книги / Математические методы и планирование эксперимента в грунтоведении и инженерной геологии

№Сере­

интер­ дина вала интер­

вала X I

г15,5

21 5 ,7

315,9

416,1

516,3

6 16,5

716,7

816,9

917,1

1017,3

I I

17,5

Частота	Xi-U.	* i- u
Л1	4
I	-4	-4
2	-3	-6
5	-2	-10
5	- I	-5
19	0	0
35	+1	+35
18	+2	+36
8	+3	+24
4	+4	+16
2	+5	+10
I	1 +6	+6
		2=+102

i6

18

20

5

0

35

72

72

•64

50

36

1/Г		00
	00
CQ "x*

Т а б л и ц а I

	t	r h
-64		256
-54		162
-40		320
-5		5
0		0
+35		35
+144		288
+216		648
+256	1024
+250	1250
+216	1296
*=1024	£	=5284

	I» Составляется таблица, аналогичная вычислению средней
величины*
	2 . Подбирается величина и ,				блинная к х , но отличающаяся
от 3	на величину С •			Примем с=&4 =0,2 $6 для удобства расчетов.
Тогда а		* 1 6 ,3 .			X L от величины и, . Эти откло­
	3 .	Вычисляются отклонения
нения	делятся на разыер интервала п, =0,2 и заносятся в четвер­
тую графу таблицы с				учетои знаков.
	4 . Величина			умножается на частоту n и и записывает­
ся в	пятой		графе.
	5 . Вычисляются шестая, седьмая и восьмая гран.
	6. Для		четырех последних граф подсчитываются суммы. По
данным этой			таблицы подсчитываются: а) среднее значение

б) среднее квадратическое отклонение

^ Q/ ь ч ь .

Результаты подсчетов дают возможность определить третий и чет­ вертый центральные моменты, по величине которых оценивают ха­ рактер распределения экспериментальных величин.

Третий центральный момент

5 Jf	Jf X	if J *" *00 ^ 100 i Q O ^ \ i O o j " '
Четвертый центральный момент

Mi,=-=г--Ч Я		Я	я	\*п
52.84	-цML J 2 k + 6		JM. (JSkXi. ъ Ш L \4-		-32. fcs
100	п 400	4 0 0 ^ °	чоо	w o o ; *VTooV “	3
Понятие	о степенях свободы в статистике

Обычно' одно определение экспериментальной величины не да­ ет возможности судить об ее изменчивости. Если определений два, то уже можно дать заключение об изменчивости величины. При трех определениях основание для заключения растет.

В статистике считают, что два измерения дают I		степень
свободы	для оценки изменчивости, три измерения - 2	степени
свободы	и т .д .

Если известна заранее (из какого-либо другого источника информации) величинах, то даже одно определение дает возмож­ ность судить об изменчивости, а степень свободы не теряется. Однако нь практике почти всегда теряется I степень свободы для подсчета среднего значения величины. Следовательно, при if определениях остается (jf-l) степень свободы для подсчета сред­ него квадратического отклонения

При числе определений Jf£. 100 можно пренебречь	разницей между
Ми (я -1 ), но при малых .выборках этого делать	нельзя.

Коэффициент изменчивости
Среднее квадратическое отклонение имеет -ту не				размер­
ность, что и среднее -		размерность исследуемой величины. Если
речь идет о влажности -		размерность	выражается процентами, уг­
ле внутреннего	трения -	градусами,	объемном весе -	г/смэ	и
т .д . Однако в	этом заложен недостаток характеристики £ ,				так

как она не может быть использована для оценки изменчивости по­ казателей, имеющих разную размерность, например, угла внутрен­ него трения и влажности. Для того чтобы характеристику можно было использовать с цель» сравнения изменчивости любых пока­ зателей, необходимо сделать ее безразмерной. Такой характери­ стикой и является коэффициент изменчивости

V= - | " 100 * .

Впрактике исследования грунтов считают, что при V £ 20 % -

грунт	однороден по соответствующему показателю;	приV > 20 -
грунт	неоднороден.
	Для оценки среднего значения характеристик	свойств грун­

тов ниже приводим допускаемые предельные величины коэффициен­ тов изменчивости, регламентированные ГОСТ-20522-75.

