книги / Математические методы и планирование эксперимента в грунтоведении и инженерной геологии
..pdfСвойства математического ожидания
I . Математическое ожидание постоянной величины есть сама эта величина Мс<0= С , так как постоянную величину С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно значение с вероятностью, равной единице. Поэтому
М(с) = сч =. с. |
(18) |
2„ Постоянный множитель можно выносить за знак математи ческого ожидания как в случае дискретной, так и .непрерывной
случайной |
величины: |
|
|
||
а) |
X |
- |
дискретная случайная величина: |
|
|
|
|
|
М(СХ)= ^ C0CiH = С |
= С‘МФ» |
(19) |
6) |
X |
- |
непрерывная случайная величина; |
|
|
|
|
|
М(сх) = |
- с ^О =). |
|
|
|
|
- с Р |
|
|
8. Математическое ожидание суммы нескольких случайных ве личин равно сумме их математических ожиданий:
(20)
4 . Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожида-
НЯЙ! |
М (*у) = 1ЛС*)-М(*)* |
|
(21) |
Приведенные |
три последних свойства |
математического |
ожидания |
примем без доказательств как вполне очевидные.
Как указывалось выше, математическое ожидание характери зует среднее значение случайной величины. Однако знание толь ко одного среднего значения недостаточно для того чтобы су дить о характере расположения возможных значений случайной ве личины относительно ее среднего значения. Например, пусть слу
чайная величина X принимает |
два значения |
=+1 и **•=-! |
с |
вероятностью р =0,5 каждое. |
ТогдаМ ф -+1*0 ,5+(-1)*0,5=0 , |
Для |
другой случайной величины ^-, предположим, тоже имеются толь^ |
||
ко два возможных значения $ = + 100, а $ = - 100, причем, |
с веро |
|
ятностью Р<=Ра, =0»5. М (g)= +I00*0,5+(-I00)*0,5=0. По |
величине |
|
средних значений или математических ожиданий случайные |
вели |
|
чины оказались одинаковыми, однако разброс на числовой |
оси |
|
возможных их значений совершенно различён. Поэтому |
чтобы |
охарактеризовать отклонение случайной величины от ее среднего значения, т .е . оценить разброс значений случайной величины, вводят другую ее числовую характеристику - дисперсию или рас сеяние.
|
Среднее |
квадратическое отклонение (d at) |
|
|
|
|
и дисперсия ($>) |
|
|
I |
Для характеристики разброса возможных значений |
случайной |
||
|
величины не удается использовать разность между случайной ве |
|||
|
личиной и ее средним значением, хотя это может показаться на |
|||
|
иболее естественным. |
|
|
|
|
Дело в том, что |
сама указанная разность X - М(х) является |
||
|
случайной величиной. Если воспользоваться свойствами |
матема |
||
|
тического ожидания и, учитывая, чтоМ(Х) достоянная величина,, |
|||
|
вычислить математическое ожидание для разности Х~ №(X)f |
го |
||
|
получим: |
_ |
|
|
= М(Х) - М(Х) - 0.
Следовательно, среднее значение отклонения случайной ве личины X от М(X) равно нулю, так как отклонение случайной величины в ту и другую сторону от своего ореднего значения (или центра распределения) компенсируются или взаимно погаша ются. Поэтому для численной оценки расоеяния или разброса слу чайной величины используют не сами отклонения от среднего, а модули этих отклонений (в виде абсолютных значений отклонений) или их квадраты. Такими характеристиками являются:
а) среднее абсолютное отклонение или среднее линейное отклонение
б) среднее квадратичное отклонение
= У м (X -Т О 1’' ’’ |
(23) |
Среднее линейное отклонение (<JL) в практических и теоретиче ских исследованиях применяются сравнительно редко* Наиболее широко используемой характеристикой является среднее квадрати ческое отклонение, которое вычисляют по формулам соответственно для случайных величин:
а) дискретных
|
|
(24) |
б) непрерывных |
|
|
<Ох-Jf (* - |
, |
(25) |
Как следует из приведенных формул, среднеквадратичное отклоне ние имеет размерность исследуемой случайной >зличинн. Средне квадратичное отклонение иногда называют стандартом. Рассеяние или разброс случайной величины около ее математического ожи дания характеризуется дисперсией Фх)> ровной квадрату сред него квадратичного отклонения:
$ Х = ё х « м(х-я£ |
(26) |
|
Определение дисперсии может быть выражено следующим обра |
||
зом. |
|
|
Дисперсия случайной величины X |
равна математическому |
|
ожиданию случайной величины (Х -х )8» |
т .е . |
юш |
дисперсия представляет собой математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от центра ее распределения. Чем меньше дисперсия, тем лучше характеризует математическое ожи дание зпачения случайной величины.
