книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости
..pdf8 2! |
|
ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ, ОХВАТЫВАЮЩИЕ ЦИЛИНДР |
2Ц |
|||||||||||
|
Предельный цикл, охватывающий цилиндр, называется к-крат- |
|||||||||||||
ным, |
если |
cti = 1 |
и |
первый |
не |
равный |
нулю |
коэффициент |
||||||
а; |
(£ ^ 2) есть а*. |
|
0 (£ 3= 2), |
то |
все траектории в |
окрестно |
||||||||
|
Если ai = 1 и а,-= |
|||||||||||||
сти рассматриваемой траектории Lo замкнуты |
(и, очевидно, охва |
|||||||||||||
тывают цилиндр). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
При этом |
|
|
|
= ehr, |
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
« 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = 4 |
- J |
[ р ч>(ф ’ 2/) |
+ <?у(ф> |
У)] dt' |
Ф = х ( ^ |
У = |
^ { 1)- |
|||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
случае, |
когда |
в точках LQ Р (ср, |
у)Ф 0, |
так |
что |
уравнение |
||||||
LQ может быть записано в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
У = |
|
/ ( ф ) |
|
|
|
|
|
|
( y |
= f( ф)> |
очевидно, |
является |
решением |
уравнения |
d y / d y = |
||||||||
= (?(ф, У)1р (Ф, J/)), мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
f |
|
(ср, / |
(q>)) + |
(Ф, / (q>))] |
|
|||
|
|
h |
|
|
|
J |
|
|
|
Р(ф,/(ф)) |
|
|
|
|
|
|
|
3 [J*-1 (ф, / (ф))1 <*Ф0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом в случае, когда в точках Lo |
|
|
|
|
|
|||||||||
мы имеем |
|
|
|
Р ( ф, у ) > |
о, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
X |
2Я |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
т “ |
I * = I Р ( Ф , / ( Ф ) Г |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
а в случае, когда в точках LQ
Р(ф, у)< О,
имеем |
|
|
т |
С?ф |
|
I Р(ф>/(ф))' |
||
|
Условием устойчивости цикла является
h < О,
условием неустойчивости —
h > 0.
Принимая во внимание знак Р (ф, у) в точках LQ, мы можем также записать условия устойчивости цикла, охватывающего цилиндр, в следующей форме.
14*
212 |
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА ЦИЛИНДРЕ |
[ГЛ. 12 |
||||
У с л о в и е у с т о й ч и в о с т и : |
|
|
|
|||
при P((f, р ) > О |
|
|
|
|
||
|
т |
Г |
[^"ф (ф > / (ф )) + |
Qy (ф > / |
(ф ))] ^ ф |
|
|
|
J |
*(ф ,/(ф )) |
< |
; |
|
|
|
о |
|
|
|
|
при P((f, |
у)< |
О |
|
|
|
|
|
J _ |
2Я |
[ ^ ф (Ф. / (ф)) + |
Qy (Ф, / (ф))] <*Ф ^ |
п |
|
|
Г |
|||||
|
|
J |
Р (Ф, / |
(Ф)) |
> |
(5) |
|
|
|
У с л о в и е н е у с т о й ч и в о с т и : при Р(ф, р )> О
/ > 0;
при Р (Ф, р )< о
/< 0 .
§3. Приемы исследования качественной структуры динами ческой системы на цилиндре.
1.Критерии Бендиксона и Дюлака. Если удается подобрать такую аналитическую функцию ^(ф, у), что в некоторой области, заключенной между двумя замкнутыми кривыми, охватывающи ми цилиндр, имеют место неравенства
д (F (<р, у) Р (<р, у)) |
|
д (F (<р, у) Q (<р, у)) |
, |
п |
д(р |
+ |
ду |
^ |
' |
то в этой области G не существует замкнутых траекторий, не охватывающих цилиндр, и может существовать не более одной замкнутой траектории, охватывающей цилиндр.
2. Топографическая система на цилиндре. Топографическая система на цилиндре
^(ф, у) = с
может быть системой замкнутых (непересекающихся) кривых, как охватывающих, так и не охватывающих цилиндр. Использо вание топографических систем на цилиндре для установления существования предельных циклов, полностью аналогично (с оче видными изменениями) их использованию на плоскости.
Использование систем сравнения, в частности консервативных систем, может быть на цилиндрической поверхности проведено полностью аналогично тому, как это делалось на плоскости.
§ 4. Понятие грубости и степени негрубости для динамиче ских систем на цилиндре. Бифуркации на цилиндре. Поворот поля4). Определение грубости и первой степени негрубости си стемы на цилиндре в области, ограниченной двумя циклами без
4) См. [46].
