книги / Тепловые процессы в технологических системах

Г Л А В А 2

МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ВТВЕРДЫХ ТЕЛАХ, УЧАСТВУЮЩИХ

ВТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

2.1. МЕТОД НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Предположим, что сделана необходимая схематизация тел и источников, участвующих в теплообмене. Теперь для каж­ дого компонента технологической системы или подсистемы должно быть написано и с учетом конкретных условий однозначности решено дифференциальное уравнение теплопроводности. Суще­ ствуют три основные группы методов решения дифференциального уравнения теплопроводности: аналитические, численные и методы математического моделирования.

К аналитическим относятся классический метод непосред­ ственного интегрирования, метод интегральных преобразований и метод источников. При методе непосредственного интегрирова­ ния дифференциального уравнения решение выполняют одним из известных способов, например разделением переменных. По­ кажем применение этого метода при решении одномерной стацио­ нарной задачи. Примером, иллюстрирующим такую задачу, яв­ ляется определение температурного поля в инструменте при иглофрезеровании.

В современном машиностроении используют процесс обра­ ботки деталей инструментом, поверхность которого (например, торец) снабжена большим количеством жестких металлических проволочек (игл). Такой инструмент позволяет повышать чистоту поверхности заготовки, придавать ей некоторое упрочнение. При назначении режима работы, в частности частоты вращения металлической щетки, важно рассчитать температуру иголки на рабочем торце, так как от нее зависит изнашивание инструмента и качество обработанной поверхности.

Схематизируя процесс, представим иголку как стержень, на торце которого действует источник теплоты, возникающий в ре­ зультате преобразования механической энергии трения в тепло­

вую (рис. 2.1). Граничные условия: а) на	нижнем торце иголки
задана плотность теплового потока, т. е. ГУ2:
х — 0; <7о = - ь - ^ ;	(2. 1)

б) поскольку конец проволочки заделан в массивный корпус инструмента и не успевает прогреваться, можно предположить,

что на верхнем (нерабочем) тор­

це

температура

равна

темпера­

туре окружающей

среды

х =

1\

0 (/)

=

0о,

(2.2)

т. е. имеем типичный

случай

пас­

сивной

границы с ГУ1;

в) теплоотдачей с боковой по­

100

200

300

в°,С

верхности

проволочки

в первом

приближении

можем

пренебречь,

Рис. 2.1. Распределение температур

т.

е. считать

эту

поверхность

адиабатической,

значит,

дЫдг =

в стержне:

1

— при X = const;

2

— при

X =

=

0; dQ/ду = 0. В первом прибли­

=

Х(0)

жении

можем также

считать, что

дЫдх =

0,

так

как

опыт

пока­

зывает, что температура иголки при обработке достаточно широ­ ких поверхностей быстро устанавливается. Тогда дифференциаль­ ное уравнение теплопроводности приводится к виду (1.44): 320/дх2 = 0. Интегрируя это уравнение первый раз, получаем dQ/dx — Сх. Далее, разделив переменные 50 = Ct дх и интегри­ руя второй раз, имеем 0 (х) = Сгх + С2.

Для определения постоянных интегрирования используем

граничные условия (2.1) и (2.2). Тогда
0 (*) = - f - ( / - x ) + 0o.	(2.3)

Выражение (2.3) представляет собой решение дифференциаль­ ного уравнения теплопроводности для одномерной задачи. Оно показывает, что при принятых условиях однозначности изменение температуры по длине стержня подчинено линейному закону.

Обратим внимание на то, что, решая задачу о распространении теплоты в стержне, мы не учитывали зависимость коэффициента теплопроводности от температуры. Если бы было необходимо учесть зависимость Я (0), то вместо формулы (1.44) мы должны были воспользоваться выражением (1.45) и интегрировать его с помощью функции ф [формула (1.12)]. При линейной зависи­ мости Я (0) = Я0 + тЬ интегрирование приводит к выражению

На рис. 2.1 сопоставлены законы изменения температур по длине иголки, изготовленной из стали, для которой Я = 42—0,020 при % — 400 Вт/м, I = 0,03 м, 0О= 20 °С. Как видно, распре­

деление температур здесь мало отличается от линейного закона, причем наибольшее различие между температурами, рассчитан­ ными по формулам (2.3) и (2.4), не выходит за пределы 6 %.

