книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

частицы) позволяет предсказать ряд особенностей поглощения энергии внешних источников электромагнитных излучений. Ну, например, tg 8 таких структур имеет максимальное значение, определяемое концент­ рацией примесной фазы. Причем области локализации максимума погло­ щения соответствует вполне определенный диапазон длин волн. Коэф­ фициенты деполяризации N подобных структур начинают сильно зави­ сеть от концентрации примесной фазы (как мы видели, соответст­ вующая зависимость не слишком сильна, но тем не менее приводит к квадратичной связи N с £*, что на практике, безусловно, должно прини­ маться во внимание). И наконец, приведенные выше вычисления могут служить как бы "точкой отсчета" при изучении свойств любых других сложных гетерогенных и сильно неупорядоченных структур.

3.9. ТЕОРИЯ МАГНИТНОЙ ВОСПРИИМЧИВОСТИ НЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМ

Сравнительно недавно (см. работы [3.49], [3.50]) теоретически изу­ чалось поведение газа магнонов во внешнем переменном высокочастот­ ном магнитном поле в условиях продольной накачки. Метод, которым пользовались авторы при выводе соответствующих кинетических урав­ нений, хорошо известен как метод матрицы плотности. В другой работе [3.18] был дан альтернативный подход для вывода кинетического урав­ нения в условиях неравновесности с помощью метода диаграммной тех­ ники и теории Келдыша [3.25]. Хотя оба подхода, естественно, и при­ вели в результате к одному и тому же кинетическому уравнению, в котором было точно учтено воздействие переменного магнитного поля на спиновую подсистему, тем не менее подход в духе диаграммной тех­ ники нам представляется более информативным и дающим более широкие возможности для выяснения особенностей поведения различ­ ных подсистем в условиях внешнего воздействия. В самом деле, с по­ мощью методов диаграммной техники мы можем вычислять любые поправки к исследуемой наблюдаемой величине Q.

В настоящем разделе описывается метод вычисления обобщенной восприимчивости вещества в условиях отсутствия термодинамического равновесия. Иначе говоря, считается, что характерное время взаимо­ действия между подсистемами Ti2 (T2i) значительно меньше, чем харак­ терные времена установления внутреннего теплового равновесного состояния внутри каждой из них, которые мы обозначим как тп и т22. Математически данное условие может быть представлено в виде сле­ дующего неравенства:

'^ 2 2 ^ ^12(^21)•

(3.161)

Будем предполагать, что в нашем распоряжении имеются только две подсистемы взаимодействующих бозонов. Как будет видно далее, обоб­ щение полученных результатов на случай произвольного числа взаимо­ действующих подсистем осуществляется весьма просто.

Частота внешнего переменного поля О) предполагается большой по

сравнению с обратными временами Т„ИТ22(© > ТП\Т22).

181

Прежде чем переходить к математическому формализму, следует сказать несколько слов о физической стороне задачи. Общий принцип вычисления любого времени релаксации или какой-либо иной наблю­ даемой величины заключается, как известно, в термодинамическом усреднении по равновесной (или квазиравновесной) матрице плотности исследуемой подсистемы. Если времена наблюдения 81 больше времени установления равновесной температуры Tq, где q - индекс подсистемы, то можно говорить об усреднении по равновесной матрице плотности с вполне определенной шириной распределения (е) = Tq. Пусть, например, имеются две подсистемы - спиновая и фононная. В этом случае если время наблюдения 8f > xs, хрН, где xs - время установления квазирав­ новесной спиновой температуры Ts, a xph - время установления квази­ равновесной фононной температуры Tph благодаря фонон-фононному взаимодействию, то в соответствии с уравнениями Провоторова связь между спиновой и фононной подсистемами приводит к вполне определенному соотношению для времени продольной (поперечной) релаксации спиновой подсистемы. Это время Т\ определяет время подстройки спиновой температуры Ts к температуре решетки, которая обычно считается термостатом. Такой принцип "работает" в подав­ ляющем большинстве случаев при температурах порядка или выше гелиевых. Ситуация, однако, становится нетривиальной, когда мы опус­ каемся по температурной шкале в область сверхнизких температур, значительно более низких, чем гелиевые. В этом случае при вычис­ лении какой-либо наблюдаемой величины нельзя вводить в рассмот­ рение равновесную (квазиравновесную) матрицу плотности в силу нарушения необходимого для реализации этой возможности условия на время наблюдения. В самом деле, как показывают оценки [3.62], [3.63], времена установления квазиравновесных температур могут быть боль­ ше, чем время наблюдения (8/ < Тц, т22)- И кроме того, если при­ вязаться к рассмотренному выше примеру, времена установления спи­ новой и фононной температур будут больше, чем Тх. Это означает нарушение иерархического принципа и не позволяет воспользоваться уравнениями теории в духе Провоторова. В таком случае следует искать иной подход, к изложению которого мы и приступаем, опираясь в основном на результаты работы [3.66].

