книги / Пространственная модель турбулентного обмена
..pdfТаблица 1.1
Формулы для эффективных радиусов |
|
|
|||||
|
Форма канала |
|
|
|
Выражение для о |
||
КруШ&Я груба радиусаа |
|
|
а |
|
|||
ПлоскиЛ зазор шириной 2Ь |
|
|
г |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямоугольник со сторонами 2о |
|
|
В |
||||
и 2Ь |
(Ь < 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.где > = — |
||
Кольцевой эаюр,.образованный |
|
« я (1 - |
в), где |
||||
цилиндрами рад нусоэ л , и |
|
|
|
|
|||
<7, (а, |
< о,) |
|
|
|
|
|
|
Треугольная решетка стержнсН |
|
|
|
||||
радиуса Я с относительным шагом к |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
■ //€*) - |
ем. ниже |
Кралратная решетка стержней |
|
|
|
||||
радиуса Я с относительным шагом к |
|
|
|||||
к |
О |
€.20 |
0,40 |
0.60 |
0,80 |
1.0 |
|
Л (к) .. . 0.78 |
0.ЯО |
0.82 |
0.85 |
0,91 |
1.0 |
|
где (с - рас стони нс от "ценгра" канала до стенки в направлении а, будем называть эффективным радиусом канала и использовать как характерный поперечный размер канала при составлеилм безразмерных гидродинамичес ких л топлофнзических характеристик потока. Значения а для наиболее часто встречающихся каналов приведены л тобл .1 .1 .
§ 1.6. Расчет поди скорости в круглой трубе
Для случал стационарного течения жидкости л круглой трубе вдали от входного сечения уралпение усредненного движения с учетом формул (3.1) и (4.4) можно записать в виде
|
|
( 6.1) |
и ~ 0 при |
I; |
(6.2) |
01/ |
$ = 0 . |
|
-----= 0 при |
|
41
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
е т 1 |
|
^ |
| |
ас/ |
I |
|
|
|
— - |
= с,Ф /,02 |
— |
— |
|/ 'о ( ^ 1?)* / |Й |Ч ) ‘ С {& ёч; |
|
|||
Ч - |
1 - Ь |
, |
I |
|
|
|
|
(6.3) |
, |
; Л = |
— . |
|
|
|
|
||
|
а^.о |
|
<г |
|
|
|
|
|
В уравнениях (6 .1), (б.З) кслользоваиы безразмерные теремеиные |
||||||||
|
Г . |
й |
а р |
|
IV |
ОН, |
, |
(6.4) |
|
л |
2р |
~ |
; 0 = — |
: ф — |
|||
|
Эсе3 |
|
и* |
у |
|
|
||
где в |
— радиус трубы. Принимая во внимание, чго основное |
изменение |
скорости и по радиусу сосредоточено в тонком пристеночном слое с толщи ной, равной нескольким толщинам "вязкого подслоя” , ради удобства численного интегрирования уравнений (6.1), (6.2) вместо независимой переменной Ё введем новую независимую переменную
(6.5)
■Ч ' - г )
где Л - |
безразмерная |
величина порядка 5/«1*. С учетом обозначений |
(6.5) |
||||
и соотношения |
|
|
|
||||
э |
|
|
1 |
|
а |
(6.6) |
|
а* |
|
|
А + 1 - 5 |
|
Эд |
||
|
|
|
|
||||
уравнения (6. 1) , (6.2) перепишем следующим образом: |
|
||||||
а |
|
|
|
|
|
(6.7) |
|
ддI |
и1 |
+ |
1 - Л |
^ |
/ ь р I |
||
|
|||||||
и= 0 |
при д = 0 ; |
|
(6.8) |
||||
да |
= 0 |
|
|
|
(6.9) |
||
- |
,.р« * = |
|
|
||||
В уравнении (6.7) удобно от $ перейти к у. |
|
||||||
Уравнения (6.7) |
запишем в конечных разностях. Дни этой дели интервал |
||||||
изменения независимой переменной О < р < М, где |
разо |
бьем на л равных, интервалов Ар. Счетные уэлы р, расположим но серединах интервалов Ар, тл.
