книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства
.pdfизводной, дает нам искомую величину затухания:
— = 2nb~lN0 £1 V(k,ki,k 2)l2 {(l + <«i) + <n2»A(k1+
Tk *i-*2
+k2 - k)6[£(*,) + e(k2) - £(*)] + « л ,) - (n2»A(kj -
- k 2 + k)6[£(/:1) - e(k2) + E(fc)], |
(2.46) |
где N0 - полное количество атомов в основной матрице (N0 есть ре зультат взятия вариационной производной).
Заметим, что здесь и далее, там, где это не приведет к путанице, введено более сокращенное обозначение функции распределения, а именно n(ki) обозначено как щ.
Чтобы вычислить 1/Xjt, следует проанализировать законы сохра нения энергии и импульса, которые фигурируют в аргументах А- и 6- функций. Для первого процесса взаимодействия имеем два уравнения:
к, + к 2 - к = О,
(2.46а)
kxcs + k2cs -ки = 0,
где и - пока что чисто абстрактная скорость. Это нам необходимо для вывода общего выражения для времени релаксации, когда в процессе взаимодействия участвуют не только одноименные (отнесенные к одной фазе) квазичастицы, но и разноименные и когда речь идет о взаи модействии между фонанами обеих фаз на границе раздела.
Коль скоро речь зашла о границе раздела фаз, то, наверное, стоит сказать несколько слов по поводу нашей модели, касающейся осо бенностей процессов рассеяния квазичастиц на межфазной границе. Основное предположение заключается в том, что граница раздела счи тается абсолютно резкой. То есть переходный слой отсутствует и в месте, где кончается одна фаза, сразу же начинается другая. При таком подходе можно рассматривать процесс рассеяния квазичастиц из разных фаз и их взаимодействие друг с другом, введя некоторую константу связи GQ\. При этом следует помнить лишь правило: при ин тегрировании по фазовому пространству квазичастиц из фазы "О" счи тать, что их предельный волновой вектор имеет верхний предел ин тегрирования, равный п/а0, а для фазы "1" - п/а}.
После этого небольшого отступления продолжим прерванный анализ процессов сохранения энергии и импульса.
В уравнении, описывающем закон сохранения энергии, учтено, что акустические фононы характеризуются линейным по волновому век тору к спектром (е(к) = hcjc). Подстановка к2 = к - к] из первого урав нения во второе приводит, в результате, с учетом свойств 5-функции для процесса слияния (распада) двух фононов в один инородный, к
следующему соотношению: |
|
6[E(fc]) + г(к2) - huk] = |
+ к2 - vk) = |
= Й_1с ;,5 [1 к -к 1l-v* + Jfc,]= |
|
61
( |
^ (l- y 2) + 2fciV> |
(v*-*i) |
|
C O S 0 - |
(2.466) |
kklhcs v |
2*, |
где v = u/cs, 0 есть угол между фиксированным вектором к и "виртуаль ным" вектором к\. Из условия, что -1 cos 0 =£ 1, следует ограничение на вектор к\\к\ 5= 0,5£(1 + v). При v = 1, как следует из (2.466), вектор к\ - виртуальный.
Вполне аналогичное выражение получается и при анализе законов сохранения энергии и импульса для процесса распада фонона из одной фазы на два фонона из другой фазы. Отличие от выражения (2.46а) будет заключаться лишь в знаках между Ли Л2: *с1 - *(2 _ *с = 0, икх—cs(k2 + к) = 0. При этом анализ законов сохранения приводит к двухстороннему ограничению области интегрирования по виртуальному волновому вектору к\. Действительно, имеем
2 к |
, |
2к |
при и > С.у |
(2.46в) |
|
------к, |
|
------ |
|||
V — 1 |
1 |
V + 1 |
у |
s |
|
O^kj |
|
2к |
|
|
|
------ при и < с.. |
|
|
|||
|
V + 1 |
* |
|
|
Усреднение по векторам поляризации е, используя явное выраже- 2
ние (2.43), дает нам ((ек^2) = к 3. Такая процедура позволяет перепи