В Ы Ч И С Л ЕН И Е О БО БЩ Е Н Н О Й В О С П РИ И М ЧИ В О СТИ В УСЛОВИЯХ ОТСУТСТВИЯ

ТЕРМ О Д И Н А М И ЧЕСК О ГО РА ВН О В ЕС И Я М ЕЖ ДУ ПОДСИСТЕМ АМ И

Итак, пусть, как уже говорилось выше, в нашем распоряжении имеются два бозевских газа. Предположим, что в начальный момент времени они изолированы друг от друга и выведены из положения равновесия (ни у того, ни у другого газа нет своей температуры). Пусть далее эти два изолированных газа мгновенно соединяются между собой, причем время их перемешивания значительно меньше, чем время уста­

182

новления равновесия в каждом отдельном газе. Возникает вопрос: как для такой системы вычислить ее реакцию на внешнее воздействие или, иными словами, какова функциональная зависимость восприимчивости такой системы от частоты и амплитуды внешнего поля?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, введем взаимодейст­ вие между обеими подсистемами в виде следующего гамильто­ ниана:

#12	=	Х V l l 2 W fll+*ifll*2 (a 2*3 + a 2 -*3 ) +
		{*)
+ X	V	221 { k ) a 2fej a l k 2 ( « 1*3 + а\-кг ) + ^ i n n	( 3 .1 6 2 )
{*)

где fl]+(a,) - операторы рождения (уничтожения) бозонов первого сорта,

а%(а2) - то же второго, у 112{*}, \|/22i {^} - амплитуды трехчастичных

процессов рассеяния квазичастиц, гамильтониан описывает всевоз­ можные четырехчастичные взаимодействия.

Следует заметить, что одна из подсистем может быть фононной, а другая - магнонной. Либо обе подсистемы магнонные, если речь идет об антиферромагнетиках. Определенности ради будем предполагать, что обе подсистемы магнитные и речь идет только об антиферромагнитных модах.

Чтобы продемонстрировать, как "работает" предлагаемый подход, рассмотрим решение задачи только для первого слагаемого в гамиль­ тониане (3.162). Учет других типов взаимодействий приведет к наличию в правой части уравнения (3.164) (см. ниже) дополнительных интегралов столкновений, которые существенно завуалируют изложение. Мы огра­ ничимся поэтому только одним взаимодействием, чтобы продемонст­ рировать лишь идею подхода и наглядность. Кроме того, всегда можно выделить такую область параметров, неявно фигурирующих в выраже­ ниях для трехчастичного и четырехчастичного гамильтонианов, в кото­ рой по иерархическому признаку будет преобладать лишь трехчастич­ ный процесс рассеяния.

Итак, пусть

V i i 2 W * V { * } = G *“ *J*3T,

(3 .1 6 3 )

здесь G - константа взаимодействия, а показатели степени а, (3, у 0. Подчеркнем, что общность дальнейших рассуждений не пострадает, несмотря на конкретизацию гамильтониана.

