книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

Подставив время (4.70а) в формулу (4.69) и учитывая явное выра­ жение для хок и Тц (см. формулы (4.36) и (4.37)), согласно которым пропорциональны к, в результате находим следующую зависимость:

у(со) = уо(со)-+- Yi(со) = -						54(02р2а6с%с] *,° д(п0к) kdk
						я4(1-$)2Г<МГ) о de0<fc) 1 + С0*
54^ю 2р?а?С|],						*1 3(пц)
л‘‘(1-^ ‘ )(1-^)2Г<р,(7') i де,(*)kdk,								(4.71а)
где
А,	81	(	**v	Г	м	# . ' ) 1	fcr,2	3 3 5
			£о				ftp	a OQCS
В0	к3гСР			<	^Оех ;		(1 - 1*)(1 - ^)20оР,Нфо(Г) ’
л2С2920(1 -^ )(1 - ^ )2Г
	6 « « А Л #					Фо(Л'
а функции фо(7) и ф](7) определены равенствами
	[0,8и (770О)3 приГ-^Од
Фо(Г) = 11						при Г	> 0 D’
Ф1(Л =	0,871 (7701D)3					приГ<^01О
	1					при Г	>0ю

Температуры Дебая есть 0D = hcja и 0lrf= hcxJa\.

Второй интеграл согласно (4.38) может быть легко найден.

	Действительно,
	у,(со) =	54ЕУр?*?с„	(4.716)
		7i4ft2( l - ^ ) ( l - ^ ) 29 l(r)

Чтобы вычислить теперь у0(со), оценим величину С 0. Если взять пара­

метры	cs = 2,5-104 см/с, 0о = 200К = 2 1 0”14 эрг, \ieM0 = 0,1К, J0ex =
= 800К,	11еН = 0,1К = 10-17 эрг, £ и I;* = 0,01, р = 7 г/см3, а и а0 =
= 310-8 см, тогда приблизительно С 0 = IO -^JV G Q^ ^ T ) . При отноше­

нии #o*/G() = 0,1 и для высоких температур, когда S0(T) = 1, С 0 = 10~8. Но С 0 под знаком интеграла умножается на волновой вектор к. При

T>QD параметр "обрезания" kQ= n/aQ. Это говорит нам о том, что ве­

личина произведения будет по крайней мере порядка единицы, а значит, ее учет необходим. Нас интересует сейчас более прозаическая область температур, а именно высоких. При низких температурах мы имели бы право пренебречь произведением Сок, хотя надо заметить, что, если бы

221

были выбраны несколько иные параметры вещества, картина могла бы измениться диаметрально, а именно произведение Сок могло стать мно­ го больше единицы. При выбранных же свойствах структуры Сок по­ рядка единицы. Заметим, что учет времени ^окри-тприводит к логариф­ мической расходимости интеграла на нижнем пределе, а не к степенной

(Ш ).

При Т > 0D имеем
I = _*?	kdk = т± ___Т__у		dx	=
к,	de0(t) 1 + С0к	дТ (йс,)2 ;t (1+vx)(ex -1)

_ Г1п(1 + 7Х/дйс.)		ln(l + TLlKhcs)
v (h c,f	~		С0йс5
где безразмерный параметр v = C0T/hcs.
Итак, из (4.71a) и (4.716) получаем
Y(®) = Yo(©) + Yi(co) = ^ -		f С*	^ 2
		**	(1-5*)1п(1/т0е ) Ь ^
	Зл Uo		)	т

54%>(02р?д|9си

я 4Л2(1 -$ 'Х 1 -$ )2<р,(Г)'

( I	\ 2
J0ex

WeMo)

(4.72)

Здесь учтено, что ср0(7^ = 1.

