книги / Статистический анализ геофизических полей

Групповой фильтр г ~*(а )					оказывается также устойчивее в вы­
числительном отношении,			чем		гг* (А), при матрице			спектральной^
плотнооти помех f		(л) »	близкой			к вырожденной. Из выражения (Щ .3.3)
следует, что при числе локализованных источников помех									и
мощности диффузной составлявдей помех, много меньшей мощности ко-
геррентной составляющей,				элементы матрицы			f~'(A)	неограниченно
возрастают, т .е .	матрица			f(A )		становится	плохо	обусловленной.
Таким образом, в	этой ситуации групповой фильтр							(А)	становит­
ая практически неприменимым и з-за больших ошибок вычислений. Вме­
сте о тем F * (л ),	согласно			выражениям (1 .3 .7 ) и (Ш .3.5),					может
быть предотавлен в		форме
А*(л)Ва Ц )*		eg-							а.з.э)
F*(A)= £*fA)Bs(A)+ f* F

егг

т . е . при max -j- — В неиснаясакщий групповой фильтр имеет предел

z	¥t	Г * (А)	4	СА)
	*tA) «
		/Г* (.л)	4	.ЗЛ О )
				(А) П л )
Легко видеть,	что г*(.А )	остается		неискажающим фильтром:
г * (л )А (л)Ц (А)~ 1 / ( л ) .		В дополнение к этому он обладает свой­

ством компенсирующего фильтра для помех, создаваемых локализован­ ными источниками (если реальныо векторы частотных характеристик каналов распространения от иоточников к элементам группы в точно­

сти

равны предполагаемым

^ (А) ,

l e t . m

) .

Действительно,

пусть

помеховый оигнал в

1-ч источнике

$! t ,

t e

l имеет преобразова­

ние Фурье:

Х/А/-Ц

Aef о, гг7.

щ.з.м)

Тогда

преобразование

Фурье помехового векторного процесса

г™,

( е /

равно

fitA }- f c (A) Хг (А ) ,

а преобразование Фурье процесса

У#,

на выходе

группового фильтра

F *(а) -

U(A)‘ f£*to )ffiA )% (A )

f* U )B s (A)4l U)Zi(A)

(Ш%ЗЛ2)

VCA)

Из

свойотва (Ш .3.4)

матрицы

3S U)

оледует,

что mtA)=

0 .

Если

помеховый сигнал %

t e

l

-

стационарный случайный процесс с

энергетическим

спектром

л>}

и )

, то матричный энергетический

опектр процесса

^

на

выходах датчиков

равен &г (А) =

~<}г (А) <*>е(л) (f *

(А ) ,

а энергетический спектр процесса

£

на вы­

ходе группового фильтра выражается формулой

131

/>&)=%*(•*)	?(*)*%(*)*	(Ш.ЗЛЗ)
Этот спектр, согласно формуле (Ш .3.4),	также тожцеотвенно равен

нулю. Аналогично можно показать, что помеха произвольного типа,

отличного от двух рассмотренных, действующая в любом	из I	источ­
ников, на выходе компенсирующего фильтра оказывается	полноотью
подавленной.
Таким образом, компенсирующий групповой фильтр	г * (Л )	осу­

ществляет подавление до нуля любых помех, порождаемых е < т ло­ кализованными источниками, независимо от их структуры как функ­ ции времени. Это подавление осуществляется не за очет частотной фильтрации, а благодаря "избыточной информации" о помеховых про­ цессах в источниках, реализация которых (правда, искаженная час­ тотными характеристиками каналов распространения) принимается сразу на n » s датчиков.

В тех задачах приема оигналов на фоне помех, где нет необхо­ димости оценивать форму сигнала, применение неискажающих группо­ вых фильтров г * (л) или F * (Л) может оказаться нецелесообразным, особенно в вину трудноотей их практической реализации в реальном масштабе времени. Чтобы понять, как "стабилизировать" обычный

групповой фильтр w *(*)s Л * (л)			(<х)	в	случае	оильной когерревт-
ности помех, сохраняя	свойство асимптотической оптимальности ал­
горитмов обнаружения,	рассмотрим отатистику					) m,ei>4 (7^ ,4 )t
где а> * max ff*/>>/, которая		вместе о 4		0	& )	являетоя асимптоти-
чеоки достаточной. Согласно		результатам			раздела 1 .2 (теорема
Г .2 Л ) , это означает,	что любые асимптотически допустимые теоты