Наименование характеристики	Коэффициент изменчивости
Плотность	I
Объемная масса	5
Естественная влажность	15
Верхний и нижний пределы пластич­	15
ности
Модуль деформации	90
Сопротивление сдвигу йри одном	20
значении уплотняющей ■нагрузки

Показатели асимметрии и эксцесоа* Приближенная проверка нормального закона распределения

экспериментальных величин

Две основные статистические характеристики: сроднее зна- Р чение экспериментальных величин и среднее квадратическое от­ клонение дают исчерпывающее представление о распределении на-

кой-либо величины только в той случае, когда эта величина рас­ пределена по нормальноиу закону.

Опыт говорит, что распределение большинства показателей свойств различных литолого-гинетических типов грунтов подчи­ няется нормальному закону. Однако бывают и исключения. В свя­ зи с этии возникает необходимость проверки характера распреде­ ления различных показателей в каждом конкретном случае.

Простейшая проверка заключается в сравнении кривой полу­ ченного экспериментального распределения с теоретической кри­ вой нормального распределения. Теоретическая кривая всегда симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через ее максимальное значение. Поэтому резкая асимметричность экс­ периментальной кривой свидетельствует о том, что это распре­ деление отлично от нормального.

На такое же отличие указывают и другие нарушения формы, например, если кривая сжата и островершинна или, наоборот, слишком распластана; Для получения количественной оценки фор­

мы кривой экспериментального распределения используются		два
показателя: показатели асимметрии и эксцесса.
Показатель асимметрии А вычисляется а) для малых	выборок

А *	н-		'
б) для больших выборок при помощи 8 -го ' центрального момента
где -л - размер интервала. Для			кривой, подчиняющейся			нормальному
закону, А*о. Асимметрию		считают существенной,			если	отношение
А к допустимой ошибке в		его	определении	АА	больше трех:
• Ошибка определяется			по формуле	А А - ±~\/ 6/№
Знак "плюс" перед величиной А			показывает,	что вершина кривой
смещена влево, знак "минус" соответствует				смешению вершины
вправо» Положительная асимметрия свидетельствует о						том,	что

в выборке присутствует несколько значений, сильно превышающих х, отрицательная асимметрия указывает на наличие в выборке значепий, заметно иеныпих*.

Показатель	эксцесса		Е вычисляется		а)	для малых выборок
			я .		5}
б) для больших выборок с				помощью 4-го		центрального момента
	с	-	М* 4"	— 3.
	с-	-
Для кривой	нормального законаЕ=о ,				Оценка достоверности откло-

н ен и я:~ < 5 . Ошибка показателя эксцессад£=±'{Ж ,е ЕслИд^^З ,

то распределение отличается от нормального. Показатель Е. мо­ нет быть положительным или отрицательным. В первом случае - кривая сжата и островершинна, что свидетельствует о скоплении экспериментальных величин в середине выборки. Во втором слу­ чае - кривая распластана, что означает сравнительно равномер­ ное распределение величин,

Проверим характер распределения экспериментальных значе­ ний влажности, приведенных в табл. I . Третий и четвертый цен­ тральные моменты, вычисленные по данным этой таблицы, равны:

Mj =0,60 и MV =33,48.		£	0,6.0,г3 .
Показатель асимметрии		А - — —	цзТа*— °'
Допустимая ошибка показателя		асимметрии	= одч?.
О т н о ш е н и е o.oi, <	Ъ	следовательно, распределение гла-
аА
жностей соответствует	нормальному закону.

Показатель эксцесса

ЯШ

Допустимая ошибка

■ О т н о ш е н и е - 1,&8< 3

, следовательно j распределение

можно очитать нормальным.

3 .3 . Ошибки определения экспериментальных величин, их классификация

Известно, что даже при тщательном определении той или иной характеристики грунтов результаты отдельных измерений от­ личаются друг от друга и, следовательно, содержат ошибки.

Оиибка обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение характеристики. Одной из задач статистики и является оцен­ ка истинного значения характеристики величины по получаемым результатам. Для решения этой задачи надо знать свойства оши­ бок и уметь ими пользоваться.