Полученный результат примечателен тем, что показывает, что поглощение звука в композите с основной магнитной матрицей линейно растет с величиной магнитного поля Н. Иными словами, если композит помещен в постоянное магнитное поле, то звуковые потери возрастают вместе с увеличением амплитуды этого поля. Графически такое поведение характеризует рис. 4.7.

lo,lph,m (/?)•

Здесь, помимо потерь в обеих фазах, добавятся потери от погло­ щения границами примесной фазы и наравне с выражением (4.72) доба­ виться граничное слагаемое (4.20):

у(со) = —		[LeH 'Оех		а(й
	(1 -4 ‘)1п(1/ШТ0)		VeM0
зл ^8о
5 4 5 V p 2ai>cl.		1п(1/0УС,) +	t,’c,(2an„)1/2
n4»2<l-S*)(l-$)2<p,(r)			3<К>	(4.73)
3. Л,зв ^ /о,1рЛ,ш ^	(К)-

Это условие, как мы уже знаем, тождественно условию	(0зВт ^ 1.
А потому, компонуя формулы (4.66) и (4.42), можно получить	искомые

222

wo

н(з)

V

Рис. 4.7. Схематическая зависимость коэффициента затухания звука от ве­ личины магнитного поля Н(а) и от частоты (б) для композита со структурой

M +D

потери:
192я3ррД			Д	Х
			ш	г с щ	ъ	У ел 2 т о)		1/2
12я2рс2		0		12я2рс?		1	3(Л>	(4.74)
где функции
гс3с Х ( 1 - 0 ( 1 - 5 ) 2г 4					_ n3GffiDT4cs
810Й3р3а6с®				Ql		% m y xa$c\s '
М Т ) =	д	_ 3Х° x2dx
		Т3 J	ех -1
(Ю * дТ
(hcs)	дТ	о	е -1
Ф(Г) = —		I
дТ \ t	e \ s )	ПбХ-1

Вычислив асимптотики этих функций (что неоднократно делалось вы­ ше), найдем поведение у(со) во всем интервале температур.

4. (R )< А,зв loAph.nr

Этот случай также не вызовет затруднений, ибо формулы (4.67) позволяют его описать. Имеем, учитывая специфику случая М + D,

_ 7,27t(oG1^*64Dr	7	7, 2TICOGQ(1- )9дГ7 |
9720ft7pfa15c1f	+	9720Й7р4а5с]5

223

Рис. 4.8. П оведение у(о)) в структуре М + D в зависимости от температуры

, KCOGQ(gp )2(\leM0)2Т5в р (1 -			*	/ © \4		при T<Q0 W
+ --------- - .2 * 4 8 2		--'2		‘
	720рЙ с“аЦ.^Я7ом			4 W
	ш а вХ ^ р Т 5* , т о в с Х ^ О - У ) ,
18440Aspfл,7с/|		18440fi5p V c J3
+	> V * . ) W ? (i - Г ) +s l - { ) ( ©					\ 4	при 7> в0 w .
	57бр2Йс=<25ц ,^ „ 2„				Чс* У
							(4.75)
5. (/?)	/о,1рЛ.т ^ ^зв-
Здесь величина у(со) определится суммой:
7(0)) = —	\2			'Оех	\2 а©		f © ^
	( l- V ) ln ( l/t0( O ) J ^		[LeM{				+ ^ 4 ^ i )
Зя	Uo >					Г	4LJ
					ОУ
							(4.75a)

Схематически поведение затухания звука в композите типа М + D изображено на рис. 4.8.

4.5 СТРУКТУРА М+ М

Как обычно, начинаем со случая 1: /01рЛ>л, « (R) « ^

Из формул раздела 4.2, конкретно из формул (4.18), следует, что

7(0)) = 70(©) + у,(©) = - g X d - Q o ) 2 ^ > M x' k2dk_

12л2рс? J дг0(к) 0к

224

	_ c f	e ^ V	‘ j	(4.76а)
	127c2picU		о d£i(*)
	где время	*	Х0,1*Х0,1А рЛ -т
		т0 i* = — 1------—------ .

Х 0,1* + X 0 ,\k p h -m

Если теперь вспомнить, что согласно формулам (4.36), (4.37), и (4.53в)

1	1	1 = Аи*9 + Волк
X 0 .l*	X 0,lAp/i-m	Х10,\кС

с коэффициентами А и В, определенными этими же формулами, то пер­ вый интеграл можно записать как

j	_ г д(п0к) kdk
0	d£0(&) А$к+ BQ'

Обезразмеривая его (как и выше) и пользуясь свойствами бозе-распре- делений, находим

