книги / Тепловые процессы в технологических системах
..pdfF o |
0,01 |
0,1 |
0 ,5 |
1,0 |
5 |
10 |
50 |
100 |
лд |
0 ,1 0 7 |
0 ,3 1 5 |
0 ,5 3 4 |
0 ,6 5 3 |
0 ,8 5 7 |
0 ,9 4 2 |
0 ,9 6 8 |
1,000 |
5 .3 . К оэф ф иц и енты Л к в |
ф орм уле |
(5 .7 ) |
для н руговы х источн иков |
при |
||||
стац и о н ар н о м |
теплообм ене |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A f |
|
А тая |
|
|
|
я max |
Символ Р |
|
|
|
* 4 |
|
Л К |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
С >= 0 |
|
|
с |
= 2 |
|
101 |
|
0 ,4 3 |
|
0 ,4 7 |
|
0,68 |
|
0 ,8 5 |
707 |
|
0 ,3 5 |
|
0 ,4 7 |
|
1,33 |
|
1,00 |
Коэффициенты АР получены путем интегрирования (в том числе и приближенными методами) функций, учитывающих в фор мулах для расчета температур законы распределения плотности тепловых потоков и скорость перемещения источников. Например,
при Р = 1 0 1 и С = 2 величина Арр = 0,67 представляет собой среднее значение функции 7 \ (ф) = ]/ф , взятой из формул (2.30)
и (2.31). В самом деле, Арр = J ]/ф d\|> = - | - « 0,67. Аналогично
о
рассчитаны и другие коэффициенты, входящие в табл. 5.1. Коэффициент Ад , учитывающий длительность функциониро
вания источника, для установившегося теплообмена (Д = 2), а
также для |
быстродвижущихся источников имеет значение |
Ад = |
= 1. При |
нестационарном теплообмене (Д = 1) значения |
Ад за |
висят от безразмерного времени Fo = т /Р (табл. 5.2). |
|
Коэффициенты Ад получены путем приближенного интегриро вания выражений, соответствующих второму интегральному пере ходу при описании температурных полей методом источников (см. п. 2.3).
Символ К в коде источника, как упоминалось выше, позволяет судить о конфигурации площадки, на которой расположен ис точник. Если площадка имеет вид бесконечной полосы или пря моугольника (К = 1), то Ак = 1. Для источника, имеющего фор му круга (К = 2), коэффициенты Ак в зависимости от законов распределения имеют значения, приведенные в табл. 5.3. Эти коэффициенты рассчитаны для условий стационарного теплооб мена (Д = 2).
Следующие элементы алгоритма связаны с символом О, харак теризующим ограниченность источников. Если источник имеет
Рис. 5.3. Значения |
коэффициента |
А о |
Рис. 5.4. Схематизация твердых тел |
|
в зависимости от т\ (для неподвижных |
при определении значений коэффици- |
|||
источников, С = 0 ) и параметра и (для |
ентов А г: |
|||
быстродвижущихся |
ИСТОЧНИКОВ, |
С = |
а — для |
плаотнея; б — для цилиндра; |
= 2) |
|
|
в — для |
клина |
вид неограниченной полосы (О = 1), то А0 = 1. Такое же зна чение имеет коэффициент А0 для кругового источника, поскольку его ограниченность учтена при расчете значений А к. Для прямо
угольных источников, ограниченных в двух направлениях (О = = 2), значения А0 зависят от безразмерного отношения ц = Ы(21), где b — ширина источника. При т) — 0,5 площадка, занимаемая
источником, имеет форму квадрата, при т) > 0,5 — вытянута по направлению ширины источника, а при т] < 0,5 — вытянута по направлению характерного размера /. Значения А0 приведены на
рис. 5.3 для неподвижных (С = 0) и для быстродвижущихся (С = 2) источников. Для неподвижных источников Лор и Ао“х впервом приближении могут быть приняты одинаковыми, причем при т] > 30 эти коэффициенты мало отличаются от единицы. Это зна чит, что для неподвижных ограниченных источников, ширина которых b > 60/, расчет можно вести по формулам для полосовых
источников теплоты.