« * ( ' - |
|
|
|
Разностное уравнение для искомой функции (7 - запишем в виде |
|
||
Л*-и*и1-1 +(А§-1Ц+А1*Ц 2)Ц -А1+Ц 20щ =/,, |
( 6.10) |
||
1 - |
(= 2Ф (| -УХ>1 *у) Ьу, |
( 6. 11) |
|
(Л * у ) Ар |
|||
|
|
||
<1 |
|
|
причемЛ(_ х и |
- соответственно |
значения функции И в точках |
||
с координата ми и _ |/2 |
Дд |
|
Др |
• Формула (6.3) для |
= Щ- — и |
1/2 |
= М/ ^ — |
коэффициента турбулентной вязкости с учетом (4.5) приводится к следуютем у виду;
— (Бо) = О,2О0//о { 0,1 5 |в(-Р ,4 ) + /1(0,4)| |
+ 0;23[Д (-1,2) + Д(1,2)| + |
|||||
V |
|
|
|
|
|
|
+ 0 , 1 21^ С - 2 ,0) + Л (2 ,0) |) , |
|
|
( 6. 12) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
Л(ч) = |
|
1 ч)/» ип Ч). |
, |
|
(6.13) |
|
7 5 ^ |
. |
,[Э У | |
/. |
(614) |
||
Я\ = — |
7 7 . 7 = 4 /' |
— |
/ / = |
- |
||
1 |
I |
|
| Э#1 | |
|
|
|
дV _ |
1 |
Ш |
|
|
|
(6.15) |
|
у |
<)р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем функция Э{//Эрипронзиолыюй точке д = /'(() вычисляется иитсрполицией но перемои ной р вычиниснных значений производной ОСУ/Эд в узлах
Переход от кооршшаты ц к косищ нш е $, а затем к д осуществляется
но формулам ( = 1 Е * о ^ о Ч 1. |
/ |
I |
1,или |
|
Р = 1п^1 |
♦ |
|||
у =у0 + о/.оЧ. если |
З'о + |
< 1 . |
|
|
у = 2 - (у,, +о^оЧ). |
если |
_Го+аг/.|>т?:> |
I. |
Система разностных уравнений (6.10) с учетам тоги, что коэффициенты Э1ИХ уравнении зависят от искомой функции (/($), решается методом
последовательных. приближений. При заданных коэффициентах Л /_ |
и |
||||||||
4/4 1/2 |
система |
уравнений (6. 10) решается методом раэноспюн фактор»' |
|||||||
заики |
|2б, 27]. |
|
|
|
|
|
|
||
После |
того как |
профиль функции (/, будет получен, можно рассчитать |
|||||||
среднюю |
безразмерную |
скорость (Ув |
сечении потока н число Рейнольдса |
||||||
как функцию динамического параметра ф\ |
|
|
|||||||
и = } и ■2 № |
* } ' и |
2 Ц А + у)г*М = |
2 |
/,(/,. |
(6.16) |
||||
|
О |
|
|
о |
|
|
9 |
1 |
|
Кс = ------ =2 Пф. |
|
|
|
(6.17) |
|||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент сопротивления входящий В с)юрмулу |
|
||||||||
I Э/; |
1 = 1 ,- — |
|
|
|
|
|
|||
I а ^ з Г |
2а |
2 |
’ |
|
|
|
|
||
связан с V |
соотношением |
|
|
(6.1 &) |
|||||
Г = в / ^ - |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
43
Рис. 1.9. Зависимость средней скорости Ц
от оинампчсского параметра ф иля круг лой трубы:
Г - результаты расчета, 2 - ткспери-
меИайлынн кривал
Рис. 1.10. Расчетные профипи скоросиI
в кругло!! трубе при Яе - 6,9 101 (V), 3,4 • 10* (2). 1.6 -10' У). 7.3-10* 14)
Рис. 1.11. |
Расчетные |
значения |
коэф ф и |
|||||
циента |
турбулентной |
вязкости |
|
п |
||||
потоке |
жидкости |
в |
трубе |
при |
Не = |
|||
-7,1 |
Л 1 (1), |
3 ,4 -1 6 4 ^ , 1.6 |
И)1 |
(А |
||||