	/„ = - • ( h c f	— Z(QD /T )
		дТ "о
	где функция
	*о	_	АрГ	_ _ л0о
	Z(x0)= J				(4.766)
		=	В0адо	Ап -
	о (е	-1)(1 + ах)

При высоких температурах (Г > 0D) интеграл легко вычислить. Раз­ лагая экспоненту е* по степеням х, найдем в результате:

*о	dx	я0п	1 - а г
Z(x0)= j		Т	1 - 2 а 0
о (1 + 0,5х)(1 + а 0х)

Тогда

2л7Вп д 1 1 -ар А) — (bcs)1 дТ уВ0 \ —2а0 у

Подставив сюда значения всех функций А0, Во и °о при Т > д 0 согласно выражениям (см. предыдущий раздел)

■(g"f(p.,M„)2hT

16лра3У02„р ,Я '

й ,= я2оХо-У)а-1)гг

6 4 8 p V ^ cs5<p0(D

получаем, что

2лГ i4Q

/п = - в(йс,Г В о(1-2а0)2 ■

8. Гладков С.О.

225

Подставив, наконец, сюда явные выражения параметров А 0 и В 0 , нахо­ дим, что

540	8о	п5„ 8 6 8
		Р a a0cs
1о = ~ (1-2<х0У \^0 J \ J ex		J

Аналогично получается и интеграл /,, но с заменой индекса "0" на "1" Таким образом,

	540		2 /	\ 2
/ , = -		i l _	M * L
	0 -2 а ,)2 U2		v. ^lex	j

Л5_14_8 Plal Cls

й О > еЯ

Поэтому из (4.76a) найдем искомое затухание для данного случая:

				л е г **\2Л4	а	8 6 6	' ' м О	2
Y(tt) = Yo( w) + Yi ( w ) =				45(я0 ) р		а0с1
		7t2G02(l - $‘ )(1 - ^)4(1 - 2ао)2Й02оцеЯ \ -^ех
								J
45s (gl ) Plfll	с1д	Ч	л О	2 со				(4.76)
л ^ а - г а ^ / ю	^ я	Ч	^1ех	)

Подчеркнем, что данное выражение получено в предположении, что температура относительно высокая (Т > 0D). В противоположном случае интеграл (4.766), к сожалению, в аналитическом виде не вы­ числяется, но видно, что он будет довольно сложной функцией пара­ метра а.

2- l o . l p h . m ^зв ^ ( R ) -

Здесь, как нам известно, к поглощению, обусловленному взаимо­ действием между фононами и магнонами, добавятся еще и потери, обя­ занные поглощению на границах между твердыми фазами. Это проя­ вится в дополнительном слагаемом к затуханию (3.76). Имеем

Y (CD) = Y o (w ) + Y i(w ) + Y rp ( “ ) =

	4 5 ( g “ ) 2 p V	a 06^			Г м	О
у	G 2 O - i f ) ( i - $ ) \ i - г с с о У ^ е ^ я < ^ ех >
45^*(g**)2pffli14C|6t		4	V	2	(o2 + i ^	1/2
						o )	(4.77)
n2G i{\-2 a xY m iD\SieH 4			Jlex	у		3(R)
Здесь время (т0) 1= (т0[.) + (тQ\ph_m), где угловые скобки отвечают
усреднению по равновесной фононной функции распределения.
3. Хзв	loAph.m^ (Я).

Для данного интервала длин волн, что на языке частот отвечает ультразвуковому диапазону сот > 1, мы имеем право воспользоваться

226

кинетическим уравнением в целях вычисления затуханий у. В этом случае (см. формулы (4.64) и (4.65)) искомые потери, как известно, будут вычисляться с помощью комбинирования формул (4.64), (4.65) и (4.77). Для температур из диапазона 0D < Т < Jex имеем

у(со) = 7t2G26pCo7Xl-^*)(l + Sft0co) 648р3я9сх

$*с,(2(от0)1/2 3(Л>

При Т QD, Jex

_ 7t3G2e^cor4(l-5*)(l + gt0(Q) у(со) =

810ft3p V c?