Применяя метод непосредственного интегрирования для ре­ шения сравнительно несложной задачи о температуре стержня, мы сделали целый ряд упрощающих допущений. В частности, исключили из рассмотрения период нестационарного процесса нагревания, положив 30/дт = 0. Если бы мы не сделали этого,

то решение существенно усложнилось бы. В том случае, когда периодом нестационарного теплообмена пренебречь нельзя, реше­ ние соответствующего дифференциального уравнения теплопро­ водности находят в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от времени, а вторая — от координат. Для одномерной задачи эта функция имеет вид

	0 {х, <с) =		р (х) ф (т).		(2.5)
Подставляя (2.5) в выражение (1.4), получаем
Разделив	переменные	дф (т) _ и		дгц (х)
	1
	Ф (т)	д(т)	ц (х)	дх2 ’
после интегрирования можем			получить
0 (х, х) = Сх [С, sin (рх) +			С8cos (рх) ] ехр		[— юр2т],
где р, Cj,	С, и С9 — коэффициенты, которые определяются с по­

мощью граничных и начальных условий.

Еще более сложным окажется решение для двух- и трехмерных задач при более сложной форме тел и источников. Сложность, а иногда и невозможность непосредственного интегрирования диф­ ференциального уравнения теплопроводности при условиях одно­ значности, соответствующих тепловым процессам в технологиче­ ских системах, приводит к тому, что этот метод решения в техно­ логической теплофизике применяют сравнительно редко, главным образом для простых одномерных задач.

Методы интегральных преобразований (операционные), в част­ ности метод Лапласа, используют при решении отдельных задач Теплофизики технологических процессов. Согласно методу Лап­ ласа отыскивается не сама интересующая нас функция, так на­ зываемый оригинал, а ее видоизмененное изображение, что облег­ чает интегрирование дифференциального уравнения. После реше­ ния задачи в изображениях производится переход от изображения К оригиналу— искомой функции распределения температур.

2S- ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛОТЫ

В технологической теплофизике значительно чаще, чем Методы непосредственного интегрирования и интегральных пре­ образований, применяют метод источников теплоты. Он пред-

принципом отраже­

принципом конструирования

ставляег собой гибкий, удобный в инженерных приложениях математический аппарат, позволяющий описывать тепловые явле­ ния в различных технологических системах. С помощью метода источников сравнительно просто можно написать интеграл, удов­ летворяющий дифференциальному уравнению теплопроводности и условиям однозначности; дальнейшей задачей является лишь вычисление интеграла. В этом одно из преимуществ метода источ­ ников по сравнению с другими аналитическими методами, где отыскание вида интеграла, удовлетворяющего дифференциальному уравнению теплопроводности и условиям однозначности, пред­ ставляет для более или менее сложных технологических условий значительные трудности.

Основные положения метода источников состоят в следующем. 1. Источник или сток любой формы, движущийся или непо­ движный, действующий временно или непрерывно, может быть представлен как система точечных мгновенных источников (сто­

ков) теплоты. Назовем это положение

решений.

2. Процесс распространения теплоты в теле ограниченных

размеров может быть представлен как процесс распространения теплоты в неограниченном теле, если фактически действующие источники дополнить некоторой системой фиктивных источников или стоков теплоты. Эго положение назовем

ния источников.

Рассмотрим методику применения принципа конструирования решений. В соответствии с этим принципом одномерный источник в виде линии представляют как бесконечное множество точечных источников, поставленных рядом и действующих одновременно. Двумерный источник представляют как совокупность бесконеч­ ного множества точечных, занимающих часть поверхности, очер­ ченную контурами источника. Аналогично можно представить источник любой формы как ту или иную конструкцию, состоящую из точечных источников теплоты.

Теперь рассмотрим интерпретацию времени функционирования источника. Если источник действует в течение времени т, то его можно представить в виде системы мгновенных точечных источ­ ников, вспыхивающих и гаснущих с весьма большой частотой, когда период времени между вспышками -► 0. В этом случае импульсы следуют друг за другом с бесконечно малым промежут­ ком времени и в пределе образуют непрерывно функционирующий источник. Движение источника имитируют также рядом последо­ вательных вспышек и гашений мгновенных импульсов, последова­ тельно возникающих в различных точках траектории переме­ щения источника. Это легко уяснить, если вспомнить, что ряд последовательно зажигающихся и гаснущих лампочек создает иллюзию движения светового пятна.