Влияние ширины быстродвижущихся источников на темпера турное поле различно при разных скоростях движения. Поэтому коэффициенты Ао здесь зависят от значений безразмерного ком
плекса
ы = 2TI 1^Рё. |
(5.8) |
При и > 10 (источники большой ширины или движущиеся с боль
шой скоростью) значения Ао“* близки к единице, а Ас?, начиная от значения 0,87, весьма медленно возрастают с увеличением и.
Последний элемент алгоритма (символ Т, см. рис. 5.2) учиты вает влияние формы нагреваемого тела. Поскольку все предыду-
щ и е рассуждения |
и |
расчеты |
отно |
|
|
|
|||||||
сились |
к |
неограниченному |
телу |
|
|
|
|||||||
(Т = 0), |
то для |
|
него |
Ат= |
|
1. |
По |
|
|
|
|||
правилам отражения источников для |
|
|
|
||||||||||
полубееконечного |
тела |
(Т |
= |
1) |
с |
|
|
|
|||||
адиабатической |
|
границей |
коэффи |
|
|
|
|||||||
циент Ат = |
2. |
В |
других |
случаях |
|
|
|
||||||
(Т >• 1) |
коэффициенты Ат выбирают |
/ |
/ |
|
|||||||||
ПО табл . 5.4. В ЭТОЙ таблице |
при- |
р,|с 5 5 |
Несимметричный, нор- |
||||||||||
ведены |
данные |
для |
|
пластин |
и ЦИ- |
м ал ьн о |
распределенный источ- |
||||||
линдров о адиабатическими гранич- |
ник на поверхности стержня |
||||||||||||
ными поверхностями |
|
(соответственно |
по ним бистродвижущегося |
||||||||||
Т — 2 и Т = 7) |
|
при |
перемещении |
||||||||||
источника (С = 2 ) . |
Значения |
А? |
рассчитывают по |
формулам, |
|||||||||
приведенным в таблице, в зависимости от |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
«1 = |
(Д//)2Ре, |
|
(5.9) |
|||
где Д — толщина |
пластины; |
/ — характерный размер |
источника |
(рис. 5.4, а).
Для цилиндра в формулу (5.9) вместо Д подставляют диаметр поверхности D, по которой движется источник (рис. 5.4, б). В табл. 5.4 даны также значения коэффициентов Ат для случая,
когда неподвижный (С = 0) источник расположен на одной из поверхностей полубееконечного клина с адиабатическими поверх ностями (рис. 5.4, в).
В заключение приведем пример пользования алгоритмом и от носящимися к нему таблицами. Пусть требуется рассчитать сред нюю температуру контактной площадки при движении несим метричного, нормально распределенного источника по поверхности стержня прямоугольного сечения (рис. 5.5). Стержень изготовлен из стали 12Х18Н9Т, его толщина Д — 3 -10"® м. Скорость переме щения источника v = 0,14 M/ G, длина контактной площадки I =
= |
5-10"8 |
м. Все |
поверхности стержня за |
пределами контактной |
||||||
6 .4 . |
К оэф ф иц и ент A j |
в |
ф орм уле (5 .7 ) |
|
|
|
|
|||
|
Символы |
|
Диапазон |
A f |
|
|
A max |
|||
|
С |
т |
|
значение |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
2 |
0,1 |
|
< 1,6 |
2 ,l 4 « r 0,S6 |
|
2 ,3 6 н г ° ‘»* |
||
|
|
|
|
« |
i > |
1,6 |
2 ,0 |
|
|
2 .0 |
|
2 |
7 |
20 |
< |
« j |
< 12-10* |
2 ,7 8 и т°* о « |
|
3 ,0 6 a f o,o4B |
|
|
|
|
|
и > |
12-10» |
2 ,0 |
|
|
2 ,0 |
|
|
0 |
8 |
45е < |
Р < 120° |
Л°/ « Л |
” а* = |
630 |
erf 10,081) ] |
||
|
|
00.85 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площадки b X / практически не отдают теплоту в окружающую
среду.