(2tox0)l/2

m '

где согласно (4.66) для обеих фаз

_ сgo)2(\LeM0)2hT

°16яра3У2хр сЯс2 •

_ (gl')2{VLeMx) 4 T

1 1б7СР1а3У2х^ Я с 2 '

7t2G20?Dci)77i,* (1+ <31 хсо) 648p3<a9c,6x

	(4.78)
7t3G128?D(0T4^ ( l + 91,(0)	+
3 .M
648p,a1 c \s
	(4.79)

Итак, соотношения (4.78) и (4.79) дают нам искомые выражения для коэффициентов затуханий звука в этом случае.

4. (R) < А»,в < /о,1рА.т-

В этом случае поглощение будет определяться той же формулой, что и (4.79), но без последнего слагаемого и плюс поглощение, обя­ занное рассеянию звука на частицах мелкодисперсной фазы; об этом говорит условие (R) < ХзВ. То есть при QD<^T < Jex имеем

у(со) = 7t2G2e^cor(l-5*)(l + Sft0co)				7t2G292Dco7^*(1+ <3 ii(o)		+
	648pV cx6			+	648р3а9с,бх
f r . < W	,2 + A .		^co"4			(4.80а)
3(R)	ъ *	1	V 'i/
При T < Qd, Jex
7C3G20oCor4( l- £*)(1 + 9l0co) , л3С,20?ошТ4£*(1 + 91,0)) .
Y(co) —	»—Z—7		л	I"	ч n ^	+
	810ft3p3a6c9				648p?a?cfJ
, Z,*cs(2 m 0)1/2						(4.806)
3<*>	+ 4 ’c >	i ) | -
			'.T 7

8*

227

Рис. 4.9. Зависимость коэф ф ициента затухания внешней звуковой волны от тем пературы (а ), концентрации (б), магнитного поля Я (в) и от частоты (г) в

структурах типа М + М

5. В последнем случае, а именно, когда (R) < /01рйт ^ ^зв процесс поглощения характеризуется суммой затуханий у0(со) из формулы (4.76) (без слагаемого, пропорционального ^*!) и у2(со):

45(gp* )2P 4Q8QQCJ О)2	W	2
У(<о) = Уо(ю) + У2(ю) = TC2G02(1- V x i - $ )4d - 2 а0)2йе21хеН V ^ex		J
' « ' 4		(4.81)
+st3*cs ( v i )

У

Поведение коэффициента у((0) для структур типа М + М иллюстрирует рис. 4.9.

Заканчивая главу 4, надо отметить, что все изложенные вычис­ ления относились, строго говоря, к так называемому нерезонансному затуханию звука, которое, как правило, и проявляет себя в магнитных веществах.

Обратим, внимание на некоторые специфические особенности по­ глощения звука в рассмотренных выше классах композитов. Из всех рисунков, наглядно демонстрирующих возможное поведение у(со), сле­ дует выделить лишь те, которые характеризуют зависимость от объем­ ной концентрации примесной фазы. В самом деле, если не равно нулю, то, помимо основного (так назовем его) механизма поглощения звука в фазе "О", проявляют себя и потери на границах мелкодис­

228

персной фазы, которые, кстати сказать, в сильной мере изменяют как качественно, так и количественно поведение коэффициента погло­ щения в целом. Кроме того, при Х-зв > <R) будет проявлять себя и рэлеевское затухание. Это все легко увидеть из сравнения между собой зависимостей у(со, = 0) => £*со2, у(со, 4* Ф0) => £*со1/2 и у2(со) => => ^ (О4, даже несмотря на малость (см. [4.27]).

Исследование процессов, связанных с распространением звуковой волны по композитам, но с несколько иной точки зрения, продемонстри­ ровано в работах [6. 106, 6. 107]).

ЛИТЕРАТУРА

4.1 Семинож енко В .П ., С оболев В Л ., Яценко А .А . Неравновесные сос­ тояния ферромагнетиков при нерезонансном возбуждении спиновых волн переменным магнитным полем // ЖЭТФ. 1979. Т. 77, № 12. С. 2324-2330.

4.2 Семинож енко В .П ., С оболев В Л . О влиянии интенсивного продоль­ ного звука на намагниченность ферромагнетиков // ФТТ. 1980. Т. 22, № 2.

С.610-611.

4.3.Seminozhenko V.P., Sobolev V.L. Magnon kinetic equations for ferTomagnets

parametrically excited by intense high frequency sound // Phys. Lett. A. 1981. Vol. 75, №4. P. 313-315.