Г р у б ы е о I и б кг и. При статистической обработке результатов экспериментов результаты могут содержать грубые ошибки. Этот тип ошибок возникает вследствие нарушения усло­ вий эксперимента или в результате недосмотра экспериментатора. Признаком результата, содержащего грубую ошибку, является его резкое отличие по величине от других данных экспериментов. На этом признаке основаны методы исключения этих ошибок.

С и с т е м а т и ч е с к и е	о ш и б к и . Причины та­
ких ошибок разнообразны. К ним могут	быть отнесены: неправиль­

ная регулировна прибора (смещение начала отсчета на весах или индикаторе для замера деформаций), изменение внешних условийтемпературы.и давления, некоторое несовершенство иаыерительн ных приборов на границе области их применимости.

Каждая из этих причин вызывает повторяющуюся от испыта* ния к испытанию систематическую ошибку. Эти ошибки могут быть легко обнаружены и устранены путем введения соответствующих поправок в результаты экспериментов.

С л у ч а й н ы е о ш и б к и . Этот тип ошибок обуслов­ лен большим количеством факторов, эффект действия которых на­ столько незначителен, что его не удается выделить и учесть в отдельности. Однако о помощью методов математической статисти­ ки можно оценить их влияние на истинное значение исследуемой величины, что позволяет получить это значение с меньшей ошиб­ кой, чем ошибки в отдельных результатах эксперимента.

Обозначим "выскакивающее0 значение Sc* а все остальные ре­ зультаты эс< ,аег . . . % .

Подсчитаем среднее	и
	-X = -J2L
	ж

и среднее квадратическое отклонение

*si z r f **** '

Абсолютную величину разности |х . — х \ между х в						средни» значе­
нием & остальных результатов делят					на среднее	квадратическое
отклонение		3	н полученное отношение
			------ ё—
сравнивают		о критическими		значениями Ь из табл. П Приложения
при	числе определений X			и выбранной надежности Р . Бели
t p	£ "Ьт	»	то значение эс* не		содержит грубой ошибки и

его не следует исключать из рассмотрения. В противном случае,

если	t p > t T ,			ос*		из	рассмотрения исключается.
^	Пример		3 ,1 .		Рассмотрим,			следует ли исключить значения
s i ? , 5		% HCCJ,			*15,6 %		( табл.		I П р и л о ж е н и я )
из	дальнейшей					обработки. Число определений X примем рав­
ным 100,		зададимся				надежностьюР =0,99.
	Вычисленное				среднее		значение		влажности х =16,5 % сред­
нее	квадратическое					отклонение		$	=0,892 ( с .42). Вычислим
отношение				-1з£с?£1=			0,392		2 ,5 5 . По табл. □ Прилохе-
						S
вин	t - T= 2,6%,					t r r <■ t -т		,	Значение влажности 17,5 % не
следует исключать т рассмотрения. Определим отношение
t	_ \X *~5CL			15,6 -16,5			2,75,		оравяим о "Ь т,
^ яРг		3	"		0,892

Значение 15,6 % следует исключить иэ дальнейшей обработки. После того , как отброшены грубые ошибки и исключены систе­ матические, переходят к дальнейшему анализу результатов экс­ периментов.

8*4* Статистический анализ результатов экспериментов

Анализ результатов экспериментов состоит в	том,		чтобы
получить некоторые заключения о генеральной совокупности			по
выборке. Эти заключения состоят в оценке истинного		значения
величины А, определяемой в опытах, которая, может быть то­
чечной (т .е . указывается функция от результатов	опытов
и давать достаточно хорошее приближение к ис­
тинному значению и интервальной (определение интервалов
f+£& » в которых о заданной надежностью	Р	будет
находиться исследуемая величина А); заключения	состоят

также в проверке гипотез о соответствии выборки генеральной совокупности.

Оценка истинного значения исследуемой величины

Для того-чтобы обеспечить достаточно хорошее приближение к истинному значению А, оценка должна обладать следующими свойствами: несмещенностью, состоятельностью, эффективностью.