Рассчитав значение критерия Пекле Ре « 140, устанавливаем, что источник быетродвижущийся. Следовательно, код тепловой
задачи + 212 42. Однако вследствие адиабатичноети боковых
сторон стержня задача может быть упрощена, источник по пра вилам отражения может быть представлен в виде полосового, движущегося не по стержню, а по бесконечной пластине толщи ной А. Тогда код задачи примет вид
(5. 10)
Пользуясь случаем, заметим, что всякий раз перед тем, как приступить к расчету температур по алгоритму, необходимо тща тельно проанализировать тепловую задачу и использовать все возможности снижения степени ограниченности источников и упро щения формы тел в коде.
Итак, пусть код задачи имеет вид выражения (5.10). Тогда Лм = 2,21-10"%,- Так как С — 2, то Лс « 4,77-10“*. Далее по табл. 5.1 для источника с законом распределения 501 получаем
Л |р = |
0,36. Следуя алгоритму, устанавливаем, что для |
данного |
||||
примера Лд |
— 1; Лк = |
1; Л0 = 1. Для пластины (Т = |
2), |
рас |
||
считав |
«! « |
50,4 > 1,6, |
по табл. 5.4, получаем Лтр = 2,0. |
Под |
||
ставляя значения Лм, ..., Aaf |
в формулу (5.7), получаем |
среднюю |
||||
температуру контакта 0вр « |
7,6-10“%,. Если q0 — 4-107 Вт/м*, то |
|||||
0ср « |
300 °С. |
|
|
|
|
В приведенном выше примере температуру рассчитывали при условии, что источник расположен на боковой поверхности стер жня. Задачи такого типа при различных законах распределения плотности тепловых потоков можно легко привести к задачам о пластине или полупространстве, поэтому они не нуждаются в до полнительных комментариях. Если источник расположен перпен дикулярно к оси стержня или под некоторым углом Ф к ней и пе ремещается внутри стержня (рис. 5.6), вместо алгоритма, показан ного на рис. 5.2, используют алгоритм, приведенный на рис. 5.7. Структура формулы для расчета температур в стержне имеет
более простой вид, чем выражение (5.7): |
|
0 = ЛмЛсЛдЛуЛт.. |
(5.11) |
Отметим также, что для равномерно распределенных плоских источников, действующих в стержне, включая и движущиеся под углом Ф < 30°, средняя и наибольшая температуры на контакт ной площадке практически совпадают. Поэтому нет необходимости различать коэффициенты Лср и Лшах.
В большинстве задач, возникающих при теплофизическом ана лизе технологических подсистем, в частности процессов механи ческой обработки, возникает необходимость рассчитывать темпе-
Р и с . |
|
5 .6 . |
Р асп о л о ж ен и е |
и сточников |
теп лоты в |
стер ж н е |
|
||
Р и с . |
5 |
.7 . А лгори тм р асч ета тем п ератур |
||
н а |
к о |
н так тн ы х п ло щ ад к ах |
стерж н ей |
А-I
А*2
аа
y--z У^З
ратуры либо для неподвижнах (С = 0 ) , либо для быотродвижущихвя источников (С = 2). При этом, как правило, задачи о неустановившемея теплооб мене (Д = 1) требуется решать для стержней (толкателей, иго лок и т. д.) в условиях, когда теплоотдачей в окружающую среду можно пренебречь или представить теплоотдачу в виде стока той или иной плотности при граничных условиях вто
рого рода (ГУ2). Для установившегося процесса (Д = 2) передачу теплоты в охлаждающую жидкость учитывают коэффи циентом Ау = У SX/(2laP)t где S — площадь; а — коэффициент теплоотдачи с боковой поверхности стержня; Р—периметр попе
речного сечения стержня.
Длину стержня учитывает коэффициент Лт. Для неограничен ного стержня i4T — 1, для полубесконечного Ат = 2. Для стержня ограниченной длины А значения Ат, полученные методом отраже
ния источников (см. п. 2.2), приведены на рис. 5.8 в зависимости от FOft =■ ют/ft* = ((/ft)*Fo. Они справедливы лишь для неустановившегося процесса, поскольку при Fo оо (т -*• оо) температура
ограниченного неохлаждаемого стержня теоретически стремится к бесконечности.