Как следует из изложенного, принцип конструирования ре­ шений применяют для описания особенностей источников теплоты,

Р и с . 2 .2 . Р а с п р е д е л е ­ н и е теп ло ты в п о л у п р о ­ стр ан стве с ад и аб ати ­ ческой п о верхн остью

(к о б ъ ясн ен и ю	п р и н ­
ц и п а о т р а ж е н и я	и сточ­
н и ко в)

а)

действующих в неограниченном теле, описание же особенностей формы нагреваемых тел и граничных условий на их поверхностях выполняют на основе принципа отражения источников. Покажем применение последнего при описании процесса распространения теплоты в полупространстве с адиабатической поверхностью (гра­ ничное условие второго рода qa = 0). Пусть в полупространстве действует источник А (рис. 2.2, а). Тепловой поток, движущийся от источника в каком-либо направлении 1 в сторону граничной

поверхности, достигнув последней, в силу условия нетеплопроводности границы должен повернуть и далее двигаться в направле­ нии 2. Если такой же источник действует в неограниченном теле (рис. 2.2, б), то тепловой поток пересечет плоскость АА, находя­

щуюся внутри неограниченного тела, но не являющуюся гранич­ ной и адиабатической, и будет продолжать двигаться в направ­ лении 1.

Теперь поместим в неограниченном теле симметрично источ­ нику А источник А- Встречный тепловой поток, идущий в на­ правлении складываясь с тепловым потоком 1, создает равно­ действующую, имеющую направление 2, т. е. то же направление,

что и в полупространстве с адиабатической граничной поверх­ ностью. Следовательно, процесс распространения теплоты в полу­ пространстве можно представить как часть процесса в неограни­ ченном теле, но с дополнительным источником А* Поэтому тем­ пература 0П(А) в любой точке М (х, у, г) полупространства равна температуре аналогичной точки неограниченного тела 0„ (А) +

+	9ц (А ).		где	9н (А)	и	0я (Л) — температуры, возникающие
в	неограниченном теле				от	источников А и А	соответственно.
Итак,		при	ГУ2	(qa =	0)
Если				9ц {Jо) — ®н (А) + 0ц(А)-
		уа — 0, то
					0ц (А) — 20„ (А).		(2.6)

Следовательно, источник, расположенный на адиабатической поверхности полупространства, вызывает в последнем темпёратуру в 2 раза большую, чем такой же источник в неограниченном

теле.

Теперь допустим, что на поверхности полупространства за­ дано ГУ1 в виде постоянной температуры, условно принятой за

Р и с . 2 .3 . О тр аж ен и е и сточн и ков д л я	Р и с . 2 .4 .	О тр а ж е н и е и сточн и ков	д л я
к л и н а с у гло м 909	п ласти н ы	с нетеплопроводны м и	г р а ­
	ничны м и п о вер х н о стям и

начало отсчета, 0S = 0. Для того чтобы получить на поверх­ ности АА в неограниченном теле температуру 0 = 0, надо нагрев источником J0 компенсировать стоком теплоты (охлаждением) Jv

Значит, при изотермической	граничной поверхности	0„ ( / 0) =
= бн (Jo) — Он (Л)- В этом	случае, следовательно,	надо мыс­

ленно создать систему из зеркально расположенных реального

источника J0 и	фиктивного стока	Ух.
Рассмотрим	еще один пример:		бесконечный клин с углом
Р = 90° (рис. 2.3) при ГУ2 (qs =		0).	Чтобы перейти к неограни­

ченному телу, нужно: вначале дополнить мысленно клин 0 отра­ женным клином / с фиктивным источником Jx и получить полу­ пространство; затем дополнить полупространство с источниками J0 и Jx полупространством II с фиктивными источниками J2 и J3, расположенными симметрично источникам Jx и J0 относительно плоскости АА. Температура в точке М основного клина

з

(Jo) |р=90° = £ 9jj (Jn)-

л=0

Итак, для того чтобы учесть ограниченность твердых тел и условия типа ГУ1 и ГУ2, надо выполнить отражение источников

и стоков теплоты, мысленно прикладывая к основному (реальному) телу ряд подобных ему тел с фиктивными источниками или сто­ ками теплоты,причем каждое из последующих тел должно яв­ ляться зеркальным отражением предыдущего тела относительно плоскости их соприкосновения.