Для взаимодействия (3.162) система кинетических уравнений на функции распределения

/ и ( 0	“	( а \ка 1к)*
/ г * ( 0	=	( а 2ка 2к)>

где усреднение ведется по неравновесной матрице плотности и по не-

183

основному состоянию, может быть записана таким образом:

dfikfdt = 2тс!	\у{к}\2 {(1+ /,*)/,*1(1+ / 2*2) -
{к}
- /i*0 + /щ )/2*2 }А(к - к, + к2)		6(elit - eU) + £2jt2),
<		(3.164)
df2tldt =2яХ	lV{*)l2 {(l + /2t)(l + /u )/u -
(k)		8(E2* + e1Jfcj -e,*2).
- A J i ^ + Zi^MACk + k j - I ^ )

Чтобы решить полученную систему уравнений, надо вспомнить, что кинетическое уравнение в отсутствие столкновений допускает решение в виде:

/« ” (()=> 8(4- * 0(()),

где Ь(х) - дельта-функция, k0(t) - "траектория" магнона.

Это означает, что если ввести в рассмотрение две пробные функ­ ции, которые можно определить, скажем, "привязавшись" к конкрет­ ному эксперименту <Pi(fc) и <р2{к), то искомое решение можно искать в виде

(3.165а)

(3.1656)

Что касается "привязки" к конкретному эксперименту, то эти слова означают буквально следующее. Поскольку функции ф! и ф2 пробные, то, придав им, скажем, лоренцевскую форму, мы можем подобрать основные параметры этого распределения (высоту и ширину) таким образом, чтобы можно было описать соответствующий эксперимент. Это, вообще говоря, некоторая подгонка.

Подставив выражения (3.165а) и (3.1656), скажем, в верхнее урав­ нение системы (3.164) с учетом явного вида амплитуды рассеяния (3.162), получаем

df\ IАЩ\к - G2k2^Y*k\Vk\a{f\ty\kx+ /^ФиФи, + f\fi№\kx- Ф1*]ф1л2)

А(к-ку+ к2)Ь(г1к- £Uj + £2*2 ).

(3.166)

Аналогично находится и второе уравнение дляf2(t).

После интегрирования обеих частей полученных уравнений по к найдем следующую нелинейную систему связанных дифференциальных уравнений:

(3.167а)

(3.1676)

Надо заметить, что константы а/иб], фигурирующие в (3.167), легко находятся из явного вида уравнения (3.166) по известным зависи­ мостям пробных функций ф1>2* и законов дисперсий £12*.

184

Как следует из системы уравнений (3.167а) и (3.1676),
/г (0 = a\f\(!)l + С2,	(3.168)

где С2 -	некоторая постоянная.
Подставляя полученное соотношение в уравнение (3.167а), прихо­
дим к простейшему уравнению Бернулли:
4f,/ *		= - / , /т ,2 + ./?/»,2,		(3.169)
где
1/	_	_ С2(а5 - а4) ~ а2
	х 12 “		»	(3.170)

1 lt n - а ъ!ах+(аА- а 5)1Ьх.

	Решение уравнения (3.169) есть
	/i(0 =	/,(0)	(3.171)
		exp{r/Ti2 }- (xi2 /h i )/i (°)[1 - exp{f/т12}]’

где

/,(0) = /,(Г)|,=о-

Теперь решим эту же задачу (т.е. выясним зависимость функции распределения от времени), но в случае, когда на систему действует переменное внешнее поле. Как было отмечено выше, рассматриваем антиферромагнитный кристалл.

Известно, что при воздействии на магноны внешнего переменного магнитного поля h{t) их дисперсия претерпевает изменение и начинает зависеть от времени. Спектр же в этом случае деформируется, становясь равным

е1,2*(0 = е1,2к + ^1,2*^(0-

(3.172)

Следовательно, уравнение (3.169) модифицируется и приобретает вид

axdfxldt + BJxdhldt = - f x/т 12 + /,2/г!2,	(3.173)
где
А = \ЛъкВхкду\к!^еи-	(3.174)

Аналогичное уравнение получается и для / 2(0- Подчеркнем, что в уравнении (3.173) не накладывается никаких ограничений на частоту и амплитуду внешнего поля. Это связано с тем, что речь идет о временах малых по сравнению с временами установления квазиравновесного распределения в обеих бозе-системах.

