ных уравнений эллиптического типа.
Изложим кратко одни из возможных вариантов алгоритма фактори
зации применительно к одномерному |
уравнению эллиптического типа |
а |
(2.1) |
- ^Ф + ^-=0 |
на отрезке а < х < Ь с линейными условиями при х - а и х - й . После заме ны производных по дг конечными разностный ура имение (2.1) в каждом
счетом узле отрезка а <дг <& запишется в виде
- О й п + |
1= 1 ,2 ... . ,п . |
(2.2) |
причем |
|
|
аг+с,*ър,. |
|
(2.3) |
Будем предполагать, что в |
системе (2.2) граничные условия для |
в точ |
ках л = а н х = Ь уже учтены, так что |
|
|
* 1 = 0 , с,, = 0. |
|
(2.4) |
Кроме того, путем предварительных преобразований координат в урав
нении (2.1) |
или соответствующим выбором шагов при переходе к урав |
||
нению (2 2) всегда можно добиться выполнения неравенств |
|
||
а{ < С1 |
при г = 2, 3 ,. . . , п - 1. |
(2.5) |
|
Заманим уравнение (2.2) эквивалентной системой |
|
||
2г = ог/ 2г-1 |
+ ТгЛ< |
(2.6) |
|
где от*, |
ъ |
- пока неизвестные коэффициенты. Для отыскания этих коэф |
|
фициентов разрешим второе да уравнений (2.6) относительно х, |
и под |
||
ставим в первое. Тогда |
|
||
- с м _ ! “ |
II 1 + (1 -Юг ^1-1)ЧЧ~ У»и |
(2.7) |
Полученное уравнение должно быть тождественно с уравнением (2.2). Сравнение коэффициентов уравнений (2.7) и (2.2) дает:
о/ ж*| 7*. 1/в Г/7#. |
( 2.8) |
При налички |
условий (2.4) |
на основании |
<2.8) |
и <2.6) |
последовательно |
вычисляются |
7| и чЭ, во |
лссх точках отрезка. В частности, начальные |
|||
значения идя функций ул. 2^ ,^ суть |
|
|
|
||
71 = 1УР1, |
*1 ->|Л» 9>м=*и- |
|
|
(2.9) |
|
Приналичли неравенств (2.3) и (2.5) к о эф ф и ц и ен ты и |
будут меньше |
||||
едншгцы, так что счет но формулам (2.8) и |
(2.6) |
будет устойчив но отно |
|||
шению к ошибкам округления. |
|
|
|
§ 1.3с Факторизация двумерных уравнений диффузии
Перейдем теперь к рассмотрению двумерного уравнения диффузии (1.1) - (1.2). Заменой производных конечными разностями задачу можно свеете к решению системы разностных, уравнений вида
— |
с1к*1+1,к - 6 **^ .*-I " ^Я^Г.Ас+ 1+ РНсФ1*= &к> |
0 0 |
причем коэффициенты этого уравнения будут удовлетворять услоаню |
|
|
0!к |
+ |
(3.2) |
во всех счетных узлах области. Ради простоты изложения будем считать, что рассматриваемая область в выбранной системе координат япляетсн прямоугольной, тв. 1 в 1,2 , . . . , Л#, к = 1 ,2 ,. . . , ДО; если рассматриоасмая область содержш только какую-то часть узлов прямоугольной сетки, то в остальных узлах сетки можно написать уравнение
(3.1Г)
В силу того, что система 0 .1 ) записана с учетом граничных условий, будем полагать, что
а\к = сМк= |
= |
(3.3) |
Как нетрудно проверить, уравнение (3.1) нельзя заменить системой разде ляющихся разностных уравнений, сходных с (2.6), кик и само дифферен циальное уравнение (1.1) нельзя заменить двумя разделяющимися диф ференциальными уравнениями первого порядка.