§ 4] БИФУРКАЦИИ НА ЦИЛИНДРЕ 213
контакта, охватывающими цилиндр5), совершенно такое же, как и на плоскости, и мы его не приводим.
Необходимые и достаточные условия для грубости и первой степени негрубости динамической системы на цилиндре, с оче видными дополнениями (касающимися замкнутых траекторий и замкнутых контуров, охватывающих цилиндр) те же, что и на плоскости, именно:
А. Для того чтобы динамическая система на цилиндре была грубой в области G, ограниченной двумя циклами без контакта, охватывающими цилиндр, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1) В области G существуют только грубые состояния равно весия (т. е. состояния равновесия, для которых Д Ф 0 и в слу чае, когда А > 0, о Ф 0).
2)В области G нет предельных циклов, как не охватываю щих, так и охватывающих цилиндр, для которых h = 0.
3)В области G не может быть сепаратрис, идущих из седла
вседло.
Б.Для того чтобы динамическая система на цилиндре была системой первой степени негрубости, необходимо и достаточно
выполнение следующих условий (ср. гл. 9):
1) Система имеет одну и только одну из негрубых особых траекторий следующих типов:
а) |
двукратное состояние равновесия седло-узел; |
б) |
сложный фокус первого порядка (о = 0, Ь\ Ф 0); |
в) |
двукратный предельный цикл, не охватывающий или охва |
тывающий цилиндр (т. е. предельный цикл, для которого h = 0, а в функции последования аг^ О );
г) сепаратрису, идущую из седла в седло, причем в случае, когда сепаратриса идет из седла 0(фо, Уо) в него же, она может как не охватывать, так и охватывать цилиндр, и при этом в сед
ле 0(фо, Уо) должно быть СТС= Рф (ф0, у0) + Qy (ф0, Уо) Ф °-
2)Сепаратриса седла не может иметь в качестве своей пре дельной траектории сепаратрису, идущую из седла в то же седло (образующую петлю, либо не охватывающую, либо охватываю щую цилиндр).
3)Сепаратриса седло-узла не может: быть одновременно и со-,
иа-сепаратрисой седло-узла; быть одновременно сепаратрисой седла.
4)С двух различных сторон двукратного цикла (как охватыващего, так и не охватывающего цилиндр) к нему не могут стремиться сепаратрисы седел.
Бифуркации в динамических системах на цилиндре, при ко
торых исходная система (или система, соответствующая бифурка
5) От требования, что область ограничена циклами без контакта, мож но освободиться, однако при этом определение усложняется.
214 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПА ЦИЛИНДРЕ [ГЛ. 12
ционному значению параметра, в случае, когда рассматривается система, правые части которой зависят от параметра) является системой первой степени негрубости, те же, что и описанные в гл. 10, со следующими очевидными добавлениями.
I. Двукратный цикл, охватывающий цилиндр при достаточно малых добавках, либо разделяется на два цикла, охватывающих цилиндр, либо исчезает.
II. Сепаратриса седла 0 ( фо, уо), образующая петлю, охваты вающую цилиндр (при этом в седле стс = У0) + Qy(Фо> Уо)
Ф О), при всех достаточно малых добавках либо разделяется без рождения предельного цикла, либо разделяется с рождением пре дельного цикла, охватывающего цилиндр, причем этот предельный
цикл (при |
условии, что |
Ос ^ 0) единственный и устойчивый, |
|
когда ас < 0, и неустойчивый, когда ас > |
0. |
||
III. Если |
сепаратриса |
седло-узла, |
охватывающая цилиндр, |
возвращается в него же (в узловую область седло-узла), то при всех достаточно малых добавках, при которых седло-узел исче зает, от сепаратрисы рождается предельный цикл, охватываю щий цилиндр.
В случае динамических систем на цилиндре можно также отметить следующую бифуркацию от бесконечности:
IV. Рождение из бесконечности предельного цикла, охваты вающего цилиндр (такое рождение происходит при смене устой чивости бесконечности (ср. гл. 11)).
Поворот поля. Как и в случае плоскости, мы скажем, что при
переходе от системы |
|
|
|
dq>/dt = Р(ф, |
у), |
dy/dt = (?(<р, у) |
(А) |
к системе |
у), |
dy/dt = Q(iр, у) |
(А) |
dyldt = F(q>, |
имеет место поворот поля (или поле поворачивается на угол одного знака), если во всех точках, отличных от состояний рав новесия системы (А)^ одновременно являющихся состояниями равновесия системы (А), выполняется неравенство
>Р(ф, y)Q(Ф. У )~ <?(ф> У)Р(Ф. У)ф °-
Все сказанное в гл. 11 по поводу сепаратрис и, в частности, по поводу сепаратрис, образующих петлю, справедливо, очевидно, и ддя сепаратрис, образующих петлю, охватывающую цилиндр.