Проиллюстрируем сформулированное правило на примере

плоской неограниченной			пластины	(рис.	2.4).	К основной пла­
стине 0 с источником J0 прикладываем зеркально отраженные
пластины /,	II,	III,	с источниками Ju J2,			У3, ... Поскольку
						rt=-f-oo
этот процесс	не	имеет	окончания,	то	®пл (Jo) — ZJ 6н (*^n)>
						Л = — оо

где 0дл (Jo) — температура в пластине.

Предположим, что источник J0 находится на одной из поверх­

ностей пластины толщиной Д. Тогда в результате отражения получим бесконечный ряд двойных источников (J0 + Jx) =

— (J* + Jt) = = 2J0, а температурное поле будет представ­

лено формулой

е„л(/о) = 2 1 ! е н(/0, 2яД).

(2.7)

где 0Н (J0, 2пД) читается так: температура, вызванная источником,

характеристики которого (мощность, форма и	т. д.) такие же,
как источника У0, а положение определяется	ординатой уи =
= 2пД.

Для решения задач, связанных с описанием процесса в тех­ нологических подсистемах, представляет интерес частный случай (рис. 2.4, слева), когда источник Д имеет вид линии, перпендику­

лярной к боковым сторонам пластины. Тогда, дополняя его отра­ женными источниками Л, Л, ..., приходим к одномерному прямому неограниченному источнику. Пусть, например, источ­ ник J'o неподвижен, действует некоторое время и плотность его

тепловыделения равномерно распределена по ширине Д. Тогда

код тепловой задачи примет вид 22. Однако в соответствии

с изложенным выше, можем написать

100.11ill 22 = 100.11по 01,

поскольку Ограниченный источник в пластине с адиабатическими граничными поверхностями тождественен неограниченному источ­ нику в неограниченном теле, а для последнего естественным граничным условием является температура 0S = 0 на бесконеч­

ном удалении от источника (ГУ1). Аналогично для двумерного быстро движущегося источника Д (рис. 2.4, справа) запишем

212 211

110.22 22 = 110.22 01,

заменяя прямоугольный источник в пластине неограниченным полосовым источником в неограниченном теле.

Рассмотрев основные принципы метода источников, покажем, как эти принципы применяют на практике.

2.3. МГНОВЕННЫЕ ИСТОЧНИКИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ

В соответствии с принципом конструирования решений сложные источники представляют в виде той или иной системы, состоящей из мгновенных точечных источников теплоты. Поэтому и температурное поле, возникающее под действием источника

сложной формы, получают методом суперпозиции (наложения)' полей, возникающих под действием каждого из мгновенных то­ чечных источников. Математическое выражение, описывающее температурное поле, которое возникает под действием мгновенного точечного источника, имеет вид

Э (х, у, г, () =

где Q — количество теплоты, внесенной в тело источником; t — время, прошедшее от момента теплового импульса; X и ю — тепло­

физические характеристики материала;

R = У (х - ха)2 + ( у - уа? + (г — zaf

— расстояние от места вспышки J (ха, уа, z„) до какой-либо точки тела М (х, у, г).

Тепловая задача имеет код 000*0001* поскольку точечный

источник не может иметь конфигурации, ограничения, закона распределения плотности по любой из осей, а решение (2.8) по­

лучено в предположении, что источник неподвижный, действует весьма короткое время и при R -*■оо температура 0S -► 0

(граничное условие первого рода). Выражение (2.8) является так называемым фундаментальным решением дифференциального уравнения теплопроводности (1.36).

Чтобы описать с помощью формулы (2.8) температурные поля, возникающие под действием различных источников теплоты, в зависимости от поставленной задачи совершают один или два из следующих трех интегральных переходов: 1) от точечного источника к одно-, двухили трехмерному; 2) от мгновенного

источника к действующему непрерывно; 3) от мгновенного источ­ ника к движущемуся. Рассмотрим методику этих переходов. Перепишем выражение (2.8) в виде

0 (X, у, z, t) = QF {R, t).