Чтобы реализовать сведение уравнения (3.1) к системе разносшых уравнения первого порядка, прибавим к правой клевой частям уравнения (3.1) выражение
1нк - Г?к^г-1 ,Л+ I + *1кР/+ ! - &{*(г№ + */к) |
С3-4) |
где коэффициенты гц, н тд остаются произвольными, а значения параметра
0[к зафиксированы, причем О < 0 |* < |
I. В результате получим: |
|
-*1*\Р/-1,* - |
+ |
|
+ (Р/Л-ЯгкГГк - ОпЬк)Ч>1к + г1кФ§-\,к + 1 + ХЛНР/* ь * - 1 = |
О-5) |
|
Лиг ~ Л к * Ц к У ) ' |
|
( 3'6^ |
142
Разностное уравнение (3.5) заменим эквивалентной системой
= « /* * /- 1гк+ 0/**Г.к-1 + 7/к^*» |
(3.7) |
= ЬлЪ+ (.к 4 5л А *+ I 4 Г'Ь |
где агкзРибу&к* Лк> Тг* - неизвестные коэффициенты.
Для отыскания этих коэффициентов разрешим второе из уравнении (3.7) о л юс ш ел ьно 7/а и подставим в первое. Тогда получим;
- «/* *У_ 1.к - Ък'?!* I,А ” Ла 1 - Лк ^|к 4 0 + $|_ ] ,* 4
4 Л * Л ,к - 1 )^ к +ог/АЛ- |,|ЫР/_|.*41 4 Л*$Г,к-|'Л+1(к - 1 ттУ(к^9к- (3.8)
Чтобы уравнение (3.8) было эквивалентно уравнении (3.5), их коэф фициенты дол ю ш быть пропорциональны. Следовательно,
Л* = Л*У/л> Лк = с'*7,*. бЛ “ ^ » 7 д . |
(3 9 ) |
а/к Л - I ,* = г/кЪк• 01ЬЛ, А - I ~ 5/к7]к» |
( 3- |
Ь+ 0 /* ^ - ! .* + Лк8/,* - 1 “ (Л к “ Лк'’/* “ Лк*Тк) 7/к- |
(3,1 I) |
Подставляя (3.10) и (3.9) в (3.11), получим: |
|
У(к ■ [/>.•* “ Л|* (^_ !рк + Л к ^/- | ,к) 7,- , Л - |
|
- Л к (& .к -| 4 Л *С/.А- 1)7 /.* -|.1 *• |
(3.12) |
При наличии условий (3.3) |
|
а 1*-Ь(1 я 0
рекуррентная формула (3.12) и формулы (3.9), (3.10) позволяют напу чить у1к ц остальные коэффициенты уравнений (3.7) во всех счетных узлах области.
Уравнения (3.7), если учесть (3.6) и (ЗЛО), можно переписать оконча тельно в вице
*1* = <*/**/- I .А 4 Рг**/,А- I 4 ^№ *7«/дг» |
^ |
^ |
|
- Л **<+ 1,л 4 |
*-+ I 4 *«» |
|
|
где |
|
|
|
+ I + >*А * 1,*_т +*«<|1 |
|
|
|
Щк = аТ*Л-1,*> |
‘'/к ~Р/А?/,*-!* |
|
|
В случае выпал Кения условий |
|
|
|
*№ + « № < !. «№ + * * < > |
(3.14) |
||
счет по формулам |
(3.13) при известных значениях |
устойчив |
по |
отношению к ошибкам округления.