Дисперсия вычисляется по формулам соответственно для слу
чайных величин: |
|
|
а) дисперсных |
. |
|
Р х = |
2L(X L- X V P W ; |
(87) |
6) непрерывных 1)* = / 0е ~ |
^ GO с^х • |
|
|
|
(2В) |
Формулу вычисления дисперсий |
для |
дискретных случайных |
величин можно существенно упростить. |
Учитывая, что М (х) и5С- |
величины постоянные, и,выполнив пр<4стейшие преобразования, по
лучим: |
|
|
„ |
, |
t!x= |
|
= |
M ( XV * M ( X) X + X . |
|
|
|
|
„ ^ |
|
Следовательно, |
t>x = |
М(Ха) - X |
(29) |
|
|
|
Свойства дисперсии |
|
|
1 . Дисперсия постоянной (неслучайной) |
величины С равна 0: |
|||
^ ( 0 = 0 , так как М(С)=С |
и, следовательно, никакого рассея |
|||
ния этой величины не может быть, |
|
|||
2 . Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, |
||||
возведя его в |
квадрат: |
|
|
|
|
$(сх) |
= |
Сг D (х). |
(30) |
В. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин |
||||
равна сумме дисперсйй |
этих величия: |
|
||
|
D (X +4) |
= V(X) + М Ч ) . |
(31) |
Указанное свойство справедливо для любого |
числа слагаемых |
||
под знаком дисперсии. |
|
|
|
4 . Дисперсия суммы постоянной и случайной |
величины равна |
||
дисперсии случайной величины |
$> (С +У ) = V (х), |
(32) |
2 .5 . Моменты распределения
Характер распределения случайных величин может быть вы явлен с помощью способа моментов, разработанного П.Л.Чебыше вы»!. Моментом К -го порядка называется средняя из Кх степеней отклонений величины эс от некоторой постоянной
(33)
Мк = ( х - А ) к .
Для вычисления указанной средней величины могут быть ис пользованы частоты, частости или вероятности. Если использу ются частоты или частости, то получаемые моменты называются эмпирическими, а при использовании вероятностей - теоретичес кими.
Величина К определяет порядок момента. Вычисление эмпири ческого момента К -го порядка производят по формуле:
|
Сое*—■А) • уть |
т . - частота. |
(34) |
Мк= ------- ---------------) где |
|||
В зависимости от выбранной величины А моменты называют: |
|||
а) |
начальными, если А*0 |
« обозначают |
; |
б) начальными относительно выбранной величины х ,? А ; |
|||
в) |
центральными, если А=х , гос обозначают JWK . |
Наиболее используемыми в практических расчетах являются моменты начальные и центральные первых четырех порядков.
Начальные моменты первых порядков вычисляют по формулам:
Центральные моменты первых порядков вычисляют по форму
лам:
- (-х -
при |
к * о |
О - I', |
при |
|
jitj, |
= ( х - х < ) а ~ Ъ о с ) ; |
при |
к = з |
jU ,= |
( x - o c f = |
при этом следует указать, что центральный момент третьего порядка является мерой асимметрии распределения случайной вели чины X и, если оно симметрично, то О',
____;и х C * -X )4’№.
при К=**- ^ц .=;(Х ~Д Г = --------- -----------------4 |
(36) |
Между начальными и центральными моментами можно вывести следующие соотношения:
J W * = V ^
/ Ч s ^3 - Hr 2,'Slj. }
Рассмотренные начальные и центральные моменты первых че тырех порядков, вычисленные для распределения некоторой слу чайной величины X » описывают те или иные свойства ее распре деления и представляют собой более общие, понятия, чем такие числовые характеристики случайной величины, как средняя ариф метическая и дисперсия, являющиеся характеристиками положения случайной величины,
2 .6 . Биномиальное распределение
Биномиальным называется распределение числа т . появления события А при п независимых испытаний, когда вероятность по явления события оотается постоянной и равной р , а вероятность противоположного события С[=4г р ,
Закон биномиального распределения выражается формулой Бернулли, представляющей собой общий член разложения в ряд би нома Ньютона:
4 |
P |
Y' |
—' |
ru |
tn |
n.-nv |
(38) |
m« (w- nC) \ |
•■? <V • |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном |
законе |
m, |
и |
представляют |
собой |
случайные |
величины. Этот закон применим для исследования |
vраспределения |
одного из двух противоположных (альтернативных) |
независших |
событий или признаков в исследуемой выборке из |
всей совокуп |
ности. Например, вероятность числа попаданий в отобранную вы
борку или |
пробу |
из всей совокупности образцов, изделий |
(или |
случаев) |
отличающихся заданными качествааи или признаком при |
||
известном |
числе |
испытаний и постоянной вероятности р |
появле |
ния этого признака в каждом испытании. Биномиальное распреде ление представляет собой распределение дискретной величины, так как случайная величина т . может принимать только целые
значения |
натурального ряда |
чисел I , 2*, 8» .. ? т . . |
|
|
|||
График биномиального распределения представляет |
ломаную |