Сделав в уравнении (3.173) подстановку

? = ! // „

(3.175)

185

найдем
ахду/ d t - yBxdh/ dt = у / т12 - 1 // !2.	(3.176)

Уравнение (3.176) легко решается методом вариации постоянных, и в результате

t

f x(t) = exp{-Bxh(t)/ax- t l a xz x2}[Cx- \exp{-Bxh(t)/ах-

о
- t la xzx2 }dt/ dxtxl ]_I	(3.177)
Упростим выкладки, пусть tx2 > zx2, тогда из (3.177) следует, что
f\(0 = f\(0)exp{-Bxh(t)/ах- t / a xт12}.	(3.178)
Для выяснения зависимости обобщенной восприимчивости от ча­
стоты и амплитуды поля введем следующее определение:
8A(©) = S j/,* (0 e to'A,	(3.179)
к О

где 5Д(со) - динамическая характеристика системы (например, намагни­ ченность). С учетом формул (3.178) и (3.165) имеем

6Л((0) = /i(0)Xq>i* j exp{-Bxh(t) / ах- t l z x2+ im}dt.		(3.180)
k	о
Определим восприимчивость как производную
х(ш) = д5Л(со)/дЛо,		(3.181)

где Л0 - амплитуда поля. Пусть, например, зависимость поля h от вре­ мени периодическая: h(t) = И^еш . Разложим экспоненту выражения (3.180), содержащую осциллирующее по частоте поля слагаемое, по функциям Бесселя:

exp l-B .V ™ /<■,) = l l e ' m'""'^-nl2)J„(iBlh0 /a l) J M h <1/a l).

тогда динамическая восприимчивость системы "1" есть

*!(©) =

-	N)e'‘m n j "mh<' /a > )J M h « /0 |)	(3.182)
nm	1/T|2 -/©(n + m+1)

В пределе, когда амплитуда Л0 стремится к нулю, из выражения (3.182) находим совсем простое соотношение:

2 В , / , ( 0 ) У	(3.183)
Х ,((0 )
N[1 / Т|2 —2/(0]
где V - объем системы, а N -	некоторое большое число (например,

186

число атомов в образце). Обобщение формулы (3.183) (соответственно и (3.182)) на случай произвольного количества V подсистем очевидно. В самом деле, для восприимчивости к-й подсистемы имеем

**(<о) = 2( V / W	) S - ^ % - .	(3.184)
<=1	1 / TW - 2 ICO

Суммирование в формуле (3.184) ведется по всем /, не равным к.

Итак, подводя итог, следует заметить, что изложенное в данном разделе описание восприимчивости систем адекватно отвечает на вопрос о вычислении х при следующих условиях.

Если любые неравновесные физические системы находятся как угодно далеко от положения равновесия, то всегда можно ввести в рас­ смотрение время релаксации т*„ описывающее взаимодействие i'-й под­ системы с к-й, которое при больших частотах внешнего поля опре­ деляет искомое поглощение. Естественно, что данный метод расчета позволяет обходиться без введения температуры и носит, таким обра­ зом, довольно общий характер, давая возможность выяснять особен­ ности поглощения энергии высокочастотного внешнего поля в условиях отсутствия термодинамического равновесия.

Что касается самих времен xik, то на приведенном выше примере (см. взаимодействие (3.162)) их можно легко вычислить, зная конкрет­ ные гамильтонианы взаимодействий. Подчеркнем, что при описанном выше вычислении времен т температура в ответ входить не будет.

И еще. Вид пробных функций ф] 2* должен быть "согласован" с экспериментом. Наиболее оптимальные, на наш взгляд, условия экспе­ римента, позволяющие оценить восприимчивость х*(©), проявляются в области сверхнизких температур, при которых довольно часто благо­ даря медленности прихода подсистем в термодинамическое равновесие могут реализовываться условия 1ц, т22 ^ т12, т2].