Предельный цикл, |
охватывающий цилиндр |
при повороте |
поля в одну сторону, |
поднимается вверх, а при |
повороте поля |
в другую сторону — опускается вниз. |
неустойчивый |
|
Если на цилиндре |
существуют устойчивый и |
предельные циклы, охватывающие цилиндр, на которых направ ления обхода по t одинаковы, то при повороте на угол такого знака, при котором устойчивый цикл поднимается, неустойчи вый цикл опускается, а при повороте другого знака — наоборот.
§ 5] МЕТОД ПОНТРЯГИНА НА ЦИЛИНДРЕ 215
Если на двух устойчивых циклах, охватывающих цилиндр, направления обхода по t противоположны, то при повороте поля на угол одного и того же знака предельные циклы «двигаются» в противоположных направлениях.
Утверждения о поведении при повороте, аналогичные утвер ждениям гл. 11, справедливы также для устойчивого и неустой чивого предельных циклов, охватывающих цилиндр, на кото рых направления обхода по t противоположны, а также для дву кратного предельного цикла, охватывающего цилиндр, и для сепаратрисы, образующей петлю, охватывающую цилиндр.
§ 5. Динамические системы на цилиндре, близкие к гамиль тоновым (метод Понтрягина), Предположим, что рассматри
ваемая система на цилиндре имеет вид |
|
|
dtp |
- - g f + V P |
|
~dt |
(A,) |
|
dy |
-f^r + |
|
dt |
и)- |
|
Мы рассмотрим случай, когда у семейства кривых |
||
|
Я (Ф, у) = С |
(Со |
существуют области, заполненные замкнутыми кривыми, охва тывающими цилиндр, и сформулируем условия, достаточные для того, чтобы у системы (А) при всех достаточно малых р суще ствовал предельный цикл, рождающийся из некоторой кривой
(С) при условии, что в точках этой кривой (С)
дЩду Ф 0.
Если в точках некоторой кривой
Н (ф, У) = С0
дН/дуФ 0, то уравнение этой кривой, а также всех близких кривых
|
|
Н { у ,у )= С , | С — С01 < а , а > |
0, |
|
может быть представлено в виде |
|
|
||
|
|
y = f( ф, С), |
|
|
Т е о р е м а |
1. Для того чтобы у системы |
(Ац) |
существовал |
|
предельный цикл, рождающийся из кривой |
|
|
||
|
|
У = Н Ф, Со), |
|
|
необходимо, |
чтобы |
|
|
|
1 (Со) = |
Л** |
|
|
|
j |
[?(Ф > /(ф > С 0), 0 ) — р ( ф , Д ф , С 0), 0 )/ф (ф , С 0) ] |
<2ф = 0 , (6 ) |
216 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА ЦИЛИНДРЕ [ГЛ. 12
и достаточно, чтобы при условии (6) |
выполнялось |
|
||||
|
ТЫI |
|
|
|
|
|
г1 (С'о) = |
| |
[ Рф (Ф, / (Ф . С0), 0) + |
д'у (Ф, / (<р, с0), 0 ) ] <ftp =¥=0. (7) |
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
Если 7(Со) = 0 |
и |
1\ (Со)^ 0, |
то рождающийся цикл |
единствен |
||
ный и притом устойчивый, если |
|
|
|
|||
или |
|
(Со) < ° . |
н 'у(Ф. / |
( Ф . с )) > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( i / 1 ( Q > 0 , |
Я ' ( ф , / ( ф , С ) ) < 0 , |
|
|||
и неустойчивый, если |
|
|
|
|
||
или |
(i / 1 ( Q > 0 , |
Я ' ( Ф, / ( ф , С ) ) > 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ( Q c o , |
я ; ( ф , / ( ф , с ) ) < 0 . |
|
|||
З а м е ч а н и е |
1. Элементарными |
вычислениями |
нетрудно |
|||
установить, что если |
|
|
|
|
2 Л
Ц С )= \ [д(Ф,/(ф гС),0)Я;(ф,/(ф,С)) +
+ Р ( ф . / ( ф 1С ' ) . 0 ) Я ф ( ф , / ( ф , С ) ) ] С %
то
I x{C)=dI{C)ldC. |
(8) |
Во многих случаях удобнее пользоваться этим свойством и не посредственно устанавливать наличие условий
|
7(C) = 0, |
dl (С)/dC ¥= 0, |
|
|
чем пользоваться |
приведенным выше выражением |
для |
Ii (С). |
|
З а м е ч а н и е |
2. В тех случаях, когда почему-либо удобнее |
|||
использовать параметрические |
уравнения кривых |
Н(х, |
у) — С: |
|
|
x = g(t), |
y = h(t), |
очевидно, |
нужно пользоваться |
теми же выражениями, что и |
|
в § 7 гл. |
11 |
(только с другими обозначениями), т. е. |
|
|
|
Т |
|
I (С) = |
j [р (g (t), h(t),0)h(t) — q(g (t), h (t), 0) g (f)] dt, |
||
|
|
0 |
|
X
Г (С) = I, (C) = j [px (g (t), h (t),0) + q'y (g (t), h (t), 0)] dt.