для обнаружения сигнала могут быть выражены как функции этой ота-

тистики.		Например, в БАО теотах (Ш .2Л5) со				статистиками		(Ш .2Л 5)-
(Ш .2Л7)		замена 4(1% ) на	)	не	влияет	на вероятности оши­
бок,	воли соответствующим образом изменить пороги						. Предельной
для	статиотики 4а (хк , 8 ) при		а ■max j~ — О			является в		случае
квазщетерминированного источника				t	I
				сигнала статиотика

% (*#>	gsJ *)>	(1.3Л4)
а в случае стохастического источника	сигнала - статиотика

■ ш % щ

тА ‘ - з а/ ; v % у

132

Если подставить в АО алгоритмы обнаружения вместо			) ст а -
тиотику А0 (xjf, 0"), то	качеотво	алгоритма при малых со ,	соглас­
но выражению (ПГ.З.З),	изменится	иесущеотвенно, однако в	вычисли­

тельном отношении алгоритм обнаружения будет значительно устой­

чивее. Групповой фильтр		/Г*(й>4 ; (л ), фигурирующий в ста­
тистиках	обнаружении (Ш .ЗЛ4)	и (Ш .ЗЛ5) не является	неискажаю­
щим для	сигнала, но обладает,	как и г * ( Л ) , свойством	компенса­
ции помех, порождаемых г <т		лекальными источниками.	Отсюда сле­

дует, что любые алгоритмы обнаружения, включающие в овою структу­

ру компенсирующие групповые фильтры 7*Сл)	или г * ( л )	имеют веро­
ятности ошибок обнаружения, не зависящие	от мощности	и спектраль­

ного соотава локализованных источников помех. Это обстоятельство является наряду с вычислительной устойчивостью еще одним веским аргументом для замены "канонического" группового фильтра (Г*М -

~	СЛ) в АО алгоритмах обнаружения на групповой фильтр
w * (л)	или последовательность фильтров /*£(л)> ^(л)=^*(л) Д5(А)/Г(л).

Несколько проигрывая при такой замене в аоимптотической вероятно­ сти пропуска сигнала при конечных отношениях мощности диффузной

И когеррентной составляющей помех,

мы приобретаем зато

полную ин­

вариантность этой вероятности

к характеристикам источника

этих

помех.

Чтобы доказать

последнее утверждение,

рассмотрим предельное

распределение

отатистики

%(7ц, &~)

(1 -З Л 4 )

для

обнаружения ква-

зидетерминированного

оигнала /UUt (/ *). Методами,

изложенными в ра­

боте 3 7 7 ,

нетрудно

показать,

что и при гипотезе

/£•/? = 0

и щ>и

близких альтернативах Hf :

7 /ТОГ> /< с

статистика

%(*#> & )

асимптотически Нормальна

о параметрами (jfe/Св), Z ( в~ ) ) , где

•

ЙГ

4 <*)£w Щ

(Щ.зл6)

W ’

Js

^ Г * ( й) 4 ( * ) Г ( л) * ц ь (л),

где Щ (л)

-

энергетический

спектр

квазидетерминированного

сигна­

ла. Из выражений (Й .3 .4)

и

(Ш .ЗЛ6)

следует,

что

при

7(л)

■*

7 ( 0 ) - f

(•*)?№ % м

,

Ш.зл?)

4>

т . е . предельное распределение отатистики

VQ (

& )

определяется

только диффузной составляющей помех. Следовательно,

иопельзова-

133

iwo vB(T,f , & ) вместо АД статистики ¥(Т # ,{Г) в АО алгоритмах об­ наружения сигналов обеспечивает инвариантность вероятности оши­ бок к характеристикам когеррентных помех за счет их полной ком­ пенсации.

Совершенно аналогично последнее утверждение показывается и для статистики ч>0 (j£ , ) при обнаружении стохастического сигнала.

Оцонпвание частотной характеристики кошеноиругощего фильтра.

Практическое применение компенсирующих фильтров затруднено тем,

что мы,	как	правило, не	знаем априори ни частотных характеристик
^ (A),	l €	каналов,	связывающих источники помех с датчиками
группы,	ни спектральной гоютнооти			/%(А)	диффузной составляющей
помех.	Поэтому вычисление матрицы			Ss Са)	по формуле (Щ .З.З) прак­