Необходимо также заметить, что то рассмотрение, которое было проведено выше, будет справедливо и тогда, когда речь заходит об изучении и временного установления равновесного состояния. Поясним это.

Как известно, в т-приближении функция распределения стремится к равновесной по закону

т= feq(T) + [/(0) - f eq(T))exp{-t / т),

где Т - температура, а время релаксации т зависит от температуры, т.е. т = т(Г). Когда речь идет о временах из диапазона 5г < т(Т), то появляется еще одно время релаксации, о котором разговор шел в тексте. Это время не зависит от температуры! В самом деле, в рас­ смотренной задаче соответствующее время было т12, характеризующее время установления некоторой средней энергии по обеим подсистемам бозонов. Поэтому если бы мы стали исследовать противоположный случай, а именно когда времена удовлетворяют неравенству т]2 > тп , т22, то, как легко понять, вместо времени т12 в формуле (3.183) фигу­

187

рировало бы время Xjj, не зависящее от температуры и значительно меньшее, чем время т(Г)!! Это означает, что должны быть по крайней мере два временных диапазона:

1)	5г < т, j < т(Г)	(3.185)
2)	тп <8f <т(Г).	(3.186)

Поэтому когда говорится о т-приближении, то подразумевается, что речь идет о диапазоне (3.186). Если же разговор заходит об иссле­ довании свойств системы в мелкомасштабных временных интервалах (в этом случае имеется в виду неравенство (3.185)) и в которых "дей­ ствует" предложенная выше методика.

В случае воздействия на магнитную среду внешнего переменного высокочастотного магнитного поля hz(t) = Л0е,ам с частотой ш, значи­ тельно превышающей среднее обратное время релаксации внутри маг-

нонной подсистемы (1/т*3,4)), для выяснения зависимости магнитной восприимчивости от частоты и амплитуды поля h0 нельзя использовать обычное кинетическое уравнение Больцмана, а следует "работать" с его модифицированной формой, в которой учитывается возможность нелинейной раскачки энергии магнона. Этому вопросу посвящено При­ ложение 5, где дан последовательный вывод кинетического уравнения в условиях высокочастотной модуляции.

ЛИТЕРАТУРА

3.1. Г ладков С.О. К теории магнитной восприимчивости композитов // ФТТ. 1997. Т. 39, № 6. С. 1622-1627.

3.2.Тамм И .Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966. 624 с.

3.3.М ак-К оннел А.Дж . Введение в тензорный анализ с приложениями к

геометрии, механике и физике. М.: Физматгиз, 1963. 411 с.

3.4. А хиеэер А .И ., Барьяхт ар А .Г ., П елет м инский С.В. Спиновые вол­ ны. М.: Наука, 1967. 368 с.

3.5.Гладкое С.О. Физика пористых структур. М.: Наука, 1997. 175 с.

3.6.Ф ренкель Я.И Кинетическая теория жидкостей. М.; Л.: Изд-во АН

СССР, 1945. 215 с.

3.7.Boucher С. Theory of electric polarisation. Amsterdam, 1952.445 p.

3.8.Ф релих Г.Н . Теория диэлектриков. M.: Изд-во иностр. лит., 1960.

342 с.

3.9. Х и п п ель А . Диэлектрики и волны. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

562с.

3.10.Cole R.H. Theories of dielectric polarisation and relaxation // Progress in

dielectric. L., 1961. Vol. 3. P. 112-176.

3.11.Браун В. Диэлектрики. M.: Изд-во иностр. лит., 1961. 441 с.

3.12.Daniel V.V. Dielectric relaxation. L.; N.Y.: Acad, press, 1967. 253 p.

3.13.O ’Dwyer JJ„ Harting E. Theories of dielectric loss // Progress in dielectric.

L., 1967. Vol. 7. P. 229-301.