сать формулу (2.46) при v = 1 (когда речь идет о рассеянии фононов в пределах одной и той же фазы) с введением двух нижних индексов (пояснение этого см. чуть ниже) следующим образом:
1 |
GltfbhVbNl |
J(* - *,)2*,2п+ <п е0(*,))>+ |
|
хоо* |
432TtpVc? |
0 |
|
|
|
к |
)2*12[<п е0(Л|))>- |
+<п(е0(*)-е0(*,))>]Л1+ J(fc + |
|||
|
|
о |
|
- (п(г0(к) + е0(А:,)))]dkx}, |
(2.47а) |
||
где к* = п/а |
(а3 = (V0 + V,)/(tf0 + Nx)). |
|
Здесь было предварительно использовано правило перехода от суммирования к интегрированию, согласно которому надо писать, что
d3k |
- объем основной матрицы композита. |
Е(...) = VQJ(—)----- f . гДе |
|
(2к) |
|
Важно подчеркнуть, что, когда мы писали гамильтониан Я(3), волновая функция фононов раскладывалась по плоским волнам по всему объему композита, в результате чего в формуле (2.43) стоит полный объем сис темы V. При интегрировании следует учитывать лишь реальный, зани маемый только основной матрицей объем У0. Аналогичное выражение получится и для фазы "1", но с заменой индекса "0" на "1". Дейст-
62
вительно, для v = 1
О |
|
- <м(е, (Л:)-f- е, (А:,))>^,}. |
(2.476) |
где к* = к /а {. |
|
Если ввести объемную концентрацию |
и концентрацию ^ (см. |
главу 1, раздел 1.1), то соотношения (2.47а, б) следует записать таким образом:
1 |
_ G02e2Dfi(i-5 * x i-5 )2 |
(2.48а) |
Too* |
[У,(Ю)(*) + 4 Ю)(*)], |
|
432яр3а Ч 4 |
|
|
|
|
(2.486) |
Заметим, что в выражениях (2.46) и (2.48а) константа стрикции G (см. выражение (2.43)) обозначена как Go, поскольку она относится к основной матрице. Подчеркнем, что плотность р и скорость звука cs есть функции от объемной концентрации 4* (см. разделы 1.1 и 1.2).
Интегралы Ji и J2определены формулами
о
о
о
о
Для температур Т > 0D эти интегралы легко вычисляются и в результате найдем
(2.496)
и
(2.49в)
63
Поэтому соответствующие времена релаксации будут такими:
1 |
G02e2Dr ( i - V |
) ( i - ^ ) ^ „ , . (7С/а)2(ЗЛ + 2я/а)}, |
(2.49г) |
хоо* |
2592тc p V Cj5 |
|
|
1 |
С|2е?рта |
{*э + (я /а ,)2(3* + 2 я /в |)). |
(2.49д) |
хп* |
2592лрfofcf, |
|
|
Прежде чем двинемся дальше, введем более удобную и более компактную запись времен релаксации в виде некоторой двухрядной
матрицы, а именно |
|
||
|
.-1 |
„-1 |
|
Тор = |
Loo* |
‘•ой |
(2.50) |
.-1 |
,-i |
||
|
40* |
41* |
|
|
|
, |
- i - i |
где нижние индексы характеризуют фазы, времена т0о* и х п* даются
соответственно формулами (2.47а) и (2.476).
Что касается времен т01* и т10*, то, прежде чем перейти к их вы числению, выберем гамильтонианы взаимодействия между фононами обеих фаз в таком виде:
и® = EVon(^з*к,. к2)(4|<1>+ - i i 1, W * -*-2)(М0)* -*-? )+
+ ZVg,>1{k3,k 2,k 1K*i<l,+ - b ' f K b ^ - b ' V ) . (2.51)
Здесь операторы b с верхним индексом "0" или "1" относятся, как уже понятно из предыдущего текста, к основной и примесной фазам соот ветственно. Схематически каждому типу рассеяния можно привести в соответствие графическое изображение данных процессов, что и иллюстрирует рис. 2.5. Амплитуды рассеяния есть
ft3/2(eiki)(e2k2)(e3k3)
Yon {^1»^2* ^3} “ ^Ol^OlD
8PoPf‘W (© o*1“ i*2“ i*3)1/2
Yooi{ki,k2,k 3} - |
Й3/2(е1к1)(е2к2)(е3к3) |
|
iG0lQ0W |
(2.52) |
|
|
BPoPi^оv l(^o*! |
®i*3 )*'2 |
Фигурирующий тут энергетический параметр 0O1D есть некоторая средняя относительно фаз "0" и "1" температура Дебая. Ее численная величина, признаемся, неизвестна, но для предварительной оценки времен т можно воспользоваться ее значением примерно из того же диапазона, что и обычная температура Дебая, т.е. где-то от 100 до
400К.