(2.9)

Представим одномерный источник, расположенный параллельно оси Z, в виде множества одновременно действующих элементарных

точечных источников. Каждый из элементарных источников вно­ сит в нагреваемое тело теплоту dQ = Q (z„) dz„, Дж, где Q (z„) —

тепловыделение по длине одномерного источника, Дж/м. Эле­ ментарный источник, в соответствии с формулой (2.9), вызовет в нагреваемом теле повышение температуры dQ = Q (z„) F (R, t) X xdz„. Полное повышение температуры тела под действием всех

точечных источников, образующих одномерный, получим, совер­ шая интегральный переход первого типа:

ИЗ

(2. 10)

Интегрирование отражает суперпозицию элементарных темпе­ ратур. В соответствии с изложенным в п. 1.4, суперпозиция воз­ можна только тогда, когда теплофизические характеристики материала приняты не зависящими от температуры. Заметим

также, что Q (z„) =		QJ (z„),	где f (ги) — закон тепловыделения
по длине источника.
В соответствии с формулами (2.8) и (2.9) запишем
9 (х, у,	г, I) =	Qi	•ехр [-	(х — хау + (у — уку	X
	Я,V<i> (4я<)3/2
		*И2		2
	X	У / (г„) ехр [ — -(г		dzB.	(2. 11)
		*И1
Применим выражение (2.11) к расчету температурного					поля
в задаче	0oi оо°*'	Т- е- ПРИ	источнике	одномерном, неограни­

ченном, распределенном равномерно вдоль оси Z. Для него f (zu) =

= 1* Zni — —00» 2цг = + 00- Используя подстановку и

интеграл в выражении приводим к виду (1.53) и получаем

0 У' 0 = 1% Ь ехР [ ~ (X~ Xtt)W !/~ !/a)2 ] •

(2-12)

Как видно из формулы (2.12), температурное поле для одно­ мерного неограниченного источника не зависит от координаты z, т. е. оказывается плоским. Эго соответствует физике процесса, поскольку при неограниченной длине равномерно распределенного источника отсутствует переток теплоты вдоль оси Z.

По аналогии с формулой (2.11) для двумерного источника получаем

<><*■*■*’ '> "	И1р [ ~ ~ ^ т а ° £ ]	х
X ^ е » р [—	г .)е х р [—	(2.13)
*И1	и1

причем Qo имеет единицу измерения Дж/м2. Применяя формулу

210			двумерный, неограничен­
(2.13) к задаче -щ-до 0* (источник
ный вдоль осей X и Z и равномерно распределенный в этих на­
правлениях), получаем
в (у, t) =	Q. ~[/<о	г	(у— Уч)П		(2.14)
	■ г *—= ехр		ш	J*
	2Х1/я /	L

		Как видно из выраже­
	ния (2.14),				температурное
	поле		в		неограниченном
	теле		при			равномерном
	распределении						источника
	не	зависит от					координат
	х х	и	г.	Это		значит, что
	"“ в	каком бы				месте		мы не
	выделили из					неограничен­
	ного		тела		1 стержень 5,
	параллельный оси У (рис.
	2.5), то независимо от
Рис. 2.5. Плоский равномерно распределен­	формы			поперечного				сече­
	ния стержня (прямоуголь­
ный источник теплоты в неограниченном теле	ник,		круг		и	др.)		темпе­
и в стержне с адиабатическими граничными
поверхностями	ратура			в	нем		при равно­
	мерном				тепловыделении

источника 2 может рассчитываться по формуле (2.14). В равной

мере формула справедлива для расчета температур в отдельном стержне с любой конфигурацией поперечного сечения при условии, что его боковые поверхности не обмениваются тепло­ той с окружающей средой (qB = 0). Следовательно,

101.00101.00

2 .4 . Н Е П Р Е Р Ы В Н О Д Е Й С Т В У Ю Щ И Е И С Т О Ч Н И К И

Рассмотрим интегральный переход второго типа, с по­ мощью которого конструируются выражения для описания тем­ пературных полей, возникаю­ щих в неограниченных телах под действием неподвижных, непрерывно действующих ис­ точников теплоты. Непрерывное действие источника имитируем серией мгновенных тепловых импульсов, следующих друг за другом. Предположим, что пер­ вый из этих импульсов про­

изошел	в момент	времени
t — 0,	принятый за	начало

отсчета. Второй, третий, i-й

импульсы происходили соответ­ ственно в моменты времени tlt

Рис. 2.6. Распределение температуры Т (тр, Q для двумерного неподвижного источника теплоты размерами b XI