Взаимовлияние источников. Вопрос о взаимном влиянии источ ников возникает каждый раз, когда необходимо установить, как теплота, внесенная одним из источников, влияет на температуру площадки, занятой другим источником или стоком теплоты. Ти пичным примером является расчет температуры на контактных
Рис. 5.8. Значения коэффициентов Лу |
Рис. 5.9. Бвсгродвижущиеся ис- |
|
(кривая 1) в формуле (5 .11 ) и переда- |
точники теплоты |
на поверхности |
точная функция В (кривая 2) для |
полупространства |
|
стержня ограниченной длины в зави |
|
|
симости от безразмерного времени FOB |
|
|
площадках тела В (ей. ряе. 6.1, б). Еели источники, перемещаю
щиеся по поверхности этого тела, являются быотродвижущимися, то теплота впереди каждого из них не распространяется. Поэтому, например, теплота, вносимая на участке ed, не влияет на темпера туру контактной площадки ab. Наоборот, на температуру площад ки ef теплота, внесённая на участке cd, оказывает влияние, по
скольку она распространяется в сторону, обратную направлению движения источника Qt.
Расчета, связанные с взаимным влиянием источников, рассмо трим на примере часто встречающейся задачи о двух полосовых быстродвижущихоя источниках (рис. 5.9). Теплота, вносимая как угодно распределенным источником J% через площадку ОгКъ не влияет на температуру площадки ОК под источником Jх, .по скольку теплота впереди источника Jt не распространяется. Нао борот, источник Ji влияет на температуру площадки O^Ki- Если
плотность тепловыделения источника / х распределена равномерно, то, как еледует из формулы (2.31), функция, описывающая распре деление температур, при ф 1 имеет вид
Г1(ф) = у гф - ' К ф - 1 »
где ф = x/li. При расстоянии между источниками, равном L,
положение площадки 0 Х/(Хописвгаается безразмерными абсциссами
Ф1 => ЦК и ф, = (L +
Среднее значение функции на участке фх < Ф < Ф*
^1(Ф1<Ф<Ф») f (Уф-]Л|>- 1)<1ф =
2 Ф Г -Ф ?/г- ( ^ - 1 Г + (Ф1- 1 ) э/2 .
3 |
ф» — фх |
В пределах площадки длиной 1г функция Тг (ф) имеет вреднее
значение 7 \ (0 < ф -< 1) = 2/3 (вм. п. 2.5), что воответвтвует ереднему значению безразмерной температура.
Отношение BeD = |
i |
уеловно назовем пере- |
р |
Т 1(0<ф <1) |
|
даточной функцией, поскольку она иллювтрирует то, как темпера тура, возникающая иа площадке дейвтвия источника, «передается» на площадки, занимаемне другими источниками в том же теле. Расчета показывают, что в погрешностью, не ваходящей за пре дела 2—б %, можно считать, что
(фор),
где фор в 0,5 (Ф1 + ф») — безразмерная координата вредней точки
на интеревующем участке нагреваемого тела. Тогда
Bov * 4 ( V ^ - |
К Ф ^ Т ) - |
(5.12) |
Определив значение Вор, а по формуле (5.7) значение вредней |
||
температура 6ср на площадке, можем написать, что |
|
|
Д0 (фор) = |
Оср^ор» |
(5.13) |
где Д0 (фор) — повышение температуры на площадке действия источника Jit вызванное теплотой, выделяемой источником Jy.
Формула (5.13) справедлива не только для расчета взаимного влияния источников, движущихся друг за другом. Ее можно при менять и для других случаев теплообмена. Естественно, что при этом выражения для Вср будут отличаться от формулы (5.12). Так, для линейно распределенных двумерных быстродвижущихся источников Р = 201 и Р = 301 можно, пользуясь изложенным ме тодом, получить соответственно
Вор — ~2 [ V Фор з~ ФорУ Фор Н з” (Фор 1) У Фор |
1J |
И |
|
Вор = 4- [top V*Tp - 4- (2фср + 1) К ф с Т ^ ] • |
(5.14) |
Аппроксимация результатов расчета передаточной функции для быстродвижущихся источников с несимметричным нормаль
ным законом распределения (Р = |
501) дает |
|
ВоР« 0 ,9 |
ф ^ 64. |
(5.15) |
На рие. 5.8 приведена кривая 2, характеризующая влияние
источника, расположенного на одном из торцов стержня конечной длины (см. рис. 5.6, в), на температуру другого торца.