Чтобы вычислить времена TQ I * и т 10*, запишем с помощью гамиль
тониана (2.51) всевозможные интегралы столкновений для разно именных (отнесенных к разным фазам) фононов. Согласно намеченному
64
/ |
K M |
к |
|
bOkb\kj>\k2 |
|
^Oik^OJti^lb |
|
b[)kh\kfiok2 |
|
Ь\кЬ\к^щ |
|
blkbiktbok2 |
|
h\kb\kfiok2
b\kbok\bok2
bokbokfiok2
Puc. 2.5. Всевозможные графики рассеяния, описывающие взаимодействие "неодноименных" (отнесенных к разным фазам) фононов
выше рецепту интеграл столкновений для фононов основной матрицы есть
L{n0k} = 2nh~2 XI V on(k,ki,k2)l2 {[О + ЛщЭО + л ^ ) ^ - ki,k2
-п 0кпщ (1 + п,*2 )]5[е0(А:)+ е,(Л,) - Ej(к2)]Д(к + к, - к2) +
+ [(1 + п 0 к ) п Щ п 1к2 ~ |
” о * 0 + п \кх ) 0 |
+ п \кг ) № о ( * ) ~ Е1 (*1) “ |
- e ^ ^ ^ A C k - k j - к |
2)} + 2 п й -1 |
X I'К осм (к .к2, к , ) I2 {[(1 + Ло*)х |
|
ki.k2 |
3. Гладков С.О. |
65 |
х(1 + п щ )п 0к2 - покп щ(1 + п 0к2 )5[е0(*) + е,(кх) - |
|
|
- £Q(^2)]^(^ ■*" ^1 “ 1^2)“* |
)Л1Л|w0*2 ~ П0к (1 ■*" п \кх)0 **" "0&2 ^ |
|
X 8[е0(к ) - е, (кх)- е 0 (к 2)]Д(к - к, - к2)}. |
(2.53а) |
А интеграл столкновений для фононов примесной фазы будет
L {n lk } = 2 n h 1 £1 Уоп0*2»k* 1*1 )l2 H(l + Wi*)(l + Wi*, )п ок2 ” k,,k2
~ п \кп \кх(1 + «0*2 )№ i W +£1 |
)- е о (к2)]д(к + к, - к2)+ |
|||
+[(1 + п Хк)п щ п0к2 - |
п Хк(1 + п щ |
)(1 + tiQk2 )]б[е, (к ) - |
е,(к х)- |
|
- е0(*2)]д(к - к, - к2)}+ [(1 + п хк)n lkl (1 + п0к2)- |
|
|||
- п Хк(1 + п щ )п 0к2]5[El(к ) - е х(кх)+ е0(к 2)]Д(к - к, + к2)}+ |
||||
+2nh 1 X I 'KoOl(k l»k 2> к ) I2 { [(l + |
n |Jt)(l + w0Jti )n 0Jfc2 — |
|||
к,.к2 |
|
|
|
|
- «1*«о*, О + no*2 ) № |
i ( к ) + £ 0(* i) - |
Ео (к 2)1д (к + к , - к 2) + |
||
+ [(1 + « и )«o*i«о*2 “ |
"1*(1 + "o it,)(! + « 0*2 ) № i (* ) ~ |
e o ( * i) “ |
||
-Е0(£2)]Д(к-к, - k 2)}. |
|
|
(2.536) |
Таким образом, согласно формуле (2.45) искомые времена релак сации есть
J _ = |
|
|
X IVoxi(k,k,.k2)l2 1«лц, > - {щц »S[e0<*)+ |
|
*01 к |
|
n |
M s |
|
+ E,(■*,)- E,(k 2)]Д(к + к, - k2)+ (1 + (nXkl) + (п Хкг ))5[е0(Л)- |
|
|||
- £ \ ( . к \ |
) ~ |
£ |
\ ( к 2 )]Д(к - к1 - к2 )}+ 1Vooi(к>к2 .к 1) I2 {(<«!*, > - |
|
- <«0*2 >№ о(*) + £1<*1) - £0<*2)]Д(к - к 1- к 2)} + |
|
|||
+ 0 + <«!*, > + <Ло*2'»8[£0(*) - Е1(*i) - е0(*2)]д (к - к 1- к 2>}* |
(2.54а) |
|||
а |
|
|
|
|
—— |
^ |
|
Ih|/oii(k2.k.k,)l2 Ш + K t,>+<«„*,>№,(*) + |
|
Т10* |
|
" |
к 1»к 2 |
|
+ е, (к х) - |
Е0(к 2)]Д(к + к, - к2)+ «Ли, >- <«о*2 »5t£i(*) - |
|
- е, (к х)- е0(к2 )]А(к - к, - к2)+ «л0*2 ) - (п щ )5[е,(к ) -
- e x(kx) + E0 (k2 )]A (k -kx+ k 2 )}+\\\fooi(kx,k 2 ,k) \ 2 {«л0* ,)-
- <«о*2 ))8[£ I ( к ) + £о( * i ) - £о(^2)]Д<к + k i “ к 2) +