||||||
линию (рис. 6 ) , На форму’ |
|
|
|
|
|||
графика непосредственно |
|
|
|
|
|||
влияют значения р и п. ; |
|
|
|
|
|||
е с л и р ^ |
, то |
график |
|
|
|
|
|
получается симметричным, |
|
|
|
|
|||
при малых значениях |
|
|
|
|
|
||
р (0 Д ; 0 ,2 ) |
графив |
по |
|
|
|
|
|
лучается скошенным, |
при |
|
|
|
|
||
большом числе |
испытаний |
|
|
|
|
||
ft график симметричен |
|
|
|
|
|
||
независимо от |
значения?» |
|
|
|
|
||
Числовые характеристики случайной величины X |
, |
подчинен |
|||||
ной биномиальному закону, |
вычисляют по формулам: |
|
|
||||
|
|
$ C * )= V V J |
< ^ с ) = л / п - р . ^ ? , |
|
(зе) |
||
тд е уь •» число всех |
испытаний, |
р - вероятность |
наступления |
||||
события |
j |
вероятность |
противоположного сооытпи. |
|
2 .7 . Распределение Пуассона
Распределение Пуассона является частный случаем биноми ального распределения, когда вероятность появления события при большой числе испытаний очень-мала, например*, Р(А) ^ 0, 01. Поэтому распределение Пуассона носит название закона распре деления редких событий, который выражается формулой:
|
Рпцп. . |
------- - |
( « ) |
|
а - число испытаний; |
р - вероятность |
события А. По формуле (40) |
||
Л=п.р ; |
вычисляют вероятность того, |
что событие А произойдет W- |
||
раз при большом числе |
испытаний а , |
в |
каждом из которых веро |
|
ятность |
событий А очень мала. Постоянная величина А * пред |
|||
ставляет собой математическое ожидание |
случайной величины X s^ |
|||
на заданном интервале |
наблюдений или испытаний. |
2 .8 . Нормальный закон распределения вероятностей
Биномиальный закон применяется для выражения распределе ний прерывных случайных величия. Определение вероятностей с использованием указанного 'закона представляет собой значитель
ные трудности из-за |
громоздких вычислений. Поэтому для прак |
||
тических расчетов |
чаще применяют |
нормальный закон |
распреде |
ления вероятностей, |
который иногда |
называют законои |
Гаусса. |
Особая роль этого закона состоит в- том, что он является наибо лее общим или предельным законом распределения 'вероятностей непрерывной случайной величины. При безграничном увеличении
числа испытаний или в иных определенных условиях |
другие |
зако |
ны распределения приближаются к нормальному. Нормальный |
закон |
|
особенно часто применяется в инженерной геологии |
поскольку, |
Например, показатели свойств горных пород зависят от множест ва факторов. Каждый из них влияет на исследуемую случайную ве личину сравнительно мало или это влияние сказывается недоста точно явно. В этом случае большее 'приближение к фактическому характеру изменения случайной величины дает нормальный закон.
Закон распределения вероятностей называется нормальным» если распределение характеризуется плотностью вероятности!
|
|
V(x)= |
|
|
- е |
|
|
(41) |
||
Закон |
справедлив при - о о |
&>0. |
|
|
||||||
|
График дифференциальной функции |
ЧЧЭс) |
нормального |
рас- |
||||||
пределения |
имеет |
симметричный |
|
|
|
|||||
холмообразный |
вид |
(рис. 7 ). |
А |
|
|
|||||
Максимальная ордината |
этой |
|
|
|||||||
JVZ. |
||||||||||
ция влево |
и вправо |
ох точки Л , |
||||||||
кривой соответствует точке эс-ос |
|
|
|
|||||||
и Равна |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Если |
х |
принимает |
значе- |
|
х*а |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то величины ординат |
кривой |
|
Рис. 7 . |
|
||||||
У (ас) |
уменьшаются и при |
даль |
|
|
||||||
|
|
|
||||||||
нейшем изменении ос-»- ± |
оо |
график |
асимптотически приближает |
|||||||
ся к |
оси абсцисс. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Укажем без доказательства, что параметр "ct" функции |
|||||||||
ф (х) |
является математическим ожиданием случайной величиныX* |
|||||||||
М(к)=а=5с, |
сси<£п ее среднее |
квадратическое |
отклонение. |
Если |
||||||
величина X |
подчинена нормальному закону, то |
для краткости вы |
||||||||
ражений можно |
указывать» |
что она |
|
|
|
|||||
распределена |
нормально |
с параметра |
|
|
|
|||||
ми па п и |
"<$" или |
распределение |
|
|
|
|||||
.)Г(а»й) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рассмотрим влияние |
указанных |
|
|
|
|||||
численных параметров на |
характер |
|
|
|
||||||
графика функции |
(х ) . |
|
|
|
|
|
||||
|
Как показано на рис. 8, а, па |
|
|
|
||||||
раметр |
|
будучи центром распре |
|
|
|
|||||
делений случайной |
величины Х а р а к |
|
|
|
||||||
теризует расположение графика Ч* (х) |
|
|
|
|||||||
на оси абсцисс и имеет |
ту же |
раз |
|
|
|
|||||
мерность, |
что |
и случайная |
величи |
|
|
|
||||
на X . |
|
|
|
|
|
|
|
|