Систему уравнении оида (3.13) будем решать методом лоследовагсль-
|гых приближений. |
первого приближения функции \р1к задаем |
|
||
Для |
получения |
величины |
||
^/к(?), входящие |
в правую часть уравнения для г,*. С учетом |
условий |
||
(3.3) |
и при заданных |
уравнения (3.13) позволяют получить |
и |
во всех, счетных узлах области. В частности, "начальные*’ значения функций *№ и </>,к суть
2 ц = 7 и А ь
При получении второго приближения для |
величина |
вычисляется |
по первому приближению-. |
|
|
Относительная роль слагаемого I,-*(<?} |
в уравнениях |
(3.13) и сходи |
мость последовательных приближений будут определяться |
выбором пара |
|
метра 0]*,. Так как минимальные значения функция |
при нимаег при |
4л» близких к единице, то при отсутствии каких-либо предрар|ггсиы1ых
сведений о характере поля искомой функции \р1к дня |
ньггнсле-1т я |
первого |
|
пркблнжемсл лучше .всего использовать систему (3.13) нри0^* = 1. |
|
||
Если сумма коэффициентов о,*, Ьл ,с1К |
мало |
отличается |
от р1к, |
то сходимость итерационного процесса (3.13) относительно легко можно
показать |
лишь для случал |
= |
0. При этом одна |
итерация по системе |
|
(3.13) |
равносильна пяти-шести |
обычным итерациям |
по формуле (1.3). |
||
Доказательство сходимости итерационного процесса |
(3.13) прибг* = 0 |
||||
было проведено С.М. Ермаковым. |
|
|
|
||
Беляв уравнениях (3.12) н (3.13) положитьв(к |
0,5 н к системе (3.13) |
добавить формулу обычной нтерадии (1.5), то полученный итерационный процесс
21к = (*Н12{- 1щк+ р1*2г.*-1 + 1Лк + У{кГ(к,
|
|
(3.15) |
Ь'т* |
^/+1.Аг + бГДг*^,1к+ 1 + *|к» |
|
|
1 |
|
= |
— (а1к Щ- 1 ,* + |
И'г,*- I 4*$Лк ^ + I.* 4 6ЛЬ к +, 4 7№/ ‘л ) |
Р1кЪк
окажется весьма эффективным и легко поддающимся теоретическому исследованию. Практика решения задач показывает, что в этом случае одна итерация равносильна десяти-двенадцати нтсраииям (1.5).
В качестве примера применения схемы (3,15) приведем результаты решения уравнения
З31в
|
|
|
|
|
(3-,6) |
внутри области0 |
1 , |
0 |
< 1 с граничными успениями |
|
|
- |
= 0 »рк , |
= 0 |
или |
, = 0 . |
р .1Г) |
ф = 0 |
при х - 1 |
или у= 1. |
|
Швг координатной сетки по осям х л у был взят равным А* - Ду= 1У7, так что численное решение для Фнаходилось в 49 точках области. В точках по осям х к у значения 0{к были взяты равными нулю, а в остальных точ ках - приняты равными 0,5. При указанных значениях параметра 0^ и выбранном числе счетных узлов коэффициент сходимости последователь-
1М
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.1 |
Зкгкиня приближений искомой функции * к решению м д 14и |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
0 |
0.1420 |
0.2857 |
0.4286 |
0,5714 |
0.7142 |
0,8571 |
1,00 |
а - у 3 ) и - у ' ) |
1.0000 |
0,9796 |
0.9184 |
0,8163 |
0.6735 |
0.4899 |
0,2654 |
0 |
1-е приближение |
0.2131 |
0,2168 |
0,2010 |
0,1812 |
0.1554 |
0,1190 |
0,0697 |
0 |
2-е приближение |
0.3916 |
0,3905 |
0,3664 |
0,3309 |
0.2810 |
0.2115 |
0.1196 |
0 |
3-е приближение |
0.5335 |
0,5284 |
0.4964 |
0,4464 |
0,3756 |
0.2796 |
0,1556 |
0 |
б-е приближение |
0.7936 |
0.7802 |
0.7322 |
0.6536 |
0.5428 |
0.3979 |
0.2175 |
0 |
1-е приближение по формуле Либмана |
0.0204 |
0,0202 |
0.0196 |
0.0186 |
0,0171 |
0.0152 |
0.0129 |
0 |
ных приближений,определяемый по формуле
оказался равным 0,75, При решении тех же самых 49 разностных уравнений методом обычных
итераций |
коэффициент |
сходимости ^ |
равен 0,975. Таким образом, одна |
итерация |
по формулам |
(3.15) в данном случае равносильна одиннадцати |
|
итерациям по методу Лнбмана. |
|
||