тически невозможно. Максимум, что обычно известно о "помеховой

обстановке"		в	точках регистрации поля - это					оценка FCA)		матрич­
ной спектральной плотности помех. Если а)= /пах & */Р ?									мало, а
	л	-	достаточно	точна, то		л	*	1
оценка 8 (л )						F (л)	-	неотрицательно опре­
деленная	эрмитова матрица,			близкая		к вырожденной ранга				s . Как
и з е л о ч ь	из	нее	информацию о £		(А)	и ff (A),		te/T s	? Прежде чем
обсуждать этот			вопрос, сформулируем следующее утверждение.
У т в е р ж д е н и е				2 .	I .	Проектирующий оператор

8 (1		,_г	,	* г
	о	о
				3 'о

F0 J, ^l(fr ..,%J

(1.3Л8)

не	зависит от		выбора б а з и с а / ^ , . f3J того подпространства
XQ е		»	на ортогональное		дополнение		к которому	он проекти­
рует. _		0
	П. "Компенсирующее"			свойство		(Ш .3.4)	этого оператора по			от­
ношению к любому вектору Т е					ita	сохраняется при любом базисе
Ss	и любой невырожденной эрмитовой матрице F0 .
	Ш. Компенсирующий групповой фильтр						ЦТ* са) =/Г*(л) £3 (.л)			обес­
печивает минимальную мощность помехи а , -							f	на выходе,
когда		спектральная матрица			(а)	диффузного шума jy			на его	вхо­
де	совпадает		с матрицей	(а) , в		формуле (1 .3 Л 8 )		для	tiglA),
	Из предложений 1-Й утверждения 2 только третье							требует		спе­

циального доказательства, первые два проверяются непосредственно. Из утверждения 2 вытекает, что простейшим компенсирующим фильтром, требующим минимальной информации о помехах, являетоя фильтр

8 / Ы / - Qs(а) ( с£ (а) SS &))'*6f (а) ]. !.З Л 9 )

Идя его синтеза требуется знать только произвольный базис соб-

134

отвенкого подпространства локализованных помех в пространстве значений вектора спектров f (л) . Если однородЕШя диффузная поме­ ха такова, что радиус ее пространственной корреляции меньше рас­ стояний между датчиками, то полная спектральная матрица помех представима в виде

4

(л)- / $ '( *)/+ //& )(Г *(л)]*

*„,(*) ЛШ ) / * СА),

(Ш .3.20)

где

-

матрица

собственных

векторов

4 (А)

,

причем

4 * ^ / ’

t e

7,_ ео ть

базис

подпространства<£,,

M U }-

d la g [ $ ( * ) ,.. ,/>S ( A),

в (л ),

. ,

б (л ) ]

_

диагональ­

ная матрица

собственных чисел

4

( л ) . Матрице 4 (л)

(ш.3.20) со­

ответствует

в разложении

(Ш .3.3)

штрица

S(as )

(Щ .ЗЛ9).Посколь­

ку для

матрицы

/у Ы )

(Ц .3 .20)

всегда

имеет место неравенство

/>t (а)

> & (л ),

te-C s

,

то

по собственным числам и собственным

векторам

Fj-U)

легко

восстановить подпространство

и> сле"

довательно,

матрицу

В (0а ) т S (

Таким образом, при пространственной некоррелированности диф­

фузных помех (в масштабе расстояния между датчиками группы) про­ цедура оценивания чаототиой характеристики компенсирующего фильт­

ра вводится к сингулярному разложению	оценки /у ( а) спектраль­
ной щтрицы помех, выделению множества	собственных векторов 4<Я>

= /4 /л),.. . , 4- ( A ) 7 f соответствующих высоким значениям собствен­

ных чиоед	jdt (A )» e (A ),	t e /7*	и вычислению по фордуле (Щ .ЗЛ9)
о 0е ~-~- 4	матрицы 4 W	компенсирующего группового фильтра.
При наличии пространственной			корреляции диффузных помех опи­

санная процедура приводит к надежному выделению базиса собствен­

ного подпространства				когеррентных помех			только при	<у	=
- г/тх (&г/ ^	) «	1,	поскольку ни одно из				подмножеств собственных
векторов матрицы			F ( а) =[ в г£tjt) *■и (л )и * са) ] может не лежать в
подпроотранотве		Ха	.	Однако при	«>— о		"контрастность"	первых .у
наибольших собственных				чисел матрицы		F ( A) пс сравнению с			осталь­
ными m -s	увеличивается, а первые s					собственных векторов			отре­
шится к базису		подпространства			.