Г Л А В А 13
АДЕКВАТНОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ ФАКТАМИ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ И ТЕОРИИ БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ •)
Введение. Очень многие явления и многочисленные практиче ски важные устройства целесообразна объединить в отдельный класс — класс «автоколебательных» систем. Общей чертой этих систем является их способность совершать «автоколебания», т. е. такие колебания, период и амплитуда 2)* которых в течение дол гого времени могут оставаться постоянными и не зависят от начальных значений (если не для всей плоскости, то во всякой случае для целой области начальных значений), а определяются свойствами самой системы. К числу классических автоколеба тельных систем относятся, например: ламповый генератор, часы, паровая машина, звонок, духовые и смычковые инструменты и т. д. Автоколебания возникают в передней подвеске автомо биля («шимми»), у самолета при полете («флаттер») и т. д. В различных реальных автоколебательных системах автоколе бания играют разную роль. В одних системах автоколебания являются основой этого устройства (ламповый генератор, тран зистор, часы, смычковые и духовые инструменты и т. д.), и по этому реальные параметры подбираются так, чтобы автоколеба ния имели место, в других — они вредны (шимми, флаттер, колебания в различных регулирующих устройствах), и поэтому реальные параметры, если это возможно, нужно брать такими, чтобы автоколебания отсутствовали. Кроме того, в автоколе бательных системах может существовать не один, а несколько «стационарных режимов»— равновесных (состояний равновесия) и автоколебательных с различными периодами и амплитуда ми,— которые устанавливаются в зависимости от того, из какой области фазового пространства берутся начальные значения и каковы значения параметров, входящих в систему. Однако всегда один и тот же режим устанавливается для целой области на чальных значений. Типичной чертой автоколебательных систем
является |
то, |
что |
незатухающие колебания — автоколебания — |
возникают |
в |
них |
за счет непериодического источника энергии |
(напряжение, |
которое создает анодная батарея в ламповом гене- |
') См. [2 -4, 100, 101].
2) Точнее, следует сказать «период и весь спектр амплитуд»,
218 |
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ |
[ГЛ. 13 |
раторе, заводной механизм в часах и др.), и притом источника энергии, не зависящего от времени. Таким образом, автоколе бательные системы описываются не зависящими от времени, т. е. автономными, дифференциальными уравнениями.
Так как в настоящей книге рассматриваются только авто номные системы двух дифференциальных уравнений, то мы бу дем здесь говорить только об автоколебательных системах, с до статочной точностью описываемых системой двух автономных дифференциальных уравнений:
х |
(з-, у, А.1, |
..., Ап), |
у |
Q(х, у, |
А|, ..., Ап) • |
(Ах) |
Здесь А, — параметры, |
которые |
в |
принятой |
идеализации |
соот |
ветствуют тем реальным параметрам, которые были учтены при написании дифференциальных уравнений. В случае автоколеба тельных систем эти уравнения заведомо нелинейны и, кроме того, заведомо неконсервативны. Кроме того, как мы уже гово рили ранее, такие системы, вообще говоря, за исключением не которых бифуркационных значений параметров, являются гру быми. Реальные автоколебательные режимы, устанавливаю щиеся в системах, достаточно точно отображаемых уравнениями вида (Ах), математически соответствуют устойчивым предельным циклам. Наличие таких предельных циклов в соответствующей системе дифференциальных уравнений является необходимым и достаточным условием для возможности (при надлежащих на чальных условиях) существования автоколебаний в системе.
Неустойчивые предельные циклы, а также сепаратрисы от деляют на фазовой плоскости области начальных значений, при которых устанавливается тот или другой стационарный режим, т. е. либо устойчивый предельный цикл, либо устойчивое со стояние равновесия 3).