0 табл. 1.1 приведены значения нескольких приближений для искомой |
|||
функции |
в узлах по оси ж. Для сопоставления приведено первое прибли |
||
жение, полученное до формуле Лнбмана. |
|||
В сочетании с приемами .экстраполяции решение уравнений типа (3.16), |
|||
(3.17) |
с помощью схемы (3,15) может быть лолучеио с достаточной точ |
||
ностью примерло 10 т15 итерациями. |
|
||
Если система уравионий вида (3.1) |
решается при заданных значениях |
искомой функции на границе области, то для решения задачи можно
использовать |
более |
экономную |
схему, |
состоящую из |
попеременного |
|||||
использования двух систем вида (3-13). |
|
|
|
|
||||||
Для получения порвего приближения функции |
нсяольэуютсн урав |
|||||||||
нении (3.13), а дпявторого приближения — уравнения |
|
|
||||||||
21* = $ № г Н 1 |
+ |
*1,к- I |
+ Ц* * У\х Л ** |
|
Р |
^ |
||||
+1к - <*1кЦ- |.Дт + ЬкУ!' *+ I + |
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7/Аг- 1р/к - |
сГк(»/+ | ,Аг * |
I.*) т/ 4 |
I, * - |
|
|
|
||||
- ^ К к - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
(3.19) |
||
«/* = а1к7Д» |
&1к = Ь <к |
г |
{№ в с1кТУ*» |
$/* = |
?/*, |
|
|
|||
|
|
|
1Л+1 “ |
®Мг^«) + А*в Л * - 1 ( ^ - |(*_ 1 ~ |
|
|||||
а 9\к задано |
в |
нагтервале |
[0, |
I). Третье приближение снова находится с |
||||||
помощью уравнений (3.13) нт.д. |
|
|
|
|
|
|||||
Как показывает |
опыт |
решения |
различных уравнений |
диффузии, |
гтри |
заданных значениях искомой функции на границе области итерационный процесс (3.13) и (3.18) сходится при любом значении 0/* = 0 Я = соля1 из интервала [О, 1], причем быстрота сходимости улучшается с возрастанием 9 от Одо I.
Описанная выше схема получила название явной, но не сразу в момент ее возникновения., а примерно через десять пет, когда была осознана воз можность использования неявного вида оператора, задающего связь неиз вестной функции и вспомогательной переменной Др этого момента термин "схема неполной факторизации" одноэ1пчн» характеризовал все варианты этого метода. Для удобства дальнейшего изложения запишем уравнение (1,3) в векторно-матричной форме
( 3.20)
где Ф в ( р | >• • • » Л у )» ^ = ( / 1»• • - > М - векторы в |
евклидовом простран |
|
стве |
М = т Х г. К «свой м правой частям уравнения (1.7) добавляется |
|
вектор |
(/> + Н)Ф: |
|
< / ( + |
0 + « ) Ф = /гЧ - ( ^ + / / ) Ф г |
(3 .2 1) |
где /} - |
некоторая матрица; вектор //Фслужиг для |
минимизации правой |
части получаемого уравнении, т.е. для компенсации сектора СФМатрица О выбирается такой, чтобы А 4 О * Н могла быть представлена
в виде произведения трех матриц: |
|
В = Л + Р + Н= Г - ,ЛУ. |
(3.22) |
причем Л и .9 - матрицы более простой структуры, чем А, с единичным» элементами на главной диагонали, Г - диагональная матрица.
Уравнение (Э.22) решается методом последовательных приближений
ЯФ" = (0 + //)< * " -1 4 Г |
(3.23) |
ил и, с учетом (3.22), |
|
Яг" = ГР+Г<Я -*/1)Ф п" \ |
(3.24) |
5Ф "= гя |
(3.25) |
Являясь сочетанием простой векторной прогонки и последовательных приближений, метод неполной факториэацни оказался логически простым, достаточно эффективным и с успехом применялся дня решения различных задач гидродинамики и переноса тепла а каналах сложной формы. В часто сти, решались уравнения движения н переноса тепла в установившемся продольном патоке жидкости в решетке стержней [18].
Дальнейшее развитие схем неполной факторизации заключалось или в изменении структуры операторов Л и приводящем к уменьшению норм итерируемого выражения Рц(у>), или в изменении структуры компенсн* рующен функция ///*(<р) (см. [5 |и д р .).