1 .4 . ЩЦЕ1ЕНИЕ СЛАБЫХ СМСМИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ С ПОМОЩЬЮГРУШ. ЭНСПЕРИМЕИТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ АДАПТИВНОЙ ГРУППОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Иополъзование адаптивной групповой фильтрации для анализа сейсмических сигналов подземных ядерных взрывов. Одной из важней­ ших областей применения изложенной в разделах 1 .2 и Ж.З статисти­ ческой теории обнаружения сейсмических сигналов с помощью про-

130

неискажающий оптимальный -групповой

ССэ

о

чс

3

3

I s

•Sg

_ 3> ^ «X

О

3: CJ 3

CJ

Р и с . S. Блок-схема обработки данных сейсмической группы при обнаружении подземных ядерннх взрывов

странственной группы датчиков является мониторинг подземных ядер-
ных взрывов. Как указывалосъ в разделе Ш Л, именно с этой целью
был создан ряд специальных сейсмических групп, из которых наи­
большую известность получили группа L A S а /§ 2 / в (Ж , штат Ари­
зона, и группа N0RSAR /957	в Норвегии. Обе группы	содержали бо­
лее сотни однокомпонентных	сейсмических датчиков,	охватывавших

области около 400 км в диаметре, и были оснащены мощными сред­ ствами компьютерного анализа. В настоящее время такие гиганты, как группы LAS а и а/оазаа, в которых вопрооы обнаружения и ана­ лиза слабых сейсмических сигналов решались средствами "экстенсив­ ной технологии" обработки данных (т .е . с помощью сравнительно простых алгоритмов, сводившихся к суммированию большого количе­ ства оигналов), уступили место значительно более скромным по ко­ личеству датчиков и занимаемой площади современным группам. В по­ следних качество функционирования достигается за счет сложных ал­ горитмов совместной обработки воей совокупности принимаемых дан­ ных, реализуемых на современных компьютерах. Примером такой груп­ пы может служить группа R O R tS S /Й 4 7 , сменившая R0ASAA и со­ стоящая всего лишь из 20 станций, расположенных в пределах круга диаметром 5 км. Характерно, что вое сигналы группы R O A fSS в ре­ альном масштабе времени передаются по каналу спутниковой связи в г . Вашингтон в специальный центр обработки данных. При этом нет сколь-нибудь подробных публикаций относительно применяемых мето­ дов обработки.

136

уилылр	Предложенная в
	разделах Ш .2, ЦГ.З

статистическая адап­ тивная методика об­ наружения и выделе­ ния слабых волновых полей по данным г руппы датчиков мо­

жет быть применена для мониторинга под­ земных ядерных взры­ вов. Возможная струк­ турная блок-схема системы, осуществ­ ляющей такой монито­ ринг, изображена на рио. 3 и соотодт из трех блоков: адап­ тивного группового

фильтра, алгоритма обнаружения и алгоритма классификации. Основ­ ным элементом этой системы, учитывающим специфику поля помех и оигнала, является групповой фильтр.

Впервые использовать неиокажащий групповой фильтр для обра­ ботки данных сейсмических групп при обнаружении сигналов предяо-, жил Кейпон для группы L A S А /3 2 /. Описанные в разделах Ш.2, 1 .3 ' алгоритмы являются развитием результатов Кейпона в следующих на­ правлениях:

4) показана оптимальность алгоритма Кейпона (полуэвриотически выведенного им для задачи обнаружения детерминированного сиг­ нала) по отношению к отрогим статистическим критериям качества;

2)обобщен алгоритм Кейпона на значительно более реалистиче­ ские модели оигнала сейсмического источника: в виде детерминиро­ ванного процесса о неизвестными (случайными) параметрами и в ви­ де реализации стохастического процесоа о энергетическим спектром, зависящим от неизвестных параметров;

3)получены асимптотические формулы для вероятностей ошибок алгоритмов обнаружения при детерминированных и случайных сигна­ лах в источнике;

4)учтены неизбежные на практике различия в частотных иска­ жениях сейсмических сигналов, вносимых средой на путях распро­ странения от источника к приемникам группы;

137

5) предложен метод адаптации группового фильтра к спектру помех на основе их аппроксимации многомерными AFCC-моделями, ко­ торый "автоматически" приводит к фильтру, реализуемому в реаль­ ном масштабе времени.

В целом, предложенная в разделах Ш.2, Ш.З технология обра­ ботки данных группы датчиков достаточно проста и не требует для реализации мощной ЭВМ. Представляется целесообразным ее использо­ вание в оиотемах мониторинга подземных ядерннх испытаний, рабо­ тающих в реальном масштабе времени.