66
+ a + <«ojt1> + <"o*2» 8 [eiW -e o (^ i)-e o (^ )]A (k -k 1- k 2)}. (2.546)
Приведем вычисления времен для случая, когда Т > EQ, \(к). В ре зультате простого разложения равновесной функции распределения (пол(к)) по степеням отношений г(к)/Т находим, что
— = Zl(gl +g2) + Z2 (g3 + g4), |
(2.55а) |
Х 01*
где параметры
z Gl&ohTk1
1 3456ltp0pfaJa,3C|4s ’
z GlApKTk1
23456rcpop,aocbcOj
Аинтегралы g{есть
g! |
= $ kfdkfilEQik) + el(kl) - £ , (I k + kj I)]sin 0^/0, |
|
g2 |
= \k\dkxb[zQ( k ) - е ^ Л ^ - е ,(I k - k , I)]sin0^0, |
(2.556) |
g3 |
= J/:12J/:18[80(A:)+ E1(A:1) - e 0(lk + k 11)]sin0rf0, |
|
g4 |
=}/:12<iA:18[e0(A:)-e1(/:1) - e 0( l k - k 11)]sin 0^0. |
|
Чтобы вычислить все эти интегралы, необходимо проанализировать законы сохранения, которые в каждом из случаев определяются соот ветствующим аргументом 6-функции. Несложные алгебраические дей ствия позволяют выявить интересующие нас области изменения вир туального волнового вектора к\. Имеем
|
EoJi+JL |
V -Л 2 |
|
1+ 2с,Os |
V |
при c0s < cls |
||
|
п |
|
24 |
1 - c0s_ |
||||
8] Пс\sk |
^2с1л |
За\) \ U\J |
'Is |
у V сIs j |
|
|||
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
g, = 0 при CQs > cls, |
|
|
|
|
|
|
||
82 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
(2.55в) |
Ik2 |
f |
\ 2 |
Cis |
^c0s |
|
|
|
|
8 г = tic, |
c0s |
|
при c0s > c]s |
|
||||
Os |
V.^0s ^ls ) |
c0s “ |
c ls |
|
|
|
|
И
g3 = 0 при c0j< c l5,
8 л = 0.
Итак, полученные интегралы позволяют записать явное выражение
3* |
67 |
для времени релаксации Хдц. Действительно, в результате простых выкладок найдем
1 |
|
|
|
V _ \ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Т0Ц. |
345б7Срор1Поа13с15у |
,2 cls |
ЗаI / *1 |
|
|
24 |
1+ 2с,0.v |
1 - -05 |
при |
c0s < си> |
(2.56) |
cls |
С\5 У |
|
|
|
1 |
Gofill Рп |
* |
>2 |
Cl5 + |
С05 |
||||
Т 01* |
1728прор|До |
|
^ С05 “ С15> |
С 0 S ~ С15 |
при cQs > си .
Вполне аналогично вычисляется и время Тю*. Действительно, как это следует из общего выражения (2.546), в результате использования условия Т > 0О>\о найдем, что
— |
= Zj(*r + & + & ) + Z4(«J + ft). |
(2.57) |
ХЮк |
|
|
где параметры |
|
|
|
N,NaTt,G^filw k2 |
(2.57a) |
|
3456ltp0pfv,V iV oJ ’ |
|
|
|
|
z |
_ №,ЛГ07ЙО|,е§,*2 |
|
4 |
3456яр,р|У,У0с £ ' |
|
Функции от волнового вектора к есть |
|
|
а |
= S k?dk,S{e,(к)- е, (к,) - е0(1 к - к, I)), |
|
* 2 |
= 1А:|2Л 18[е,№) + £ ,(* |)-е 0(1к + к | I)], |
|
g‘, |
= J i12d*,8[e1( t ) - e 1(i(l)+ £ 0(lkl - к , |
I)], |
|
= j *2<ft,8[E,(к)+ e 0(k ,)- e0(l к + к, I)), |
g; = |* 2Л 18[е1(*:) - е 0(*| ) - е 0(1 к - к | I)).