Мы рассмотрим оба направления развития схем неполной факторизации. В следующей главе описываются схемы с различными структурами опера
торов Я л 5 |
при использовании простейшего вида компенсирующей функ |
||
ции //}*-(?)» так называемые схемы с диагональной компенсацией. |
|
||
ГЛАВА 2 |
|
|
|
СХЕМЫ С ДИАГОНАЛЬНОЙ КОМПЕНСАЦИЕЙ |
|
||
|
§ 2.1. Явная схема с диагональной компенсацией |
|
|
|
В работах |
[4 ,6 | разностное уравнение (1.3) переписывалось следующим |
|
образом: |
|
|
|
Лдг(*>И |
з н Ъ ь = /,* + 0 (к&>) - |
( 1. 1) |
|
гДе |
(у*) |
- некоторое выражение, не содержащее значений |
искомом |
функции |
с исходного пятиточочного шаблона А (<р), т.о. пары (У, |
147
входашис в 0 1А(<р), отличны от следующих пяти |
пар; (1, &), |
(1 - 1, ^ |
||||||
(<•& - ! ) , |
(< |
+ I ,* ) , (I,* + I); |
!|* - произвольный коэффициент. |
|||||
В работе |
[4] структура линейион функции й Гк (<р) подбиралась такой, |
|||||||
чтобы уравнение (1.1) могло быть заменено системой |
|
|||||||
21* - «1* |
I,*: +■01*Ъ.к-1 |
+ т |
[//А * О» И |
+ Н'К(у>)], |
^ ( ^ |
|||
У1к = &А1Л+1.А ‘•'бдИЛ,** 1 + 2|Л, |
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
Структура выражения |
|
к значения коэффициентов агд .#,* . |
||||||
6М, 7 д получались в результате сопоставлении системы (1.2) |
с исходным |
|||||||
уравнением (1.1) или (1.3) : |
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
|
, 40/*?/,*-]УУм.*-1 . |
(1-3) |
|||
<*<* 88 Уа<*1к 1 |
= 7/* ^ А . |
Ь я - 7 /л С(Н ^ |
5 Г* “ Ък<*1 к , |
|
||||
ТМЕЯ (Л * |
“ лНг - *» ?!-!. а - ^ Д ^ А - э) ' 1- |
|
|
(1.4) |
||||
Система |
уравнении |
(1,2) |
решалась методом |
итераций. |
Выражение |
|||
0 д ( р ) - |
*/а1«а>входящее в уравнение для |
г 1к%вычислялось но предыду |
||||||
щему приближению. |
|
|
|
|
|
|
||
Слагаемое 5|*^А |
вводилось в |
уравнение |
(1,1) |
для компенсации итери |
руемого выражения Оцг (^ ), чтобы правая часть этого уравнения но модулы
была как можно меньшей величиной. В |
работе [4] |
коэффициент ?/**<* |
|||||||
принимался равным Ога^ |
ь^ г- |
М |
> |
ГДС |
< ]. |
|
{$) е |
||
В случае плохо обусловленной задачи в итерируемое выражение |
|||||||||
+ / / гл(<р) |
на правой и верхней границе |
области, где |
сое (л, х) |
> |
0 или |
||||
соз(/1, у ) |
> 0, следует ввести слагаемое к ^ ( я ^ 4 |
0 < |
ж < |
I, т.с, |
|||||
линейную функцию Н и (у?) и схеме (1.2) взять л виде |
|
|
|
||||||
7 /а Я / а М = - 0 г * ( ОгГ А * 1 -1.А + 0 1 к Ъ ,к - 1 ),Р1к + * * к ( а <* +р1к)Ч>П' |
|
( 1 .5 ) |
|||||||
Схему |
(1 .2 )-(1 .5 ) можно записать к в |
|
векторно-матричной форме. Для |
||||||
этого от нумерации узлов |
Ц,к) перейдем к нумерации ( / ,* ) , где у =( + А |
||||||||
(индексу / = СОП81 соответствуют счетные узлы на диагоналях рассматри |
|||||||||
ваемой прямоугольной области). |
|
|
|
|
|
||||
Уравнение (1.1) с учетом (1.3) можно записать в виде |
|
|