Оценка называется несмещенной, если			ее	теоретическое среднее
(математическое ожидание)		совпадает	со	значением А: М(4)=А.
Оценка называется состоятельной, если при					неограниченном	уве­
личении числа определений		она стремится			по вероятности	к
значению А,
Р(М-А1 <•£)-**	к 1	при№*■оо	, т .е .
отклонение оценки 4 от	значения А		станет		меньше любого	£

(£>о). Эю достоверно, так как вероятность стремится к едини­ це. Несовмещенная оценка называется аффективной, если она име­ ет наименьшее расстояние, вычисленное по результатам экспери­ ментов, среди всех неоыещенных оценок значения А.

Т о ч е ч н а я	о ц е н к а . В качестве	оценки	истинно­
го значения определяемой величины А принимают		среднее	арифме­
тическое значение результатов экспериментов
А	- jr i o c L .

Эта оценка несмещенная и состоятельная. Боли случайные ошибки

распределены по нормальному закону, то оценка является эффек­ тивной.

Если обрабатываемые результаты представляют собой не данные непосредственных определений, а средние в т. сериях опы­ тов, средние квадратические отклонения которых равны, то

где * u - число определений в	серии со	средним значением 5 k .
Эта оценка обладает .теми хе	свойствами, что и предыдущая.
Среднее арифметическое	значение	для интервального ряда

результатов является смещенной оценкой. Величина смещения име­ ет порядок 4i (4L- длина интервала).

В качестве оценки дисперсии применяют эмпирическую дис­

персию

jt

Эта оценка является несмещенной и состоятельной, но не являет­

ся эффективней		(она является лишь асимптотический эффективной,
т .е . ее рассеяние стремится к						минимальному при «К* стремящемся
к бесконечности). Если				проведено т . оерий испытаний, с					диспер­
сиями:		g j . ,	а	количество			определений в каждой се-
Рии:		м				'	t	*
		r								t
						(Лг - 4 * . ••+(Лга-1)
Эта оценка обладает теми хе свойствами, что и предыдущая,
во позволяет использовать					большее количество информации,					что
делает се более надежной. Если для т ,								серий определений		одной
и той хе величины известны только							количество опытов в т . сери-
	У-**	и Средние			арифметические				в	каж-
ТОЙ с е р и ,	то	A	Л		I	£ « ( * 1 - * ) .
		w	^		YR-i	L
цде	52			j			m	_
			uim,am		'■ :	1 '51^1		•

Эта оценка

является

несмещенной. я

состоятельной,

а

такзе

асим­

птотически

аффективной

при rrv* оо

. Для

интервального

ряда

данных среднее квадратическое отклонение $

является

смещен­

ной оценкой дисперсии, причем, ее смещение зависит от

длины

интервала-fL, Если & составляет не

более

десятой

доли

всего

диапазона результатов

определений,

то вводится поправка Шеп-

п а р д а ^ ,

устраняющая

основную часть смещения <э а

•

Пос-

ле внесения поправки оценку можно считать практически

несме­

щенной. Во всех указанных выше случаях

среднее

квадратичес­

кое

отклонение $

дает

смещенную (преуменьшенную)

оценку

d ,

Смещение зависит

от

числа определений JT:

прих =16

составляет

2 J6,

а

при х= 26 -

меньше I

И н т е р в а л ь н а я

о ц е н к а .

Интервальная

оцен­

ка истинного значения рассматриваемой величины имеет

то

пре-?

инущество, что позволяет получать это значение с заранее при­

нятой надежностью Р . Обычно надежность

задается

в

виде одного

ив

трех уровней": 0,95; 0,99;

0,999. Иными словами, с

вероят­

ностью

р

мы можем утверждать,

что истинное

значение

величины

соответствует принятой интервальной оценке. Вероятность несо­

ответствия <6=1-Р

,

т .е . мы пренебрегаем возможностью

расхожде­

ния оценки и истинной величины с вероятностью, не

превышающей

<6.

Интервальная оценка истинного значений величины А

а)

d

известно варанее,

В этом

случае

интервальная , оценка

имеет вид

I .

_и . t( ? ) e

где

х -

число

определений;

t if) -

определяется

по заданной

надежности S5 по табл.

17 Приложения.

Обычно интервальная оценка записывается следующим обра-

ао"

к -

1 с и - ^ - < А < 5 . + 1 е д ф .

б )

ё н е

известна

заранее.Вместо <£ используют

среднее ква­

дратическое отклонение, подсчитанное по результатам опытов