Вопрос о взаимном влиянии часто возникает при необходимо сти описать математически результат совместного функциониро вания источника тепловыделения и стока в охлаждающую среду,
|
действующих |
одновременно |
|||||||
|
на |
поверхности |
|
твердого |
|||||
|
тела. Рассмотрим |
типичную |
|||||||
|
схематизированную |
задачу, |
|||||||
|
показанную |
на |
рис. |
5.10. |
|||||
|
На |
полупространстве |
дей |
||||||
|
ствуют |
одновременно круго |
|||||||
|
вой источник |
теплоты |
J |
и |
|||||
|
круговой сток Ji |
в охлаж |
|||||||
|
дающую |
среду. |
Коэффици |
||||||
|
ент теплоотдачи а при кон |
||||||||
|
вективном |
теплообмене |
за |
||||||
|
дан. Строго говоря, Jx пред |
||||||||
|
ставляет собой не |
круговой, |
|||||||
|
а |
кольцевой |
сток |
теплота, |
|||||
|
поскольку |
на |
площадку, за |
||||||
|
нятую |
источником |
J, |
жид |
|||||
|
кость |
может |
не |
попадать. |
|||||
|
Однако |
в |
большинстве |
опе |
|||||
|
раций |
механической |
обра |
||||||
Рис. 5.10. Влияние охлаждающей среды |
ботки нет смысла учитывать |
||||||||
на температуру твердого тела |
это различие, поскольку: раз |
||||||||
|
меры контактных |
площадок |
невелики по сравнению с размерами поверхности, омываемой жид костью; нельзя полностью отрицать возможность попадания ох лаждающей жидкости на контактные площадки между твердыми телами; упомянутое уточнение, как показывает анализ, несу щественно влияет на результаты расчета контактных температур. Влияние стока Jx на температуру площадки диаметром D,
расположенной под источником, нельзя рассматривать вне связи с распределением температур на поверхности полупространства под действием самого источника. Дело в том, что в любой точке поверхности, омываемой жидкостью, плотность стока теплоты <7i (Р) зависит (см. гл. 3) от коэффициента теплоотдачи а и темпе
ратуры в данной точке. В свою очередь, температура является ре зультатом совместного функционирования источника J и стока Jlt и чтобы ее рассчитать, надо знать qx (р). Решение задачи возможно,
если принять какое-либо дополнительное условие. Такое условие можно выдвинуть, если иметь в виду, что распределение темпера тур на поверхности полупространства, возникающее при устано вившемся теплообмене под действием кругового источника, с до статочной для практики точностью можно описать нормально круговым законом
(р) = ®и шах ехр [ ^Р*]» |
(5.16) |
где 0и (р) и 0Ишах — соответственно температуры на окружности безразмерного радиуса р = r/R (R — радиус площадки, занимае
мой источником) и в центре источника (р = 0).
Среднее значение температура на любой участке поверхности (О < р < рх) можем получить, рассматривая элементарные коль цевые площадки dp. Интегрируя выражение 2лрТ (р), где Т (р) =
= ехр [—Ар® 1, и относя результат интегрирования к площади яр*, получаем
0„. ор (0 < Р < |
Pi) = |
j |
Р exp [ |
|
Ара] dp = |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
ехр [-Ар?]). |
(5.17) |
||
Для контактной площадки 0 << р |
1» следовательно, |
|||||
» |
0И.СР |
1 — |
ехр [— *] |
• |
,е ,о\ |
|
1 = 0 |
-----шах----------- |
|
Ь------- |
(5.10) |
||
|
|
|
* |
|
|
Если для конкретного источника известно отношение g между средней и наибольшей температурами, то по формуле (5.18) можно рассчитать коэффициент сосредоточенности А кривой распределе ния температур. При этом заметим, что выражение, стоящее в правой части формулы (5.18), при 0,1 < А < 1,5 (что вполне удовлетворяет практику) о погрешностью, не выходящей за пре делы 6 %, можно заменить линейной функцией g я* 0,98 — 0.355А, откуда
А « 2,8 (1 — g). |
(5.19) |
Пользуясь выражениями (5.16) и (5.19), можно рассчитать диа метр пятна, на котором происходит теплообмен с жидкостью. Дело в том, что не вся поверхность твердого тела, покрытая ох лаждающей средой, активно участвует в теплообмене. На участ ках, где 0и (р) -*■0 (речь идет об избыточных температурах),
даже если они покрыты жидкостью, теплообмен не происходит.