|||||||
С/Фу- 1 + СО+ «?/)Фу 4 |
1 = *7 4 ^Г*У- |
|
|
|
(1 •$) |
||||
Для |
его решения спраледп&вв |
схема (1 .6 )-(1 .7 ) гл. |
1. Формулы |
(1 .2 )- |
|||||
(1.5) |
являются реализацией |
этой схемы. Решение (1,1) в соответствии с |
|||||||
формулами ((1 .6 ), (1,7) гл, 1) можно переписать в виде |
|
|
г |
, |
♦П"7)- |
|
С17) |
ф /= - гуя , ф, м * г,, |
)= 1 . 2 ......... м + н . |
|
||
Согласно |
структуре |
формулы (1,4) |
вычисление У(* есть |
нс что иное, |
как обращение диагональной матрицы» т.с. матрица /*/ + ^ * 0/ |
||||
входящая в формулу типа (1.7) гл. 1 для I / —диагональная. |
|
|||
Значения |
коэффициентов а ^ , 0ц , |
6/* системы (1.1) |
не зависит от |
нормировки иоходных уравнении (1.3) гл. 1.
Методом |
индукции нетрудно покарать, что коэффициенты |
^Лг. |
бм системы |
(1.1) с учетом (1.5) удовлетворяют условиям |
|
X,* =$,-* + + У(кЧ1к + (I -в/*Н *нА -1.* + (?/*&,*_ 1 ) +
♦КгИ<*Лк + Дмг)^ 1<
+^ ____________ ____________°(к + Ь<*___________________________
*к |
Сгк + 4 * *Я1к + (1 - 0(*)(в1*8<-1.г* + |
) + К1к(*/к + Ь{к) |
|
|
( 1.8) |
Выбором параметров 01к и к** можно добиться выполнении условия
“I* * Рта < 1. Таким образом, пространственная счетная устойчивость схемы (1.2) всегда может быть обеспечена.
Для улучшения устойчивости итерационного процесса (1.2) при 0** > О в работе [41 добавлялась обычная итерация по Либману, которую с учетом (1.5) можно записать в виде
--------- (°« Ч>}-\ ,л Ъ к */ У - I * |
*}?I.А + &Л *1 .к м + У(к М - |
УнРи |
(1.9) |
Пр«« (к & 0,5 одна итерация по схеме (1.2). (1.9) равноце1ша примерно Ш обычным итерациям ло формуле (1.9).
Задача Неймана рентастен па схеме ( 1.2) без закрепления искомой ф унк ции р в какой-либо точке с к/к > 0 в выражению (1.5). При этом после каждом итерации по схеме (1.2). (1.9) на получаемого приближения вычи тается сто среднее значение по всей рассматриваемо» области.
§ 2.2. Неявная схема с д иагональной компенсацией |
|
|
|||||||
Схема |
(1.2) |
весьма проста, по имеет один методический недостаток. |
|||||||
Если мы |
будем |
применять систему |
(1.2) |
к |
решению |
уравнений |
(1.1), |
||
не содержащих члена |
(, *,т.е. аппроксимирующих задачу |
|
|||||||
Эр |
Э |
( |
др |
л(У >< о, |
0 < х < 1 , |
0 < у < |
I, |
||
и -----------— |
I к |
— |
|||||||
Эх |
Зу \ |
Ъу |
|
|
|
|
|
(2. 1) |
|
|
|
|
|
р~ р ц (у) |
|
|
|
|
|
*® М -И ) |
при дг= I , |
при у = О, |
*>-р3(л) и р н у = 1, |
то решение но схеме (1.2) будем получать все равно итерациями, в то вре
мя как уравнение |
(1.1) при а1к = 0 |
решается без всяких итераций путем |
|
поспедойа1слмюго |
решения прогонкой одномерных уравнений на линиях |
||
/ = 1и, т - |
1, м - |
2 и так далее. |
|
В 1970 |
году в |
работе автора [6] |
был предложен первый вариант неяв |
ной схемы неполной факторизации. В этой схеме оператор Д имеет двухто чечную структуру, а оператор 5" - неявную четырехточечиую.