Однако чтобы обосновать практическую ценность этой техноло­ гии, следует показать, что для реальных сигналов, приходящих от

слабых и удаленных сейсмических ообнткй и реальных сейсмических помех, она обеспечивает более высокое качеотво обнаружения и идеи* твфшацш ообытия, чем традиционно применяемые простые приемы группирования данных. Для этого необходимо ответить по крайней мере на два вопроса (которые трудно разрешимы теоретическим пу­ тем) , Первый - какова отепень когеррентности сейсмических помех

в диапазоне частот ядерннх взрывов? Поскольку групповой фильтр эффективно подавляет именно когерренткые помехи, их доля в сум­ марной мощности помех и определяет выигрыш предлагаемой методики обработки по сравнению с простыми приемами группирования. Второй вопрос - насколько адаптивная АР-аппроксимация матричного спектра помех при небольших значениях порядков модели позволяет реализо­ вать потенциальную (теоретическую) эффективность подавления когеррентяых помех групповым фильтром? Заметим, что в адаптивном режиме эта аппроксимация осуществляется на основе наблюдаемой реализации помех ограниченной длительности и кроме систематиче­ ской погрешности АР-эшроксимацта должны оказыватьоя статистиче­ ские ошибки оценивания АР-параметров спектра по наблюдениям.

Ответы на эти вопросы проще всего получить экспериментальным путем, исследуя эффективность групповой фильтрации на реальных записях помех и сигналов, а также их моделях. Ниже приводится опи­ сание методики и результатов такого исследования о реальными даншиш, записанными на сейомичеокой группе t/ORSAH t и моделями когерректных помех, полученными на основе типичных спектров микрооейсм и геометрии расположения датчиков этой группы.

Теоретический выигрыш оптимальной групповой фильтрации по оравнению о направленным групповым приемом. Как показано в разде­ ле ВГ.З, аоимптотичеоки оптимальная процедура обнаружения сигналь­ ного поля (включающая в себя групповую фильтрацию) обеопечивает вероятности ошибок, отрешщиеся к нулю о уменьшением мощнооти диф138

фузной составлящ ей помех и з-за "эффекта компенсации" когеррент-

ннх помех. Компенсация когеррентных помех осуществляется тленно в оптимальном групповом фильтре ((ЛФ) за спет избыточной инфор­ мации о сигналах источников этих помех, содержащейся в реализа­ циях, принимаемых группой (при числе датчиков группы т , боль­ шем числа источников помех). Распространенная процедура направ­

ленного группового приема (НГП) заключается в выравнивании задер­

жек полезных сигналов в датчиках (возникающих и з-за различия пу­ тей распространения от источника сигнала к приемышам группы) и последующем суммировании. Свойотвом компенсации когеррентности помех она, вообще говоря, не обладает. Чтобы оценить преимуще­ ство неискажающей оптимальной групповой фильтрации (HOPS) перед процедурой НГП, рассмотрим отношение сигнал - помеха на выходах этих схем обработки при наличии когеррентных помех, порождаемых для_простоты одним источником. Как следует из результатов разде­

ла Ш.З		(формула		(Ш .3 .8 )),	для алгоритма НОГФ выходное отношение
сигнал -			помеха	по мощности на каждой частоте		л	составляет:
					(*) А (л ),		Ш .4 Л )
где	0 (Л)		- нормированный энергетический спектр иоточника сигна-
л а (	•Г	0 (л) е/л =■/) ; ft/ -			мощнооть источника;	«
	j					А (л) - вектор час­

тотных характеристик среды на пути от источника оигнала к группе;

f(A ) - матричный энергетический опектр помех.
Для алгоритма НГП
Кгп (•*)-М ( * ) / ? * (л)	А (■*).	~ ~	( 1 .4 .2 )

Цуоть когеррентные помехи создаются локализованным источником со спектральной плотностью i ел) и кроме них существует некоррелиро­ ванный по пространству (диффузный) шум со спектральной плотностью 4>(л) . Тогда матричная спектральная плотность помех на выходе датчиков группы

Н л ) - [ т ) 1 + Г б А ) Н * )

(1 .4 .3 )

где if (л) - вектор чаототных характеристик среды на пути от ис­ точника помехи к группе. В проотейшем случае чаототнонезавиоимой среды

	А (*)-{е~ 'ЛГег,.			( 1 .4 .4 )
где	тй 1,	ге1	- задержки помехи и сигнала при их распространении
от	соответствующих источников к			/-му приемнику. Используя фор­
мулу Бартлета			/6/ для обращения штрицы ( 1 .4 .3 ) , можно привести
выражение		( 1 .4 Л ) к виду

139