3.14. Губкин H .A . Физика диэлектриков. T. 1. M.: Высш. шк., 1971. 341 с.

188

3.15. Г уб кин Н .А . Релаксационная поляризация диэлектриков // Изв. вузов. Физика. 1979. № 1. С. 56-73.

3.16. Ш кловский БЛ., Э ф рос А .И . Теория перколяции. М.: Наука, 1982. 238 с.

3.17. В и н о гр а до в А .П ., П анина Л .В ., С ары чев А .К . Метод расчета диэлектрической и магнитной проницаемостей перколяционных систем // ДАН СССР. 1989. Т. 306, № 4. С. 847-850.

3.18. G ladkov S.O . Kinetics of nuclear ordered systems // Phys. Rep. 1989. Vol. 182, N 4/5. P. 211-365.

3.19. Hubbard J. Electron correlations in narrow eneray bands // Proc. Roy. Soc. London. A. 1963. Vol. 276. P. 238-257.

3.20. Hubbard J. Electron correlations in narrow eneray bands. 2. The degenerate energy // Ibid. 1964. Vol. 277. P. 237-259.

3.21. H ubbard J. Electron correlations in narrow energy bands. 3. An imoroved solution // Ibid. Vol. 281. P. 401^119.

3.22. И зю м ов Ю .А., С крябин Ю.Н. Статистическая механика магнито­ упорядоченных систем. М.: Наука, 1987. 264 с.

3.23. Л андау Л .Д ., Л иф ш иц Е .М . Квантовая механика. Т. 3. М.: Наука, 1974. 752 с.

3.24. А б р и к о с о в А .А ., Г орьков Л .П ., Д зя ло ш и н с к и й И .Е . Методы квантовой теории поля в статистической физике. М.: Физматгиз, 1962. 444 с.

3.25. К елды ш Л .В. Диаграммная техника для неравновесных процессов // ЖЭТФ. 1964. Т. 47, № 10. С. 1515-1527.

3.26. Д ульн ев Г.Н ., З а р и ч н як Ю.П. Теплопроводность смесей и компо­ зиционных материалов. Л., 1974. 223 с.

3.27. G raglia R.D ., U slenghi P.L.E. On electromagnetic radiation on inhomogenious substances // IEEE Trans. 1984. Vol. AP-32, N 8. P. 45-53.

3.28. Bergm ann I.B. Polymers in external fields // Phys. Polym. 1995. Vol. 45.

P.76-83.

3.29.Lange J., Bassler H. Temperature dependence of the hopping mobility in

amorphous // Phys. status, solidi (b). 1982. Vol. 114. P. 561-569.

3.30. Bergmann G. Physical interpretation of weak localization: A time-of-flight experiment with conduction electrons // Phys. Rev. B. 1983. Vol. 28, N 6. P. 29142920.

3.31. B utcher R .N . Linear and nonlinear electronic transport in solids / Ed. J.T. Devreese and V.E. van Doren. N.Y.: Plenum press, 1976. 341 p.

3.32. Poliak M. On dispersive transport by hopping and by trapping // Philos. Mag. 1977. Vol. 36, N 5. P. 1157-1169.

3.33. З в я ги н И .П . Частотная зависимость прыжковой проводимости // Вести. МГУ. Сер. 3. Физика, астрономия. 1978. Т. 19, № 3. С. 82-88.

3.34. Poliak М., К notek M.L. Correlation effects in hopping transport // NonCrystalline Solids. 1979. Vol. 32. P. 141-159.

3.35. Poliak M. Interaction effects on low temperature hopping // Ibid. 1980. Vol. 35/36. P. 83-88.

3.36. M ovaghar B., Pohlm ann B., Wiirtz D. The Hall mobility in hopping conduction HI. Phys. C: Solid State Phys. 1981. Vol. 14. P. 5127-5137.

3.37. Ortuno M. Variable-range hopping including correlation between energies and positions // Ibid. 1981. Vol. 14, Letter to the Editor. P. L421-L425.