7.2 |
10* |
{4)\ |
5 |
- |
экспериментальные |
|||
цапные |2 4 ,2$\ при Кс = 10* т |
10* |
|
Рис. |
1.12. Результаты расчета коэффициента сопротивления |
кольцевых и плоских |
|||
^ |
“ крут а я труб» |
= |
2 |
- к-оньцеаоП -авторе |
0 - 01$» 4 - мэорыс 0 = |
~ |
“ триховая |
кривая |
- |
экспериментальные данные для круглой трубы |
44
На рис. 1.9 и 1. 1 2 представлены результаты расчета средней но ссчешно
IV
безразмерной скорости 1/= - н- коэффициент сопропгеиеинн {■в круглой
трубе и широком диапазоне изменении безразмерного динамического пара метра ф. Ма рис. 1.10 представлены рассчитанные профили скорости [/ко
радиусу трубы. Построены обшепрппятые кривые [/ = |
, где у |
есть |
|
рассгонние от стенки. Картина разиегвлеиия кривых V |
ирн раз |
||
личных числах Кс, полученная на рис. |
1 .10, близка к разветвлению соответ |
||
ствующих кривых, построенных по |
экспериментальным |
данным |
(см., |
например, работу [28)). Е1а рис. 1.12 представлены также результаты расчета коэффициента сопротивления (’= 8 / 2/ а в кольцевых зазорах, обра зованных цилиндрами радиусов л, и аг (а, <ал), при различных значениях динамического параметра ф. Кривые дли Г = /(К е) в кольцевых зазорах при различных ЗН.ТЧСНИНХ параметра 0 = заключены между соотвстсгвую- Л1ММИ кр1шыми Г = /(Л с) для круглой трубы и плоского зазора. При умень шении ф решение для О п плоском зазоре в выбранных переменных прибли жается к формуле I! = 2,27ф.
Как видно из рис. 1.9, 1 . 10, 1 . 1 1 , рассчитанные поля скороспг для пото ков с развитой турбулентностью хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными. Вычисленные профили коэффициентов турбулентной вязкости при различных членах Рейнольдса согласуются с опытными данными обнизи стенки трубы и далее вплоть до расстояний порядка трети радиуса от стенки, однако дают заниженные значения (ноне равные нулю (рис. 1 .1 1 ) па оси трубы, как зто вытекает из формулы Т1рандтлл (3.15)) иблнзи оси трубы. Определяемый по формуле Пракдтлн коэффиштсит турбулентной вязкости даст не вполне гладкий профиль сред ней продольной скорости течения на о.си трубы. Введенныевиослсдстяниусо вершенствования модели позволили полуЧиты грофили турбулентной вязкос ти, лучше согласующиеся с экспериментальными данными Лауфера и Нуннсра [29, 30] (см. рис. 2.2, в пт. 2). 11а рис. 1.13 детально показаны рассчи танные профили коэффициента турбулентной вязкоетис** в непосредствен ной близости к стенке до расстояний от нее порядка нескольких толщин вязкого подслоя. Как видно из рис. М 3 , рассчитанный коэффициент турбулентной вязкости еАГ обращается в нуль (или, точнее, отношение с'гIVстановится малым но сравнешно с единицей) нс непосредственно на стенке, я ия безразмерном расстоянии
- 0 * 5 .