4.4. Sem inozhenko V.P., Yatsenko A A . Kinetic equations for electrons and phonons in a strong constant electric field // Phys. Lett. A. 1981. Vol. 75, № 4. P. 267-

268.

4.5. Gladkov S.O. The kinetics of nuclear magnetically ordered systems // Phys. Rep. 1989. Vol. 182, № 4/5. P. 211-364.

4.6. Ван дер Х ю лст . Рассеяние звука в жидкостях и газах. М.: Мир, 1963.

231с.

4.7.Гуревич В Л . Кинетика фононных систем. М.: Наука, 1980. 400 с.

4.8. Л андау Л .Д., Л иф ш иц Е .М . Гидродинамика. Т. 6. М.: Наука, 1988. 730с.

4.9. А хиеэер А .И ., Баръяхт ар В .Г., П елет м инский С.В. Спиновые вол­ ны. М.: Наука, 1967. 368 с.

4.10. Landay L„ Rumer G. Uber Schallabsorption in festen KOrpem // Sow. Phys. 1937. Bd. 11, H. 1-13.

4.11. К аганов М .И ., Ц укерник В .М . К феноменологической теории ки­ нетических процессов в ферродиэлектриках // ЖЭТФ. 1959. Т. 35, № 2. С. 311-320.

4.12. А хи езер А .И ., Б аръяхт ар В .Г П елет м инский С .В. К теории релаксационных процессов в ферродиэлектриках при низких температурах //Там же. Т. 36, № 1. С. 216-223.

4.13. Каганов М .И ., Ч икваш вили Я .М . К теории поглощения звука в од­ ноосных ферромагнитных диэлектриках // ФТТ. 1961. Т. 3. С. 275-282.

4.14. Simons S. On the mutual interaction of parallel phonons // Proc. Phys. Soc. 1963. Vol. 82. P. 401^111.

4.15. Leggett A.J., Ter Haar D. Finite linewidths and "forbidden" three-phonon interactions // Phys. Rev. 1965. Vol. 139. P. A779-A784.

4.16. З ы р я н о в П .С., Талуц Г .Г К теории поглощения звука в твердых телах // ЖЭТФ. 1965. Т. 49. С. 1942-1948.

229

4.17.Гуржи Р.Н. О втором звуке в твердых телах // ФТТ. 1965. Т. 7,

№12. С. 3515-3521,

4.18.Гуревич Л.Э., Шкловский Б.И. Поглощение продольного звука вы­

сокой частоты в твердых телах при низких температурах // ФТТ. 1967. Т. 9.

С.526-531.

4.19.Гуревич Л.Э., Шкловский Б.И. Поглощение ультразвука в диэлект­

рических кристаллах с большими концентрациями примесей // ЖЭТФ. 1967.

Т.53. С. 1726-1731.

4.20.Зырянов П.С., Талуц Г.Г., Шавров В.Г. Влияние второго звука в

ферромагнетиках на затухание упругих волн // ЖЭТФ. 1968. Т. 55. С. 2231— 2238.

4.21.Platsker A., Morgenthaller F.R. Phonon-pumped nuclear spin waves in a flopped antiferromagnet // Phys. Rev. Lett. 1969. Vol. 22. P. 1051-1060.

4.22.Соболев BJI. К теории релаксационных процессов в анти­

ферромагнетиках // ФТТ. 1974. Т. 16. С. 1238-1243.

4.23.Лутовинов В.С. Затухание звука в низкотемпературных анти­ ферромагнетиках // ФТТ. 1978. Т. 20. С. 3294-3302.

4.24.Гладкое С.О. К теории поглощения звука в магнетиках // ЖЭТФ.

1981. Т. 80, № 6. С. 2475-2479.

4.25.Гладкое С.О. О рассеянии звука на ядрах // ФТТ. 1983. Т. 25, № II.

С.3502-3503.

4.26.Ландау ЛД., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Т. 5. М.: Наука,

1976. 583 с.

4.27. Гпадкое С.О. О поглощении звука в композитах // Труды IX Меж­ национального совещания. "Радиационная физика твердого тела" М.: НИИПМТ 1999. Т. 2. С. 1144-1147.