Исходное уравнение (1.3) заменялось системой
|
,* ♦ |
7I* [( п + ^ 1 к (р ) ~ *1кР(к\ , |
^ ^ |
Ш - |
г- 1 - |
8и № .к + а = ^1*VI* 1,к + *№. |
|
169
что приводило к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
® «гС А -1|1с^Г-1,к-Г |
* * | - | . Г Л - 1 Л г * |) |
|
(2 .3) |
||||||
«ф ормулам дин коэффициентов этой системы: |
|
|
|
|
|||||||
а ц |
= 1{к . |
А* н У(КЬ/к, |
= Т/лОа» |
|
|
р |
4^ |
||||
6 ц |
я У ц **м , |
7 га = ( Р / л - Чк - |
в « Ь - и * ) " 1• |
|
|
|
|||||
Коэффициент |
|
принимался |
равным |
0л№(/?,_, * |
+ |
5, _ , * ) , |
|||||
О < 0 |
« |
I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На |
правой границе области (где сов (г?, х) |
> 0) полезно яслопьзопать |
|||||||||
линейную функцию //,* (р ) в схеме (2.2) в виде |
|
|
|
||||||||
Т Л |
№ = “ 6 *>/А ( А - I „А + А - I .*№ /* |
+ |
“ гаЛ * • |
|
( - |
5) |
|||||
Схема |
(2.2) |
не содержит указанного |
ньпие недостатка, так |
как |
при |
||||||
а1к = 0 выражение 0 /а №) - |
обращается о куль. |
|
|
|
|||||||
В |
векторно-матричной |
форме |
схему |
(2.2) |
решения уравнении (1.3) |
||||||
гл. I, представленного в |
виде (1.5) |
гл. 1, можно записать |
следующим |
||||||||
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2<"> = * г& \ И Ж г + й Ф ^ 1> - 5 ,4 (" - , ) >. » ,• /* > - * , ♦ $ * г { " \
где Н{ - якобневы матрицы.
Уравнение для Ф решается методом прогонки:
А» = 0 ^ АаЛ л - 1 ^ , а- 1 ) '‘.
у{к - Рц А* Р*,*-1 + Ри С&А'РЦ м + 2/*) »
Ун = Рп АаЛ. *■» I + Угл■
Коэффициенты системы (2.2) удовлетворяют условиям
2ц - А* + 6ц * &А 4 Т/А^Ц + О ^®)(А-1,к 4 А-1,а)*/*4 «I*оу* <
Од < -------------------------------------------------------------- ------------------
А* + 41к + с№* ?/* + 0 - (А-1.А+ А-1%к)а<к + Кцс01)е
<3 6>
(2 .7 )
1,
(2.8)
Выбором параметров в и п[к исегда может быть обеспечена простран
ственная счетная устойчивость схемы |
(2.2) |
(А* + 6 ц + | ц < 1, а{к = I). |
|||||||
Сходимость |
итерационной |
схемы |
(2.2) |
ирн различных значениях пара |
|||||
метра |
0 |
исследовалась экспериментально. Оно имеет |
место лрл всех зна |
||||||
чениях |
0 € [0 ,1 ], Причем наилучшая сходимость |
- |
при 0 =0,7-5-0,9 (см. |
||||||
табл. 2.1). Как |
указывалось |
в- |
[6], |
при 0 = 0,8 |
одна итерация по схеме |
||||
(2.2) равносильна примерло |
30 |
простым итерациям (по Лнбмаиу). С уве |
|||||||
личением |
числа |
счетных узлов |
сетки это соотношение изменяется в поль |
||||||
зу схемы |
(2.2); |
последняя более эффективна, чем схема из (4]. |
|||||||
Рассмотрим задачу Дирихле: |
|
|
|
|
|
||||
V = 0 при х - ±1, у>■= 0 при у - ±\, при шаге сетки |
Ах = Ду = 0,125. |
170