Это как раз согласуется с тенденцией к использованию в иолуэмлирических расчетах аинрокенмацин еледующе го вида [7 ,8, 31,32]:
тАг |
( 0 |
при |
у ’ <6, |
V |
“ I * г { у - Ь ? ф Ш № \ |
"Р" |
/ > * . |
где у ' = 1 - $, а 6 - величина, несколько меньшая безразмерном толщины
45
Л*с. 1,13. Расчетные профили коэффициента турбулентной вязкости «'У, вблизи «темкВ трубы при Ко - 7,1 * 10* (1),Э 4'10* ( « Д - б М * (3).Т,2. Ю* (4)
Рис. 1.14, расчетные профили скорости (Iвблизи стенки трубы:
I - |
результат расчета (Ф= 808, Кв = 3,4 -1 о4), 7 - результаты расчета (Ф ■ 14200. |
Н« - |
1.1 • 16*), 3 - решения Лралдтлл, -4 - экспериментальный "утгеереальным'* |
профиль скорости |
ламинарного подслоя А. Как следует из рис. 1.14, рассчитанные профили скорости I/вблизи стенки хорошо согласуются с универсальным распреде лением скорости вблизи стенки. Некоторые отличия рассчитанпых профи лей скорости (/ох универсальной кривой имеются при значениях безраз мерного расстояния ф у'р интервале 1 2 < ф У < 100. Эш отклонения имеют тот же порядок малоелг, что и ошибки экспериментальных измерений.
Итак, после проведенной) анализа результатов расчета поля скорости в трубе можно сказать, что изложенная теоретическая модель механизма турбулентного обмене позволяет рассчитать поля скорое геи в трубе со всеьш нк особенностями в широком диапазоне изменения динамического параметра ф.
$ 1.7, Расчет поля температуры в круглой трубе
Рассмотрим задачу о сгвдионариом распределении температуры при установившемся турбулентном потоке жидкости в круглой трубе. Будем полагать, что протекающая го трубе жидкость получает теплоту от стенки трубы, причем тепловой поток д0 через стенку постоянен вдоль трубы и во времени. Участок обогрева вдоль трубы будем считать достаточно протя жением, чтобы можно было пренебречь концевыми аффектами. Плотность жидкости д теплоемкость с и температуропроводность к будем считать нс зависящими от температуры.
Исходное усредненное уравнение притока теплоты п потоке жидкости с учетом формул (3.2), (4.8) и граничные условия для температуры запишем в безразмерной форме:
44
прячем |
|
|
|
|
е |
|
|
<72) |
|
|
|
|
||
дф/Э$ = 0 |
при |
$ = О, |
(7.3) |
|
^ = б |
при |
$ = 1 . |
||
|
||||
Здесь |
|
|
|
|
Г0 - |
Г |
<7о |
(7.4) |
|
Г* |
|
Г* - |
||
|
сро, |
|
причем Гр - температура стенки в рассматриваемом сечении. Остальные обозначении указаны в предыдущем параграфе. В целях удобства числен ного интегрирования уравнения (7.1), как и раньше, вместо независимой переменной $ введем независимую переменную д по формуле (6.5). С уче том обозначений (6.5) уравнение (7.1) и условия (7.3) перепишем окон ча1тельнок следующим образом:
Э |
| |
|
Ц |
■ |
ен \ |
- |
а |
|
|
|
/ к |
Ъф \ |
> + 1 - « 7 . |
(7-5) |
|||||
З^Г |
1 |
* * 1 |
V * |
V / |
3^ } “ - 2 ^ |
||||
/и |
|
||||||||
ф = 0 |
при |
и = 0 ; |
|
|
|
|
|||
дф |
= 0 |
при |
д = 1п(1 |
* 1//»). |
|
|
|||
— |
|
|
|||||||
др |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
(7.5) запишем в конечных разностях. Тем лерагуру будем искать |
в тех же счетных узлах, гда рассчитывалась скорость. Разностное уравнение для искомой функции ^запишем в виде
|
- В И |/ 2 ^ + ) + № - 1/2 +Вц. \1г)'1*Г=Р[, |
*= |
|
|
(7.7) |
где |
|
|
в |
Е |
(7.8) |
|
(А + 1 - * ) Д д .