3.38. Sum merfield S. Effective medium theory of A.C. hopping conductivity for random-bond lattice models // Solid State Commun. 1981. Vol. 39. P. 401-402.

189

3.39. H am il W.H. Temperature dependence of dispersive hopping transport and diffusion in disordered solids // J. Phys. and Chem. Solids. 1982. Vol. 43, N 6.

P.559-562.

3.40.Chekunaev N .I., Berlin Yu.A., Fleurov V.N. Electron diffusion in bond-

disordered media //J. Phys. C: Solid State Phys. 1982. Vol. 15. P. 1219-1232.

3.41. Nagatani T. A theory of the effective condictivity in site-disordered resistoe networks // Ibid. P. 5987-5997.

3.42. Dersch U., Pohlmann B., Thomas P. The rate equation for hopping transport of interacting electrons//Ibid. 1983. Vol. 16. P. 3725-3737.

3.43.G osar P. Many-electron hopping // Phys. status solidi (b). 1983. Vol. 118.

P.853-860.

3.44.Griinewald M., Pohlmann B., Wiirtz D., Movaghar B. Hopping transport of

correlated electrons //J. Phys. C: Solid State Phys. 1983. Vol. 16. P. 3739-3754. 3.45. Odagaki T., Lax M„ Puri A. Hopping conduction in the d-dimensional

lattice bond-percolation problem // Phys. Rev. B. 1983. Vol. 28, N 5. P. 27552765.

3.46. Chekunaev N .I., Fleurov V.N. Hopping dispersive transport in site-disor­ dered systems // J. Phys. C: Solide State Phys. 1984. Vol. 17. P. 2917-2931.

3.47. Arkhipov V.I., Kolesnikov V.A., Rudenko A.I. Dispersive transport of charge carriers in polycrystalline pentacene layers // J. Phys. D: Appl. Phys. 1984. Vol. 17.

P.1241-1254.

3.48.Л иф илиц И .М ., А зб ель М .Я ., К аганов М .И . Электронная теория

металлов. М.: Наука, 1971. 415 с.

3.49. Семинож енко В .П ., С оболев В Л ., Я ценко А .А . Неравновесные состояния ферромагнетиков при нерезонансном возбуждении спиновых волн переменным магнитным полем // ЖЭТФ. 1979. Т. 77, № 12. С. 23242330.

3.50. Семинож енко В .П ., Соболев В Л . О влиянии интенсивного продоль­ ного звука на намагниченность ферромагнетиков // ФТТ. 1980. Т. 22, N 2.

С.610-611.

3.51.H amaker Н.С. The London-Van Der Waals attraction between spherical

particles // Physica. 1937. Vol. 4. P. 1058-1072.

3.52. Бреслер M .C., П арфенов P .B., Ш алыт C.C. Квантовая осцилляция термо-эдс n-InSb // ФТТ. 1966. Т. 8. С. 1776-1786.

3.53. Piccard S.M., Derby В. The deformation of particle reinforced metal matrix composites during temperature cycling // Acta met. mater. 1990. Vol. 38, N 12.

P.239-243.

3.54.Takei T., Hatta H., Taya M. Thermal expansion behavior of particulate-

filled composites phase (hybridcomposites) // Mater. Sci. Eng. A. 1991. Vol. 131, N 1.

P.133-143, 145-152.

3.55.Burzo E., (Jrsu M. Magnetic properties of (CdjrYi_jr)C04B compounds //

1987. Vol. 70, N 1/3. P. 345-346.

3.56. Л андау Л Д ., Л иф ш иц E.M . Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

3.57. Смирнов В .И . Курс высшей математики. Т. 1. М.: Наука, 1967. 3.58. Г ла д ко в С .О . К теории осцилляционной зависимости проводи­

мости двухкомпонентных диэлектрических композитов при комнатных температурах // ЖТФ. 1999. Т. 69, № 3. С. 31-35.

3.59. Л иф ш иц И .М ., А зб ель М .Я ., К аганов М .И . Электронная теория металлов. М.: Наука, 1971. 420 с.

190