Аппарат нелинейных и неконсервативных дифференциальных уравнений оказался привлеченным к прикладным задачам в на чале нашего столетия в основном в связи с развитием радио техники4), в частности, с изучением работы лампового генера
3) Если начальная точка взята не на самом устойчивом предельном цик ле и не в состоянии равновесия, то, как известно (см. гл. 2), изображающая точка по соответствующей траектории стремится к состоянию равновесия или предельному циклу при t + оо. Однако, очевидно, она будет уже че рез конечное время весьма близка к предельному циклу или состоянию равновесия и при дальнейшем возрастании t так и будет оставаться близ ко. Поэтому естественно считать, что в реальной системе стационарный ре жим устанавливается через конечный промежуток времени.
4) До развития радиотехники интересы физиков и техников были глав ным образом сосредоточены на линейных задачах, описываемых хорошо разработанным и простым аппаратом линейных дифференциальных урав нений. Естественно, что новые явления в радиотехнике сначала пытались объяснить, используя тот же аппарат линейных дифференциальных урав нений. Однако это оказалось невозможным, так как рассматривавшиеся но вые явления никак не укладывались в этот аппарат.
§ 1] |
МЯГКИЙ И ЖЕСТКИЙ РЕЖИМЫ |
219 |
тора. Простое нелинейное уравнение, описывающее работу лам пового генератора, позволило адекватным образом объяснить нелинейные эффекты, которые, конечно, имеют место не только в ламповом генераторе, но также и во множестве других устройств, динамика которых достаточно точно описывается диф ференциальными уравнениями с аналогичным разбиением фа зового пространства на траектории.
§ 1. Мягкий и жесткий режимы. Так как эти понятия связаны со структурой разбиения фазового пространства на траектории, а не со специальным аналитическим видом соответствующих дифференциальных уравнений, то мы здесь не будем обращать ся к виду дифференциальных уравнений.
Пусть при некоторых фиксированных значениях параметров у системы дифференциальных уравнений, описывающих работу данного устройства (например, лампового генератора), разбие ние фазового пространства на траектории имеет вид, представ ленный на рис. 112,6, т. е. начало координат О — неустойчивый
фокус, и существует единственный предельный цикл L , окру жающий начало О. Тогда, очевидно, при любых начальных зна чениях (за исключением того нереального случая, когда на чальная точка совпадает с началом О) изображающая точка будет по соответствующей траектории стремиться к предельному циклу (так как состояние равновесия неустойчиво). На физиче ском языке это означает, что при любых начальных условиях (и, в частности, при таких, при которых начальная точка сколь угодно близка к началу О, но не совпадает с О) будет уста навливаться один и тот же автоколебательный режим.
В этом случае говорят, что имеет место мягкий режим.
220 |
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ |
[ГЛ. 13 |
Предположим теперь,— опять не обращаясь к конкретному аналитическому виду системы дифференциальных уравнений,— что у этой системы (которая описывает работу некоторого устройства, например, лампового генератора при другой харак теристике лампы, чем в выше рассмотренном случае) при не которых фиксированных значениях параметров разбиение фа зового пространства на траектории имеет вид, представленный на рис. 113, я, т. е. начало координат О — устойчивый фокус,
и вокруг этого фокуса — два предельных цикла — неустойчивый L\ и устойчивый Ь2 (неустойчивый предельный цикл отделяет состояние равновесия О от устойчивого предельного цикла Ь2). Очевидно, если начальная точка на фазовой плоскости доста точно близка к началу О (лежит между точкой О и предельным циклом Li), то изображающая точка по соответствующей траек тории стремится к устойчивому состоянию равновесия, колеба ний не возникает (устанавливается равновесный режим). Для того чтобы возникли автоколебания, надо начальную точку «за
бросить» достаточно далеко от начала, |
т. е. |
во всяком |
случае |
за неустойчивый цикл L\. Очевидно, для |
всех |
начальных |
точек, |
лежащих вне неустойчивого цикла, изображающая точка стре мится к устойчивому предельному циклу L2, т. е. возникают автоколебания.
В этом случае говорят, что имеет место жесткий режим.
§ 2. Замечания о границах области устойчивости различных стационарных режимов. Мы указывали, что стационарным режи мам реальной системы в описывающей ее системе дифференци альных уравнений соответствуют устойчивые узлы или фокусы (равновесные режимы) и устойчивые предельные циклы (авто колебательные режимы). Неустойчивые же предельные циклы и сепаратрисы (как мы увидим, не все сепаратрисы) являются разделяющими для области начальных значений на частичные