Формула для вычисления коэффициента турбулентной температуропро водности е " приводится к виду, аналогичному (6.12) , только вместо функции /|(^)Т?) будет входепьф у н к ц и я /Ц ^ ч ) . При зтом аргумент легко вычисляется по формуле
*2П = (0 .7Я 0’й7 + О Д )*1»?. |
= ~ |
(7 9 ) |
|
Для исключен» |
I |
(7.7) фиктивной |
функции <Д> используем |
условие |
|
|
|
|
|
|
(7.10) |
являющееся к о н е ч н о -разкостной формой условия (7.6) при д = 0. Система уравнений (7.7) с учетом (7.10) так же, как и система (6.10) для (У), решается методом разностной факторизации.
Рис. 1.15. Результаты расчета чисел № для круглой трубы:
Р/ |
= 0,01 |
<0, 0,03 5 (3), |
1 (I), |
Ю <4), |
100(5) |
После |
того как величины |
будут найдены, |
средняя |
безразмерная |
||||||||||
температура ф в ссчсшш |
потока и число Ыи иы |
юляются |
но формулам |
|||||||||||
| |
</ |
|
« |
(/ |
2|(А + 1 - |
Г |
|
|
|
|
|
( 7 Н ) |
||
Ф = /Ф - 2 № |
- № |
л |
= |
|
|
|
|
|
||||||
|
V |
|
|
|
|
|
Ф / |
|
|
|
|
|
|
|
2ФРт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7-12) |
||
N 11 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
" Т ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 1.15 представлены результаты расчета чисел № |
они потокои различ |
|||||||||||||
ных жидкостей в круглой трубе при условии на стенке трубы д |
= соп$1. |
|||||||||||||
где <7 - |
плотность теплового |
потока. В интервале чисел Ке от 3 • |
'О3 |
до |
||||||||||
3 ‘ 10&результаты можно описать интерполяционной формулой |
|
|
|
|||||||||||
М1М |
+ 3,90(Ке- 1<Г3Г |
- I V , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>< = 2 ,5 4 1 ,3 1 |
$(! 4 Ртн ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
т = 0.918 - 0,05 1в(1 ♦ 10 Ргч ), |
м = 0,65 - 0,107 1е( | |
+ 10РГ1). |
|
|||||||||||
Приведенные на рис. |
|
1.15 результаты |
расчета достаточно |
хорошо согласу |
||||||||||
ются с экспериментальными данными для жидкостей с Рг < |
I |
(работы |
||||||||||||
133, 34]). Числа № , |
рассчитанные для жидкостей |
с |
Рг = 0,8 |
(рис. 1.16), |
||||||||||
близки к |
значениям, |
|
полученным по эмпирическом |
формуле М.А. Михе |
||||||||||
л е [34]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н и -О Д И !К е°'вРг<>,« \ |
|
|
|
|
|
|
|
<7.13) |
||||||
Результаты расчета чисел № для жидкости с Р г= |
10 оказались близкими |
|||||||||||||
к значениям, иолученлыы |
по |
формуле (7.13), пои числах Ке < |
5 |
104 |
||||||||||
н существенно завышенными - |
при числах Ке > 5 • Ю4 (рис. 1.16) |
|
|
|||||||||||
Расхождения в результатах |
расчета чисел Ми для |
жидкости с Рг = 10 |
при больших числах Ке, по-видимому, имеют ту же причину, что и откло нения рассчитанных профилей скорости С/вблизи стенки от "универсалы «онм кривой распределении скоростей. Этой причиной являются некоторые
недостатки теоретической модели в непосредственной близости от стенки 44
А л 1.16. Результаты расчета чисел
N11 гшя жидкости с Рг ■ 0.8 ДО н Рх»1О (0):
I - расчетная кривая, 2 эмпирическая формула Ми
= 0.021 Нв0,врЛ 4*
Рис. 1.11. Расчетные соотношении
между коэффициентами ТурбуягИТ-
на безразмерных расстояниях фу1 от 0 до величины порядка 25. Если в расчетах профиля скорости вблизи стенки согласно рис. 1,14 эти недостатки являются тонкими деталями в аппроксимации коэффиплента с*1/»* (малы ми но сравнению с единицей)» то в расчетах профилей температуры вблизи
стенки для |
жидкостей с Р /> ] ошибки аппроксимации безразмерной |
величины |
на расст<»яш1ях до фу' = 25 становятся уже того же порядка, |
что и величина А/р. Следовательно, для улучшения в дальнейшем результа тов расчета чисел N0 в турбулентных потоках жидкости с числами Рг > 1 необходимо дальнейшее совершенствовали* теоретической модели турбу лентного обмена (см. § 2.5.2).