Анализ законов сохранения энергии для каждой из ^‘-функций позво ляет выявить условия, при которых эти функции имеют смысл. В самом деле, несложные выкладки приводят нас к следующим результатам:
* __ 2 c\sQcls- c 0s)kJ при C0s < Cj ЗЙ(с01 + с,5)3
и
8 i = 0 при CQS > с^,
68
, _ Zcfsc0s(cls + 5cfs)k2 при cQs > Су 2 3K c l - c l f
И
82 = 0 при c0s < cls,
f t = О;
процесс распада фонона в фазе "1", идущий с рождением фонона этой же фазы и с одновременным излучением фонона фазы "О", запрещен законом сохранения энергии и импульса.
При c0s> Cjs |
|
|
|
1 |
к |
|
\2 |
(3сик + тс / OQ) — - |
(с0, + 2 си ) 1 - си |
||
84 = 6tic. |
\° о ) |
4 |
'OJ / |
а при c0s< си |
|
|
|
d = o, |
|
|
|
8s = (3c,s |
C°s^k |
при с0, < cls, |
(2.576) |
<?5 = 0 при |
C0 s > c l s . |
|
Мы видим, таким образом, что при c0j < cls вклад в Т|0* дают лишь gj* и
8 5 , а при c0j > cl5- g2* и gj.
Подставляя теперь формулы (2.57а) и (2.576) в (2.57), находим, что
при Cfo < С,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
_ |
TGQIQQIDIC4 |
2срд(3сь - с 05) |
[ Pi(3cfj ~ 4 ) |
|||||
|
345б7ср0р^ара13Ср5 ^ 3cls(c0j+ cl5)3 |
12р04 |
|
(2.58) |
|||||
TIOA |
|
J |
|||||||
а при CQS> cls |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
_ TGfa2Qwlc4 |
8 4 ( 4 |
+5ct25) |
+ |
|
|
|
||
z ]Qk |
З456лрр?а3а13с,4 |
з ( 4 |
- 4 |
) 3 , |
|
|
|
|
|
p,a |
(3ci** + V |
1 ao) - ~ |
|
^ |
|
c |
V |
||
|
21.2 |
(c0, + 2c,4) |
I |
cls |
(2.59) |
||||
6pcsk |
|
|
|
|
l |
|
с0л > |
Следует еще раз заметить, что формулы (2.58) и (2.59) будут спра ведливы лишь для области относительно высоких температур (Г > 0О). При низких температурах разложение бозевских функций распреде ления по степеням отношения г/Т проводить неправомерно и нужно просто честно вычислить все фигурирующие интегралы. Положение
69
спасает при этом то, что для низких температур верхний предел инте грирования в силу быстрой сходимости интегралов можно положить рав ным бесконечности и воспользоваться их протабулированными значе ниями.
Чтобы вычислить теперь х, воспользуемся общими формулами (2.37) и (2.38), но в применении к нашему случаю, когда обе фазы диэлектрические, имеем
Я,=(Л/Г)ге ^ J <1*цХ1+ <Им»*ом*4Л /2 я2.
О
R2 =(h/Sn2Tai)2 a6clscfs J к2die |
J (n0k)(n]ki)t0]kkltfdk]t |
(2.60) |
о |
о |
|
R3 =(h/&n2T‘Ja)2 clsC\sai f к2dk J (п^к){п0к1))^\okki^\^\*
оо
* ♦ = (* / Л 24 Т <л1А>(1 + (я,* >*ilkk4dk / 2л2
о
Отличие полученных формул от известных газокинетических состоит в двух средних значениях R2 и /?3, которые учитывают не локальный поток тепла от одной фазы к другой.
Газокинетическое приближение, как мы знаем, позволяет записать
выражение для х в виде |
|
х = с2 J г(к)(д(пк) / dT)xkk2dk / 6л2 |
(2.61) |
Эта формула еще более упростится, если ввести среднее время ре лаксации для компонент матрицы уар (см. выражение (2.50)) (тк) = т по
формуле
= Т J ( И Ъ ф Х п ^ к l\{nk)d2k.
’а$к
Тогда можно записать оценочное выражение как х = с\х/ а2 Обратим внимание, что, когда речь заходит об исследовании пове
дения х в области низких температур, время релаксации т0р зависит от Т по закону Г-5, а это означает, что длина пробега сильно возрастает и вероятность рассеяния фононов друг на друге (и на других квазичас тицах) существенно уменьшается. Такая ситуация соответствует так называемому случаю Кнудсена: роль длины пробега переходит к линейному размеру R тела и вместо времени тар^ следует ввести перенормированное время по формуле
1 |
1 |
1 |
|
|
(2.62) |
где т0 = R/cs при условии, что длина пробега I ^ R. Если данное не равенство нарушается, то существует по крайней мере чисто формаль
70