Теоретически, |
как это следует из формулы (5.16), 0„ (р) |
0 при |
||
Ара |
оо. Однако практически при Ар2 |
3 значения 0И(р) мало |
||
отличаются от |
нуля. Положив Ар£хл — 3, определяем |
р01Л = |
||
= V"3/А и |
|
|
|
|
|
|
D0XJl = poxnD = D |
3/А, |
(5.20) |
где Dox„ — диаметр пятна, на поверхности которого происходит
теплообмен между жидкостью и твердым телом.
Поскольку сток теплоты, как уже упоминалось, имеет плот ность ft (р), связанную с температурой, то закон распределения плотности стока на поверхности пятна диаметром Ь охл при а =
= const также является нормально-круговым: |
|
Я (р) == Яхтах ехр [—Ара1. |
(5.21) |
Наибольшая плотность qxnu* = абщ»*, где 9т.т — наибольшая
температура, которая является результатом совместного действия
источника J и стока в охлаждающую среду Jt. Температура 0|Иах
заранее не известна, но известно, что
0Ц1ЛХ— 0И - 0 п |
(5.22) |
где 0Иних — наибольшая температура в точке О, возникающая под действием источника J, если охлаждение не применяют; 0„ тах —
снижение температуры тела в точке О за счет стока части теплоты в жидкость.
Для стока Jlt как и для любого источника, между температу
рой 0Ошах и наибольшей плотностью <7im«x существует'прямая про порциональная зависимость, описываемая выражением
0 С max = ^inaxVl шах» |
(5.23) |
причем величина Лшах при заданных параметрах стока может быть рассчитана по схеме (см. рис. 5.2) и относящимся к ней таб лицам. Подставляя значение 0Стах из формулы (5.23) в (5.22), а также имея в виду, что qx шах = а6Шах, получаем
0гаах = 0п max Л,Пах®0п1ах> ОТКуДЗ |
|
0шах = 0и шах/(1 “Ь Л щах®)* |
(5.24) |
Итак, мы получили формулу для расчета наибольшей темпера туры на контактной площадке диаметром D, учитывающую сов
местное влияние нагревания и конвективного теплообмена с жид костью. Но при решении балансовых задач и расчете плотности итоговых потоков теплообмена между телами необходимо знать не максимальное 0тах, а среднее 0ср значение температуры на кон тактной площадке. Рассуждая аналогично тому, как это было сде лано при выводе формулы для 0тах, можем получить
0Ср = 0И. сР/(1 + Лсра). |
(5.25) |
Значение 0ср, учитывающее совместное влияние источника теплоты и стока в окружающую среду, можно использовать при решении балансовых задач. При этом заметим, что вид зависи мости (5.25) сохраняется, если источник и сток имеют законы распределения, отличные от нормально-кругового, меняются лишь значения 0„. ср и Лср. С достаточной степенью приближения фор мулу (5.25) можно применять и при конфигурации контактной площадки, отличающейся от круга. Для этого следует заменить реальную форму площадки равновеликим кругом. Например, при рассмотрении вопроса об охлаждении передней поверхности резца (см. рис. 2.7), источник J ’0 можно заменить источником JI
в виде части круга, а поверхность, по которой инструмент сопри касается с охлаждающей жидкостью, — частью кругового сто ка Н.
Завершая рассмотрение алгоритма и методики расчета темпе ратур на контактных поверхностях тел, сделаем два замечания. Во-первых, обратим внимание на то, что алгоритмы и относящиеся к ним данные могут быть преобразованы в программы и введены