На рис. 1.17 изображены профили коэффициента 0(1) = е /7 « АГ, |
описы |
вающего неподобие в турбулентных переносах, для жидкости |
с числом |
Рг = 0,025. При числах Ре > Ю5 рассчитанные значения 0(?) в среднем по радиусу Близки к единице, по при умсньиэелии числа Кс до 7 * 101 значения
0($) |
в среднем уменьшаются примерно до 0,6. Значения коэффициента |
||||
0(4) |
при фиксированных Не Солее или менее постоянны по радиусу вдали |
||||
от стенки и от рек трубы. С ирнбллжсю |
1см |
к стенке трубы или ее оси |
|||
значении Д($) |
уменьшаются. На рис. ЫЯ |
и |
1.19 |
представлены значения |
|
коэффициента |
Д((), полученные из эксперлмоггов |
(35, 36]. Есгествслло, |
49
ЕЕ |
|
— |
“ 2 |
|
Рис. 1.18. |
Значения |
коэффициента |
?Ц) = |
|||
|
|
|
- 4 |
|
= *Н!чМ нз работы Брауна [531 |
|
|||||
е |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
Рис. 1.19. Зависимость коэффициента 0({) ■= |
||||||
|
|
|
|
- вЯ /еЛ#при { ■ 0,8отчнеш Кв: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
4 2 4* 4 |
$ № п |
|
I - результаты |
расчета, |
2 |
|
|||||
|
ты |Э 6 |* 3 - н з р а б о т ы [ 1 5 ] |
|
|
||||||||
№ |
- |
|
|
|
— |
11 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3<' |
|
|
|
|
'1 |
|
-----— 1—1 |
|
|
АА\------ ---- I------------------ 1- 1-1 ---------^ |
|
4 |
|
||||||||
3 |
Ю* |
2 |
|
4 |
6 &Ю5 |
2 |
|
а |
0 Де |
|
|
что экспериментальное определение отношения 0($) = |
|
дает |
резуль |
таты с большой относитспыюП погрешностью, л к абсолютным величинам, представленным на рис. 1.1 & и 1.19, следует относиться критически. Однако общие черты кривых 0($) при фиксированных значениях чисел Ке л кривых изменении [3(0 с изменением числа Не следует считать достоверными.
Итак, наложенная теоретически модель поэиолнет хорошо рассчитать и температурные поля при изменениях чисел Не н Р тв широком диапазоне. Принимая во внимание, что расчеты полей в определенной мере ату жил в и для отработки эмпирических коле твит д ,а и т.д., приведенные здесь результаты будем рассматривать как испытание на отработку теоретиче ской модели, а хорошее совладение результатов расчета с имеющимися экспериментами в широком диапазоне чисел Кс и Рг - как основание для распространения модели на потоки жидкости в каналах проиэиолышй геометрической конфигурации.
$ 1 ,8. Результаты расчета полей скорости и температуры
кустановившихся турбулентных потоках ж идкости
апрямолинейных каналах
Уравнении движения н притока теплоты для установившихся турбулент ных. течений жидкости без учета вторичных токов в каналах имеют лид
»